专题06 整式的乘法压轴题（8种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06整式的乘法压轴题 (8种类型48道) 类型整式乘法相关代数操作题 类型2多项式乘多项式与图形面积 类型坚完全平方公式变形应用 类型4整式的乘法相关规律性问题 数轴动点问题 类型5整式的乘法相关定义新运算 类型6幂运算相关公式逆用 类型7“不含”问题 类型8乘法公式与图形面积 目目 类型01 整式乘法相关代数操作题 1.已知整式 =ar-a,+t-a+a,其中，4，，4,0都是正整数、且满足 4+a+a,+a+a=10和，-a+-a4+a=6, ,下列说法： ①由题可知”的最大值为8： 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若a,-a+a=6 ,则满足条件的整式A共有5个： ③存在a,4,a,a,a4使得A可以写成r+pr+q的形式，其中p,g均为有理数. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下： M 第一次操作：把多顶式“+2b与a+b的平方差的结果记为M, 2 第二次操作：把多项式a+30与“+2b的平方差的结果记为 第三次操作：M3=M1+M2, M 第四次操作：把多项式a+4b与+3动的平方差的结果记为 ···以此类推， 每到了3的倍数时就把前两次的结果求和（其中a,b为整数）·下列说法： M3n (1)若“为偶数，则”为正整数时“3”都是的倍数： (2)当0=1，b=1时，M+M++M,=120 时， 从是一个奇数，则从必然也是一个奇数 (3)若 (4若P为奇数，且0>3，从M开始的连续”个数的和记为尸，则，P,P:三个数中只有一个奇 M, 数；其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.有n个依次排列的算式：第1项是“，第2项是0+2a+1,用第2项减去第1项，所得之差记为9， 将9加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为么，将第3项与相加作为第4项，， h. b 以此类推.某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： @4*2a+9 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若第6项与第5项之差为4057，则a=2025: ③当”=水时， b+b2+b+b+…+b=2ak+k2: 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知第一个有序单项式串：1，x,y,将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个 相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x,x,y,y,对得到的新单项式串重复这样的操作… …以此类推，关于操作后的单项式串.给出下列说法：①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为 5;②若x,y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x,y一共有7种；③若y=1, 第2025个单项式串中，有4049个x和4046个.其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 5.设a、b为实数，关于x的多项式x+a3x+b 展开后的一次项系数为m,多项式3x+@(x+D展开后 的一次项系数为n,且m、n均为正整数.下列结论： ①当a=b时，则m=n; ②m+切与m-川 的平方差的值能被3整除： ③若m+n=8,则ab的最大值为1； ④若m+n=8’则方的最小值为-5 其中正确的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 6.下列说法正确的是() ④若0++c-2a+h+0+3=0,则a=b=c=l ②0+h+c2=-2ab+c+ad),则a+b+c=0, 国若++y=14,y2+y+x=28 ，则+y=6 @实数，，清足++=4，则②x-+2y-+2z- 的最大值是20 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①② B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 目目 类型02 多项式乘多项式与图形面积 7.如图，将两张边长分别为“和 laxb 的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中 两张正方形纸片均有部分重叠)，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD 的长度分别为”、”.设图中阴影部分面积为，图？中阴影部分面积为5.当m-=4时，8-S的 值为() B B 图1 图2 A.2a B.2a-2b C.4b D.2b 8.如图，某市有一块长为18米，宽为10米的长方形广场，现因施工改造，将广场的长和宽各增加x米， 则广场面积增加了() 18 10 A.(+28x-180)平方米 B.(r+2平方米 C.(x+28x+180平方米 D.(x+28x平方米 ABCD b(a>b) 9.在长方形 内，将两张边长分别为a和 的正方形纸片按图①，②两种方式放置（图①，②中 两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.若AD-AB=42, 图O中阴影部分的面积表示为S,图②中阴影部分的面积表示为》，以下用合a,6的代数式表示5-S 的值正确的是() 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ② A.42b B.36b C.42a D.36a 10.如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长为m宽为n的长方形卡片组 成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用大长方形的面积你能得到下列哪个乘法公式 () m n A.(m+n)'=m2+2mn+n2 B.（m+m(m+2m=m2+3m+2n c.(m+(m-n)=m2-n D.(m+n)(2m+m)=2m2+3mn+n 30 cm 20 cm a cm 11.如图，有一块长 、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四 周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为() 600-4a2 600-100a+a2 A. 8. 600-100a+2a2 D.600-100a+4a2 12.将11个长为a,宽为b的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形ABFE中（如图2）， 当4B的长度变化时，若空余部分的面积S与8的差不改变，则4，b之间的数量关系为（) 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B S D St 图1 图2 A.5b=2a B.4b=a C.3b=a D.5b=3a 目目 类型03 完全平方公式变形应用 13.已知0+b=10ab=20 2+b2 ,则 的值为一· 14.若+y=10.y=.c+2X2x+ ,则 的值是一。 15.已知x-八=20,6c+y=400 则心的值为一· 16.若m=3m3 m2-6mn+9n2 ,则 的值是一 17.已知实数a,6满足(a+b=山，(a-=9,则d+i的值为一 18.观察下列各式的规律： (a-b)(a+b)=a2-b2 (a-b)a2+ab+b2）=a3-b3 a-b)a+ab+ab2+b=a-b* 可得a-a5+ab++ab4+b2m) 目目 类型04 整式的乘法相关规律性问题 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如果将a+b)”(m为非负 整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式 (a+b)°-1 它只有一项，系数为1； (a+b'=a+b,它有两项，系数分别为1,1： (a+b2=a2+2ab+,它有三项，系数分别为1,2,1： (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b ,它有四项，系数分别为1,3,3,1；······ 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： 510105 615201561 (1)根据上面的规律，直接写出a+b)的展开式： 5-5×54×7+10×53×72-10×52×73+5×5×74-73= (2)计算 20.我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这 个“三角形”给出了（口+(n=123,4,的展开式的系数规律（按4的次数由大到小的顺序）.请依据 上述规律，写出x-2展开式中含项的系数是一 (a+b)'=a+b 1 121 (a+b)2=a2+2ab+b 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 14641 (a+b)4=a+4ab+6a2b2+4ab3+b4 … … 21.观察下列各式： 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-1(x+1)=x2-1 (x-1x2+x+1=x3-1 (x-1)x3+x2+x+1=x4-1 … 根据规律计算：2024-2023+202-221+…+24-23+22-2的值是一. 22.观察下列各式. 32-4=12+4 第一个等式： 42-8=22+4 第二个等式： 52-12=32+4 第三个等式： 第四个等式：62-16=42+4； … 根据以上规律，解决下列问题. (1)第五个等式： (2)猜想第n个等式： (用含n的代数式表示)，并证明. 23.1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为 “杨辉三角”·观察“杨辉三角”与下侧的等式图，根据图中各式的规律可得+'展开的多项式中各项 系数之和为一· 1 11…(a+b)}=a+b 121…(a+b)2=a2+2ab+b2 1331…(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 14641…(a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b 24.对a、6定义一种新运算：a*b=a+ab-力.如：m-2到=(-m'+-m×-2-(-2=m2+2m+2 计算：（-mm*[mn*-nj] 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型05 整式的乘法相关定义新运算 a b =ad-bc 25.新定义对于任意的代数式a,b,c,d,我们规定一种新运算：cd ，根据这一规定，计算 x+5x-2 x-3x+5 26.对多项式A,B,定义新运算“⊕”：A田B=2A+B;对正整数k和多项式A,定义新运算“⑧”： k⑧A=A田A⊕A田…田⊥ 天个A (按从左到右的顺序依次做“⊕”运算)·已知正整数m,n为常数，记 M=m⑧(x+31y),N=n®(>-14y,若M©N不含y项，则mn=一 2】。我们痴道，同底数幂的乘法法测为=。”（其中00，心、”为正黎数），类似地我门度定关 于任意正整数m、”的一种新运算：八m+=m·/八网，若(2=5，则 f(4=f(2+2)=f（2)·f(2)=5×5=25 ,请根据这种新运算解决以下问题： （1)若0=3，则2= 2)若2=16，则f0= a m /m 28.若定义 表示 表示 则运算 的结果为 2 xz)b d -4acb /n 2 29.若y为任意实数，定义运算：x*y=(x+(y+- ,得到下列五个结论： @y=y*x,②y+列=x*y+x*:③x+x-=(x*-1:④*0=0：国 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+1*(x+1=x*x+2*x+1 ,其中正确的结论序号是一· 目目 类型06 幂运算相关公式逆用 30.(1)已知°=5x=7 x2mtn ,求的值 (2)若a=5,a"=30 ,求+a 的值. (3)若=3，=4￥=5 、2ra+b+c ，求1 的值. 31.(1)若10=a.10=6 用含b。 03m+2n 的代数式表示 (2)若=7，y=8 用含'的代数式表示56 32.解答下列各题： (倒考2x3=36* ,求x的值 2尼知r=2=3,求产的值。 33.若a=ga>0月a≠m, 且 是正整数)，则m=”.利用上面的结论解决下面的问题： 如果2×2×2=2，求x的值： 3a+2.6a+2=1820-4 (2)如果 求的值 34.已知：2”3,2=52=75 (1)求224-226的值： (2)求2-b+2的值： (3)试说明：a+2b=c. 35.根据己知求值： 2x+5y-5=0n4.32" (1)若 ,求 的值： 10/16 专题06 整式的乘法压轴题 （8种类型48道） 地 城 类型01 整式乘法相关代数操作题 1．已知整式，其中，，，，都是正整数、且满足和，下列说法： ①由题可知的最大值为8； ②若，则满足条件的整式A共有5个； ③存在，，，，使得A可以写成的形式，其中p，q均为有理数． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：两式相减得，即， 又∵，，，，都是正整数， ∴， 代入第一个等式得， 又∵，都是正整数， ∴，故①错误， ∵， ∴，即， 解得，，，，，， ∴，共有6对不同的正整数解，故②错误； 当时，，即， 当时，，即， ∴p，q不能同时为有理数，故③错误； 故选：A． 2．学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第二次操作：把多项式与的平方差的结果记为， 第三次操作：， 第四次操作：把多项式与的平方差的结果记为， ．．．以此类推， 每到了的倍数时就把前两次的结果求和（其中，为整数）．下列说法： （1）若为偶数，则为正整数时都是的倍数； （2）当，时，； （3）若是一个奇数，则必然也是一个奇数； （4）若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，则，，三个数中只有一个奇数；其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， ， ， ∵， ∴ ， ∴，，， ，，， ， ∴，，， 若为偶数，是的倍数， 则为正整数时，都是的倍数， ∴①正确； 当，时，， ∴正确； ∵， ∴ ， ∴当操作次数为的倍数时，其结果是偶数， ∵是的倍数， ∴必然是一个偶数， ∵，是一个奇数， ∴必然也是一个奇数， ∴正确； 若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为， 由上可知必为偶数，，必为奇数， 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数； 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为奇数， 则，，三个数中有两个奇数； 当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数； ∴错误； 以上说法中正确的个， 故选：C． 3．有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论： ①        ②若第6项与第5项之差为4057，则； ③当时， 其中正确的个数是（      ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，第1项为：， 第2项为：， ∴， ∴， ∴第3项为：，， 第4项为：， …， 以此类推， 第n项为：，（n为正整数）． 当时，．故①正确． 第6项与第5项之差可表示为：， ∴， 解得．故②错误． 当时， ．故③正确． 故选：C． 4．已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，，y，对得到的新单项式串重复这样的操作……以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法：①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5；②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种；③若y=1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律类，单项的次数，单项式乘单项式等知识，掌握数字规律是解题的关键． 由规律得出每个单项式串次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，可判断①，由第二个单项式串的和等于5，得，，为整数时，，那么满足条件的x，y一共有8种；可判断②，写出前几个单项式串，总结出规律可判断③．即可得解． 【详解】解：①第1个单项式串：1，x，y，(最高次数为1)， 第2个单项式串：1，x，x，，y，(最高次数为2)， 第3个单项式串1，x，x，，x，，，，y， (最高次数为3)， 第4次个单项式串：1，x，x，，x，，，，x，，，，，，，，y， (最高次数为5)； 由上可知，每次操作后次数最高的单项式的次数是前两次操作的最高次数之和，第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为：5，故①符合题意， ②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，则，，，为整数时，，那么满足条件的x，y一共有8种；故②不符合题意， 第1个单项式串：1，x，1，(1个x和0个)， 第2个单项式串：1，x，x，x，1，(3个x和0个)， 第3个单项式串1，x，x，，x，，x，x，1， (5个x和2个)， 第4个单项式串：1，x，x，，x，，，，x，，，，x，，x，x，1，（7个x和4个）； 由上可知，第n个单项式串：个x和个， 第2025个单项式串中，有个x和个． 故③符合题意， 综上．符合颗意的有①③．共2个， 故答案为：C． 5．设a、b为实数，关于x的多项式展开后的一次项系数为m，多项式展开后的一次项系数为n，且m、n均为正整数．下列结论： ①当时，则； ②与的平方差的值能被3整除； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最小值为． 其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 【详解】解：，， ，且m、n均为正整数． 当时，，则，故①正确； ， ，即， 与的平方差的值能被2，4，8整除，不一定能被3整除，故②错误； ，即， ，即， ， ， ，即的最大值为1，故③正确； ，即， m、n均为正整数． 可取的值为， 当时，，则， 的最小值为，故④正确； 正确的有3个， 故选：C． 6．下列说法正确的是（    ） ①若，则 ②，则； ③若，则； ④实数x，y，z满足，则的最大值是20 A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先利用配方法将等式变形为，再根据偶次方的非负性即可判断①；利用整式的乘法法则求出，由此即可判断②；先将两个已知等式相加可得，令，则，解一元二次方程求出的值，由此即可判断③；先求出，从而可得，再利用完全平方公式求出的值，然后利用偶次方的非负性求出最大值即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ，说法①正确； ， ， ，说法②正确； ， ， ， 令，则， 解得或， 即或，说法③错误； ， ， ， ， 则的最大值是28，说法④错误； 综上，说法正确的是①②， 故选：A． 7．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置长方形内（图，图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为、．设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为．当时，的值为（   ）地 城 类型02 多项式乘多项式与图形面积 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出和，再计算，结合化简求值．本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ， 故选：C． 8．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，现因施工改造，将广场的长和宽各增加米，则广场面积增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式与图形面积，解题关键是熟练掌握整式的乘法的应用． 由题意得出改造后广场的长、宽后即可算出增加的面积． 【详解】解：依题意得，改造后广场的长是米，宽是米， 广场面积增加了平方米． 故选：． 9．在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算． 设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故选：A． 10．如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长为m宽为n的长方形卡片组成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用大长方形的面积你能得到下列哪个乘法公式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式与多项式乘积与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键． 用两种方法表示出大长方形的面积即可求解． 【详解】大长方形的面积可以表示为： 大长方形的面积还可以表示为： ∴． 故选：B． 11．如图，有一块长、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形，将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，该盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，找准数量关系，正确列出代数式是解题的关键． 根据题意可知裁剪后的底面长为，宽为，根据长方形面积计算公式得出相应代数式，利用多项式乘多项式计算法则计算即可解答． 【详解】、宽的长方形纸板，在其四角各剪去一个边长为的小正方形， 长方体盒子的长为，宽为，根据题意得： 盒子的底面积为， ， 故选：D． 12．将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． 用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可． 【详解】解：∵ ， 整理，得：， ∵若长度不变，（即）的长度变化，而的值总保持不变， ∴ ， 解得：． 故选：B． 13．已知，，则的值为 ．地 城 类型03 完全平方公式变形应用 【答案】60 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式进行变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：60． 14．若，则的值是 ． 【答案】201 【分析】本题考查多项式乘多项式，整式化简求值，完全平方变形等．根据题意先将式子做乘法展开，后合并同类项，化简后代入代数式的值即可得到本题答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：201． 15．已知，则的值为 ． 【答案】95 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 由求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 16．若，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式，由可得，将式子利用完全平方公式进行适当的变形整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：9． 17．已知实数a，b满足，，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键． 根据完全平方公式展开，两式相加即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ， 两式相加得：， ， 故答案为：10． 18．观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式乘法的运算规律，先根据算式结果的特点归纳出此种算式的规律，再运用该规律进行求解．解题的关键是能准确归纳出该运算规律． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， ∴． 故答案为：． 19．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式地 城 类型04 整式的乘法相关规律性问题 ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；．．．．．． 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）根据上面的规律，直接写出的展开式： （2）计算 【答案】 【详解】解：由表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1； 即 故答案为：； （2）由表可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1； 即， ∴ 故答案为：． 20．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．    【答案】 【分析】本题考查整式乘法运算的规律探究，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律．根据题意得到规律并利用规律求解即可得到答案． 【详解】解：依题意，根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第四项， ∴展开式中含项的系数是：， 故答案为： 21．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类、多项式乘多项式、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意找到规律，然后代入，进而得出答案． 【详解】解：由题中规律可得，当时， ， 即， 即， 即， 即． 故答案为：． 22．观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题考查整数的运算，数字类规律探究． （1）根据题干给定的等式，作答即可； （2）根据给定的等式，得到规律，利用整数的运算法则进行计算，证明即可． 【详解】（1）解：由题意，第五个等式为：； 故答案为：； （2）由题意，第个等式为：； 证明：∵左边， 右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 故答案为：． 23．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与下侧的等式图，根据图中各式的规律可得展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数的和． 【详解】解：展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， 展开的多项式中各项系数之和为， ∴展开的多项式中各项系数之和为， 故答案为：32． 24．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 25．新定义  对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算 ．地 城 类型05 整式的乘法相关定义新运算 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键． 根据定义利用完全平方公式及多项式乘以多项式计算求解即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 26．对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 27．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）若，则 ； （2）若，则 ； 【答案】 9 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂的乘法． （1）利用新运算的规定进行运算即可； （2）利用新运算的规定进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）， ， ； 故答案为：9；． 28．若定义表示，表示，则运算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可． 【详解】解：根据新定义，可得． 故答案为：． 29．若x，y为任意实数，定义运算：，得到下列五个结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论序号是 ． 【答案】①③/③① 【详解】解：∵， ， ∴，故①正确； ∵， ， ∴，故②错误； ∵． ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； ∵， ． ∴，故⑤错误． 综上，正确的结论序号是①③． 故答案为：①③． 30．（1）已知，，求的值．地 城 类型06 幂运算相关公式逆用 （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 31．（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1），，利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知，构造即可求出结果． 【详解】解：（1），， ． （2）， ， ， ， ． 32．解答下列各题： (1)若，求x的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ． 33．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为， 所以， 即， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以， 解得：． 34．已知：，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)试说明：． 【答案】(1) (2)60 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）根据可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 35．根据已知求值： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)32 (2)11或－5 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘，代数式求值， （1），先逆用幂的乘方，再根据同底数幂相乘法则计算，然后整体代入求值； （2），先逆用幂的乘方求出a，b，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：由， 得， ∴或． 由， 得， 则或． 36．已知：，， (1)求代数式的值； (2)试求a、b、c所满足的数量关系式． 【答案】(1)675 (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则，整体代数法求值即可； （2）根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 37．若的积中不含和项．地 城 类型07 “不含”问题 (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． 由积中不含和项，得， 解得． 则原式． （2）， ， ∴原式 ． 38．已知多项式与的乘积的展开式中不含项和项（m，为常数）． (1)求m，n的值； (2)在（1）的基础上计算． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将多项式相乘并展开： ∵展开式中不含项和x项，故这两项的系数为0． 对于项：解得 对于x项：将代入得解得． ∴． （2）解：将代入式子： 39．已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 40．关于的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值、积的乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则是关键； （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的和的值，即可解答． 【详解】（1）解： ∵不含的项和常数项 ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，，， ∴原式． 41．关于的整式化简后不含的项和常数项． (1)分别求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，掌握多项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则进行，然后再合并同类项，然后再根据化简后不含的项和常数项，得出项的系数为0，常数项为0，即可求出、的值； （2）把（1）求出的，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含的项和常数项， ∴， 解得：，； （2）解：把，代入，得： ． 42．已知的展开式中不含项和项． (1)求m，n的值； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式乘除及化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先将多项式展开，根据不含项和项，得出对应系数为0，列方程求解m，n的值； （2）先分别化简两个代数式，再合并同类项，最后代入m，n的值． 【详解】（1） 展开式中不含项和项， ，， ，， （2）原式 ，， 原式． 43．【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．地 城 类型08 乘法公式与图形面积 (1)由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________； (2)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． (3)计算：的个位数字． 【答案】(1) (2)①4；②1 (3)6 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正整数幂的尾数特征，准确识图，熟练掌握平方差公式的结构特征，正整数幂的尾数特征是解决问题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，再由图①，图②中阴影部分的面积相等即可得出答案； （2）①根据得，由（1）中的乘法公式得，将代入计算可得的值； ②变形得，再利用平方差公式求解即可； （3）先计算，再根据，，，，，，…，得到的个位数字为6，然后根据得的个位数字为6，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵图①中大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴图①中阴影部分的面积为：， ∵图②中阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图②中阴影部分的面积为：， 由拼图可知：图①中阴影部分的面积图②中阴影部分的面积， ∴得到的一个乘法公式是：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， 即， 由（1）中的乘法公式得：， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ； （3）解： ， ∵，，，，，，…， ∴的个位数字为6， 又∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为6． 44．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是__________（请选择正确的一个） A．  B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知．求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)B (2)①；②127 【分析】此题考查了平方差公式的应用． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）①根据平方差公式即可得到得到答案；②利用平方差公式得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：因为图1中阴影部分的面积等于，图2是长为，宽为得长方形， ∵图2是由图1中的阴影部分拼成的， ∴， 故选：B； （2）解：①由（1）得， ∵ ∴， ∵， ∴. ② ∵， ∴． 45．阅读下列文字： 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：______________； (2)小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值； (3)已知：，求的值． 【答案】(1) (2)14 (3)-4 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用． （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以多项式，进而求得的值，计算，即可求解； （3）设，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1） （2） ； ． （3）令， ， ， ， ， ． 46．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则　　　　； ②用4个长和宽分别为的长方形拼成如图2的正方形，则　　　　； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 （1）若满足，则的值为　　　　； （2）如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】①，②；（1）；（2） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． ①根据等面积法即可得到答案. ②根据等面积法即可得到答案. （1）运用题干所给的方法进行计算即可. （2）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：①由图1的面积可得：. ②由图2正方形的面积可得：. （1）设，， 则， ， . （2）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为1056． 47．阅读下列材料，完成后面的任务． 我们知道，完全平方公式有：；．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形： ①；②．根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题． 例如：若，求的值． 解：． 任务： (1)若，则______； (2)若，求的值； (3)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形．设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)12 (2)53 (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式的变式，即可求解； （2）利用完全平方公式的变式，即可求解； （3）利用完全平方公式的变式及正方形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：12． （2）解：， ． ， ， ． （3）解：设，则． 根据题意可知， ， ， 阴影部分的面积为． 48．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ___________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则___________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）∵，， ； （3）∵， ∴ （4）设正方形的边长为正方形的边长为由题意可得， ， 即，， ， ， ，， ， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $