专题5.1 投影（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题5.1 投影 教学目标 1. 通过生活实例，了解投影、中心投影、平行投影及正投影的概念，能识别不同类型的投影现象。 2. 探究并掌握中心投影中影子随光源位置变化的规律，以及平行投影下物高与影长的比例关系。 3. 发展几何直观与空间观念，能运用投影知识解释生活现象，解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）明确中心投影与平行投影的本质区别，能根据影子特征准确判断投影类型。 （2）理解并掌握正投影的成像规律，能结合物体与投影面的位置关系判断正投影形状。 2.难点 （1）结合具体情境，分析光源、物体位置对影子大小、方向的影响，建立空间思维模型。 （2）依据正投影规律，将三维立体图形（如正方体）转化为二维投影图形，实现立体与平面的转化。 知识点01 投影的相关概念： 1.投影现象：物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面。 2.中心投影：由一点发出的光线照射物体所形成的投影，如手电筒、路灯和台灯的光线形成的投影。 3.平行投影：平行光线所形成的投影，太阳光线可看成平行光线，其形成的投影是平行投影。 4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。 5.中心投影与平行投影的区别与联系： （1）区别：平行投影的投影线互相平行，同一时刻不同物体的物高与影长成正比例，影子方向总是相同；中心投影的投影线发自一点，影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。 （2）联系：都是物体在光线照射下在某个平面上形成的图形，改变物体的位置和方向，投影都会发生变化。 【即学即练1】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）下列哪种影子是平行投影（   ） A．皮影戏中的影子 B．太阳光下房屋的影子 C．路灯下行人的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A．皮影戏中的影子是中心投影； B．太阳光下房屋的影子是是平行投影； C．路灯下行人的影子是中心投影； D．在手电筒照射下纸片的影子是中心投影； 故选B． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图的两幅图分别反映了两棵小树在怎样情形下的影子（   ） A．太阳光、太阳光 B．路灯、太阳光 C．太阳光、路灯 D．路灯、路灯 【答案】C 【分析】本题考查平行投影和中心投影的知识，物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影．然后根据平行投影和中心投影的特点及区别，即可判断． 【详解】解：如图， ∴第一幅图是太阳光形成的，第二幅图是路灯灯光形成的； 故选：C． 知识点02 平行投影的性质： 1.等高的物体垂直地面放置时，在太阳光下影子一样长；等长的物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一样长且等于物体本身长度。 2.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。 【即学即练2】 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高度．如图所示，已知建筑物的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长为24米，小军的影长为米，其中四点在同一直线上，三点在同一直线上，且，． (1)线段与线段之间的位置关系为_________； (2)已知小军的身高为米，求旗杆的高． 【答案】(1)平行 (2)米 【分析】本题考查两直线的位置关系，相似三角形判定及性质等． （1）根据题意可知两线段位置关系为平行； （2）先证明，继而求出，再证明，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵太阳光线是平行光线， ∴， 故答案为：平行； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 过点作交于， ， 同理得：， ∴， ∴（米）， ∴旗杆的高为米． 知识点03 中心投影的性质： 1.等高的物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长。 2.等长的物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。 3.点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上。 【即学即练3】 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是公园里一张圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子，则表示一个圆形的凳子． (1)请在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的最大跨度为，求路灯O与地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2)路灯O与地面的距离为 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的应用，解决本题的关键是作出相应的辅助线． （1）分别连接和并延长，则延长线交点即为路灯O的位置；分别连接和并延长，与地面的交点即为点P和Q的位置； （2）过点O作于点F，交于点E，易证，，得出，结合，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为路灯的位置；线段即为的影子； （2）解：如图，过点O作于点F，交于点E． ∵， ∴，， ∴． 由题意可得：，，， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯O与地面的距离为． 题型01 平行投影 【典例1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行投影的定义，掌握平行投影的定义是解题的关键．根据太阳光线是平行的，同一地点同一时刻树与影长的比应是一样的，影子的方向也应相同即可求解． 【详解】A、影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意； B、影子的方向不相同，故本选项不符合题意； C、影子的方向不相同，故本选项不符合题意； D、树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为米．小明观察到高为米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为米；而高立柱的部分影子落在墙上．假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)小明的身高为米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ (2)此刻测得高立柱落在墙上的影长为米，求高立柱的高度． 【答案】(1)小明的影长为米 (2)高圆柱的高度为米 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题． （2）如图，连接，作分别求出的长即可解决问题． 【详解】（1）解：设小明的影长为x米． 由题意得，解得， 经检验：是分式方程的解． 小明的影长为米； （2）解：如图，连接AE，作 ， 四边形是平行四边形， 米， 设米， 由题意落在地面上的影长为米． ， ， 米， 答：高圆柱的高度为米． 【变式2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）某校一块草坪中有两棵小树，某一时刻小树在太阳光下的影子如图所示，已知小树高度为． (1)请画出此时小树在太阳光下的影子（用线段表示）： (2)测得，两树的影子长分别为和，请求出小树的高度． 【答案】(1)见解析 (2)的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据题意画出图形即可； （2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．据此列式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于，线段就是小树的影子． （2）解：设的高度为h， 因为太阳光可以看作是互相平行的， 由相似三角形知：， 解得． 经检验，是方程的解且符合题意． 即的高度为． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·期末）星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥我踩到你的‘脑袋’了．”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他们的对话，完成下列问题． (1)画出此时妹妹在阳光下的影子； (2)若哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为，求妹妹的身高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用； （1）利用阳光是平行投影进而得出妹妹在阳光下的影子进而得出答案； （2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可 【详解】（1）解：如图，线段为此时妹妹在阳光下的影子； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为， 即，，， ∴， ∴， ∴妹妹的身高是． 题型02 中心投影 【典例2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列投影中，不是中心投影的是（   ） A．路灯下行人的影子 B．舞台上演员的影子 C．台灯下书本的影子 D．太阳光下旗杆的影子 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A. 路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；     B. 舞台上演员的影子为中心投影，故此选项不合题意； C. 台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意； D. 太阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，木杆和与地面垂直，木杆在路灯O下的影子为，木杆在路灯O下的影子为，已知点D，G，F，H在一条直线上，，，请在图中画出路灯O． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在中心投影问题中的应用．通过连接物体顶端与影子顶端的光线，找到路灯位置． 【详解】解：如图，路灯O为所求， 作法：连接，，延长，交与点O，此时点O即路灯为所求． 【变式2】（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2)路灯的高度为米 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影； （2）解：，， ， ， ， ∵树高为，树影为，树与路灯的水平距离为， ∴， 解得：， 路灯的高度为米． 【变式3】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，为一盛路灯的灯杆，该路灯的灯泡位于灯杆上，小红和小颖都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡的照射下的影子末端位于点处．已知，在同一条直线上，且． (1)请在图中画出路灯灯泡的位置，并画出小红在灯泡的照射下的影子（不必写出画法）； (2)经测量米，米，小红的身高为1.6米，请你求出路灯灯泡距地面的高度的长． 【答案】(1)图见解析 (2)的长为米 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）连接并延长，交于点，连接并延长交与点，点，点即为所求； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，连接并延长交与点，点，点即为所求，如图： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 答：的长为米． 题型03 正投影 【典例3】（24-25九年级上·山东东营·期末）如图所示的几何体是由3个大小相同的正方体拼成的，它的正投影不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体正投影，根据从左边看得到的图形，从正面看得到的图形，从上面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：A、从左边看上边一个小正方形，下边一个小正方形，故A正确，不符合题意； B、从哪个方向看都不是并排的三个小正方形，故B错误，符合题意； C、从上面看是两个并排的小正方形，故C正确，不符合题意； D、从正面看第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列投影中，是正投影的是 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了投影的概念和分类，即“一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面；包括正投影和斜投影两类。熟练掌握其概念和分类是解题的关键. 【详解】解：根据正投影的定义“ 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”可知 是正投影 故答案为： ． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 题型04 视点、视角和盲区 【典例4】“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【答案】B 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区． 【变式1】如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 【变式2】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 【变式3】如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列现象属于投影的是（　　） A．掉在地上的一片花瓣 B．午后公园长椅的影子 C．小颖画了一幅日出图 D．踩在雪上留下的鞋印 【答案】B 【分析】根据中心投影的定义判断即可． 【详解】解：、掉在地上的一片花瓣不是投影，不符合题意； 、午后公园长椅的影子是投影，符合题意； 、小颖画了一幅日出图，不符合题意； 、踩在雪上留下的鞋印，不符合题意； 故选： ． 【点睛】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型． 2．（20-21九年级上·陕西渭南·期末）在同一时刻、同一地点，甲、乙两根竿子垂直于地面置于阳光之下，看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为（   ） A．无法确定 B．甲竿比乙竿长 C．甲竿比乙竿短 D．甲、乙两竿一样长 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，平行投影的特点是：在同一时刻、同一地点，不同物体的物高和影长成比例．再判断甲、乙两竿平行，再根据平行投影的特点可得答案． 【详解】解：因为在同一时刻，太阳光线可以看作是平行的，所以任何物体的高度与其影长之比都相等， 设甲、乙两竿的长度分别为、，影长分别为、， 则有， 又因为它们的影长相等，即， 所以，故甲、乙两竿一样长． 故选：D． 3．（24-25九年级上·福建·期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：D． 4．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线，熟记物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系是解决问题的关键．证明，然后利用相似比即可求出的长． 【详解】解：木杆两端的坐标分别为，， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， 故选：B． 5．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列现象属于中心投影的是 （填序号）    【答案】②③ 【分析】本题需要理解中心投影的概念，并根据定义判断哪些现象属于中心投影；中心投影是指所有光线从一个点发出，投射到平面上形成影子的现象． 逐一分析每个现象，由此得到答案． 【详解】①沙漠中一棵小树的影子，太阳光近似平行光， 不符合中心投影定义； ②皮影戏，光线从一个点发出，投射到屏幕上形成影子，符合中心投影定义； ③手影，光线从一个点发出，投射到墙上形成影子，符合中心投影定义； ④日晷，利用太阳光的平行光束，不符合中心投影定义． 故答案为：②③． 7．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 【答案】④③①② 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长． 【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再由短变长．可知先后顺序是④③①②． 故答案为：④③①②． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为 m． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：m，m，然后根据同一时刻的物高与影长成正比例可得比例式，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点N作于点． 由题意，得， ． 又，， ， ． 故竹竿的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 【答案】250 【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：250． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，通过已知的杆长和第一时刻的影长计算第二时刻的影长. 【详解】解：，， ， ． 根据题意，得尺，尺， 解得， 第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·广东佛山·期末）三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）． (1)根据竹竿和灯光下的影子，确定光源的位置； (2)画出影子为的竹竿（用线段表示）； (3)若将光源竖直向上移动，则影子的长度__________（单选题） A．变长    B．不变    C．变短    D．无法确定 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)C 【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源． （1）作射线与射线，交点G即为所求； （2）作射线，作交于点C，即为所求； （3）画出升高后的光源，再作出的影子即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点为光源的位置； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：由图可知，影子的长度变短． 故选：C． 12．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，公路旁有两个高度相等的路灯．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯的底部C处．晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． (1)在图中画出小明的位置（用线段表示），并画出光线，标明太阳光、灯光． (2)若上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为，他离里程碑E恰好，求路灯高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了相似三角形的判定和性质的运用，掌握平行投影的光线是平行的是解题的关键． （1）根据题意画出图形，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图． （2）解：∵上午上学时候高的木棒的影子为，小明身高为， ∴小明的影长为． ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∴， 即， 解得：． 即路灯高． 13．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，电线杆上有盏路灯O，小明身高，他从点F出发，沿直线运动，当他运动到达点D处时（即），测得影长，再前进到达点B处时（即），测得影长．（图中线段，，表示小明的身高，，，均与垂直，且在同一平面上） (1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子； (2)求路灯O到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可． （1）连接、并延长，交点即为点，再连接并延长于底面的交点为，即为所求； （2）过作于点，设，根据得，据此求得，再根据可求得． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为路灯的位置，线段即为小明位于F处时的影子 （2）解：如图，过点O作于点H． ∵，，， ∴． ∴，． ∴，． 设，． 又∵，，，， ∴，， 解得，． 经检验，，是原方程的解． ∴路灯O到地面的距离为． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量．如图，她在地面上的点处竖立一根长为4.5米的标杆，此时发现标杆与塔在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处，已知、、三点在一条直线上，，，用测距仪测得米． (1)请在图中画出标杆与塔在太阳光下的影子末端； (2)若测得此刻米，请你求出信号塔的高度． 【答案】(1)见解析 (2)45米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质． （1）利用中心投影的性质画出图形； （2）证明得，再代值计算即可得的值． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 答：信号塔的高度的长为45米． 15．（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯距地面高度为米 【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可； （2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可. 【详解】（1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【点睛】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.1投影 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01投影的相关概念 知识点02平行投影的性质 知识清单 知识点03中心投影的性质 投影 题型01平行投影 题型02中心投影 题型精讲 题型03正投影 题型04视点、视角和盲区 强化训练 教学目标、教学重难点 1.通过生活实例，了解投影、中心投影、平行投影及正投影的概念，能识别不同类型 的投影现象。 教学目标 2.探究并掌握中心投影中影子随光源位置变化的规律，以及平行投影下物高与影长的 比例关系。 3.发展几何直观与空间观念，能运用投影知识解释生活现象，解决简单的实际问题。 1.重点 (1)明确中心投影与平行投影的本质区别，能根据影子特征准确判断投影类型。 (2)理解并掌握正投影的成像规律，能结合物体与投影面的位置关系判断正投影形状。 2.难点 教学重难点 (1)结合具体情境，分析光源、物体位置对影子大小、方向的影响，建立空间思维模 型。 (2)依据正投影规律，将三维立体图形（如正方体）转化为二维投影图形，实现立体 与平面的转化。 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01投影的相关概念： 1投影现象：物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象，影子所在平面为投影面。 2.中心投影：由一点发出的光线照射物体所形成的投影，如手电筒、路灯和台灯的光线形成的投影。 3.平行投影：平行光线所形成的投影，太阳光线可看成平行光线，其形成的投影是平行投影。 4.正投影：当平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。 5.中心投影与平行投影的区别与联系： (1)区别：平行投影的投影线互相平行，同一时刻不同物体的物高与影长成正比例，影子方向总是相同： 中心投影的投影线发自一点，影子与物体高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。 (2)联系：都是物体在光线照射下在某个平面上形成的图形，改变物体的位置和方向，投影都会发生变化。 【即学即练1】 1.(24-25九年级上甘肃张掖期末)下列哪种影子是平行投影() A.皮影戏中的影子 B.太阳光下房屋的影子 C.路灯下行人的影子 D.在手电筒照射下纸片的影子 2.(24-25九年级上山西晋中，期末)如图的两幅图分别反映了两棵小树在怎样情形下的影子（) A.太阳光、太阳光 B.路灯、太阳光 C.太阳光、路灯 D.路 灯、路灯 知识点02平行投影的性质： 1等高的物体垂直地面放置时，在太阳光下影子一样长；等长的物体平行于地面放置时，在太阳光下影子一 样长且等于物体本身长度。 2在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同。在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。 【即学即练2】 3.(24-25九年级上·宁夏银川期末)小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高度.如图 所示，已知建筑物OB的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得OA的影长0D为24米，小军的影 长FG为2.4米，其中O、D、F、G四点在同一直线上，A、B、0三点在同一直线上，且OA⊥OD, EF⊥FG. 2/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 品 GFD 0 (1)线段AD与线段EG之间的位置关系为 (2)已知小军的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB, 知识点O3中心投影的性质： 1.等高的物体垂直地面放置时，离点光源近的影子短，远的影子长。 2等长的物体平行于地面放置时，离点光源越近，影子越长，越远则越短，但不会短于物体本身长度。 3.点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上。 【即学即练3】 4.(2425九年级上·四川成都期中)如图，AB是公园里一张圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下 的影子，CD则表示一个圆形的凳子. A B M (I)请在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子P口（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）： (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m,测得影子的最大跨度MW为1.8m,求路灯O与地面的距离， 题型精讲 题型01平行投影 【典例1】(24-25九年级上河南南阳·阶段练习)下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光 下的影子的图形可能是() 【变式1】(24-25九年级上四川成都期末)如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱 与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为2.4米.小明观察到高为1.2米的矮立柱的影子完全落在 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 地面上，其影长为1.6米；而高立柱的部分影子落在墙上.假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不 计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)小明的身高为1.65米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ (2)此刻测得高立柱落在墙上的影长为13米，求高立柱的高度. 【变式2】(24-25九年级上·贵州贵阳·期末)某校一块草坪中有两棵小树，某一时刻小树AB在太阳光下的 影子如图所示，已知小树DE高度为2.5m. (1)请画出此时小树DE在太阳光下的影子（用线段表示）： (2)测得AB,DE两树的影子长分别为2.4m和1.2m,请求出小树AB的高度. 【变式3】(24-25九年级上四川达州期末)星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对 哥哥说：“咦，哥我踩到你的脑袋’了.”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他 们的对话，完成下列问题 哥哥 妹妹 (1)画出此时妹妹在阳光下的影子； (2)若哥哥身高为1.8m,哥哥和妹妹之间的距离为3.6m,而妹妹的影子长为3.2m,求妹妹的身高. 题型02中心投影 【典例2】(24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习)下列投影中，不是中心投影的是() A.路灯下行人的影子 B.舞台上演员的影子 C.台灯下书本的影子 D.太阳光下旗杆的影子 【变式1】(24-25九年级上·甘肃兰州期末)如图，木杆CD和EF与地面垂直，木杆CD在路灯O下的影子 为DG,木杆EF在路灯O下的影子为FH,已知点D,G,F,H在一条直线上，CD⊥DH,EF⊥DH, 请在图中画出路灯O. 4/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H 【变式2】(24-25九年级下·江西赣州·阶段练习)如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC. 路灯 P B (①)此光源（路灯O)形成的投影属于 .(填“平行投影”或“中心投影”) (2)已知树高AB为2m,树影BC为3m,树与路灯的水平距离BP为4.8m,求路灯的高度OP 【变式3】(23-24九年级上·辽宁沈阳期末)如图，OM为一盛路灯的灯杆，该路灯的灯泡P位于灯杆OM上， 小红AB)和小颗(CD)都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处.已知O, B、C、E在同一条直线上，且M0⊥0E,AB⊥OE,DC⊥0E. M P B (I)请在图中画出路灯灯泡P的位置，并画出小红(AB)在灯泡P的照射下的影子BF(不必写出画法)： (2)经测量0B=2米，BF=1米，小红(AB)的身高为1.6米，请你求出路灯灯泡距地面的高度OP的长. 题型03正投影 【典例3】(24-25九年级上山东东营期末)如图所示的几何体是由3个大小相同的正方体拼成的，它的正 投影不可能是() A B 【变式1】(24-25九年级上江西九江阶段练习)正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六 棱柱时的正投影是() 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. B. 【变式2】(25-26九年级上·全国·课后作业)下列投影中，是正投影的是」 (填序号). 3 【变式3】(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，正方体上面放着一个圆柱，己知正方体的一个侧面 ABCD平行于投影面P,圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于AB,底面圆的直径为 AB,若AB=4cm· 3 P (I)画出该立体图形在投影面P上的正投影： (2)计算正投影的面积.。 题型04视点、视角和盲区 【典例4白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼.”这里主要是（) A.增大盲区B.减少盲区 C.改变光点 D.增加亮度 【变式1】如图，从点D观测建筑物AC的视角是() 6/11 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 水平地面 A.∠ADC B.∠DAB C.∠DCA D.∠DCE 【变式2】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是() D 口口 C B A A.△ACE B.△ADF C.△ABD D.四边形BCED 【变式3】如图，OM为一盏路灯的灯杆，己知该路灯的灯泡P位于灯杆OM上，地面上竖立着一个矩形单 杠ABCD,己知单杠右侧CD杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条 直线上，且M0⊥OE,AB⊥OE,DC⊥OE. M B (I)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧AB杆在灯泡P的照射下的影子BF; (②)经测量0B=4米，BF=2米，单杠的高度AB=2米，请你计算路灯灯泡距地面的高度OP 强化训练 一、单选题 1.(25-26九年级上·全国课后作业)下列现象属于投影的是() A.掉在地上的一片花瓣 B.午后公园长椅的影子 C.小颖画了一幅日出图 D.踩在雪上留下的鞋印 2.(20-21九年级上陕西渭南·期末)在同一时刻、同一地点，甲、乙两根竿子垂直于地面置于阳光之下， 看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为() 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.无法确定 B.甲竿比乙竿长 C.甲竿比乙竿短 D.甲、乙两竿一样长 3.(24-25九年级上·福建期中)如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路 灯下的影子() A A.始终不变 B.由长逐渐变短 C.由短逐渐变长 D.先变短后变长 4.(24-25九年级下，贵州毕节·阶段练习)在平面直角坐标系中，点光源位于P(4,6)处，木杆AB两端的坐 标分别为0,2)，（4,2)，则木杆AB在x轴上的影长CD是() VA D A.4.5 B.6 C.8 D.9.6 5.(2025·河北唐山·三模)如图，在大树AB的右侧有三个台阶T~T,每个台阶的高、宽分别是0.2m和 0.4m.某一时刻，测得台阶在地面上的影子DE=0.45m,此时树梢顶点A的影子落在台阶T,上（包含两个 端点).已知大树AB的底部到台阶的距离BC=1.9m,则大树AB的高度可能是() 、A DE A.3m B.3.4m C.3.8m D.4.2m 二、填空题 6.(25-26九年级上全国·课后作业)下列现象属于中心投影的是 (填序号) 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①沙漠中一小树的影行 @皮影戏 ③手影 ④日晷 7.(24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习)如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况， 那么她看到的先后顺序是 01-01 东 ② ③ (④ 8.(25-26九年级上·全国·课后作业)如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿 AB=2m,它的影长BC=1.6m,竹竿P9的影子有一部分落在墙上，PM=1.2m,MN=0.8m.竹竿PQ的长 为 m. B 9.(2025·陕西西安模拟预测)如图，一块面积为40cm2的三角形硬纸板（记为ABC)平行于投影面时， 在点光源O的照射下形成的投影是aA'B'C',若OB:BB'=2:3,则aA'B'C'的面积是 cm2. B' 10.(25-26九年级上，全国·课后作业)土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影 长度.古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了 四季.如图，在平台中央竖立一根6尺长的杆子AB,利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一 时刻的太阳光线与杆子的夹角∠CAB和第二时刻的太阳光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第一时刻的影 长BC为1.5尺，则第二时刻的影长DB为 尺 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第一时刻的 女太阳光线 #、 tu gui 第二时刻的 土圭 太阳光线 第二时刻 的影长 第一时刻 的影长 三、解答题 11.(24-25九年级上·广东佛山期末)三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的 影子如图所示（图中的粗线段）. (1)根据竹竿和灯光下的影子，确定光源G的位置： (②)画出影子为AB的竹竿AC(用线段表示)： (3)若将光源G竖直向上移动，则影子AB的长度 (单选题) A.变长B.不变C.变短D.无法确定 12.(24-25九年级下·全国·随堂练习)如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB,CD.小明上午上学时发现 路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处.晚自习放学 时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处. B D A C (1)在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标明太阳光、灯光， (2)若上午上学时候高1m的木棒的影子为2m,小明身高为1.6m,他离里程碑E恰好5m,求路灯高. 13.(24-25九年级上·安微宿州阶段练习)如图，电线杆上有盏路灯O,小明身高1.6m,他从点F出发， 沿直线FM运动，当他运动2m到达点D处时（即DF=2m),测得影长DN=0.6m,再前进2m到达点B 处时（即BD=2m),测得影长BM=1.6m,(图中线段AB,CD,EF表示小明的身高，AB,CD,均与 FM垂直，且在同一平面上)》 (I)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子FG; 10/11