专题13 最值问题分类训练（5种类型40道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题13 最值问题分类训练 （5种类型40道） 目录 【题型1一元二次方程相关最值问题】 1 【题型2 二次函数相关最值问题】 5 【题型3 二次函数图像相关最值问题】 10 【题型4 利用二次函数解决几何最值问题】 18 【题型5旋转相关最值问题】 30 【题型1一元二次方程相关最值问题】 1．关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得到，根据得到，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6． 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值6． 故选：C． 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 为整数， 的最大值为4， 故选：A． 3．已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了方程有实数根，一元二次方程的定义及根的判别式，分类讨论是解本题的关键．根据方程有实数根，分为一元一次方程、一元二次方程两种情况讨论，当为一元二次方程时，根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值． 【详解】解：①若，则方程为一元一次方程，有实数根，符合题意，即； ②若，则，解得； 综上所述：整数a的最大值为． 故选：A． 4．当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是确定a、b、c的值，再求出判别式的结果. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 且， ∴整数a的最大值为0． 故选：B． 6．关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据得到的范围；再将所求式子变形，用一元二次方程的根与系数关系把它表示成的代数式；最后根据的范围得到所求代数式的最小值．本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及到二次函数的图象性质，比较综合． 【详解】解：有两个实数根， ∴， 即， 解得； 、是的两个实数根， ，， 则 ， 令， 则开口向上，对称轴为直线， 当时，的值随k的增大而增大， 时，的值最小为． 故选：C． 7．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则整数k的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 且， 整数的最小值为4， 故选：B． 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， ∴整数k的最小值为1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【题型2 二次函数相关最值问题】 9．二次函数的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，理解图象的开口向上是解本题的关键. 对于二次函数 当， 函数图象的开口向上，函数有最小值，当时，最小值为， 据此直接可得答案. 【详解】解：由二次函数可得：， ∴函数图象的开口向上，函数有最小值， 当时，． 故选：D． 10．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出二次函数对称轴，求出当时，函数取得最小值，当时，函数值与时相同，再根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为：直线， 即当时，函数取得最小值，当时，函数值与时相同． ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴ 解得：， 故选：B． 11．函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，当时，该函数的最大值与最小值的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的综合题，主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据抛物线与一元二次方程的关系求出抛物线与x轴两个交点，然后求出抛物线中参数b的值，进而利用端点来求函数的最大和最小值即可． 【详解】解：∵函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，， ∴， 又∵， ∴，则， ∴该函数的对称轴为直线， 又该函数的图象开口向上，在中， ∴当时，该函数有最小值，最小值， 当时，该函数有最大值，最大值， ∴， ∴， 故选：D． 12．若函数当时，该函数的最小值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由得到，然后根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，该函数取最小值，． 故选B． 13．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 14．二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，该函数有最大值， 故选：A． 15．在平面直角坐标系中，若抛物线在时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 把解析式化成顶点式即可求得抛物线的对称轴为直线，分两种情况讨论：当时，，y有最大值为，求得，当时，，y有最大值为，求得． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线在时的最大值为3， 当时，开口向上， ∴在时，，y有最大值为， ∴， ∴， 当时，开口向下， ∴在时，，y有最大值为， ∴， ∴， 综上所述或． 故选：B． 16．已知抛物线，当时，的最大值与最小值之和为，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线的对称轴为直线，再分、和三种情况，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，当和时，， ∴当时，的最大值为，最小值为， ∵的最大值与最小值之和为， ∴， 解得或，此种情况不合题意； 当时，的最大值为，最小值为，此时最大值与最小值的和为，不合题意； 当时，的最大值为，最小值为， ∵的最大值与最小值之和为， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴的值为， 故选：． 【题型3 二次函数图像相关最值问题】 17．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减性结合二次函数的最值，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、， ∴，解得：， ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为：，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，，当时，， ∵当时的最大值与最小值的差为6，， ∴，且， 解得：或（舍去）； 故选：A． 18．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和， ∴抛物线为． 当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值， 即此时抛物线经过点． 将点代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为． 当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为． 令，即， 解得：，． ∴点的横坐标最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键． 19．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再设点，则，且．列出，根据二次函数最值求法得到m值，代入点求出坐标即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为． 设点，则，且． ∴， 当时，有最大值，最大值为8， ∴． 故选：D． 20．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键； 先用，表示出二次函数图像的顶点坐标，再结合该顶点在线段上即可解决问题； 【详解】解：∵二次函数解析式为（，是常数）， 顶点坐标为， 又，， 直线的函数解析式为， 二次函数图像的顶点在线段上， ，且， 则， 当时，有最大值为； 故选：B 21．如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的解析式，即可得到点E，F的坐标，作点F关于y轴的对称点H，连接，，，此时的最小，最小值为，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】解：把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为， 把代入得到，解得， ∴直线解析式为， ∴解方程组得，（舍去）， 点E的坐标为， 作点F关于y轴的对称点H，连接，， 则，点H的坐标为， ∵， ∴当H，Q，E三点共线时取得最小值为， 这时， 故选：D． 22．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故选：C． 23．已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（   ） A．2 B．12 C．15 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数和二次函数图像的交点问题，一元二次方程的判别式等知识，结合图象求出的最值是解决该题的关键． 根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点，可得出的最大值是15；当直线与抛物线只有一个交点时，，最小值是2，即可求解． 【详解】解：当直线经过时，， 解得； 当直线与抛物线只有一个交点时， ， 即， ∴ ∴或（舍去）， 的最大值是15，最小值是2，， ∴的最大值与最小值的和为17． 故选：D． 24．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，则b的最小值为（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，解题的关键是先求出直线的解析式为：，求出顶点坐标为，根据二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，得出，根据二次函数的最值求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上， ∴， 即， ∴当时，b取最小值． 故选：C． 【题型4 利用二次函数解决几何最值问题】 25．如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，，根据正方形的性质和勾股定理列出关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可． 【详解】解：作交延长线于，则四边形为矩形， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∴． 设，，则， 在中，由勾股定理得：， 即． ∵， ∴当，即时，， ∴．即的最小值为5； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键． 26．如图，平面直角坐标系中，，，点P为线段上一个动点，连接，以为边在第一象限构造正方形，连接，当有最小值时，点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质等相关知识，求出当时的值最小是解题关键． 过点M作轴于点N，过点Q作轴于点E，可证明，，所以，，设，则， ，在中，由勾股定理可得，，则当时，的值最小，由此可求出的长为3，进而可得出点Q的坐标． 【详解】解：如图，过点M作轴于点N，过点Q作轴于点E， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， ， 在中，由勾股定理可得，， ∴当时，的最小值为2，即的最小值为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 27．如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设，则：，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，推出，作点关于的对称点，连接，得到的周长，得到的周长的最小值为，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设，则：， ∵均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小为，此时点与点重合，如图：设与交于点，作于点，作于点， 则：， ∴，， ∴为定值， ∴当的长最小时，的周长的值最小， ∵， ∴当时，最小为，此时最小为， ∴的周长的最小值为：； 故选：A． 28．如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（    ）． A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，求出面积的解析式成为解题的关键． 如图：连接，过P作交于G，过Q作于K，先证明可得，再证，进而得到，设，则，进而得到，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】解：如图：连接，过P作交于G，过Q作于K， ∵四边形为正方形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，即时，面积有最大值． 故选C． 29．如图，和都是等腰直角三角形，，，，点A，C，E共线，点F和点G分别是和的中点，，连接，下列结论错误的是（    ）    A．的最小值是2 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】延长交于点H，连接．易得是等腰直角三角形，四边形是矩形，得点F是对角线与的交点．由是直角斜边上的中线得，从而，当C与G重合时，取得最小值2，故选项A正确；设，则，，，则，由二次函数的性质即可求得其最大值为1，从而判断选项B正确；由得其最小值为2，从而判断选项C错误；以的垂直平分线作点E的对称点P，连接，则，，当A，F，P三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，在中由勾股定理即可求得最小值为，故选项D正确；最后可确定答案． 【详解】解：如图，延长交于点H，连接． ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． ∵点F是的中点， ∴点F是对角线与的交点． ∵是等腰直角三角形，点G是的中点， ∴，． ∵点F是的中点，， ∴． ∴． 当时，即点C与点G重合时，CH有最小值，故的最小值为，故选项A正确． 设，则，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴当时，有最大值为1． 故选项B正确． ∵． ∵， ∴有最小值为2，选项C错误． 如图，以的垂直平分线作点E的对称点P，连接，则， ． 当A，F，P三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 而， 即的最小值为，故选项D正确． 综上，故选C．    【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点间线段最短，对称的性质，二次函数求最值等知识，综合性较强，构造的辅助线较多． 30．如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】连接CN．首先证明∠MCN＝90°，设AC＝a，则BC＝4﹣a，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：连接CN， ∵△ACD和△BCE为等边三角形， ∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝∠B＝60°， ∴∠DCE＝60°， ∵N是BE的中点， ∴CN⊥BE，∠ECN＝30°， ∴∠DCN＝90°， 设AC＝a， ∵AB＝4， ∴CM＝a，CN＝（4﹣a）， ∴MN＝＝＝， ∴当a＝3时，MN的值最小为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题． 31．如图，在边长为2的正方形中，是边上的一个动点，过点与平行的直线交于点．连接，是的中点，连接．则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形性质，坐标与图形，求二次函数最值，先以点B为坐标原点，所在直线为x轴建立坐标系，求出直线表达式，设，则，表示出并求出最小值进而解决问题． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴建立坐标系， 正方形中，边长为2， 设直线表达式为， 把代入，得， 解得：， 直线表达式为， 设，则， 为中点， ， ， 最小值为， 最小值为， 故选：D． 32．如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，过作于点交于点，过作于点交于点，根据正方形的性质可证明，，得，，再由勾股定理得即可求解；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点交于点，过作于点交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴, ， ， 当，有最小值，即当变化时，正方形面积的最小值为， 故选：． 【题型5旋转相关最值问题】 33．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键，设，分两种情况：当时，作于，于；当时，作于，于；分别利用矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】解：设， 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值， ∴此时的最小值为； 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值1， 故此时的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故选：B． 34．在中，，，，点P是上一动点（不与C重合），将绕点P逆时针旋转得到，作直线，点Q为l上一动点，点M为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，证明为等边三角形，，，证明，垂直平分，可得点M在平分线（O是的中点）上，作点A关于直线的对称点，则在延长线上，连接，与的交点为M，的值最小，即为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：连接，， 由旋转可知， ，， 为等边三角形，，， ，点M为的中点， ，垂直平分， ，即点M在平分线（O是的中点）上， 作点A关于直线的对称点，则在延长线上， 连接，与的交点为M，的值最小，即为的长． ∵，，， ∴，，， ． 故选：B 【点睛】本题考查的轴对称的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 35．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（   ） A．12 B． C．14 D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为4的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交、于、，过点作垂足为， ∵矩形，点M是边的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为4的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：D． 36．如图，是等腰直角三角形的边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义以及和性质等知识．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 37．如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】过点作，根据正方形的性质，结合斜边上的中线，推出，进而推出，得到，得到为等腰直角三角形，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，进行求解即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵正方形， ∴，，，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当，即点与点重合时，最小为1， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 38．如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 39．如图，，；射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，根据题意得出是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可得当最大时，的值最大，观察图形可得当旋转角时，三点共线时，取得最大值为，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点为， ，， 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 当最大时，的值最大， 当旋转角时，此时最大且， 面积的最大值是 故选：D． 40．如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，如图，将绕点顺时针旋转至，连接、，根据旋转的性质得是等边三角形，得，根据等边三角形的性质得，，证明，得，继而得到，当点在上时取“”，此时取得最大值，即可得出结论．确定是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转至，连接、， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 当点在上时取“”，此时取得最大值， ∴的最大值为． 故选：C． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题13 最值问题分类训练 （5种类型40道） 目录 【题型1一元二次方程相关最值问题】 1 【题型2 二次函数相关最值问题】 1 【题型3 二次函数图像相关最值问题】 2 【题型4 利用二次函数解决几何最值问题】 5 【题型5旋转相关最值问题】 7 【题型1一元二次方程相关最值问题】 1．关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数k的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 4．当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 7．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则整数k的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（    ） A． B． C．0 D．1 【题型2 二次函数相关最值问题】 9．二次函数的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 10．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，当时，该函数的最大值与最小值的关系式是（   ） A． B． C． D． 12．若函数当时，该函数的最小值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 13．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 14．二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 15．在平面直角坐标系中，若抛物线在时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 16．已知抛物线，当时，的最大值与最小值之和为，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【题型3 二次函数图像相关最值问题】 17．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 18．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 19．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 21．如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 22．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 23．已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（   ） A．2 B．12 C．15 D．17 24．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，则b的最小值为（　　） A．0 B． C． D．2 【题型4 利用二次函数解决几何最值问题】 25．如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 26．如图，平面直角坐标系中，，，点P为线段上一个动点，连接，以为边在第一象限构造正方形，连接，当有最小值时，点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．如图，线段，点C是线段上的一个动点，分别以为斜边向上作等腰直角三角形，等腰直角三角形，点F在线段上，连接．则周长的最小值为（    ） A． B．10 C． D． 28．如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（    ）． A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 29．如图，和都是等腰直角三角形，，，，点A，C，E共线，点F和点G分别是和的中点，，连接，下列结论错误的是（    ）    A．的最小值是2 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为 30．如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 31．如图，在边长为2的正方形中，是边上的一个动点，过点与平行的直线交于点．连接，是的中点，连接．则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 32．如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型5旋转相关最值问题】 33．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 34．在中，，，，点P是上一动点（不与C重合），将绕点P逆时针旋转得到，作直线，点Q为l上一动点，点M为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 35．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（   ） A．12 B． C．14 D． 36．如图，是等腰直角三角形的边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 37．如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 38．如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 39．如图，，；射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 40．如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $