专题10 几何最值问题分类训练（5种类型40道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10几何最值问题分类训练 (5种类型40道) 类型旋转相关最值问题 类型2圆相关最值问题 几何最值问题 类型费马点 类型4胡不归 类型5隐圆相关最值问题 目目 类型01 旋转相关最值问题 1.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°，对角线AC,BD相交于点O,点E是对角线AC上的 一个动点，连结BE,，将BE绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BF,连接0F,则OF的最小值是() A.2 B.3 C.1 2 .方 2.如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB,将线段BM绕点 B逆时针旋转60°得到BN,连结HN,则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是() 1/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M A.6 B.3 C.1 D.0.5 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4,BC=3,AD=1,点E为边AB上的动点.将 线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接FB,FC,EC,则下列结论错误的是() E B A.EC-ED的最大值是25 B.FB的最小值是√O C.EC+ED的最小值是4√2 D.FC的最大值是V3 4.在ABC中，AB=2,∠ABC=90°，∠ACB=30°，点P是AC上一动点（不与C重合），将PC绕点P 逆时针旋转60°得到PD,作直线I1PD,点Q为1上一动点，点M为DQ的中点，则AM+BM的最小值 为() D A.2W6 B.2W7 C.42 D.3V5 5.如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF.将线 段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG,则CG的最小值为() 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G B A.√2 B.3 C.2-1 D.V5-1 6.如图，在正方形ABCD中，AB=2,点E是AB边的中点，点F是AD边的上任意一点，将线段EF绕点 E顺时针旋转90°得到EG,连接BG,则△EBG周长的最小值为() F E G B A.3 B.2+√2 C.1+V5 D.2 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是射线DA上一动点，将BE绕点B顺时针旋转90°得到 线段BF,则CF+DF的最小值是() B A.2V10-4 B.25 C.4W2 D.210-2 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=10,点M是AB边上任意一点.将Rt△ABC绕点 C逆时针旋转90°得△EDC,点M的对应点为M',连接MM',则MM'长度的最小值为() M E 6 A. B.5+5W5 2 c. D.52 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,点M是BC的 中点，点P是AB的中点，连接PM.若BC=2√2，AC=2√6，则线段PM长度的最大值是() 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4√2 B.3√2 C.22 D.25 10.已知ABC是等腰直角三角形，AB=AC,∠BAC=90°，点D为ABC的边BC下方一点，连接AD, BD,CD,若∠BDC=90°，AD=4√2，则△BDC面积的最大值为() B A.8√2 B.6W2 C.8 D.7 目目 类型02 圆相关最值问题 11.如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1，⊙C的圆心坐标为0，-1，原点0,0在⊙C上，E 是⊙C上的一动点，则aABE面积的最小值为() B E A.1 8.2-5 c.1- D.255 2 2 88 12.如图，点P(3,4),⊙P半径为2，A2.8,0),B(5.6,0),点M是0P上的动点，点C是MB的中点，则 AC的最小值为() 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B A.1 B.1.5 C.2.5 D.3.5 13.如图，在△AOB中，∠A0B=90°，0B=3,半径为1的⊙O与OB交于点C,且AB与⊙O相切，过C点 作CD⊥OB交AB于点D,点M是边OA上动点.则△MCD周长最小值为() A D M B A.22 B.6+V2 2 c写 D.5V2 3 14.如图所示，点A是⊙0半圆上的一个三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点， ⊙0的半径为1，则AP+PB的最小值() A月 B.√2 C.3 09 15.如图，AB是⊙0的直径，AD⊥AB于点A,0D交O0于点C,AE⊥0D于点E,交⊙0于点F,F 为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF的最小值是() 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A B A.4 B.2W7 C.6 D.45 16.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点， 则点P沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段BM的最小值为() B A.√2+1 B.2-1 C.10+2 D.0-V2 2 2 17.如图，AB为半圆的直径，C为AB的中点，P为BC上任意一点，连接AP,CP,过点C作CD⊥CP交 AP于点D,连接BD.若AB=2,则BD的最小值为() C B A.V5+1 B.25-2 C.25+2 D.5-1 18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD ,M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为() 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.5 B.3.5 Cc.4.5 D.4 19.如图，AB是O0的直径，AB=4,弦BC=2,P是⊙0上的动点，取AP的中点D,则CD的最大值为 () A.2V2+1 B.√万+1 C.2W7 D.25 20.如图，四边形ABCD内接于O0,∠D=120°，点P,M,N分别是AB,AD,DC的中点，若O0的 半径为2，则PM+MN的最大值是() D ●0 A.25 B.2+√5 C.3.5 D.4 目目 类型03 费马点 21.如图，四边形ABCD是菱形，AB=6,且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM,BM,CM,则 AM+BM+CM的最小值为 7/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M B 22.如图，△ABC中，∠BAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为2√2， 则BC=一 B 23.如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2,若点P是ABC内一点，则PA+PB+PC的 最小值为 B C A 24.如图，己知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA十MD 十ME的最小值为 M B E 25.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D,线段AD上 存在一点Q,当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A P O 26.如图，在ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1,P是ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值为 目目 类型04 胡不归 27.如图，回ABCD中，∠DAB=30°，AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于 p B 28.如图，四边形ABCD是菱形，AB=8,且∠ABC=60°，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，则 AM什.BM的最小值为 A D 29.如图，矩形ABCD中AB=3,BC=√5，E为线段AB上一动点，连接CE,则)AE+CE的最小值为一 D C A B 30.如图，直线y=x-3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C(0,1)在y轴上，点P在x轴上运动，则 √2PC+PB的最小值为一· 9/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C A 31.如图，在平面直角坐标系中，直线1分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为3,0)、(O, -3引，且∠OCB=60,点P是直线1上一动点，连接4P,则4P+5PC的最小值是一 2 ←y A 0 B P C 32.如图，回ABCD中LA=60°，AB=6,AD=2,P为边CD上一点，则V5PD+2PB的最小值为 D p 心 D C B 目目 类型05 隐圆相关最值问题 33.如图，RT△ABC中，AB=2,BC=3,点D为平面上一点，且∠ADB=45°，则线段CD的最小值为 10/12 专题10 几何最值问题分类训练 （5种类型40道） 地 城 类型01 旋转相关最值问题 1．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，此时在中，， 即的最小值是1， 故选：C． 2．如图，边长为12的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点B逆时针旋转得到，连结．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是(   ) A．6 B．3 C．1 D． 【答案】B 【详解】解：如图， 取的中点，连接， ∵线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时，， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是3． 故选：B． 3．如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 4．在中，，，，点P是上一动点（不与C重合），将绕点P逆时针旋转得到，作直线，点Q为l上一动点，点M为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，， 由旋转可知， ，， 为等边三角形，，， ，点M为的中点， ，垂直平分， ，即点M在平分线（O是的中点）上， 作点A关于直线的对称点，则在延长线上， 连接，与的交点为M，的值最小，即为的长． ∵，，， ∴，，， ． 故选：B 5．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 6．如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，分别交于点，连接， ∵在正方形中，，点是边的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∴周长的最小值为， 故选：C． 7．如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，将绕点顺时针旋转得到线段，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于点，如图， ∵将绕点顺时针旋转得到线段 ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， 点在过点的的垂线上， ∵，， ∴， 作关于的对称点，连接，， ， ， 当，，共线时，最小，最小值为线段的长， 的最小值为． 故选：C 8．如图，在中，，点M是边上任意一点．将绕点C逆时针旋转得，点M的对应点为，连接，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， 连接， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴最短时，最短， ∵垂线段最短， ∴时，最短，此时， ∴， ∴， ∴的最小值为：； 故选A． 9．如图所示，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点P是的中点，连接．若，，则线段长度的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵旋转得到，M是的中点，P是的中点， ∴，， ∴， ∴的最大值为（此时P、C、M共线）． 故选：B． 10．已知是等腰直角三角形，，，点为的边下方一点，连接，，，若，，则面积的最大值为（   ） A． B． C．8 D．7 【答案】C 【详解】解：如图，把逆时针旋转得到，连接， 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 点在线段上， 是等腰直角三角形， ，，， ， ，且当取最小值时取得最大值， ，且当时，取最小值为， 的最大值为：， 故选：C． 11．如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ）地 城 类型02 圆相关最值问题 A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可）， ∵A、B两点的坐标分别为、，， ∴ ∵的圆心坐标为，原点在上， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 12．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】B 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：B． 13．如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点，则． 此时的值最小，即的周长最小 设与相切于，连接， 则， ， ， ； ，为的半径， 是的切线， 连接，则 ， ， ， ， 解得：， ， 周长最小值为， 故选：A． 14．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上的一个动点，的半径为1，则的最小值（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作点A关于直径的对称点，连接，交于点P，连接，，，，， ∵点A与关于对称， ∴， ∴，此时有最小值，最小值为的长， ∵点A是半圆上的一个三等分点， 由题意可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 16．如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，则点沿半圆由点运动至点的过程中，线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，取的中点，连接、、， 在等腰直角三角形中，， ，， 点是的中点， ， ， ， 为的中点， ，， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以长为半径作，交、于点、，过点作于，即点在运动， ， ， ，， ，， ， ， 连接交于点，此时线段有最小值， 在中，， ， 故选：D． 17．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，， ∵的直径为，C为半圆弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧， ∵，C为半圆弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 18．在中，，，，是以点为圆心，2为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为（   ） A．5 B．3.5 C．4.5 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵是的中点，是的中点，， ∴为的中位线， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∵为斜边的中线， ∴， 在中，，即， ∴的最大值为3.5． 故选：B． 19．如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故选：B． 20．如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解析：连接，，，， 四边形内接于， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ，， ， ， 点，分别是，的中点， ，同理， ， 当最大时，为最大， 为的弦， 当为的直径时，为最大， 当时，为最大，最大值为． 故选：B． 21．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为 ．地 城 类型03 费马点    【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE． ∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=． 故答案为．    【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助线是解答本题的关键． 22．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ． 【答案】 【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题. 【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM． ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴∠BAP=∠CAP， ∵PA=PA， ∴△BAP≌△CAP（SAS）， ∴PC=PB， ∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°， ∴△GAP是等边三角形， ∴PA=PG， ∴PA+PB+PC=CP+PG+GM， ∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长， ∵AP+BP+CP的最小值为2， ∴CM=2， ∵∠BAM=60°，∠BAC=30°， ∴∠MAC=90°， ∴AM=AC=2， 作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-， ∴BC=． 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题 23．如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 24．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ． 【答案】 【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ=QN， ∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时，如图2，连接MC ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM， ∵BM=CM，AB=AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD=60°， ∴BD=QD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=， ∴x=3+， ∴PD=3+． 故答案为：． 26．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 27．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于 .地 城 类型04 胡不归 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6. 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EDC=∠DAB＝30°， ∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6， ∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6， 故答案为：6. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键. 28．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为 ． 【答案】4 【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°， ∴MH＝BM， ∴AM+BM＝AM+MH， ∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°， ∴AT＝AB•sin60°＝4， ∵AM+MH≥AT， ∴AM+MH≥4， ∴AM+BM≥4， ∴AM+BM的最小值为4， 故答案为：4． 29．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为 ． 【答案】3 【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题． 答案详解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴tan∠CAB， ∴∠CAB＝30°， ∴AC＝2BC＝2， 在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H． ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°， ∴ETAE， ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2， ∴CH＝AC•sin6°＝23， ∵AE+EC＝CE+ET≥CH， ∴AE+EC≥3， ∴AE+EC的最小值为3， 故答案为3． 30．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为 ． 【答案】4 【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论． 答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D， ∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点， 令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3， ∴A（0，﹣3），B（3，0）， ∴AO＝BO＝3， 又∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD， ∴△BDP是等腰直角三角形， ∴PDPB， ∴PC+PB（PCPB）（PC+PD）， 当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长， 此时，△ACD是等腰直角三角形， 又∵点C（0，1）在y轴上， ∴AC＝1+3＝4， ∴CDAC＝2， 即PC+PD的最小值为， ∴PC+PB的最小值为4， 故答案为：4． 31．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， ∴OA=3，OC=3， 作∠OCE=120°， ∵∠OCB=60°， 则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°， 过点P作PG⊥CE于点G，如图： 在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°， ∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC， ∴AP+PC= AP+PG， 当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小， 延长AG交y轴于点F， ∵∠FCG=60°，∠CGF=90°， ∴∠CFG=30°， ∴CF=2CG，GF=CF， 在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°， ∴AF=2OA=6，OF=， ∴CF=OF-OC=， ∴GF=()=， ∴AG=AF-FG=， 即AP+PC的最小值为． 故答案为：． 32．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 33．如图，中，，，点D为平面上一点，且，则线段的最小值为 ．地 城 类型05 隐圆相关最值问题 【答案】 【详解】解：，，作的外接圆，连接， 当，，三点共线时，的值最小（如图）， ， ，即为等腰三角形， ， ，， 在中，， ，过点作交于点， 为等腰三角形， ， ， 在中，， ， 当，，三点共线时，的值最小为． 故答案为：． 34．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 35．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 36．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵点B与关于DE对称， ∴，则点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ①如图所示，当点恰好落在边上时，此时，连接和， 由题意及“三线合一”知，，， ∴在中，， 此时，根据对称的性质，， ∴由等面积法，， ∴， 在中，； ②如图所示，当点恰好落在边上时，连接、、和， 由题意，， ∴，， ∴， 即：， ∴， 即：， ∵点B与关于DE对称， ∴，， ∴， ∴，， 由对称的性质，， ∴， ∴， ∴， 即：此时点为的中点， ∴此时，， 综上，长的范围为， 故答案为：． 37．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为， 在x轴上取OD=OA=6，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， ∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=6，∠BOD=90°， ∴BD=， ∴CD=，且C(2,8), ∴OM=CD，即OM的最大值为， ∵M是AC的中点，则M（4,4）， 故答案为：（4,4）． 38．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可． 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键． 39．如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：与是等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， 在以为直径的圆上， 的外心为，， ， 如图，当时，的值最小， ， ， ，， ． 则的最小值是， 故答案为：． 40．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ACD=∠ABD=30°， ∴∠ADB=60°， ∵AD=2， ∴BD=2AD=4， 分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG， ∵E是AC的中点， ∴EF∥BC，EG∥CD， ∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD， ∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°， ∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图： 当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值， 连接PA， ∵F、G分别是AB、AD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD=2， ∴∠ADB=∠AGF=60°， ∵PA=PG， ∴△APG是等边三角形， ∴∠APG=60°， ∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°， ∴∠GPD=∠GDP=30°， ∴∠APD=90°， ∴PD=， ∴DE长度的最小值为() ． 故答案为：()． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $