专题二整式的化简与求值解题策略（题型归纳+分类解析+拓展训练）2025-2026学年人教版八年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题二整式的化简与求值解题策略（题型归纳+分类解析+拓展训练） 整式的化简求值是初中数学的核心内容，下面为你系统梳理了常见的题型及对应的解题策略，希望能帮助你更好地掌握这部分知识。 核心题型 解题关键策略 易错点提醒 直接代入求值 先化简（去括号、合并同类项），再将数值直接代入计算 。 代入负数或分数时，忘记加括号，导致符号错误或运算顺序错误 。 整体代入求值 不直接求字母值，而是将已知代数式看作一个整体进行代入 。关键在识别所求式与已知式间的整体关系 。 混淆整体部分，未正确匹配公式。当整体为多项式时，代入时漏写括号 。 “不含”或“无关”型求值 先将多项式化简合并，令不含的项（或其系数）等于零，解方程求参数 。 合并同类项不彻底，导致无法正确判断哪些项的系数应为零 。 看错问题 题目中明确说明“看错”了某个符号或系数，但最终结果已知 利用正确与错误结果之间的差值，逆向推导出被看错的项 污染问题 题目中的部分数字或符号被墨水污染，无法直接识别。 利用整式运算的法则（如乘除关系）进行逆向推理，复原被污染部分 与数轴、绝对值结合求值 先根据数轴上点的位置判断字母的正负号，再去掉绝对值符号进行化简 。 ​绝对值的非负性应用错误，未能根据数轴准确判断式子的正负 。 利用非负性求值 利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质，列方程组求出字母的值 。 方程组列错或求解错误 。 程序流程图求值 严格按照程序图的步骤进行计算，注意循环和判断条件 。 未能理解程序逻辑，步骤执行错误或循环终止 “新定义”型求值 严格“照章办事”， 精准提取信息 绝对不要将新运算符号（如 ⊕）与常规的加号（+）等混淆 题型1 直接代入求值 例1．先化简，再求值：，其中． 针对训练1 1．先化简，再求值：，其中，，． 2．先化简，再求值：，其中． 3．（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中． 题型2 整体代入求值 例2．阅读与实践 （1）【知识感知】：完全平方公式1 的几何背景：如图1，把一个边长为的正方形分割成四部分，则这四部分的面积分别为，，，，由两种方法计算正方形的面积，可得到等式 （请补全等式）： ； （2）【类比迁移】：如图 2，将边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 DEFG 以图 2 方式摆 放，使得点 C，D，G 在同一直线上． 若，，求阴影部分的面积． 在求解过程中，同学们应用数学转化思想、数形结合思想、整体思想把求不规则图形 的面积转化为求规则图形的面积的和差进行求解． 经过思考做了以下尝试解答，请你补 全求解过程： 将等式 两边同时平方得： 化简得： 将代入①中得： 解得： ． （3）【拓展应用】：如图 3，将边长为 a 的正方形和边长为 b 的正方形以图 3 方式摆 放，使得点A，D，G 在同一直线上． 若，，求阴影部分的面积． 针对训练2 1．【知识生成】 （1）利用图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式：______，______； 【直接应用】 （2）已知：，，求和的值： 【问题解决】 （3）如图②所示，四边形是长方形，分别以为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为57，求长方形的面积： 【拓展应用】 （4）若，求的值． ． 2．先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将看成整体，令，则原式 再将还原，得到原式 上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题： (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 3．材料1：把完全平方公式和适当变形后，可以得到很多等式，例如：，．利用这些等式可以帮助我们解决许多数学问题． 材料2：换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径． 例：若，求的值． 解：令，，则，． 因为， 所以． 结合材料1和材料2可以有效地解决许多整式相关的问题． (1)若，，则的值为______； (2)若，求的值； (3)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为200，求图中阴影部分的面积和． 4．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 题型3“不含”与“某字母取值无关”型题型 例3．若的展开式中不含的二次项和一次项． (1)求的值； (2)求的值． 针对训练3 1．已知展开的结果中，不含和项为常数）． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 2．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 3．（）已知，，且的值与无关，求的值； （）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 4．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 题型4 看错问题 例4．淘气和笑笑两人分别计算一道整式乘法的题，淘气计算的题：，笑笑计算的题：，由于淘气将第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于笑笑将第二个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为． (1)求的值． (2)请求出这两道题的正确结果． 针对训练4 1．有这样一道题，求代数式的值：，其中．小明做题时不小心把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请问这是怎么回事？请通过计算说明理由． 2．某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求正确的计算结果． 3．在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 4．（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 题型5 污染问题 例5．图是三张写有整式的卡片，小明发现之间满足两个整式相加等于第三个整式，但中一个单项式不小心被墨水污染了． (1)嘉嘉推测，淇淇推测，请你判断他们的推测是否正确，并说明理由； (2)得到中被污染的单项式后，求时整式的值． 针对训练5 1．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 2．学习情境·墨迹污染  今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小梦拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（   ） A． B． C． D． 3．小明同学在复习整式的乘法时，看到了自己以前做过的一道计算题，但是有一部分被墨迹污染，无法看清，所呈现的部分为：（），请你根据所学知识，确定被墨迹污染的部分为： ． 41．小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则处所对应的数是 （写出一个值即可）． 题型6结合数轴、绝对值求值 例6．如图，数轴上点分别表示数． (1) 0， 0； (2)比较与的大小，并说明理由． 针对训练6 1．如图，数轴上A点与数轴原点重合，B点表示的数是2．过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d． （1） ； （2）若，则 ． 2．化简并求值：，其中x，y在数轴上的位置如图所示. 3．先化简再求值：求的值.（其中x，y两数在数轴上对应的点如图所示） 4．已知关于x、y的整式，其中x、y满足与互为相反数. （1）求x的值. （2）化简整式，并求整式的值. 题型7利用非负性求值 例7．先化简，再求值： 其中 针对训练7 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中，满足． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值： ，其中m、n满足 题型8程序流程图求值 例8．在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是 ． 针对训练8 1．按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入的最大值为 ． 2．数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1) (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 3．小方在电脑中设置了一个运算程序． (1)根据运算程序，求出与之间的关系式． (2)当时，求的值． 4．小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4，如图．每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上，同时小明的屏幕上的数就会减去，且均显示化简后的结果．如下表就是按一次后及两次后屏幕显示的结果． 开始数 按一次后 按二次后 按三次后 按四次后 小林 9 小明 4 根据以上的信息回答问题：从开始起按4次后， （1）两人屏幕上显示的结果是：小林______；小明______； （2）判断这两个结果的大小，并说明理由． 题型9“新定义”型化简求值 例9．定义一种新运算“”，对于任意，都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：． (1)求的值； (2)计算； (3)这种运算是否满足交换律？请说明理由． 针对训练9 1．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 2．新定义与有理数综合题：定义运算“”：． (1)计算：； (2)若，求x的值(提示：先化简的运算式，后代入即可求值)． 3．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 4．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 1．先化简，再求值：，其中x，y是方程组的解． 2．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 3．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 4．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：，方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：，方法2：____________，由此可得恒等式：______． 【迁移运用】（2）若，，求的值． （3）若，，求的值． 5．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________ (2)已知，则___________； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； (4)已知实数满足，求的最值． 6．探索题： ， ， ， ． (1)观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 7．原题呈现：若，求、的值． 方法介绍：①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经典运用： (1)若，则__________，__________； (2)若，求的值． 8．定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 9．【知识生成】 数形结合是一种解决数学问题的重要思想方法，利用这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来． （1）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图1的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式之间的等量关系：__________． 【尝试运用】 （2）根据（1）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，求代数式的值．（写出过程） 【解决问题】 （3）两个完全相同的直角三角形如图2所示放置，其中、、在同一直线上．连接、，若，，求一个直角三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题二整式的化简与求值解题策略（题型归纳+分类解析+拓展训练）（解析版） 整式的化简求值是初中数学的核心内容，下面为你系统梳理了常见的题型及对应的解题策略，希望能帮助你更好地掌握这部分知识。 核心题型 解题关键策略 易错点提醒 直接代入求值 先化简（去括号、合并同类项），再将数值直接代入计算 。 代入负数或分数时，忘记加括号，导致符号错误或运算顺序错误 。 整体代入求值 不直接求字母值，而是将已知代数式看作一个整体进行代入 。关键在识别所求式与已知式间的整体关系 。 混淆整体部分，未正确匹配公式。当整体为多项式时，代入时漏写括号 。 “不含”或“无关”型求值 先将多项式化简合并，令不含的项（或其系数）等于零，解方程求参数 。 合并同类项不彻底，导致无法正确判断哪些项的系数应为零 。 看错问题 题目中明确说明“看错”了某个符号或系数，但最终结果已知 利用正确与错误结果之间的差值，逆向推导出被看错的项 污染问题 题目中的部分数字或符号被墨水污染，无法直接识别。 利用整式运算的法则（如乘除关系）进行逆向推理，复原被污染部分 与数轴、绝对值结合求值 先根据数轴上点的位置判断字母的正负号，再去掉绝对值符号进行化简 。 ​绝对值的非负性应用错误，未能根据数轴准确判断式子的正负 。 利用非负性求值 利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质，列方程组求出字母的值 。 方程组列错或求解错误 。 程序流程图求值 严格按照程序图的步骤进行计算，注意循环和判断条件 。 未能理解程序逻辑，步骤执行错误或循环终止 “新定义”型求值 严格“照章办事”， 精准提取信息 绝对不要将新运算符号（如 ⊕）与常规的加号（+）等混淆 题型1 直接代入求值 例1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式； ∵， ∴原式． 针对训练1 1．先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号合并同类项，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘多项式，化简求值，先运用单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： 当时， 原式 3．（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2），28 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式，多项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算单项式乘以多项式，然后计算多项式除以单项式； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并，然后代数求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 将代入，原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，然后运用多项式除以单项式，得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 题型2 整体代入求值 例2．阅读与实践 （1）【知识感知】：完全平方公式1 的几何背景：如图1，把一个边长为的正方形分割成四部分，则这四部分的面积分别为，，，，由两种方法计算正方形的面积，可得到等式 （请补全等式）： ； （2）【类比迁移】：如图 2，将边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 DEFG 以图 2 方式摆 放，使得点 C，D，G 在同一直线上． 若，，求阴影部分的面积． 在求解过程中，同学们应用数学转化思想、数形结合思想、整体思想把求不规则图形 的面积转化为求规则图形的面积的和差进行求解． 经过思考做了以下尝试解答，请你补 全求解过程： 将等式 两边同时平方得： 化简得： 将代入①中得： 解得： ． （3）【拓展应用】：如图 3，将边长为 a 的正方形和边长为 b 的正方形以图 3 方式摆 放，使得点A，D，G 在同一直线上． 若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） ，24；（2）阴影部分的面积是151 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义与应用，解题关键是利用图形面积的和差转化，结合完全平方公式进行计算． （1）利用正方形面积的整体与部分计算方法，推导完全平方公式 。 （2）先将阴影部分面积转化为规则图形面积的和差，得出；再依据完全平方公式及已知条件、，求出的值，即阴影部分面积 。 （3）把阴影部分面积转化为；借助完全平方公式变形，结合已知、，算出的值，进而求得阴影部分面积 。 【详解】（1）根据正方形面积的两种计算方法（整体法和部分法），边长为的正方形面积，整体计算为；部分计算为四部分面积和， 所以 ； 故答案为：； （2） ； 将等式 两边同时平方得： 化简得： 将代入①中得： 解得：． 故答案为： ，24； （3）阴影部分面积 ． ∵，；， ． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 针对训练2 1．【知识生成】 （1）利用图①中图形整体与部分面积之间的等量关系，可以得到两个整式的乘法公式：______，______； 【直接应用】 （2）已知：，，求和的值： 【问题解决】 （3）如图②所示，四边形是长方形，分别以为边向外作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为57，求长方形的面积： 【拓展应用】 （4）若，求的值． 【答案】（1），（2），（3）12（4）13 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式以及分割法求面积两种方法即可得出结论； （2）利用完全平方公式变形计算即可； （3）设，进而得到，利用完全平方公式求出的值即可得出结果； （4）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由第1个图可知，大正方形的面积； 由第2个图可知：大的阴影正方形的面积； 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴； ∴， ∴； （3）设，由题意，得：，， ∴， ∴； ∴长方形的面积为12； （4）∵，， ∴． 2．先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将看成整体，令，则原式 再将还原，得到原式 上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题： (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将看成整体，令，进行分解因式即可； （2）将看成整体，令，解答即可． 本题考查了整体代换法分解因式，熟练掌握整体代换法是解题的关键． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 再将还原，得到原式 （2）证明：， 将看成整体，令， 则原式， 再将还原，得到原式， 为正整数，为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． 3．材料1：把完全平方公式和适当变形后，可以得到很多等式，例如：，．利用这些等式可以帮助我们解决许多数学问题． 材料2：换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径． 例：若，求的值． 解：令，，则，． 因为， 所以． 结合材料1和材料2可以有效地解决许多整式相关的问题． (1)若，，则的值为______； (2)若，求的值； (3)如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为200，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积和为 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，完全平方公式与图形面积； （1）根据计算即可； （2）设，，可得，，再结合完全平方公式的变形可得答案； （3）由可得，，，，，可得，结合，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴； （3）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∵长方形的面积为200， ∴， ∴ ； ∴阴影部分的面积和为． 4．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）从已知条件变形得到的值，再将所求式子变形为含的形式，整体代入计算． （2）通过设元，把和用新的字母表示，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出两式乘积；或利用完全平方差公式与已知条件建立联系求解． （3）根据能被整除设出表达式，将变形为含的形式，再结合设出的表达式判断能否被整除． 本题主要考查了整体思想在代数式求值、整除问题中的应用，涉及完全平方公式、代数式变形等知识，熟练掌握整体代换的技巧是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ． （2）解：方法一： 设，． 则． ． ． ． ， ． ． 则． 方法二： 设，． 则． ． ． ． ． 则． （3）解：能被6整除， ∴设（为正整数） ∴ ． ∴也能被6整除. 题型3“不含”与“某字母取值无关”型题型 例3．若的展开式中不含的二次项和一次项． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，平方差公式的应用． （1）根据整式的乘法运算法则展开，再根据展开式中不含的二次项和一次项，即整理后该项系数为零，据此建立等式求出、的值，将、的值代入中计算，即可解题． （2）把原式化为，再利用平方差公式逐步计算即可解题． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含的二次项和一次项， ∴， 解得：， ∴． （2）解：， ， ， ， 上式． 针对训练3 1．已知展开的结果中，不含和项为常数）． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)，61 【分析】此题考查了整式的混合运算．熟练掌握多项式乘以多项式法则，单项式乘以多项式法则，平方差公式，完全平方公式是关键． （1）利用多项式乘以多项式法则计算，根据不含和x项进行解答即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后把字母m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ． ∵展开的结果中，不含和x项， ∴． 解得；． （2）解： ． 将代入得， 原式． 2．【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 3．（）已知，，且的值与无关，求的值； （）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（）；（） 【分析】（）把代入求出结果，进而根据的值与无关得到含项的系数为，据此即可求解； （）根据题意求出这个多项式，再列出正确的算式计算即可； 本题考查了整式的加减无关型问题，单项式乘以多项式，掌握整式是运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴； （）这个多项式为， ∴正确的计算结果是． 4．七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2），， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 题型4 看错问题 例4．淘气和笑笑两人分别计算一道整式乘法的题，淘气计算的题：，笑笑计算的题：，由于淘气将第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于笑笑将第二个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为． (1)求的值． (2)请求出这两道题的正确结果． 【答案】(1) (2)淘气计算的题：；笑笑计算的题： 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式及解一元一次方程，熟练运用多项式乘多项式的法则是正确解答此题的关键． （1）分别计算及后得到关于的方程，解方程即可； （2）将分别代入原式计算对应的结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ， 所以， 解得； ， ， 所以， 解得； （2）解：淘气计算的题： ； 笑笑计算的题： ． 针对训练4 1．有这样一道题，求代数式的值：，其中．小明做题时不小心把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请问这是怎么回事？请通过计算说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式以及单项式乘以单项式的运算，整式的加减计算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式以及单项式乘以单项式的运算法则计算化简，得到结果不含有，即可判断． 【详解】解： ， ∵化简结果不含有， ∴计算结果与无关， ∴计算结果正确． 2．某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求正确的计算结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式A的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 3．在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）化简，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意，可知：，， 即：，； （2）由（1）的结果，得： ， 4．（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减，解题的关键是理解题干意思，列出正确的算式计算． （1）利用多项式乘多项式法则展开，根据结果不含项，求出n的值即可； （2）根据求出B，再代入中计算即可． 【详解】解：（1）原式， 不含有项， ， ； （2），， ， ， 故正确的结果 题型5 污染问题 例5．图是三张写有整式的卡片，小明发现之间满足两个整式相加等于第三个整式，但中一个单项式不小心被墨水污染了． (1)嘉嘉推测，淇淇推测，请你判断他们的推测是否正确，并说明理由； (2)得到中被污染的单项式后，求时整式的值． 【答案】(1)两人推测都不正确，理由见详解 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握计算法则是解此题的关键． （1）根据题意和题干中的多项式，分别求出阴影部分，再与题干中的进行比较即可得出答案； （2）求出后，代数求值即可． 【详解】（1）解：两人推测都不正确，理由如下： ， ， 令得， 若，则， ∴ ， ，不是单项式，不符合题意； 若， ∴ 解得，不是单项式，不符合题意； 所以，两人推测都不正确； （2）解：由（1）得两人推测都不正确， ∴只有， 令得， 解得， ∴， 将代入上式得， ． 针对训练5 1．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与的和大于1，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：，； （2）解：与的和大于1 与的和大于1． 2．学习情境·墨迹污染  今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小梦拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得积相加是解答此题的关键． 先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边， 右边， ∴内应填， 故选：B． 3．小明同学在复习整式的乘法时，看到了自己以前做过的一道计算题，但是有一部分被墨迹污染，无法看清，所呈现的部分为：（），请你根据所学知识，确定被墨迹污染的部分为： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的逆用，熟练掌握平方差公式并灵活运用是解题的关键； 逆用平方差公式将转化为，可得结果． 【详解】， 被墨迹污染的部分为． 故答案为：． 41．小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则处所对应的数是 （写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴■处所对应的数是或， 故答案为：（答案不唯一）． 题型6结合数轴、绝对值求值 例6．如图，数轴上点分别表示数． (1) 0， 0； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查数轴的基本概念和平方差公式的应用，同时通过数的正负性和乘积结果判断大小关系，综合性地考查了代数与数轴知识． （1）根据数轴特点判定即可； （2）运用作差法，平方差公式判定即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知，点A在原点的左侧，点B在原点的右侧； 所以，， 故答案为：，． （2）解：， 因为，， 所以， 即， 故答案为：． 针对训练6 1．如图，数轴上A点与数轴原点重合，B点表示的数是2．过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了实数与数轴，完全平方公式以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得出，结合勾股定理得，结合，即可作答． （2）结合以及完全平方公式，得出，即，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵数轴上A点与数轴原点重合，B点表示的数是2 ∴ ∵， ∴在中， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d ∴ 即； （2）∵， ∴ 即 ∴ 即 故答案为：，13． 2．化简并求值：，其中x，y在数轴上的位置如图所示. 答案：13 解析： ， 由数轴可知，，， 所以原式. 3．先化简再求值：求的值.（其中x，y两数在数轴上对应的点如图所示） 答案：，4 解析：原式==； 当，时， 原式. 4．已知关于x、y的整式，其中x、y满足与互为相反数. （1）求x的值. （2）化简整式，并求整式的值. 答案：（1） （2）0 解析：（1）与互为相反数， ， 又，， ，，； （2）原式 ， 又， ， 原式. 题型7利用非负性求值 例7．先化简，再求值： 其中 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与求值，以及非负数的性质，解题的关键是先利用完全平方公式、平方差公式等对整式进行化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代入化简后的式子计算． 先根据完全平方公式展开利用平方差公式计算单项式乘多项式法则计算然后去括号、合并同类项对原式进行化简；再根据非负数的性质，由求出x和y的值；最后将x、y的值代入化简后的式子求值． 【详解】先化简原式： ∵且平方项具有非负性， ∴ 解得． 将代入化简后的式子得 故答案为：． 针对训练7 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值、乘法公式、绝对值的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键 先化简代数式，然后求出和，代入求值即可 【详解】解：原式 ， ∵， ，， ∴，， ∴，， 将，代入得， 原式． 2．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先根据乘法公式和多项式的乘法计算，再计算加减，然后计算除法，根据算术平方根的非负性、平方的非负性求出，，代入化简结果计算即可． 【详解】 ， ∵， ∴，， 即，， ∴． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，正确计算是解题的关键． 先逆用完全平方公式将式子化简，再根据非负性求出，再代入求值即可． 【详解】解：原式． ， ，原式． 4．先化简，再求值： ，其中m、n满足 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性，先运算中括号内，再合并同类项，然后运算多项式除以单项式，得，结合，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， 解得， 则． 题型8程序流程图求值 例8．在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算及多项式乘法运算，解题的关键是理解新运算的规则，将对应数值代入运算式后准确展开并合并同类项． 先明确新运算定义：，需计算，即确定、；再将、代入运算式，得到；最后展开该多项式并合并同类项，得出化简结果． 【详解】解：根据新运算定义，计算时，令，，则： 故答案为：． 针对训练8 1．按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序框图与求代数式的值，以及平方差公式，根据分析求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴， ∴或， ∴输入的最大值为4． 故答案为：4． 2．数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1) (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先根据程序图的顺序，对输入的按照“加、平方、减、乘”的步骤列出代数式，然后对其进行化简． （2）把代入（1）中化简后的代数式，通过计算得出结果． 本题主要考查了整式的运算以及代数式求值，熟练掌握整式的运算法则（如完全平方公式、乘法分配律等）和代入求值的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，原式 ． 3．小方在电脑中设置了一个运算程序． (1)根据运算程序，求出与之间的关系式． (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了程序流程图，理解规定的运算程序是解题关键． （1）根据运算程序即可求解； （2）把代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，与之间的关系式为： ； （2）解：当时，． 4．小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4，如图．每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上，同时小明的屏幕上的数就会减去，且均显示化简后的结果．如下表就是按一次后及两次后屏幕显示的结果． 开始数 按一次后 按二次后 按三次后 按四次后 小林 9 小明 4 根据以上的信息回答问题：从开始起按4次后， （1）两人屏幕上显示的结果是：小林______；小明______； （2）判断这两个结果的大小，并说明理由． 【答案】（1），；（2），理由见解析． 【分析】（1）根据题干所述规律，即可得出结论； （2）利用作差法，结合完全平方公式和平方的非负性即可比较大小． 【详解】解：（1）按4次，小林的屏幕上的数等于9加4个，为， 按4次，小林的屏幕上的数等于4减4个，为， 故答案为：，； （2） = = =， ∵， ∴， 故． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用．掌握作差法，能用完全平方公式给代数式适当变形是解题关键． 题型9“新定义”型化简求值 例9．定义一种新运算“”，对于任意，都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：． (1)求的值； (2)计算； (3)这种运算是否满足交换律？请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，平方差公式，单项式乘以多项式，准确理解题意中的新定义是解题的关键． （1）根据题意列式进行计算即可； （2）根据题意列式然后利用平方差公式进行计算即可； （3）分别计算和比较求解即可． 【详解】（1）； （2） （3）这种运算不满足交换律，理由如下： ∵和不一定相等 ∴和不一定相等 ∴和不一定相等 ∴这种运算不满足交换律． 针对训练9 1．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)56 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：原式， 是完全平方公式， 或． 故答案为：2或； （3）解：原式 ， ，， ，， ． 2．新定义与有理数综合题：定义运算“”：． (1)计算：； (2)若，求x的值(提示：先化简的运算式，后代入即可求值)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算及一元一次方程的求解，解题的关键是先利用完全平方公式化简新定义运算“”的表达式，再进行后续计算或解方程． （1）先通过完全平方公式化简，得到简化表达式后，代入、计算； （2）利用化简后的表达式，代入得到关于x的一元一次方程，求解方程即可得x的值． 【详解】（1）解：，   ∴． （2）由（1）知， 则，且，   ∴，   解得． 3．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 【答案】(1) (2)①56；②2 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）直接根据计算即可； （2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可； ②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴； ②由图知：， ∴， 化简得， ∴， 由①得，，， ∴， ∴． 4．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 1．先化简，再求值：，其中x，y是方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算以及解二元一次方程组，熟知运算法则和解二元一次方程组的解法是解题的关键．先按照整式的一些运算法则进行化简，然后求解方程组，再把x，y的值代入化简后的代数式中即可． 【详解】解：原式 ． 解方程组，得， ∴当，时， 原式． 2．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 3．对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式乘法与图形面积.根据图形面积总结规律，关键是运用规律解决问题． （1）直接根据图形写出等式； （2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可． 【详解】（1）由图形可得等式：； 故答案为：，； （2），，，且， ． 4．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：，方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：，方法2：____________，由此可得恒等式：______． 【迁移运用】（2）若，，求的值． （3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；；；．（2）；（3） 【分析】考查完全平方公式以及多项式的乘法与图形面积，从整体和局部两种情况分析并写出面积以及体积的表达式是解题的关键， （1）依据图形的特点，分为两种方法，一种依据边长运用面积公式直接求面积，另一种用大正方形的面积减去四个小矩形的面积，再根据两种方法面积相等即可得到数量关系；方法1：根据正方体的体积公式，正方体的边长的立方就是正方体的体积；方法2：2个正方体和6个长方体的体积和就是大长方体的体积，由此即可得到结论： (2）根据进行求解即可; (3）根据进行求解即可. 【详解】（1）方法1：阴影部分是边长为的正方形，则其面积为； 方法2：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，则其面积为， ∵两种表示方法的面积相等，∴． 方法1：大正方体棱长为，∴其体积为， 方法2：大正方体体积是所有长方体和所有小正方体的体积和，即， ∴． 故答案为：；；；；；． （2）∵，，， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴． 5．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________ (2)已知，则___________； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； (4)已知实数满足，求的最值． 【答案】(1) (2)5 (3)，理由见解析 (4)的最小值是 【分析】本题考查的是配方法的应用，“完美数”的定义，熟记完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义解答； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算； （3）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答； （4）对原式进行变形，再根据配方法进行求最小值即可． 【详解】（1）解：是完美数， ； 故答案为：； （2）解：， ，即， 且， 解得：， 则； 故答案为：5； （3）解：可取，理由如下： 对配方， 得，要使为“完美数”，可取，即，此时，因为是整数，所以和是整数，符合“完美数”的定义，故符合条件的一个值为10； （4）解：， ∵， ∴， 的最小值是． 6．探索题： ， ， ， ． (1)观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 【答案】(1)①② (2)①② 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、多项式的乘法、有理数的乘法、逆用幂的乘方等知识点，发现数字的变化规律是解题的关键． （1）①根据已有等式进行类比即可解答；②根据已有等式进行类比、归纳即可解答； （2）①先将原式写成，然后利用（1）的规律解答即可；②先将原式写成，然后利用（1）的规律解答可得，再逆用幂的乘方求解即可． 【详解】（1）解：①由， ， ， ， 则； 故答案为：． ②由， ， ， ， ， …… ． 故答案为：． （2）解：① ． ② ． 因为且， 所以且， 所以． 所以． 所以． 7．原题呈现：若，求、的值． 方法介绍：①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经典运用： (1)若，则__________，__________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）仿照题干方法，转化为非负数的和为0的形式，进行求解即可； （2）仿照题干方法，转化为非负数的和为0的形式，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴； （2）， ， ， ∴， ∴， ∴． 8．定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ，即， 解得； （2）解： ， ， 的值与无关， ， 解得， ． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． 9．【知识生成】 数形结合是一种解决数学问题的重要思想方法，利用这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来． （1）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图1的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式之间的等量关系：__________． 【尝试运用】 （2）根据（1）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，求代数式的值．（写出过程） 【解决问题】 （3）两个完全相同的直角三角形如图2所示放置，其中、、在同一直线上．连接、，若，，求一个直角三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3）40 【分析】（1）根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个小长方形的面积为，根据图形面积不变性，得． （2）根据，代入解答即可． （3）设，根据题意，得，即，求即可． 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个小长方形的面积为，根据图形面积不变性，得， 故答案为：． （2）解：根据，， 得 解得． （3）解：设， 由，， 根据题意，得，即， 由， 得 故． 故一个直角三角形的面积为40． 学科网（北京）股份有限公司 $