2.2 数轴 讲义 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦数轴专题，系统梳理数轴上两点距离（绝对值表示）、中点问题（方程求解与公式应用）、点及线段运动（左减右加转化）等核心知识点，构建从基础概念到综合应用（含规律探究、和差倍分）的递进式学习支架。 资料通过分层例题（如距离计算到蚂蚁运动规律）和变式练习，融入分类讨论与方程思想，结合折叠、动点等生活情境，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。课中助力教师分层教学，课后作业与练习帮助学生巩固查漏，提升学习效果。

初一秋季班 第3讲 数轴专题 【教学目标】 1、掌握数轴上两点距离的表示方法； 2、掌握数轴的概念，利用数轴解决两点之间的距离等问题； 3、运用分类讨论思想，方程思想解题； 【教学重难点】 1、利用数轴解决点之间的距离问题，平移问题及生活实际问题（重点） 2、数轴上点的运动问题（难点） 【知识精讲】 知识点1 数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值。 设数轴上点A表示的数为，点B表示的数为b，则AB之间的距离=. 知识点2 数轴上中点问题 解决中点问题：设AB的中点为C，则可利用AC的距离=BC的距离，列方程求解. 中点公式：. 知识点3 数轴上的运动问题 （1）点的移动问题 ①数轴上两点间的距离=右边点表示的数一左边点表示的数； ②距离表示数a的点个单位长度的点有两个，a点左侧的点表示的数为a-b，右侧的点表示的数为a+b ③一个点表示的数为a，点向左运动个单位长度后表示的数为a-b；向右运动个单位长度后所表示的数为a+b.（左减右加） （2）线段的移动问题 因为线段上每一个点移动的距离是相同的，故解决线段移动问题就是将其转化为点的移动问题，用处理点的移动问题的方法加以考虑和研究. 【例题精讲】 【题型1：数轴上两点之间的距离】 【例题1】数轴上表示和3的两点之间的距离是（ ） A．3 B．6 C．7 D．8 【例题2】一只蚂蚁沿数轴从点A向右爬5个单位长度到达点B，点B表示的数是-2，则点A所表示的数是（ ） A．5 B．3 C．-3 D．-7 【例题3】已知点A在数轴上所对应的数为2，点A、B之间的距离为5，则点B在数轴上所对应的数是（ ） A．7 B．-3 C．±5 D．-3或7 【例题4】点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1．若点B到点C的距离为6，则点A到点C的距离等于（ ） A．3 B．6 C．3或9 D．2或10 【变式练习】 1、在数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离是（ ） A．-5 B．5 C．1 D．-1 2、在数轴上，点A表示-2，从A点出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达B点，则点B表示的数是_____． 3、数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若C表示的数为3，则点A表示的数为（ ） A．6 B．0 C．-6 D．-2 4、若数轴上点A表示，且，则点B表示的数是（ ） A．-5 B．3 C．-5或3 D．-4或4 5、已知点是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点，则点到原点的距离为（ ） A．1 B．-5 C．-5或1 D．1或5 6、数轴上点A和点B表示的数分别是-1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P表示的数是（ ） A．-3 B．-3或5 C．-2 D．-2或4 【题型2：数轴上两点的中点】 【例题1】数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点的距离是 ，A、B两点的中点是 ．若a=2，b=-4，那么A、B两点的中点是 . 【例题2】在数轴上，点A，B表示的数分别是和2，则线段AB的中点表示的数是(     ) A． B． C． D． 【例题3】如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点 对应的点表示的数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．-1 【变式练习】 1、数轴上、两点所表示的数分别是-2和4，点是线段的中点，则点所表示的数是______． 2、在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣7，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右 对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（　　） A．-2 B．-2.5 C．-1 D．1 3、已知数轴上，两点对应数分别为和5，为数轴上一点，对应数为． （1）若为线段的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求点对应的数． （2）数轴上是否存在点，使点到点，点距离和为10？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． （3）若点，点和点点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位分，则第几分钟时，，，三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？ 4、 如图，点，在数轴上表示的数分别为-2与6，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动，当一个点到达时，另一点也随之停止运动． （1）当为的中点时，求线段的长； （2）当为的中点时，求点表示的数． 【题型3：数轴上的规律问题】 【例题1】（2024年实外月考题改编）已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+6|+（b+3）2＝0，又b，c互为相反数． （1）求a，b，c的值．（2）若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点m表示的数． （3）若电子蚂蚁从B点开始连续移动，第1次向右移动1个单位长度；第2次向右移动2个单位长度；第3次向左移动3个单位长度；第4次向左移动4个单位长度；第5次向右移动5个单位长度；第6次向右移动6个单位长度；第7次向左移动7个单位长度；第8次向左移动8个单位长度…依次操作第2025次移动后到达点P，求P点表示的数． 【例题2】（天府新区期末）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为 _____；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为 _____． 【变式练习】 1、如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 1 B．2 C．4 D．6 2、如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答： （1）若将点B向左移动3个单位后，三个点所表示的数中，最小的数是 　　； （2）若使点B所表示的数最大，则需将点C至少向 　　移动 　　个单位； （3）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 　　个单位； （4）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 　　种，其中移动所走的距离和最少的是 　　个单位； （5）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第101次时，应跳________步，落脚点表示的数是 　　　　。 2025秋季初一数学 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 【题型4： 数轴上两点距离的和差倍分问题】 【例题1】已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C叫做点A、B的“n节点”，例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A、B的“4节点”． 请根据上述规定回答下列问题： （1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝　 ． （2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为 　 　； （3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足B、E之间的距离是A、E之间距离的一半，且此时点E为点A、B的“n节点”，求出n的值． 【变式练习】已知数轴上两点A．B对应的数分别为﹣2和7，点M为数轴上一动点． （1）请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B； （2）若点M到A的距离是点M到B的距离的两倍，我们就称点M是【A，B】的好点． ①若点M运动到原点O时，此时点M　　【A，B】的好点（填是或者不是） ②若点M以每秒1个单位的速度从原点O开始运动，当M是【B，A】的好点时，求点M的运动方向和运动时间 （3）试探究线段BM和AM的差即BM﹣AM的值是否一定发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【课堂小结】 1、数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值。 设数轴上点A表示的数为，点B表示的数为b，则AB之间的距离=. 2、数轴上中点问题 解决中点问题：设AB的中点为C，则可利用AC的距离=BC的距离，列方程求解. 中点公式：. 3、数轴上的运动问题 （1）点的移动问题 ①数轴上两点间的距离=右边点表示的数一左边点表示的数； ②距离表示数a的点个单位长度的点有两个，a点左侧的点表示的数为a-b，右侧的点表示的数为a+b ③一个点表示的数为a，点向左运动个单位长度后表示的数为a-b；向右运动个单位长度后所表示的数为a+b.（左减右加） （2）线段的移动问题 因为线段上每一个点移动的距离是相同的，故解决线段移动问题就是将其转化为点的移动问题，用处理点的移动问题的方法加以考虑和研究. 【课后作业】 1、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上随意画出一条长2025cm长的线段AB，则线段AB盖住的的整点有（       ）个. A．2024或2025 B．2025或2026 C．2022或2023 D．2024或2026 2、如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆 周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2025的点与圆周 上重合的点对应的字母是（　　） A．m 1 B．n C．p D．q 3、小明在纸上画了一条数轴，折叠纸面，使数轴上表示﹣1的点与表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且A，B两点在上述折叠中也互相重合，则A点表示的数为 。 4、如图，在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题： （1）若将点B向右移动5个单位长度后，三个点所表示的数中最小的数是多少？ （2）在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数； （3）在数轴上找出点E，使点E到点A的距离等于点E到点B的距离的2倍，写出点E表示的数． 初一课堂练习 时间： 姓名： 1、在数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离是（ ） A．-5 B．5 C．1 D．-1 2、若数轴上点A表示，且，则点B表示的数是（ ） A．-5 B．3 C．-5或3 D．-4或4 3、在数轴上，点A表示-2，从A点出发，沿数轴移动5个单位长度到达B点，则点B表示的数是_____． 4、如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，且AB＝4，则点C表示的数是_____. 5、操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与　 　表示的点重合； 操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数 是　 　． 【教学反思】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $