专题10 分式方程压轴应用题（5种类型40道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

专题10 分式方程压轴应用题 （5种类型40道） 地 城 类型01 行程问题 1．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了两次球，浪费了13秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为85秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.4倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 2．今年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄开跑，这标志着我国人形机器人产业正在飞速发展．机器人甲参加了这次比赛，它先采用“跑步模式”以的速度跑完一段路程后，再采用“步行模式”匀速步行到达目的地（半程马拉松约为，本题按计算），共用时．此期间，已知机器人甲“跑步模式”的速度比“步行模式”的速度多． (1)求机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是多少？ (2)机器人乙也参加了本次比赛，当它速度为时，电池的续航时间为1h，每当速度提高，电池的续航时间将减少．实际比赛时，机器人乙满电量出发，当电量耗尽时就更换同规格满电量电池（更换电池时间忽略不计），并一直以的速度跑完比赛（）．已知机器人乙中途更换了3次电池，到达终点时，电量显示以这个速度还可以跑，求a的值． 3．近日，气温骤降，阿坝结斯沟雪山迎来了第一场雪，两队登山爱好者计划同一天出发，沿不同的路线自行前往山顶的营地汇合。甲队走A路线，全程1200千米，乙队走B路线，全程1600千米，由于A路线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队的，这样甲队比乙队晚2天到达营地． (1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ (2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求m的值． 4．福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔米，总面积达平方千米，有今古名山之称，蓬莱左股之誉，是第四批国家级风景名胜区．小庄在五一长假来福州旅游，在登鼓山之前，通过查找资料做了以下的旅游攻略： 材料1：鼓山拥有丰富的登山路线，以下是几条经典的路线： 路线1——古道登山路线：该路线从廨院出发，途经喝水岩、十八景等点，最终到达涌泉寺（山顶），全程石板路，路程约4千米． 路线2——松之恋线：起点为廨院（松之恋登山道入口与廨院相近），终点为涌泉寺，全程约千米．该路线坡度较缓，适合休闲出行． 路线3——骑行线：起点为山脚下院（与廨院起点相近），沿盘山公路骑行，终点为涌泉寺，全程约千米．该路线为公路，适合快速上下山． 材料2：对于陡峭路线（如古道），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于平缓路线（如松之恋线），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于骑行路线（公路），下山骑行速度大约是上山骑行速度的倍． 材料3：在登山前，小庄参照自己一年来的登山的具体时长整理到表格中： 山名 路线名称 长度（） 登山时长 武夷山 天游峰登山步道 分钟 泉州清源山 主步道 小时 龙岩冠豸山 石门湖→长寿亭步道 小时 宁德太姥山 悬空栈道环线 小时小时 假设小庄的上山步行速度千米/时恒定，下山速度基于路线类型和方式确定．他在登山时从廨院出发，沿选择一条路线至涌泉寺，然后再选择一条下山路线返回起点． (1)若小庄选择骑行线上下山，整个行程用时一小时，求小庄上山骑行的速度； (2)若小庄从廨院步行至涌泉寺，再步行返回，请你设计小庄的一条步行路线（例如：从某路线上山，从某路线下山），使他以材料三中任意合理的速度上、下山时，整个行程的总时间都不超过小时，并说明理由． 5．根据所给信息解决问题： 信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁，景色怡人，是市民散步、跑步的好地方． 信息2 一天，甲、乙两人同时从绿道上的地出发，经两地到达地，其中两地相距米． 信息3 已知甲从地到地的速度是米/分钟，用时分钟；从地到地的速度是100米/分钟，用时分钟． 信息4 乙以米/分钟的速度从地跑到地后，在地休息了分钟，在此期间，甲跑过乙的身边，此时甲恰好跑了分钟．乙休息结束后，立刻以米/分钟的速度追赶，最终与甲同时到达地． 问题： (1)试确定的值，及两地间的路程； (2)求的值． 6．如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上．小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院．小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院．已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院． (1)求停放点 A，B 之间的距离； (2)请分别求出小天和小台的骑车速度； (3)小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院．已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同．求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离． 7．周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，比无风往返一趟（即从家骑行到书店，再从书店原路骑行返回家）所用时间会多一些”．琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．已知家到书店的路程是，无风时琪琪骑自行车的速度是．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速） (1)若琪琪逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，求风速是多少？ (2)设风速为． ①若有风往返一趟的时间为，无风往返一趟的时间为，请分别列式表示和（不用化简）； ②请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对． 8．不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 9．某市新区为美化环境，计划对面积为3600平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．地 城 类型02 工程问题 (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过16万元，至少应安排甲队工作多少天？ 10．为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 11．某果农将1000斤水果以果篮的形式出售，圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水果（两种方式都有）． (1)当销售总收入为16760元时． ①若这批水果全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ ②若果农留下篮圆篮水果送给福利院，其余的水果全部售出，求的值； (2)该果农用大、中两种货车运送方篮水果720篮，大车比中车每车多送30篮，若一半水果用大车送，一半水果用中车送．运送完这批水果，大、中货车运送车次比为3：4，求每辆大、中货车各运送方篮水果几篮？ 12．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)求规定的工期是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 13．某单位为美化环境，计划对面积为1600平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.2倍，并且在独立完成面积为480平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若该单位每天需付给甲队的绿化费用为550元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过19800元，至少安排甲队工作多少天？ 14．某市的道路改造工程，先由甲、乙两个工程队合作10天，再由甲单独干20天，恰好完成全部工作的．已知甲工程队单独完成工程所需天数是乙工程队单独完成工程所需天数的2倍． (1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需多少天； (2)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少需单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ 15．近年来，城市更新行动速度在加快，某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． (1)第一期的改造工程面积为880平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成100平方米乙每天可完成80平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ (2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观，社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责，在B处建造160平方米的文化宣传墙由丁工程队负责，若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 16．打造美丽家园，治理污水是其中一项重要工作．某市为治理污水，需要铺设一段污水排放管道．甲施工队单独完成此项任务需要600天，乙施工队单独完成此项任务需要400天．乙施工队每天铺设污水排放管道的长度，比甲施工队每天铺设污水排放管道的长度多． (1)甲、乙两个施工队每天铺设污水排放管道的长度分别是多少米？ (2)为了尽早完成此项铺设污水排放管道的任务，该市最终选定了甲、乙、丙三个施工队同时完成此项任务．在实际施工时，每天铺设的污水排放管道的长度比原计划多，结果比原计划提前25天完成此项任务．实际每天铺设的污水排放管道的长度是多少米？ 17．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表：地 城 类型03 新能源相关问题 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 18．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 19．为鼓励购买和使用新能源汽车，某停车场加快公共区域充电基础设施建设，计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买个、型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，则共有几种购买方案？哪种购买方案所需总费用最少？ (3)在“2024年元旦”促销活动中，每购买一个型充电桩厂家对顾客让利万元，在（2）的条件下，直接写出当为何值时，满足条件的上述购买方案所需费用均相同． 20．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千米行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/ 续航里程： 每千米行驶费用：______元 已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)根据表格中的数据，新能源车每千米行驶的费用为______；（用含m的代数式表示） (2)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用）？ 21．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．    (1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 22．当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．2023年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车每千米行驶费用 和纯电新能源车的每千米行驶费用 ． (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 23．为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示： 燃油车 油箱容积：50升 油价：8元/升 续航里程：a千米 新能源车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)燃油车和新能源车续航里程a为多少千米？ (2)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 24．随着新能源汽车使用的日益普及，各个社区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．鸡鸣山社区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩？ (3)鸡鸣山社区准备用10000元购置单枪和双枪充电线桩，要求两种充电桩都要买，且钱全部用完．请问有哪几种不同的购置方案？ 25．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元．地 城 类型03 销售利润 (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 26．根据以下素材，探索完成任务． 奶茶销售方案制定问题 素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元，购买2杯“芝士杨梅”和1杯“满杯杨梅”共需55元． 素材2 两款奶茶配料表如表： 芝士杨梅 配料 满杯杨梅 配料    芝士杯    茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉、多肉 杨梅肉、多肉 素材3 6月1日当天销售“芝士杨梅”共获利润360元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材4 6月5日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（每杯利润＝每杯售价－每杯成本） 任务3 拟定最优方案 为了使6月5日获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 27．某生鲜超市用5000元购进一批新品种的桔子进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种桔子，但这次的进货数量是试销时的2倍，且单价每千克贵了元． (1)试销时该品种桔子的进货价是每千克多少元？ (2)如果超市将该品种桔子按每千克7元的定价出售，当部分桔子售出后，余下的桔子以每千克4元的定价售出，若超市在这两次销售中的利润不低于4100元，那么以每千克4元定价售出的桔子最多多少千克？ 28．“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 29．华联超市10月份用2000元人民币购进某种水果销售，由于销售情况良好，过了一段时间后，又购进这种水果3600元，这次所购数量是第一次购进数量的1.5倍，但每千克该水果的价格比第一次贵了2元． (1)华联超市第一次购进某种水果多少千克？ (2)如果华联超市两次购进的水果按相同标价销售，最后剩下的30千克按标价的五折优惠销售，若两次购进水果全部售完，利润不低于1190 元，则每千克水果的标价至少是多少元？ 30．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ (3)商家以（2）中每件衬衫的最少标价卖出，把所得利润的全部用于购进甲、乙型号的电风扇赠给敬老院，如果甲型号电风扇每台250元，乙型号电风扇每台150元，那么有哪几种购买方案？请直接写出答案． 31．荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 32．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》热映，某文具店抓住时机迅速购进相关文创产品．该文具店2月份花费150元购进哪吒徽章，花费600元购进哪吒钥匙扣挂件，已知每个钥匙扣挂件的进价是哪吒徽章进价的2倍，且购进的徽章数量比钥匙扣挂件少30个． (1)求每个哪吒徽章和哪吒钥匙扣挂件的进价． (2)3月份该文具店按照2月份的单价购进相同数量的徽章和钥匙扣挂件，并以徽章8元一个，钥匙扣挂件15元一个的价格进行销售，同时又以每包5元的价格购进100包卡游，每包有5张卡片，整包出售时一包卡片卖10元，单张出售时一张卡片卖3元，若3月份购进的哪吒文创产品全部售出时利润不低于1000元，则整包出售哪吒卡游最多有多少包？ 33．一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同．地 城 类型05 方案问题 (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 34．开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱，已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的 A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ 35．某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ (3)按照（2）中两种汽车进价不变，如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？ 36．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 37．某学校计划购买一批平板电脑装备智慧教室．已知有、两种型号的平板电脑可供选择，且型号的单价比型号贵元．经测算，若学校花费元单独购买型平板电脑或单独购买型平板电脑，则购买到的型平板电脑的数量是型的倍． (1)、型平板电脑的原价各是多少元？ (2)实际购买时，恰逢“国家补贴”优惠期，两种型号的平板电脑单价均降价元销售，学校决定花费不超过元装备台平板电脑，且为了良好的实际体验效果要求型号的平板数量不超过型号的两倍，问有哪几种购买方案？ 38．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提升学生的阅读理解能力，现决定购买《钢铁是怎样炼成的》和《经典常谈》两种书．若购买1本《钢铁是怎样炼成的》比1本《经典常谈》进价多10元；若用2520元购买《钢铁是怎样炼成的》与用1800元购买《经典常谈》的本数相同． (1)求每本《钢铁是怎样炼成的》和每本《经典常谈》各为多少元？ (2)若该校购进《钢铁是怎样炼成的》的本数比购进《经典常谈》的本数的2倍还多5本，且《经典常谈》的本数不少于17本，购进这两种书的总费用不超过1980元，则该校几种购货方案？ 39．某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． (1)求一件型商品的进价分别为多少元？ (2)若该外地客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于型的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？ (3)在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润． 40．“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 分式方程压轴应用题 （5种类型40道） 地 城 类型01 行程问题 1．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了两次球，浪费了13秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为85秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.4倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 【答案】乙同学获胜 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程=速度×时间，应算出甲乙两人所用时间． 【详解】解：设甲同学用时x秒，则乙同学用时秒，根据题意，得 ， 解得． 经检验，是方程的解，且符合题意． ∴ 乙同学所用的时间为：（秒）． ∵43＞42， ∴乙同学获胜． 答：乙同学获胜． 2．今年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京亦庄开跑，这标志着我国人形机器人产业正在飞速发展．机器人甲参加了这次比赛，它先采用“跑步模式”以的速度跑完一段路程后，再采用“步行模式”匀速步行到达目的地（半程马拉松约为，本题按计算），共用时．此期间，已知机器人甲“跑步模式”的速度比“步行模式”的速度多． (1)求机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程是多少？ (2)机器人乙也参加了本次比赛，当它速度为时，电池的续航时间为1h，每当速度提高，电池的续航时间将减少．实际比赛时，机器人乙满电量出发，当电量耗尽时就更换同规格满电量电池（更换电池时间忽略不计），并一直以的速度跑完比赛（）．已知机器人乙中途更换了3次电池，到达终点时，电量显示以这个速度还可以跑，求a的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设“跑步模式”所跑步的路程是，则“步行模式”路程为，由共用时建立分式方程求解； （2）先求出满电状态可跑的路程，再根据路程、速度、时间的关系建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设“跑步模式”所跑步的路程是，则“步行模式”路程为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 答：机器人甲采用“跑步模式”所跑步的路程； （2）解：， 由题意得：满电可跑， 则， 解得：， 答：a的值为9． 3．近日，气温骤降，阿坝结斯沟雪山迎来了第一场雪，两队登山爱好者计划同一天出发，沿不同的路线自行前往山顶的营地汇合。甲队走A路线，全程1200千米，乙队走B路线，全程1600千米，由于A路线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队的，这样甲队比乙队晚2天到达营地． (1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ (2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求m的值． 【答案】(1)甲队计划6天到达目的地，乙队计划4天到达目的地 (2)5 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，利用速度路程时间，结合乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队计划到达目的地的时间，再将其代入中，即可求出甲队计划到达目的地的时间； （2）根据两队共需花费18720元，可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴， 答：甲队计划6天到达目的地，乙队计划4天到达目的地； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为5． 4．福州鼓山位于福建省福州市，主峰海拔米，总面积达平方千米，有今古名山之称，蓬莱左股之誉，是第四批国家级风景名胜区．小庄在五一长假来福州旅游，在登鼓山之前，通过查找资料做了以下的旅游攻略： 材料1：鼓山拥有丰富的登山路线，以下是几条经典的路线： 路线1——古道登山路线：该路线从廨院出发，途经喝水岩、十八景等点，最终到达涌泉寺（山顶），全程石板路，路程约4千米． 路线2——松之恋线：起点为廨院（松之恋登山道入口与廨院相近），终点为涌泉寺，全程约千米．该路线坡度较缓，适合休闲出行． 路线3——骑行线：起点为山脚下院（与廨院起点相近），沿盘山公路骑行，终点为涌泉寺，全程约千米．该路线为公路，适合快速上下山． 材料2：对于陡峭路线（如古道），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于平缓路线（如松之恋线），下山速度通常是上山速度的倍到倍；对于骑行路线（公路），下山骑行速度大约是上山骑行速度的倍． 材料3：在登山前，小庄参照自己一年来的登山的具体时长整理到表格中： 山名 路线名称 长度（） 登山时长 武夷山 天游峰登山步道 分钟 泉州清源山 主步道 小时 龙岩冠豸山 石门湖→长寿亭步道 小时 宁德太姥山 悬空栈道环线 小时小时 假设小庄的上山步行速度千米/时恒定，下山速度基于路线类型和方式确定．他在登山时从廨院出发，沿选择一条路线至涌泉寺，然后再选择一条下山路线返回起点． (1)若小庄选择骑行线上下山，整个行程用时一小时，求小庄上山骑行的速度； (2)若小庄从廨院步行至涌泉寺，再步行返回，请你设计小庄的一条步行路线（例如：从某路线上山，从某路线下山），使他以材料三中任意合理的速度上、下山时，整个行程的总时间都不超过小时，并说明理由． 【答案】(1)小庄上山骑行的速度为 千米/时． (2)上山走松之恋线（路线 2），下山走古道线（路线 1），理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用，厘清题干中的材料信息是解题的关键； （1）根据材料 2，骑行路线下山速度是上山速度的 2 倍，骑行线全程为 8 千米，设上山速度为 千米/时，则下山速度为 千米/时．根据总时间为小时列出分式方程，解方程，即可求解． （2）分析表格，求得上山的速度范围，根据材料确定下山的速度范围，进而选取路线，即可求解． 【详解】（1）解：骑行线全程为 8 千米（上山 8 千米，下山 8 千米），总行程用时 1 小时． 根据材料 2，骑行路线下山速度是上山速度的 2 倍． 设上山速度为千米/时，则下山速度为千米/时． 上山时间：小时，下山时间：（小时）． 总时间：． 解得：（千米/时）． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小庄上山骑行的速度为千米/时． （2）解：设计方案：上山走松之恋线（路线 2），下山走古道线（路线 1）． 上山距离：千米（松之恋线），下山距离：千米（古道线）． 理由： 根据材料 3，小庄的上山步行速度范围为（千米/时）（龙岩冠豸山）到（千米/时）（武夷山或宁德太姥山最小时间）． 下山速度根据路线类型确定（材料 2）： 古道线（陡峭）：下山速度为上山速度的 倍到 倍，最小倍数为 ． 松之恋线（平缓）：下山速度为上山速度的 倍到 倍，最小倍数为． 为确保总时间不超过 4 小时，需考虑上山速度最小且下山速度倍数最小． 对于本方案：上山路线为松之恋线（平缓），下山路线为古道线（陡峭）． 最小上山速度 千米/时（来自龙岩冠豸山数据）． 下山速度最小倍数：古道线最小倍数为 2，故下山速度最小为 （千米/时）． 上山时间：（小时）． 下山时间：（小时）． 总时间： 小时． 当上山速度更大（如 2 千米/时）或下山速度倍数更大时，总时间更短，均小于 4 小时． 因此，以材料 3 中任意合理的上山速度（在 1.6 千米/时到 2 千米/时之间）和对应的下山速度，总时间均不超过 4 小时． 5．根据所给信息解决问题： 信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁，景色怡人，是市民散步、跑步的好地方． 信息2 一天，甲、乙两人同时从绿道上的地出发，经两地到达地，其中两地相距米． 信息3 已知甲从地到地的速度是米/分钟，用时分钟；从地到地的速度是100米/分钟，用时分钟． 信息4 乙以米/分钟的速度从地跑到地后，在地休息了分钟，在此期间，甲跑过乙的身边，此时甲恰好跑了分钟．乙休息结束后，立刻以米/分钟的速度追赶，最终与甲同时到达地． 问题： (1)试确定的值，及两地间的路程； (2)求的值． 【答案】(1)的值为，两地间的路程为米； (2)的值为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程，和分式方程． （1）利用路程=速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出t的值；设两地间的路程，利用路程=速度时间，结合两地间的路程不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用路程=速度时间，可求出的长，利用时间=路程速度，结合甲、乙同时到达地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 的值为， 设两地间的路程为米， 根据题意得：， 解得：， 答：的值为，两地间的路程为米； （2）解：（米）， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：的值为． 6．如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上．小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院．小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院．已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院． (1)求停放点 A，B 之间的距离； (2)请分别求出小天和小台的骑车速度； (3)小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院．已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同．求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离． 【答案】(1)米 (2)小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分 (3)小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，行程问题，分式方程的实际应用； （1）根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离即可； （2）设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度即可； （3）利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离即可求出． 【详解】（1）解：， 答：停放点 A，B 之间的距离为540米． （2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程： ， 解得， 经检验是原分式方程的解且符合实际， ∵， ∴ 答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分． （3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟， 设米，分三种情况考虑： ① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，符合题意 ∴米． ② 如图2，当点Q在之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，不符合题意，舍去． ③ 如图3，当点Q在之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时米，米，符合题意 答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米． 7．周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，比无风往返一趟（即从家骑行到书店，再从书店原路骑行返回家）所用时间会多一些”．琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．已知家到书店的路程是，无风时琪琪骑自行车的速度是．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速） (1)若琪琪逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，求风速是多少？ (2)设风速为． ①若有风往返一趟的时间为，无风往返一趟的时间为，请分别列式表示和（不用化简）； ②请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对． 【答案】(1) (2)①，；②亮亮说得对 【分析】本题考查了分式方程解决实际问题，列代数式，分式运算的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设当天的风速为，根据琪琪逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）①根据题意分别表示和即可； ②比较和的大小即可． 【详解】（1）解：设风速为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：风速为； （2）解：①由题意可知，，； ②亮亮说得对，理由如下： 由①可知，，， ， 又， ， 即， ∴有风往返一趟的时间大于无风往返一趟的时间， ∴亮亮说得对． 8．不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【答案】(1)步行的速度为米/分 (2)该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分，由题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）步行的速度为米/分，骑自行车的速度为米/分，志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟），设从家到图书馆的距离为米，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：某志愿者步行到离家米的社区去开展服务工作，即总路程为米，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍， 设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分， ∵该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行的速度为米/分； （2）解：步行的速度为米/分， ∴骑自行车的速度为米/分， ∴该志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟）， 设从家到图书馆的距离为米， ∴， 解得，， ∴该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米． 9．某市新区为美化环境，计划对面积为3600平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．地 城 类型02 工程问题 (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过16万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【答案】(1)甲每天能完成绿化的面积为100平方米，乙队每天能完成绿化的面积为50平方米 (2)20 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系和不等关系． （1）假设乙队每天能完成绿化的面积为平方米，则甲每天能完成绿化的面积为平方米，根据完成400平方米的绿化天数，列出方程求解即可； （2）设安排甲队工作天，则乙队工作的天数为天，根据花费钱数列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：假设乙队每天能完成绿化的面积为平方米，则甲每天能完成绿化的面积为平方米，根据题意得， 解得， 经检验，是分式的方程的解，并符合题意， ∴， 答：甲每天能完成绿化的面积为100平方米，乙队每天能完成绿化的面积为50平方米； （2）解：设安排甲队工作天，则乙队工作的天数为天，根据题意得， ， 解得， ∴至少应安排甲队工作20天． 10．为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 【答案】(1)35天 (2)210000元 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该项工程的规定时间是天，根据“甲的工作量乙的工作量”列出分式方程，解方程即可； （2）求出甲、乙队合作完成所需的天数，再根据施工费用施工时间每天施工的费用列式计算即可． 【详解】（1）解：设该项工程的规定时间是天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该项工程的规定时间是35天； （2）解：甲、乙队合作完成所需的天数为：（天， 则该工程施工总费用（元， 答：该工程施工总费用是210000元． 11．某果农将1000斤水果以果篮的形式出售，圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水果（两种方式都有）． (1)当销售总收入为16760元时． ①若这批水果全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ ②若果农留下篮圆篮水果送给福利院，其余的水果全部售出，求的值； (2)该果农用大、中两种货车运送方篮水果720篮，大车比中车每车多送30篮，若一半水果用大车送，一半水果用中车送．运送完这批水果，大、中货车运送车次比为3：4，求每辆大、中货车各运送方篮水果几篮？ 【答案】(1)①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮；②b的值为9或18 (2)每辆大货车运送方形杨梅120篮，每辆中货车运送方形杨梅90篮 【分析】本题主要考查了本二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式和分式方程的实际应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解． （1）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于m和n的方程组，根据n为正整数，可以求出b的大致范围以及b为9的倍数，从而得到b的值； （2）每辆大货车运送方形水果p篮，则每辆中货车运送方篮水果篮，再根据运送完这批水果大中货车运送车次比为列方程组求解即可． 【详解】（1）解：①设圆篮共包装了x篮，方篮共包装y 篮，由题意，得 ， 解得：， 答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮． ②设此时出售了m篮圆篮水果，n篮方篮水果， 由题意得， 解这个关于m和n的方程组，可得：， ∵n为正整数， ∴，且b应为9的倍数， 解得：， ∴b的值为9或18． （2）解：设每辆大货车运送方篮水果p篮，则每辆中货车运送方篮水果篮， 由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴ 答：每辆大货车运送方篮水果120篮，每辆中货车运送方篮水果90篮． 12．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)求规定的工期是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】(1)20天 (2)方案C 【分析】本题考查分式方程的应用，正确寻找等量关系构建方程是解决问题的关键． （1）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案C，可列方程得，解方程即可解决问题； （2）分别求得三个方案的工程款，比较即可得解． 【详解】（1）解：设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案C，可列方程得1， 解得， 经检验：是所列方程的根， 答：规定的工期是20天． （2）解：由（1）知：即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天， ∴A方案的工程款为（万元）； B方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了工期，因此不能选； C方案的工程款为（万元）； ∵ ∴在不耽误工期的前提下，方案C最节省工程款． 13．某单位为美化环境，计划对面积为1600平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.2倍，并且在独立完成面积为480平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若该单位每天需付给甲队的绿化费用为550元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过19800元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积是48平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米 (2)至少应安排甲队工作4天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合在独立完成面积为480平方米区域的绿化时甲队比乙队少用2天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，根据总费用甲队工作时间乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过19800元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是48平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米； （2）解：设安排甲队工作天，则需安排乙队工作天， 依题意，得：， 解得：， 所以最小值是4． 答：至少应安排甲队工作4天． 14．某市的道路改造工程，先由甲、乙两个工程队合作10天，再由甲单独干20天，恰好完成全部工作的．已知甲工程队单独完成工程所需天数是乙工程队单独完成工程所需天数的2倍． (1)求甲、乙工程队单独完成此项工程各需多少天； (2)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少需单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ 【答案】(1)天，天 (2)天 【分析】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，一元一次不等式的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解． （1）设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）设甲单独做了天，先算出剩下的工程所需时间，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天， ， 解得：， 经检验是原方程的解． ， 答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要天，天； （2）解：设甲单独做了天， 则剩余工程两队合作需要：天， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队至少要单独施工天． 15．近年来，城市更新行动速度在加快，某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． (1)第一期的改造工程面积为880平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成100平方米乙每天可完成80平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ (2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观，社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责，在B处建造160平方米的文化宣传墙由丁工程队负责，若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 【答案】(1)甲、乙两人分别工作了天和天 (2)丙、丁每天可完成的工作量分别是25平方米和20平方米 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确的列出方程和方程组是解题的关键： （1）设甲、乙两人分别工作了天和天，根据第一期的改造工程面积为880平方米，共用10天完成，列出方程组，进行求解即可； （2）设丙每天可完成的工作量为平方米，根据丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，列出分式方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两人分别工作了天和天，由题意，得： ，解得：； 答：甲、乙两人分别工作了天和天； （2）解：设丙每天可完成的工作量为平方米，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意； ∴； 答：丙、丁每天可完成的工作量分别是25平方米和20平方米． 16．打造美丽家园，治理污水是其中一项重要工作．某市为治理污水，需要铺设一段污水排放管道．甲施工队单独完成此项任务需要600天，乙施工队单独完成此项任务需要400天．乙施工队每天铺设污水排放管道的长度，比甲施工队每天铺设污水排放管道的长度多． (1)甲、乙两个施工队每天铺设污水排放管道的长度分别是多少米？ (2)为了尽早完成此项铺设污水排放管道的任务，该市最终选定了甲、乙、丙三个施工队同时完成此项任务．在实际施工时，每天铺设的污水排放管道的长度比原计划多，结果比原计划提前25天完成此项任务．实际每天铺设的污水排放管道的长度是多少米？ 【答案】(1)甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为10米，乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为15米 (2)48米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米，根据两个工程队的总任务量相同建立方程求解即可； （2）设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米，根据实际比原计划提前25天完成此项任务建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为10米，乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为15米； （2）解：原计划每天铺设的污水排放管道的长度是y米，则实际每天铺设的污水排放管道的长度是米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：实际每天铺设的污水排放管道的长度是48米． 17．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表：地 城 类型03 新能源相关问题 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 18．某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1)燃油车每千米行驶费用为元；纯电新能源车每千米行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据表中的信息，用油和电的费用除以a，表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，求出燃油车和纯电新能源车的每千米费用，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为：（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为：（元）； （2）解：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意； 故，， 设每年行驶里程超过x千米时，新能源车的年费用比燃油车更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低． 19．为鼓励购买和使用新能源汽车，某停车场加快公共区域充电基础设施建设，计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买个、型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，则共有几种购买方案？哪种购买方案所需总费用最少？ (3)在“2024年元旦”促销活动中，每购买一个型充电桩厂家对顾客让利万元，在（2）的条件下，直接写出当为何值时，满足条件的上述购买方案所需费用均相同． 【答案】(1)种型号充电桩的单价为万元，种型号充电桩的单价为万元 (2)共有 种方案，费用最少的是购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用 万元 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，整式的乘法无关类型的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设种型号充电桩的单价为万元，则种型号充电桩的单价为万元 根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据题意，购买方案与无关，即可得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号充电桩的单价为万元，则种型号充电桩的单价为万元 根据题意得， 解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴种型号充电桩的单价为万元 答：种型号充电桩的单价为万元，种型号充电桩的单价为万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意得， 解得： ∵为正整数，则 对应方案：购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用：万元 购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用： 万元 购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用： 万元 共有 种方案，费用最少的是购买型充电桩个，购买型充电桩个，费用 万元； （3）解：依题意， ∵购买方案所需费用均相同 ∴ 解得： 20．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千米行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/ 续航里程： 每千米行驶费用：______元 已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)根据表格中的数据，新能源车每千米行驶的费用为______；（用含m的代数式表示） (2)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用）？ 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 (3)当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表格信息解答即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，求出m，再将m的值代入和中，即可求出这两款车的每千米行驶费用； （3）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）， 故答案为：元； （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， （元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意，得：， 解得． 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 21．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．    (1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 【答案】(1)3000元；5000元 (2)6个；4个 【分析】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设2024年单枪充电桩的单价为x元,根据双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，列出分式方程，解方程即可。 【详解】（1）解：设2024年单枪充电桩的单价为x元，则双枪充电桩的单价为元 由题意知： 解得： ∴ 答：2024年单枪充电桩的单价为3000元，则双枪充电桩的单价为5000元． （2）解：设：2025年购入双枪充电桩的数量为m个，则单枪充电桩的数量为个． 由题意知： 解得： 经检验：是分式方程的解，且符合题意 ∴ 答：2025年购入单枪充电桩的数量为6个，则双枪充电桩的数量为4个． 22．当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．2023年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车每千米行驶费用 和纯电新能源车的每千米行驶费用 ． (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 【答案】(1)元，元 (2)①燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是总价与单价和数量的关系，列出分式方程，列出一元一次不等式． （1）燃油车每千米行驶费用等于每箱油总价除以总里程，纯电新能源车每千米行驶费用等于电池满容量总费用除以总量程； （2）①燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元和（1）中结果列方程求出a值，即可分别求出这两款车的每千米行驶费用，注意解分式方程检验；②设每年行驶的里程为x千米，根据新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 故答案为：元，元； （2）①由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴（元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 23．为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示： 燃油车 油箱容积：50升 油价：8元/升 续航里程：a千米 新能源车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)燃油车和新能源车续航里程a为多少千米？ (2)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1)640千米 (2)每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元，再根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元建立方程求解即可； （2）根据（1）所求求出两种车每千米的行驶费用，再根据新能源车的年费用更低建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：燃油车和新能源车续航里程a为640千米． （2）解：由（1）可得：燃油车每千米的行驶费用为：元， 新能源车每千米的行驶费用为元， 设每年行驶的里程为m千米， 由题意得：， 解得：， 答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低． 24．随着新能源汽车使用的日益普及，各个社区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．鸡鸣山社区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元） 3 2 4400 2 3 4600 (1)求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩？ (3)鸡鸣山社区准备用10000元购置单枪和双枪充电线桩，要求两种充电桩都要买，且钱全部用完．请问有哪几种不同的购置方案？ 【答案】(1)单枪充电桩单价是800元，双枪充电桩单价是1000元 (2)20个 (3)方案一：购买单枪充电桩5个，双枪充电桩6个；方案二：购买单枪充电桩10个，双枪充电桩2个 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，列分式方程解决实际问题，购买方案问题等内容，解题的关键是准确找出等量关系，列出方程． （1）假设未知数，根据两种购买方式列出二元一次方程组，然后进行求解即可； （2）设原计划平均每天制作个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，根据天数关系列出方程，然后进行求解即可； （3）设购买单枪充电桩个，双枪充电桩个，根据花费钱数列出方程，求出符合条件的未知数的值，列出方案即可． 【详解】（1）解：设单枪充电桩的单价为元，双枪充电桩的单价为元，根据题意得， 解得 所以，单枪充电桩单价是800元，双枪充电桩单价是1000元； （2）解：设原计划平均每天制作个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，并符合题意， 所以，原计划平均每天制作20个充电桩； （3）解：设购买单枪充电桩个，双枪充电桩个，根据题意得， 整理得， 根据都为正整数， ∴符合条件的值为或， ∴有两种购买方案， 方案一：购买单枪充电桩5个，双枪充电桩6个； 方案二：购买单枪充电桩10个，双枪充电桩2个． 25．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的A型号手机四月售价比三月售价每台降价元．如果卖出相同数量的A型号手机，那么三月销售额为元，四月销售额只有元．地 城 类型03 销售利润 (1)填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 x 四月 (2)三、四月A型号手机每台售价各为多少元？ (3)为了提高利润，该店计划五月购进B型号手机销售，已知A型号手每台进价为元，B型号手机每台进价为元，调进一部分资金购进这两种手机共台（其中A型号手机有m台），在销售中决定在四月手机售价基础上每售出一台A型号手机再返还顾客现金元，而B型号手机按售价元销售，若将这台手机全部售出共获得多少利润？ 【答案】(1) (2)三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元 (3)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设三月A型号手机每台售价为元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解； （2）根据数量等于总价除以单价，结合三、四月份A型号手机的销售量相等，即可得出关于的分式方程，解方程后检验是否为增根得出答案； （3）根据总利润等于单台利润乘以销售数量，即可求出获得的总利润． 【详解】（1）解：设三月A型号手机每台售价为x元，则四月A型号手机每台售价为元，三月售出手机台，四月售出手机台， 故答案为：； （2）解：依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：三月A型号手机每台售价为元，四月A型号手机每台售价为元． （3）解：总利润为： ， ， 元． 答：若将这台手机全部售出共获得元利润． 26．根据以下素材，探索完成任务． 奶茶销售方案制定问题 素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元，购买2杯“芝士杨梅”和1杯“满杯杨梅”共需55元． 素材2 两款奶茶配料表如表： 芝士杨梅 配料 满杯杨梅 配料    芝士杯    茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉、多肉 杨梅肉、多肉 素材3 6月1日当天销售“芝士杨梅”共获利润360元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材4 6月5日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（每杯利润＝每杯售价－每杯成本） 任务3 拟定最优方案 为了使6月5日获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】任务1：芝士杨梅19元；满杯杨梅17元； 任务2：芝士杨梅10元；满杯杨梅9元； 任务3：42杯 【详解】解：（任务）设每杯“芝士杨梅”的售价是x元，每杯“满杯杨梅”的售价是y元， 根据题意得：， 解得： 答：每杯“芝士杨梅”的售价是19元，每杯“满杯杨梅”的售价是17元； （任务）设每杯“满杯杨梅”的利润是a元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， （元） 答：每杯“芝士杨梅”的成本是10元，每杯“满杯杨梅”的成本是9元； （任务）设制作m杯“芝士杨梅”，n杯“满杯杨梅”， 根据题意得：， ， ，n均为正整数，且， 或， 共有2种制作方案， 方案1：制作35杯“芝士杨梅”，7杯“满杯杨梅”，获利为（元）； 方案2：制作40杯“芝士杨梅”，3杯“满杯杨梅”，获利为（元）， ， 方案1获利最大，此时（杯）． 答：为了使6月5日获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 27．某生鲜超市用5000元购进一批新品种的桔子进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种桔子，但这次的进货数量是试销时的2倍，且单价每千克贵了元． (1)试销时该品种桔子的进货价是每千克多少元？ (2)如果超市将该品种桔子按每千克7元的定价出售，当部分桔子售出后，余下的桔子以每千克4元的定价售出，若超市在这两次销售中的利润不低于4100元，那么以每千克4元定价售出的桔子最多多少千克？ 【答案】(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克5元 (2)以每千克4元定价售出的桔子最多300千克 【详解】（1）解：(1) 设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元 解得x= 5 经检验：x= 5是原方程的解，并满足题意 答：试销时该品种苹果的进货价是每千克5元． （2）解：以每千克4元定价售出的桔子a千克，依题意，得， 解得 ， 答：以每千克4元定价售出的桔子最多300千克． 28．“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 【答案】任务1：红粉西红柿进价为每千克5元，有机西红柿进价为每千克7.5元；任务2：每千克10元；任务3： 【详解】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元 由题意可得：， 解得： 经检验，是方程的根，且符合题意 答：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元 任务2：设标价（白天的售价）为每千克元， 由题意可得：， 解得：， 标价（白天的售价）最低价为每千克10元； 任务3： 九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱 ， 每天进货时利润最大． 29．华联超市10月份用2000元人民币购进某种水果销售，由于销售情况良好，过了一段时间后，又购进这种水果3600元，这次所购数量是第一次购进数量的1.5倍，但每千克该水果的价格比第一次贵了2元． (1)华联超市第一次购进某种水果多少千克？ (2)如果华联超市两次购进的水果按相同标价销售，最后剩下的30千克按标价的五折优惠销售，若两次购进水果全部售完，利润不低于1190 元，则每千克水果的标价至少是多少元？ 【答案】(1)华联超市第一次购进某种水果200千克 (2)至少是14元 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键． （1）设该商店第一次购进水果千克，则第二次购进水果千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可； （2）设每千克水果的标价是元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于1190元列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设华联超市第一次购进某种水果千克，依题意，得       ， 解得，      ， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以，华联超市第一次购进某种水果200千克． （2）解：设每千克水果标价y元，依题意，得 ， 解得，， 答：每千克水果的标价至少是14元． 30．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． (1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ (3)商家以（2）中每件衬衫的最少标价卖出，把所得利润的全部用于购进甲、乙型号的电风扇赠给敬老院，如果甲型号电风扇每台250元，乙型号电风扇每台150元，那么有哪几种购买方案？请直接写出答案． 【答案】(1)120件 (2)150元 (3)共两种方案，方案一：购买甲型号电风扇3台，乙型号电风扇2台；方案二：购买甲型号电风扇0台，乙型号电风扇7台 【详解】（1）解：由题意，设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该商家购进的第一批衬衫是120件． （2）解：由题意，， 设每件衬衫的标价y元，依题意有 ， 答：每件衬衫的标价至少是150元． （3）解：由题意得，由（2）知每件衬衫标价150元， 两批衬衫的利润为： 元 利润的为 设购买甲型号电风扇m台，乙型号电风扇n台， 、n为非负整数， 存在以下两种情况： 当时，，，，； 当时，， 有两种购买方案： 方案一：购买甲型号电风扇3台，乙型号电风扇2台． 方案二：购买甲型号电风扇0台，乙型号电风扇7台． 31．荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 【答案】(1)“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱 (2)本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． (3)购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元 【详解】（1）解：设“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱； （2）解：设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱， 由题意得：’ 解得：， ∵y为正整数， ∴或或， ·本次进货方案有3种： ①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱； ②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱； ③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱； 答：本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． （3）解：①方案的利润为： (元)， ②方案的利润为：（元）， ③方案的利润为： (元)， ∵， ∴③方案利润最大，最大是1424元， 答：购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元． 32．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》热映，某文具店抓住时机迅速购进相关文创产品．该文具店2月份花费150元购进哪吒徽章，花费600元购进哪吒钥匙扣挂件，已知每个钥匙扣挂件的进价是哪吒徽章进价的2倍，且购进的徽章数量比钥匙扣挂件少30个． (1)求每个哪吒徽章和哪吒钥匙扣挂件的进价． (2)3月份该文具店按照2月份的单价购进相同数量的徽章和钥匙扣挂件，并以徽章8元一个，钥匙扣挂件15元一个的价格进行销售，同时又以每包5元的价格购进100包卡游，每包有5张卡片，整包出售时一包卡片卖10元，单张出售时一张卡片卖3元，若3月份购进的哪吒文创产品全部售出时利润不低于1000元，则整包出售哪吒卡游最多有多少包？ 【答案】(1)每个哪吒徽章的进价为5元，则每个哪吒钥匙扣挂件的进价为10元 (2)整包出售哪吒卡游最多有78包 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每个哪吒徽章的进价为x元，则每个哪吒钥匙扣挂件的进价为元，根据花费150元购进哪吒徽章，花费600元购进哪吒钥匙扣挂件，且购进的徽章数量比钥匙扣挂件少30个建立方程求解即可； （2）设则整包出售哪吒卡游有m包，则单张出售的哪吒卡游有张，分别计算出徽章，钥匙扣和卡包的利润，三者求和不低于1000元，据此建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个哪吒徽章的进价为x元，则每个哪吒钥匙扣挂件的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个哪吒徽章的进价为5元，则每个哪吒钥匙扣挂件的进价为10元； （2）解：设则整包出售哪吒卡游有m包，则单张出售的哪吒卡游有张， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为78， 答：整包出售哪吒卡游最多有78包． 33．一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同．地 城 类型05 方案问题 (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元 (2)能，共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数即可解答． 【详解】（1）解：设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则， 答：采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元． （2）解：设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支， 由题意得， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴该公司能实现利润不少于1540元的目标，共有3种采购方案： 方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支； 方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支； 方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 34．开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱，已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的 A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元 (2)共有3种购买方案 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，根据“用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件”列分式方程，求解并检验即可； （2）设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据“投入的经费不超过580元，购买A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半”列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意．则． 答：款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元． （2）解：设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据题意，得： ， 解得：， 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种购买方案． 35．某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ (3)按照（2）中两种汽车进价不变，如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？ 【答案】(1)今年5月份A款汽车每辆售价9万元 (2)共有3种进货方案：A款汽车8辆，B款汽车7辆；A款汽车9辆，B款汽车6辆；A款汽车10辆，B款汽车5辆； (3)当时，（2）中所有方案获利相同 【分析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，则：，解答即可； （2）设购进A款汽车x辆，则：，解得：求正整数解即可； （3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可． 本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，则： 解得：； 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）解：设购进A款汽车x辆，则： ， 解得： ∵x的正整数解为8，9，10， ∴共有3种进货方案：A款汽车8辆，B款汽车7辆；A款汽车9辆，B款汽车6辆；A款汽车10辆，B款汽车5辆； （3）解：设总获利为W元，购进A款汽车x辆，则： ， 当时，（2）中所有方案获利相同． 36．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 【答案】(1)采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，理解题意合理列出关系式是解题的关键． （1）设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需万元，根据题意列出分式方程求解，即可解题； （2）设采购A种机器人a台，则采购B种机器人台，根据题意列出不等式组求解，即可解题． 【详解】（1）解：设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需万元， 由题意得，， 解得，， 经检验是原分式方程的解， 答：采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a台，则采购B种机器人台， 根据题意得， 解得， 因为a为正整数，所以一共有4种方案， 答：该公司共有4种采购方案． 37．某学校计划购买一批平板电脑装备智慧教室．已知有、两种型号的平板电脑可供选择，且型号的单价比型号贵元．经测算，若学校花费元单独购买型平板电脑或单独购买型平板电脑，则购买到的型平板电脑的数量是型的倍． (1)、型平板电脑的原价各是多少元？ (2)实际购买时，恰逢“国家补贴”优惠期，两种型号的平板电脑单价均降价元销售，学校决定花费不超过元装备台平板电脑，且为了良好的实际体验效果要求型号的平板数量不超过型号的两倍，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)、型平板电脑的原价各是元与元 (2)共有四种购买方案 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设、型平板电脑的原价各是元、元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验，即可求解． （2）设购买型平板电脑台，购买型平板电脑台，根据题意得出不等式，根据为正整数，得17、18、19、20，求得对应的方案，即可求解． 【详解】（1）解：设、型平板电脑的原价各是元、元 根据题意：    解之得， 经检验，是所列方程的解且符合题意．   答：、型平板电脑的原价各是2500元与2000元 （2）解：补贴后，、型平板电脑的原价各是2000元与1500元 设购买型平板电脑台，购买型平板电脑台 ∴购买总价为 由题意得：    ∴ 又∵为正整数，得17、18、19、20，对应的分别是33、32、31、30 答：共有四种购买方案，分别是： ①购买型平板电脑17台，购买型平板电脑33台 ②购买型平板电脑18台，购买型平板电脑32台 ③购买型平板电脑19台，购买型平板电脑31台 ④购买型平板电脑20台，购买型平板电脑30台 38．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提升学生的阅读理解能力，现决定购买《钢铁是怎样炼成的》和《经典常谈》两种书．若购买1本《钢铁是怎样炼成的》比1本《经典常谈》进价多10元；若用2520元购买《钢铁是怎样炼成的》与用1800元购买《经典常谈》的本数相同． (1)求每本《钢铁是怎样炼成的》和每本《经典常谈》各为多少元？ (2)若该校购进《钢铁是怎样炼成的》的本数比购进《经典常谈》的本数的2倍还多5本，且《经典常谈》的本数不少于17本，购进这两种书的总费用不超过1980元，则该校几种购货方案？ 【答案】(1)每本《钢铁是怎样炼成的》35元，每本《经典常谈》25元； (2)共有三种购买方案，见解析 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设每本《经典常谈》元，则每本《钢铁是怎样炼成的》元，根据用2520元购买《钢铁是怎样炼成的》与用1800元购买《经典常谈》的本数相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买本《经典常谈》，则购买本《钢铁是怎样炼成的》，根据《经典常谈》的本数不少于17本，购进《钢铁是怎样炼成的》和《经典常谈》的总费用不超过1980元，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：设每本《经典常谈》元，则每本《钢铁是怎样炼成的》元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的根，且符合题意，此时， 答：每本《钢铁是怎样炼成的》35元，每本《经典常谈》25元； （2）解：设购买本《经典常谈》，则购买本《钢铁是怎样炼成的》， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，，， 共有三种购买方案：①购买17本《经典常谈》，购买39本《钢铁是怎样炼成的》 ②购买18本《经典常谈》，购买41本《钢铁是怎样炼成的》 ③购买19本《经典常谈》，购买43本《钢铁是怎样炼成的》． 39．某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． (1)求一件型商品的进价分别为多少元？ (2)若该外地客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于型的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？ (3)在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)一件型商品的进价为160元，一件型商品的进价为150元 (2)见解析 (3)方案3购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量关系列出方程和不等式式解题的关键． （1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元，根据数量总价单价，结合“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进A型商品m件，则购进B型商品件，根据“A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于78件”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案； （3）利用总利润每件的利润销售数量，可分别求出3种进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元，依题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意，所以． 答：一件型商品的进价为160元，一件型商品的进价为150元． （2）解：设购进型商品件，则购进型商品件， 依题意得 解得， 又∵为整数，即可以为78，79，80， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进型商品78件，B型商品82件； 方案2：购进型商品79件，B型商品81件； 方案3：购进型商品80件，B型商品80件． （3）解：方案1获得的利润为（元）； 方案2获得的利润为（元）； 方案3获得的利润为（元）． ∵， ∴方案3购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元． 40．“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； (2)17种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据总费用不超过6260元，并且购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套， 由题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29，…，40，41，42， ∴共有17种购买方案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $