专题01 二次函数（6知识&8题型&5易错&4方法清单）（期中知识清单）九年级数学上学期沪科版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数(6知识&8题型&5易错&4方法清单) 知识图谱 形如y=ax2+bx+C(a,b,c是常数，a≠0)的函数 二次函数的概念 般式 顶点式 二次函数解析式的三种形式 交点式 对称轴 顶点 二次函数的图象及性质 二次函数 增减性 上加下减，左加右减 二次函数的平移 ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c( ā≠0)的图象与x轴交点的横坐标 二次函数与一元二次方程的关系 列出二次函数的解析式 用二次函数的性质解决实际问题 在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出 二次函数的最大值或最小值 知识清单 【清单01】二次函数的概念 般地，形如yx2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数 【清单O2】二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=x2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)· (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h,k)· (3)交点式：ya(x-)(x-x),其中1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0. 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=a2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 1/19 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 对称轴 b -2a 顶点 6 (2a 4ac-b2 ) Aa a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 b 最值 当x-2a b ，y最小值 4ac-b2 当-2a 时，y最大值 4ac-b2 4a Aa 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 当以一2 时，y随x的增大而减小： 时，y随x的增大而增大 当x<2a 增减性 时，y随x的增大而增大 当2a 时，y随x的增大而减小 当x72a 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后 的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式 y=ax 向上(0【或下<O】平移个单位 y=ax+k 向右h>0) 【或左h<0】 平移h个单位 向右h>0【或左hcO】平移个单位 向上0【或下k<0)】平移附个单位 向右(h>0) 【或左(h<O】 平移个单位 二a-向上0【或下0】平移个单位 y=alx-hy'+k 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1)二次函数y=a2+bx+c(a≠0)，当y=0时，就变成了一元二次方程2+bx+c=0(a≠0)· 2)ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=x2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标. 3)(1)b2-4ac>0-方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点： (2)b2-4ac0~方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； (3)b2-4ac<0=方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点. 【清单O6】用二次函数的性质解决实际问题 1利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、 最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标 和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利 用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 期中常考题型清单 【题型一】二次函数的定义 【例1】(24-25九年级上·上海青浦·期中)下列函数中属于二次函数的是() A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c 1 C.y=2x2-1 D.y=x2+ x 【变式1-1】(24-25九年级上广东江门期中)下列函数中，不是二次函数的是() A.y=-x2 B.y=2(x-1)2+4C.y=x2 D.y=(x-22-x2 【变式1-2】(24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中)下列函数中是二次函数的有() 2 ①y=3-√5x2；②y= ;③y=x3-50;④y=0+2x)1-2x)+4x2:⑤2x2-3y+4=0;⑥x2=0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型二】把y=ax2+bx+c化成顶点式 车级下江苏宿迁期中)三次函数y=-，一2： 4.y=x--4 B.y=x+-2 C=+r6 D-川+6 【变式2-1】(24-25九年级上黑龙江黑河期中)二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标是() A.(1,-3) B.（-1,-2 C.(1,-4 D.(0,-3) 【变式2-2】(24-25九年级上广东肇庆期中)将二次函数y=-x2-4x+2化为y=a(x+m)2+k的形式，则 () A.a=-1,m=-2,k=6 B.a=-1,m=2,k=6 C.a=1,m=-2,k=-6 D.a=-1,m=2,k=-6 3/19 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【题型三】二次函数的图象和性质 【例3】(24-25九年级上山西大同期中)关于抛物线y=x2-4x+4,下列说法错误的是（) A.开口向上 B.与y轴交于正半轴 C.对称轴是直线x=2 D.当x>2时，y随x的增大而减小 【变式3-1】(24-25九年级上山东德州期中)对于二次函数y=x2-4x-1的图象，下列叙述正确的是() A.开口向下 B.对称轴为直线x=2 C.顶点坐标为-2，-5 D.当x>2时，y随x增大而减小 【变式3-2】(2425九年级上贵州期中)对二次函数y=)x2+4x+3的性质描述正确的是（) 2 A.函数图象开口朝下 B.当x<0时，y随x的增大而减小 C.该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴 D.该函数图象的对称轴在y轴左侧 【题型四】利用二次函数的图象和性质求解 【例4】(24-25九年级上江苏苏州期中)设(-2，，-1,2)，2，y3)是抛物线y=x2+2x+4上的三点，则 ,y2:3的大小关系为 ·（用“>”连接). 【变式4-1】（25-26九年级上广东·期中)对于二次函数y=x2-4ax+a2+1,当x≥2时，y随x的增大而 增大，已知此二次函数的图象上有一点A1,m),则m的取值范围为一 【变式4-2】(24-25八年级下·浙江宁波·期中)已知二次函数y=-x2-2bx+3b(b是常数)，当自变量 1≤x≤5时，函数有最大值为10，则b= 【题型五】画二次函数y=ax2+bx+c的图象 【例5】(24-25九年级上山东济宁.期中)将抛物线y=x2-6x+5先向上平移5个单位长度，再向右平移1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是」 4/19 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-1】(24-25九年级上·湖南长沙期中)抛物线y=-2x2+5可由抛物线y=-2x2向（填上或下） 平移个单位长度得到. 【变式5-2】(24-25九年级上山西大同期中)将抛物线y=-2x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1 个单位长度，则平移后抛物线的解析式为」 【题型六】二次函数的平移 【例6】(23-24九年级上·青海西宁.期中)已知二次函数y=2x2-4x-1 y 8 7 6 5 4 3 -7-6-5-4-3-2-10 12.345678x +l 2 (1)用配方法将y=2x2-4x-1化为y=a(x-)+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)直接写出当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【变式6-1】(24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中)已知：二次函数y=ax2+bx+ca≠0)中的x和y满 足如表： 3 5/19 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 5 r-- -3 -3-2-10 12.345x (1)可求得m的值为_： (2)求出这个二次函数的解析式： (3)画出函数图象，并根据图像写出当0<x<2时y的取值范围. 【变式6-2】(24-25九年级上北京期中)己知二次函数y=ar2+bx+ca≠0的图象过点A(0,3),B(2,3) ,C-1,0. (1)求该抛物线的表达式； (②)补全表格，画出二次函数的图象； (3)关于该二次函数，下列说法正确的有 ①图象开口朝下，顶点为1,4)； ②当x≤1时，y随x增大而减小； ③当0<x<3时，y的取值范围为0<y<4; ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6. 6/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 3 【题型七】待定系数法求二次函数的表达式 【例7】(24-25九年级上·安徽蚌埠·期中)已知抛物线的顶点坐标为(-1,3)，且经过点(2,12) (I)求抛物线对应的函数表达式： (2)当-1≤x≤3时，求函数的最大值 【变式7-1】(24-25九年级上浙江温州期中)已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数)，经过点(0,3)， (-1,3). (1)求抛物线的函数表达式； (2)当-2≤x≤n时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求的值. 1 【变式7-2】(24-25九年级上浙江温州期中)如图，已知抛物线y=二x2+mx+n经过点A-6,1,B(2,1 2 (1)求抛物线的表达式. (②)利用函数图象，求当-1<x≤2时，y的取值范围. 7/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型八】利用二次函数解决实际问题 【例8】(25-26九年级上·广东期中)己知，如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点 B左方)，与y轴相交于点C,直线BC经过点B、C. (I)求AB的长度； (2)点P为直线BC下方抛物线上一点，当四边形ACPB面积最大时，求点P的坐标. 【变式8-1】(24-25九年级上湖北襄阳·期中)某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y (件)是售价x(元/件)的一次函数，该玩具的月销售总利润W=(售价一成本)×月销量，三者有如下数 据 售价x(元/件) 15 20 30 月销量y(件) 500 400 200 销售总利润W(元) 2500 4000 4000 ()试求y关于x的函数关系式(x的取值范围不必写出)； (②)玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ (3)如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围， 【变式8-2】(2425九年级上江西赣州·期中)如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车 棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m),其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各 开一个1m的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形 60m D 1m 1m E F (I)设自行车车棚面积为Sm,车棚宽AB为xm,求S(m2)与x(m)之间的函数关系式，并写出自变量x的取 8/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值范围： (2)若车棚面积为285m,求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值。 高频易错归因清单 【题型一】利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0” 【例1】(24-25九年级上湖北宜昌期中)函数y=(m-2)x-2-2mx+1的图象是抛物线，则 m= 【变式1-1】(23-24九年级上·青海西宁.期中)己知y=(m-)xm++3x-4是二次函数，则实数 m=- 【变式1-2】(24-25九年级上重庆合川期中)若y=(m+)xm+-3x+1是关于x的二次函数，则m的值 为 【题型二】利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 【例2】(24-25九年级上辽宁营口期中)对于二次函数y=x2-2x+1,当a-1≤x≤a时，函数y=x2-2x+1的 最小值为1，则a的值为 【变式2-1】(24-25九年级上山东威海期中)已知抛物线y=x2-4mx+2m+1,m为实数，当 2m-3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，此时m的值为 【变式2-2】(24-25九年级上·辽宁营口期末)已知二次函数y=ax2-2ar-3a(a≠0).若当-1≤x≤4时， y的最大值为5，则a的值为_ 【题型三】二次函数的图象与系数的关系 【例3】(24-25九年级上湖北襄阳期中)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：① abc>0;②2a+b=0;③3b-2c<0;④am2+bm≥a+b(m为任意实数)；⑤方程ax2+bx+c=1的两根 之和为1.其中正确结论的个数是() 9/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=1 A,2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式3-1】(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 在下列五个结论中：①2a-b<0;②abc<0;③a+b+c<0;④a-b+c>0;⑤4a+2b+c>0,正确的个 数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3-2】(24-25九年级上广东茂名·期中)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中， 正确的个数是() ①a+b+c>0;②a-b+c<0;③abc>0;④b=2a A. B.3 C.2 D.1 【题型四】二次函数与一元二次方程的交点问题 【例4】(24-25九年级上江西赣州期中)已知二次函数y=x2-4x-5,则该二次函数图象与y轴交点坐 标为 【变式4-1】(24-25九年级上甘肃庆阳·期中)已知抛物线y=ax2-4ax+2(a≠0)与x轴的一个交点坐标为 10/19 专题01 二次函数（6知识&8题型&5易错&4方法清单） 【清单01】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【清单04】二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【清单05】二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【清单06】用二次函数的性质解决实际问题 1.利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2.用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的 【题型一】二次函数的定义 【例1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 【变式1-2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键． 先把关系式整理成二次函数的一般形式，再根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个． 故选B． 【题型二】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例2】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ， 则二次函数可变形为， 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，将抛物线方程化为顶点式是解题的关键． 由得到二次函数的顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：， 二次函数的顶点坐标是， 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将二次函数化为的形式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将一般式化为顶点式，根据配方法计算即可求解． 【详解】解： ， ∴， 故选：B． 【题型三】二次函数的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·山西大同·期中）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．与轴交于正半轴 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图形的性质，根据相关性质一一判断即可； 【详解】解：∵，∴开口向上，故选项A正确，不符合题意； ∵令时，，∴交轴于点，即与轴交于正半轴，故选项B正确，不符合题意； ∵，∴对称轴是直线；故选项C正确，不符合题意； ∵，∴当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D 【变式3-1】（24-25九年级上·山东德州·期中）对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．根据题目中的二次函数的解析式以及二次函数的性质逐项判断各个选项中的说法是否正确，即可解题． 【详解】解： A、， 开口向上，选项错误，不符合题意； B、， 称轴为直线，选项正确，符合题意； C、当时，， 顶点坐标为，选项错误，不符合题意； D、对称轴为直线，二次函数开口向上， 当时，y随x增大而增大，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级上·贵州·期中）对二次函数的性质描述正确的是（   ） A．函数图象开口朝下 B．当时，随的增大而减小 C．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在轴左侧 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟悉二次函数对称轴、顶点、与轴（轴）交点是解决此类题的关键． ，可判断其开口方向向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，令，得，抛物线与轴交于点，分别判断即可． 【详解】解：．，开口向上，故不符合题意； ．因开口向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，故不符合题意； ．当时，，即与轴交点为在轴正半轴，故不符合题意； ．对称轴为直线，在轴左侧，故符合题意； 故选：． 【题型四】利用二次函数的图象和性质求解 【例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，在直线上， ． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而增大，可得．根据题意有，问题随之得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，时取最大值， 即， 则，解得， 方程的解不在的取值范围里，不符合题意； 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 【题型五】画二次函数y=ax²+bx+c的图象 【例5】（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，二次函数图像平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 先把化成顶点式，然后确定顶点坐标为，再把顶点按照题干要求平移得到新的顶点坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， ∴平移后得到的抛物线解析式为：． 故答案为． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）抛物线可由抛物线向 （填上或下）平移 个单位长度得到． 【答案】 上 【分析】本题考查了二次函数图象和几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：抛物线可由抛物线向上平移个单位长度得到， 故答案为：上，． 【变式5-2】（24-25九年级上·山西大同·期中）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故答案为：． 【题型六】二次函数的平移 【例6】（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知二次函数 (1)用配方法将化为的形式；并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)直接写出当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)画图见解析 (3)当时，随的增大而减小 【分析】（）利用配方法求出二次函数的顶点式，进而得到对称轴和顶点坐标； （）利用五点法画图即可； （）根据二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数的顶点式，画二次函数图象，二次函数的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，，即点，对称点为； 当时，，即点，对称点为； 画函数图象如下： （3）解：当时，随的增大而减小． 【变式6-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知：二次函数中的和满足如表： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 8 … (1)可求得的值为 ； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)画出函数图象，并根据图像写出当时的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当和所对应的函数值相等，从而得到的值； （2）设交点式，然后把把代入得求出的值即可； （3）描点作图，由函数图象可直接得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当和所对应的函数值相等， ； 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ， 即抛物线解析式为； （3）解：如图： 由图象可得，当时，． 【变式6-2】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 【题型七】待定系数法求二次函数的表达式 【例7】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)在中，当时，有最大值为 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质求最值等知识，熟练掌握待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质求最值的方法是解决问题的关键． （1）根据题意，设出二次函数顶点式，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，利用二次函数图象与性质即可求出当时，函数的最大值． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由（1）知抛物线对应的函数表达式为， 抛物线开口向上、对称轴为， 当时，随的增大而增大， 在中，当时，有最大值为． 【变式7-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线（，为常数），经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，抛物线的最大值与最小值的和为3，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的最值问题；解题的关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质与最值． （1）用待定系数法，将两个点的坐标代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求得函数表达式； （2）根据的取值范围，求得抛物线的最大值和最小值，再根据抛物线的最大值与最小值的和为3，即可求得的值； 【详解】（1）解：将和分别代入解析式得：， 解得， ∴； （2）解：当时，，，，， ∵抛物线最大值与最小值的和为3， ∴， ∴，（舍）， 当时，，，，， ∴（舍）， 当时，，，，， ∵抛物线最大值与最小值的和为3， ∴， ∴，（舍）， 综上所述：，． 【变式7-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，当时，y有最小值，当时，的值为1，从而可得结论． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，y有最小值， 当时，的值为1， ∴当时，y的取值范围． 【题型八】利用二次函数解决实际问题 【例8】（25-26九年级上·广东·期中）已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题，二次函数的最值，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）令，求出一元二次方程的根，进而求得； （2）设点，根据B，C坐标，求出的函数关系式，过点P作y轴平行线交于D，设点P坐标，表示出点D坐标，进而求得的长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得最大值即可． 【详解】（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）如图1， 设点， 点，， 的解析式是：， 如图，过点P作y轴平行线交于D， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据 售价x（元/件） 15 20 30 月销量y（件） 500 400 200 销售总利润W（元） 2500 4000 4000 (1)试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）； (2)玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？ (3)如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围． 【答案】(1) (2)成本为10元每件，时月销售总利润最大，最大利润是4500元 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）设成本为m元，根据每件利润数量总利润列方程求解；根据每件利润数量总利润建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）根据题意得到，再转化为利用二次函数图象解一元二次不等式． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为，则， ，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：设成本为m元， 由题意可得：， 解得（元）， 则， ∵， ∴当时，W有最大值，为4500元； （3）解：由题意得，， 即， 解方程得 令， 由得抛物线开口向上 ∴当时，． 【变式8-2】（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 【答案】(1)；； (2)长为，宽为或长为，宽为； (3)； 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． （2）由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； （3）自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 【题型一】利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0” 【例1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，要注意二次项的系数不等于0．根据二次函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 【变式1-1】（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型二】利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论 【例2】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：0或3． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东威海·期中）已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； 【详解】解：∵， ∴对称轴为，函数图象开口向上， ， ， ∴当时，取最大值4， ， 解得：， 故答案为：或． 【变式2-2】（24-25九年级上·辽宁营口·期末）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 【题型三】二次函数的图象与系数的关系 【例3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴的交点位置可判断①②，由时及与的数量关系可判断③，由时函数取最小值可判断④；根据一元二次方程根与系数的关系，结合与的数量关系可判断⑤． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， ，故②正确； ③， ， 当时，， ， ，故③正确； ④根据图象知，当时，有最小值； 当为实数时，有 ， （为任意实数），故④正确； ⑤方程可转化为， 方程的两个之和为， ， 方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的由①有②③④，共个， 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将，，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，， 由函数的对称轴， 则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵，对称轴在y轴左侧，， 则， 图象与y轴交于负半轴，则， 故；故②正确； ③当时，，③正确； ④当时，，④错误； ⑤当时，，⑤错误； 故正确的有①②③，共3个． 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·广东茂名·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：，，然后根据图象判断其值． 根据和时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可以判断③、④、从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴，故①正确； 当时，， 由图象可知，当时，，故②正确； ∵图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴， ∴， ∴，故③错误； ∵，，， 当， 则，产生矛盾，故④错误； ∴正确的有2个． 故选：C． 【题型四】二次函数与一元二次方程的交点问题 【例4】（24-25九年级上·江西赣州·期中）已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点坐标问题，掌握与y轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．将代入二次函数求解即可． 【详解】解：将代入二次函数中，则， 故二次函数与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式等知识点，将抛物线与x轴的问题转化成一元二次方程根的问题成为解题的关键． 将抛物线与x轴的交点将问题转化为方程有2个不等实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可． 【详解】 解：依题意，当时，方程有个不等实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 【题型五】利用二次函数解决实际问题中最值问题 【例5】（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【分析】此题考查抛物线的性质及其应用，将抛物线上的两个点之间的水平距离与货车宽度作比较，从而来解决实际问题． （1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知， ∴货车可以通过． 【变式5-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍． (1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． (2)降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【分析】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式． （1）设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论； （2）设降价元，该超市的利润最大，利润为．根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值． 【详解】（1）解：设乙商品每箱盈利元，甲商品每箱盈利元， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元． （2）解：设降价元，该超市的利润最大，利润为． 时，利润取得最大值，且最大值为2000元． 答：降价5元，该超市的利润最大，最大利润为2000元． 【变式5-2】（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）①根据石块在空中飞行的最大高度为米，可得出，再将代入，求出抛物线的函数解析式； ②依据题意，由墙高为6米，则令，得到关于的一元二次方程求解，再结合墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，可判断得解； （2）把，代解析式求出，把，代入解析式求出，得出的取值范围． 【详解】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 【题型一】二次函数中线段、周长、面积最值问题 方法技巧总结： 1. 线段/周长最值：“转化模型”优先 单线段最值用“顶点法”，如抛物线上点到定直线距离，设点坐标代入距离公式，转化为二次函数求顶点；多线段和最值用“对称转化”，如“将军饮马”模型，作定点关于对称轴/坐标轴的对称点，连对称点与另一定点，与抛物线交点即所求，线段长为最小值。 2. 面积最值：“底高公式+函数转化” 三角形面积优先选平行于坐标轴的边为底，如以x轴上线段为底，高为抛物线上点纵坐标绝对值，代入面积公式得二次函数，开口向下时顶点纵坐标即最大面积；多边形面积用“割补法”拆为三角形/矩形，分别表示面积再合并，转化为二次函数求最值。 【例1】（23-24九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）设直线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设，则，可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设，则， ∴ ∵，， ∴当时，线段的值最大，最大值为． 【变式1-1】（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 【变式1-2】（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 【题型二】二次函数中等腰三角形、直角三角形存在性问题 方法技巧总结： 1.等腰三角形存在性问题 这类问题通常需要"两圆一线"的思路来确定点的位置： - 两圆：以已知线段的两个端点为圆心，线段长度为半径画圆，圆与抛物线的交点即为满足条件的点。 - 一线：作已知线段的垂直平分线，这条直线与抛物线的交点也是满足条件的点。 计算时，利用两点间距离公式。设出抛物线上点的坐标(x, y)，再把它代入二次函数表达式。然后根据"腰"的不同组合列方程求解。 2.直角三角形存在性问题 这类问题的关键是利用勾股定理或斜率乘积为-1来判断垂直关系。 - 固定直角顶点：先假设三个顶点中的一个为直角顶点。 - 计算边长：分别计算出三条边的长度的平方（避免开方）。 - 列方程求解：根据勾股定理列出等式。 - 验证结果：将解出的坐标代入二次函数，验证是否在抛物线上。 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 【变式2-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 【变式2-2】（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)求的面积； (3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)存在满足条件的 点，其坐标为或． 【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解； （）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图， 过顶点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下， ∵，，点为抛物线上的一个动点， ∴设， ∴， ， ， 由于以为直角边的直角三角形， 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点； 当， ∴， 整理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点， 综上可知：点的坐标为或． 【题型三】二次函数中特殊四边形存在性问题 方法技巧总结： 1. 平行四边形的存在性 平行四边形的关键是对角线互相平分。 设出三个已知点和一个未知点的坐标。 根据中点坐标公式，利用对角线中点重合的性质列方程求解。 这种方法比用对边平行或相等的性质计算更简洁。 2. 菱形、矩形、正方形的存在性 这类问题通常是在平行四边形的基础上增加特殊条件。 - 菱形：在平行四边形的基础上，增加"邻边相等"的条件。 - 矩形：在平行四边形的基础上，增加"邻边垂直"的条件。 - 正方形：在平行四边形的基础上，同时满足"邻边相等"和"邻边垂直"。 【例3】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； (3)点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M点的坐标为或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，即可作答； （2）设与x轴交于E，得到，求得，解方程组，即可得到结论； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程，求出M点的横坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． ∴将代入 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：依题意，设与x轴交于E， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，则， 即， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得或（不合题意舍去）， ∴； （3）解：依题意，设，， 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 由（2）得， ∵ ∴ 整理得， 解得（舍去）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 ∴， 整理得， 解得（舍）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 同理得， 解得或， 把代入，得； 把代入，得； ∴或 综上所述：M点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形的综合，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型四】二次函数中的新定义型综合问题 方法技巧总结： 1. 精读定义，抓住本质 这类问题会给出一个教材上没有的新定义。比如"关联点"、"伴随函数"、"和谐三角形"等。你需要做的第一件事，就是逐字逐句地阅读和分析这个定义。把定义里的关键词、条件和数学表达式都划出来，确保完全理解。 2. 转化定义，建立联系 理解新定义后，下一步是把它"翻译"成我们学过的知识。通常是转化为函数、方程或几何关系。例如，新定义可能等价于"两点之间的距离等于某个值"，或"某个函数的函数值恒大于零"。这个转化过程是解题的桥梁。 3. 运用定义，求解验证 完成转化后，就可以运用我们熟悉的方法来解题了。比如，设点的坐标，代入二次函数表达式，然后根据转化后的条件列方程或不等式求解。最后，一定要把解出来的结果代回原题的新定义中，验证是否符合所有条件。 【例4】（24-25九年级下·浙江杭州·期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： (2)若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】本题考查二次函数背景下新定义类问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，利用待定系数法即可求解； （2）①设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，，得出进行求解即可； ②根据题意可知，需要分三种情况讨论，I、当且和Ⅱ、当且以及当进行分析求解． 【详解】（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，     ∵， ∴的顶点坐标为； （2）①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或．            ②∵的解析式为：， ∴当时，， 当时，， 当时，， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或 （舍）； Ⅱ、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或（舍）： Ⅲ、当时，， 函数的最大值为，函数的最小值为； ∴， 解得（舍）； 综上，a的值为或． 【变式4-1】（24-25八年级下·江西宜春·期中）定义把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点P的相关函数，函数的图象的顶点纵坐标为m． (1)当时，求新函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求函数的解析式； (3)当，时，函数的图象与直线y=2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线段与函数的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)新函数的顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的图象变换、直线或线段与函数图象的交点坐标等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先将函数写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数C，的顶点坐标； （2）先由得出函数的解析式，再分段讨论∶①当时，②当时，从而可解得m的值，则可求得函数的解析式∶； (3)先得出时点A，B，D的坐标，当时再分当点在点B的左侧(含点B) 和当点在点B的右侧时两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可． 【详解】（1）解∶， 函数的顶点坐标为． 当时，点P的坐标为，． 新函数的顶点坐标为； （2）解：， 函数 函数的顶点坐标为． 把代入函数得∶ ． 根据抛物线的对称性可知，当时，． ①当时， 不符合题意，舍去 ②当时， ，，． 解得， (不合题意，舍去) 函数的解析式为； （3）解：，函数． 函数，． 当时，或；当时，， 点A，B，D的坐标分别为，， 线段绕点逆时针旋转，得到它的对应线段， 点的坐标为，点的坐标为． 当时， ①当点在点B的左侧(含点B)时，线段与函数的图象有公共点，如图1∶ ． ． ②当点在点B的右侧，且点D在点的下方(含点)时，线段与函数的图象有公共点，如图2∶ ．解得． ． 综上所述： 或． 【变式4-2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于m的方程，解出方程，即可； （3）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于s的方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设点P的坐标为，由定义知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为或； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 整理得：， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $