专题03 代数式（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

专题03 代数式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的概念与列代数式 理解代数式的概念，能根据题意正确列出代数式 基础必考点，选择题中出现频率较高，实际意义理解错误率较高 代数式的值 能准确求出代数式的值，掌握整体代入思想 计算基础考点，代入求值、整体思想必考 整式的相关概念 理解单项式、多项式的概念，掌握系数、次数等概念 概念辨析重点 整式的加减运算 掌握合并同类项法则，能熟练进行整式的加减运算 核心计算能力，符号错误是主要失分点 代数式规律探索 能观察分析简单规律，并用代数式表示 综合能力考查，规律发现与表达 知识点01 代数式的值 1.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果 2.求代数式值的步骤：代入：用数值代替代数式中的字母；计算：按代数式指明的运算顺序计算出结果 3.整体代入法：当字母之间的关系明确时，可整体代入求值 ·示例：1.小明爸爸经营一家民宿，提供A，B两种不同类型的套房供游客选择．其中A种套房共有5间，B种套房共有7间，A种套房每间每晚房费a元，B种套房每间每晚房费比A种套房每间每晚房费高出20%．若某天民宿所有套房均被预定，该天民宿的总收入是　 　 元（用含a的代数式表示）． 2.若代数2x2＋3x的值为5，则代数式4x2＋6x－9的值是（　　） A．1 B．－1 C．4 D．－4 3.如图，在△ABC中，AB＞AC，D是BC延长线上一点，过点D的直线分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝x°，∠ACB＝y°，∠1＝∠2，则∠D＝ 　 　 度（用含x、y的代数式表示）． ·易错点：代入负数时忘记加括号；代入分数时运算顺序错误；整体代入时符号处理错误 知识点02 整式的相关概念 1.单项式：由数与字母的积组成的代数式；系数：单项式中的数字因数；次数：所有字母的指数和 2.多项式：几个单项式的和；项：组成多项式的每个单项式；常数项：不含字母的项；次数：多项式中次数最高项的次数 3.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 ·示例：1.下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．－a2b3的系数是－1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．的系数是－2，次数是3 2.一个长方形的长为5a＋2b，宽比长小a－b，则此长方形的周长为 　 　 ． ·易错点：混淆立方根与平方根的性质（负数有立方根），立方根符号理解错误，计算时忽略负号. 知识点03 整式的加减运算 1.合并同类项法则：系数相加，字母和字母的指数不变 2.去括号法则：括号前是"＋"号，去掉括号后原括号内各项符号不变；括号前是"－"号，去掉括号后原括号内各项符号改变. 3.整式加减的实质：去括号，合并同类项 ·示例：1.下列各式正确的是（　　） A．3x＋3y＝6xy B．x＋x＝2x2 C．－9a2b－9a2b＝0 D．－9y2＋16y2＝7y2 2.先化简，再求值：2（2mn＋m2）－3（mn－m2），其中m＝－1，n＝2． ·易错点：误认为带根号的数都是无理数，无理数分类错误，在数轴上表示无理数位置不准确. 题型一 代数式的概念与求值 解｜题｜技｜巧 1.列代数式时要明确运算顺序，适当添加括号 2.求代数式的值时，先化简再代入 3.整体代入时要观察已知条件与所求式子的联系 易｜错｜点｜拨 代入数值时，特别是负数和分数，务必加上括号，避免符号错误。 【典例1】已知x＝7时，代数式ax3＋bx＋2的值为14，则x＝－7时，代数式ax3＋bx－5的值为（　　） A．－17 B．－15 C．12 D．7 【典例2】如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S为 　 　 ． 【典例3】学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为2a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． （1）用代数式表示阴影部分的面积：（结果保留π） （2）当m＝8，n＝6，a＝1，b＝2时，阴影部分的面积是多少？（π取3） 【变式1】若多项式2x2＋mx－y＋6与2nx2－3x＋5y－1的和的值与x所取的值无关，则m＋n的值是　 　 ． 【变式2】如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是2，第1次输出的结果是－1，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（　　） A．－2 B．－1 C．1 D．4 【变式3】从2024年开始，我市中考体育总分将增加到100分．为适应新中考要求，某中学计划在网上购买足球和跳绳供学生体育锻炼．在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有甲乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．甲网店：买一个足球送一条跳绳，乙网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知该学校要购买足球80个，跳绳x条（x＞80）． （1）若在甲网店购买，需付款　 　 元（用含x的代数式表示）；若在乙网店购买，需付款　 　 元；（用含x的代数式表示） （2）当x＝200时，通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算． 题型二 整式的加减与化简求值 答｜题｜模｜板 1. 去括号：按去括号法则去掉括号 2.找同类项：用不同标记标出同类项 3.合并同类项：系数相加，字母部分不变 4.代入求值：有具体数值时代入计算 【典例1】如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为y－12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x－y＋4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【典例2】定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a－b．若，则（2a＋b）⊕（2a－5b）的值为　 　 ． 【典例3】已知整式A＝2x2＋ax－3，B＝bx2－5x＋6，其中a、b是常数，若整式3B－2A的值与x的取值无关，求a，b的值． 【变式1】若A＝2x2－4x－3，B＝2x2－4x－7，则A，B的大小关系是（　　） A．A＝B B．A＞B C．A＜B D．无法确定 【变式2】小马虎在计算一次式－3x＋1与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是2x－3，则正确的答案是 　 　 ． 【变式3】已知代数式x4＋ax3＋3x2＋5x3－7x2－bx2＋6x－2合并同类项后不含x3，x2项，则－2a＋b的值为 　 　 ． 题型三 代数式规律探索 答｜题｜模｜板 1.观察序号与数值的关系：从具体到抽象 2.寻找运算规律：相邻项之间的差、比等关系 3.建立代数模型：用含n的代数式表示第n个数 4.验证模型：用前几项检验表达式的正确性 易｜错｜点｜拨 规律探索题的关键是找到序号n与对应数值之间的函数关系，注意有时需要分段讨论 【典例1】规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面．观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … －2 －1 0 1 2 … －x－2 … 0 －1 －2 －3 a … 2x－2 … －6 －4 b 0 2 … 2x＋1 … －3 －1 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：a＝ 　 　 ；b＝ 　 　 ； 【归纳规律】 （2）表中－x－2的值的变化规律是：x的值每增加1，－x－2的值就都减少1．类似地，2x＋1的值的变化规律是：　 　 ； （3）观察表格，下列说法正确的有 　 　 （填序号）； ①当－x－2＞2x＋1时，x＜－1；②当－x－2＜2x＋1时，x＞－1；③当x＞1时，－x－2＜2x－2；④当x＜1时，－x－2＞2x－2． 【应用迁移】 （4）已知代数式ax＋b与mx＋n（a，b，m，n为常数且a≠0，m≠0），若无论x取何值，ax＋b始终大于mx＋n，试写出a与m，b与n满足的条件． 【典例2】把黑色围棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…按此规律排列下去，则第⑨个图案棋子的颗数为（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 【变式1】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　） A．40 B．42 C．44 D．46 【变式2】依次排列的两个整式－a，a－2b，将第一个整式乘2再减去第二个整式，称为第1次操作，得到第三个整式－3a＋2b；将第二个整式乘2再减去第三个整式，称为第2次操作，得到第四个整式5a－6b；……，以此类推，下列3个说法： ①第五个整式为－11a＋10b； ②若a＝b＝11，则前四个整式之和为－44； ③存在整数n，使第n次与第n＋1次操作后得到的两个整式的和是102a－100b； 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列各式运算正确的是（　　） A．2x＋3＝5x B．ab2－ab2＝0 C．3a2b－2a2b＝1 D．3a＋5a＝8a2 2.苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（　　） A．85 B．81 C．73 D．71 3.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m＋n＝－2，mn＝－4，则2（mn－3m）－3（2n－mn）的值为 　 　 ． 4.若整式（3x2＋mx－2y＋4）－（3nx2－2x＋6y－3）的值与字母x的取值无关，则mn的值为　 　 ． 5.先化简，再求值：3（2a2b－5ab2）－2（ba2－7ab2），其中a＝－1，b＝2． 6.寒假来临，某校将组织学生外出研学．旅行社的报价为每人300元，但当研学人数超过50人时，有两种优惠方案． 方案一：研学团队交1500元后，每人再收费240元； 方案二：5人免费，其余每人的收费打九折（九折即原价的90%）． （1）当参加研学的总人数是x（x＞50）人时，方案一共收费 　 　 元；方案二共收费 　 　 元．（用含x的代数式表示，结果化为最简） （2）当参加研学的总人数是80人时，采用哪种方案更省钱？请通过计算说明理由． 7.【阅读材料】探索并运用“割尾法”来判定一个三位数能否被7整除的奥秘． 方法：1．割尾取整：首先，我们巧妙地割去三位数的末尾数字c，从而得到一个两位数（在数学表达中，ab实则代表10a＋b的数值）． 2．差值计算：接着，我们计算这个两位数与c的两倍（即2c）之间的差值，得到的结果即为． 3．判定规则：若此差值恰好为7的倍数，那么，我们就可以断言，原三位数同样能被7整除． 实例演示：以三位数273为例，我们割去其末尾数字3，得到27．随后，计算27与3的两倍的差值，即：27－2×3＝21，鉴于21是7的倍数，因此，我们可以确信273同样能被7整除． （1）【类比运用】尝试用“割尾法”判断476能否被7整除； （2）【推理验证】已知三位数，请用含a，b，c的表达式表示和“割尾法”后所得的差． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知x＋y＝1，则代数式x＋（x＋y）2＋y的值为　 　 ． 2.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，… （2），… 利用以上规律计算结果是（　　） A．－1 B．0 C．1 D．不能确定 3.如图所示，观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第n个图形中共有（　　）个三角形． A．2n＋1 B．n＋3 C．4n－1 D．4n＋1 4.计算：（1）3x2＋6x＋3＋4x－2x2－1； （2）（5a2＋2a－1）－4（3＋2a2）． 5.如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数是－6，点B表示的数是9．点P在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动；设运动时间为t秒，且M点为线段AP的中点，N点为线段BP的中点． （1）AB＝　 　 ，当t＝1时，点P表示的数是　 　 ；点M表示的数是　 　 ；点N表示的数是　 　 ． （2）当t＝a时，点M表示的数为　 　 ，点N表示的数为　 　 ．（用含a的式子填空） （3）在点P的运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 6.如图所示的一扇窗户（单位：米），窗户的上部是一个半圆，下部由三个完全相同的长方形组成．窗框为铝合金材料，窗户全部安装玻璃． （1）这样一扇窗户共需要铝合金　 　 米；（用含有x，y的代数式表示） （2）这样一扇窗户共需要玻璃　 　 平方米；（铝合金窗框宽度忽略不计，用含有x，y的代数式表示） （3）某公司需要购进5扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两家厂商分别给出报价如表： 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180元/米 不超过100平方米的部分，定价80元/平方米；超过100平方米的部分，定价50元/平方米 乙 200元/米 定价70元/平方米，每购买7平方米的玻璃赠送1米的铝合金窗框 当x＝4，y＝6时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算（π取3）？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知关于x的整式M＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，其中a，b，c，d，e为整数，6＞a＞b＞c＞d＞e＞－4，|a＋b＋c＋d＋e|＝5且满足下列说法： ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若c＝1，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有10个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2.一段钢管的形状和尺寸如图所示．如果大圆的半径是R，小圆的半径是r，钢管的长度是a，则这段钢管的体积V＝（　　） A． B． C．π（R2－r2）a D．π（R3－r3）a 3.如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去，若第n个图中有93颗黑色棋子，则n的值为（　　） A．28 B．31 C．29 D．30 4.某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． 请通过计算分别求出C，D卡片上的代数式． 5.【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的排列顺序如下：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，我们可以用英语26个字母来编制密码．例如，对于密文“Ldpdvwxhqw”如果给一把破译它的“钥匙”是“x－3”（其中x代表字母表中的任意一个字母，－3表示将该字母换成向前移动3位所得到的字母），按这个规律就有Ldpdvwxhqw→Iamastudent．这样就能把密文“Ldpdvwxhqw”破译成明文“Iamastudent”，从而解读出密文的意思了，“x－3”就是密文到明文的破译密码钥匙． （1）根据材料填空：密文“krsh”可破译成明文　 　 ． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，⋯，z依次对应序号1，2，3，…，26，如图．对于密文“20 25 18”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为　 　 ． 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【研究拓展】 （3）小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，⋯，z依次对应序号1，2，3，…，26，把密文“teacher”译成明文“jocidoi”，你能找到该密文到明文的破译密码钥匙吗？请写出它的破译密码钥匙． 6.【阅读材料】 定义n个关于x的一次整式A1，A2，…，An，存在不等于零的数k1，k2，…，kn，使k1A1＋k2A2＋⋯＋knAn＝a，其中a是常数，我们称这n个一次整式为常数a的“相关整式”． 例如：对于一次整式x－4，－3x＋8，－x－1，存在k1＝1，k2＝－1，k3＝4，使（x－4）－（－3x＋8）＋4（－x－1）＝－16，我们就称一次整式x－4，－3x＋8，－x－1为常数－16的“相关整式”． 【数学理解】 （1）若整式A1＝x，A2＝3x＋1，A3＝x＋4为常数a的“相关整式”，其中k1＝k2＝1，则常数a＝　 　 ，k3＝　 　 ； （2）若整式A1＝px＋q，A2＝x＋1，为常数2的“相关整式”，其中k1＝1，k2＝－1，k3＝3，求p，q的值； 【尝试探究】 （3）若整式A1＝m1x＋n1，A2＝m2x＋n2为常数0的“相关整式”，则等式①m1n1＝m2n2；②m1n2＝m2n1中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式A1＝x＋3，A2＝2x＋6，A3＝mx＋7为常数0的“相关整式”，直接写出m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的概念与列代数式 理解代数式的概念，能根据题意正确列出代数式 基础必考点，选择题中出现频率较高，实际意义理解错误率较高 代数式的值 能准确求出代数式的值，掌握整体代入思想 计算基础考点，代入求值、整体思想必考 整式的相关概念 理解单项式、多项式的概念，掌握系数、次数等概念 概念辨析重点 整式的加减运算 掌握合并同类项法则，能熟练进行整式的加减运算 核心计算能力，符号错误是主要失分点 代数式规律探索 能观察分析简单规律，并用代数式表示 综合能力考查，规律发现与表达 知识点01 代数式的值 1.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果 2.求代数式值的步骤：代入：用数值代替代数式中的字母；计算：按代数式指明的运算顺序计算出结果 3.整体代入法：当字母之间的关系明确时，可整体代入求值 ·示例：1.小明爸爸经营一家民宿，提供A，B两种不同类型的套房供游客选择．其中A种套房共有5间，B种套房共有7间，A种套房每间每晚房费a元，B种套房每间每晚房费比A种套房每间每晚房费高出20%．若某天民宿所有套房均被预定，该天民宿的总收入是　 　 元（用含a的代数式表示）． 【解答】根据民宿的总收入为A种套房和B种套房收入之和计算可得： 该天民宿的总收入是5a＋7a×（1＋20%）＝13.4a． 2.若代数2x2＋3x的值为5，则代数式4x2＋6x－9的值是（　　） A．1 B．－1 C．4 D．－4 【解答】∵2x2＋3x的值为5，∴2x2＋3x＝5，∴原式＝2（2x2＋3x）－9＝2×5－9＝10－9＝1．故选A． 3.如图，在△ABC中，AB＞AC，D是BC延长线上一点，过点D的直线分别交AB、AC于点E、F，若∠B＝x°，∠ACB＝y°，∠1＝∠2，则∠D＝ 　 　 度（用含x、y的代数式表示）． 【解答】在△ABC中，∠B＝x°，∠ACB＝y°，∴∠A＝180°－x°－y°， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2， ∴， ∴；故答案为：． ·易错点：代入负数时忘记加括号；代入分数时运算顺序错误；整体代入时符号处理错误 知识点02 整式的相关概念 1.单项式：由数与字母的积组成的代数式；系数：单项式中的数字因数；次数：所有字母的指数和 2.多项式：几个单项式的和；项：组成多项式的每个单项式；常数项：不含字母的项；次数：多项式中次数最高项的次数 3.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 ·示例：1.下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．－a2b3的系数是－1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．的系数是－2，次数是3 【解答】A．数字0是单项式，此选项不符合题意； B．－a2b3的系数是－1，次数是5，此选项符合题意； C．6πx3的系数是6π，原说法错误，此选项不符合题意； D． 的系数是，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选B． 2.一个长方形的长为5a＋2b，宽比长小a－b，则此长方形的周长为 　 　 ． 【解答】由题意得，长方形的宽为5a＋2b－（a－b）＝5a＋2b－a＋b＝4a＋3b， ∴长方形的周长为2（5a＋2b＋4a＋3b）＝18a＋10b，故答案为：18a＋10b． ·易错点：混淆立方根与平方根的性质（负数有立方根），立方根符号理解错误，计算时忽略负号. 知识点03 整式的加减运算 1.合并同类项法则：系数相加，字母和字母的指数不变 2.去括号法则：括号前是"＋"号，去掉括号后原括号内各项符号不变；括号前是"-"号，去掉括号后原括号内各项符号改变. 3.整式加减的实质：去括号，合并同类项 ·示例：1.下列各式正确的是（　　） A．3x＋3y＝6xy B．x＋x＝2x2 C．－9a2b－9a2b＝0 D．－9y2＋16y2＝7y2 【解答】A、3x＋3y无法合并，选项错误，不符合题意； B、x＋x＝2x，选项错误，不符合题意； C、－9a2b－9a2b＝－18a2b，选项错误，不符合题意； D、－9y2＋16y2＝7y2，选项正确，符合题意； 故选D． 2.先化简，再求值：2（2mn＋m2）－3（mn－m2），其中m＝－1，n＝2． 【解答】解：原式＝4mn＋2m2－3mn＋3m2＝5m2＋mn， 当m＝－1，n＝2时，原式＝5×（－1）2＋（－1）×2＝5×1－2＝3． ·易错点：误认为带根号的数都是无理数，无理数分类错误，在数轴上表示无理数位置不准确. 题型一 代数式的概念与求值 解｜题｜技｜巧 1.列代数式时要明确运算顺序，适当添加括号 2.求代数式的值时，先化简再代入 3.整体代入时要观察已知条件与所求式子的联系 易｜错｜点｜拨 代入数值时，特别是负数和分数，务必加上括号，避免符号错误。 【典例1】已知x＝7时，代数式ax3＋bx＋2的值为14，则x＝－7时，代数式ax3＋bx－5的值为（　　） A．－17 B．－15 C．12 D．7 【解答】当x＝7时，73a＋7b＋2＝14，解得73a＋7b＝12， 则当x＝－7时，ax3＋bx－5＝－（73a＋7b）－5＝－12－5＝－17．故选A． 【典例2】如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中数据，用含a，b，c的代数式表示图中阴影部分的面积S为 　 　 ． 【解答】∵四边形ABCD是一个长方形，∴阴影部分面积为：四边形面积－△BCD的面积－△AEF的面积＝abab4×c，故答案为：． 【典例3】学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为2a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． （1）用代数式表示阴影部分的面积：（结果保留π） （2）当m＝8，n＝6，a＝1，b＝2时，阴影部分的面积是多少？（π取3） 【解答】解：（1）阴影部分的面积为mn－2ab－πa2； （2）当m＝8，n＝6，a＝1，b＝2时，阴影部分面积为8×6－2×1×2－π×12＝48－4－π≈41． 【变式1】若多项式2x2＋mx－y＋6与2nx2－3x＋5y－1的和的值与x所取的值无关，则m＋n的值是　 　 ． 【解答】2x2＋mx－y＋6＋2nx2－3x＋5y－1 ＝（2x2＋2nx2）＋（mx－3x）＋（5y－y）＋（6－1） ＝（2＋2n）x2＋（m－3）x＋4y＋5 ∵多项式2x2＋mx－y＋6与2nx2－3x＋5y－1的和的值与x所取的值无关， ∴2＋2n＝0，m－3＝0，∴m＝3，n＝－1，∴m＋n＝3－1＝2．故答案为：2． 【变式2】如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是2，第1次输出的结果是－1，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（　　） A．－2 B．－1 C．1 D．4 【解答】解：由题知，第1次输出的结果是－1，第2次输出的结果是1，∵1为非负数， ∴第3次输出的结果是：1－3＝－2，∵－2是负数，∴第4次输出的结果是：（－2）2＝4， ∵4是非负数，∴第5次输出的结果是：4－3＝1，∵1是非负数，∴第6次输出的结果是：1－3＝－2， 由此可见，除第1次输出的结果外，后面输出的结果按1，－2，4循环出现， 又∵（2025－1）÷3＝674⋯⋯2，∴第2025次输出的结果是－2．故选A． 【变式3】从2024年开始，我市中考体育总分将增加到100分．为适应新中考要求，某中学计划在网上购买足球和跳绳供学生体育锻炼．在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有甲乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．甲网店：买一个足球送一条跳绳，乙网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知该学校要购买足球80个，跳绳x条（x＞80）． （1）若在甲网店购买，需付款　 　 元（用含x的代数式表示）；若在乙网店购买，需付款　 　 元；（用含x的代数式表示） （2）当x＝200时，通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算． 【解答】（1）在甲网店购买，需付款80×150＋30（x－80）＝（30x＋9600）元； 在乙网店购买，需付款90%（80×150＋30x）＝（27x＋10800）元； 故答案为：（30x＋9600）；（27x＋10800）． （2）当x＝200时， 在甲网店购买，需付款30x＋9600＝15600（元）， 在乙网店购买，需付款27x＋10800＝16200（元）， ∵15600＜16200， ∴学校在甲网店购买较为合算． 题型二 整式的加减与化简求值 答｜题｜模｜板 1. 去括号：按去括号法则去掉括号 2.找同类项：用不同标记标出同类项 3.合并同类项：系数相加，字母部分不变 4.代入求值：有具体数值时代入计算 【典例1】如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为y－12； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x－y＋4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【解答】①∵大长方形的长为y cm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为y－3×4＝（y－12）cm，说法①正确； ②∵大长方形的宽为x cm，小长方形的长为（y－12）cm，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为x－2×4＝（x－8）cm，阴影B的较短边为x－（y－12）＝（x－y＋12）cm， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x－8＋x－y＋12＝（2x＋4－y）cm，说法②错误； ③∵阴影A的较长边为（y－12）cm，较短边为（x－8）cm，阴影B的较长边为3×4＝12cm，较短边为（x－y＋12）cm，∴阴影A的周长为2（y－12＋x－8）＝2（x＋y－20）cm，阴影B的周长为2（12＋x－y＋12）＝2（x－y＋24）cm，∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x＋y－20）＋2（x－y＋24）＝2（2x＋4）， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； ④∵阴影A的较长边为（y－12）cm，较短边为（x－8）cm，阴影B的较长边为3×4＝12cm，较短边为（x－y＋12）cm，∴阴影A的面积为（y－12）（x－8）＝（xy－12x－8y＋96）cm2，阴影B的面积为12（x－y＋12）＝（12x－12y＋144）cm2，∴阴影A和阴影B的面积之和为xy－12x－8y＋96＋12x－12y＋144＝（xy－20y＋240）cm2，当x＝20时，xy－20y＋240＝240cm2，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④，故选C． 【典例2】定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a－b．若，则（2a＋b）⊕（2a－5b）的值为　 　 ． 【解答】由得：，，∴， ∴（2a＋b）⊕（2a－5b）＝3（2a＋b）－（2a－5b）＝6a＋3b－2a＋5b＝4（a＋2b） ＝－3．故答案为：－3． 【典例3】已知整式A＝2x2＋ax－3，B＝bx2－5x＋6，其中a、b是常数，若整式3B－2A的值与x的取值无关，求a，b的值． 【解答】解：3B－2A＝3（bx2－5x＋6）－2（2x2＋ax－3）＝（3b－4）x2－（15＋2a）x＋24， 由条件可知3b－4＝0，15＋2a＝0， 解得：，a＝－7.5． 【变式1】若A＝2x2－4x－3，B＝2x2－4x－7，则A，B的大小关系是（　　） A．A＝B B．A＞B C．A＜B D．无法确定 【解答】∵A＝2x2－4x－3，B＝2x2－4x－7， ∴B－A＝（2x2－4x－7）－（2x2－4x－3）＝2x2－4x－7－2x2＋4x＋3 ＝（2x2－2x2）＋（－4x＋4x）－7＋3＝－4， ∴B－A＜0，∴B＜A，故选B． 【变式2】小马虎在计算一次式－3x＋1与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是2x－3，则正确的答案是 　 　 ． 【解答】设另一个一次式为A，则：A＝2x－3－（－3x＋1）＝5x－4， 正确的答案是：－3x＋1－（5x－4）＝－8x＋5．故答案为：－8x＋5． 【变式3】已知代数式x4＋ax3＋3x2＋5x3－7x2－bx2＋6x－2合并同类项后不含x3，x2项，则－2a＋b的值为 　 　 ． 【解答】x4＋ax3＋3x2＋5x3－7x2－bx2＋6x－2＝x4＋（a＋5）x3＋（3－7－b）x2＋6x－2， 由x4＋ax3＋3x2＋5x3－7x2－bx2＋6x－2，合并同类项后不含x3和x2项，得 a＋5＝0，3－7－b＝0． 解得a＝－5，b＝－4． ∴－2a＋b＝－2×（－5）＋（－4）＝6． 故答案为：6． 题型三 代数式规律探索 答｜题｜模｜板 1.观察序号与数值的关系：从具体到抽象 2.寻找运算规律：相邻项之间的差、比等关系 3.建立代数模型：用含n的代数式表示第n个数 4.验证模型：用前几项检验表达式的正确性 易｜错｜点｜拨 规律探索题的关键是找到序号n与对应数值之间的函数关系，注意有时需要分段讨论 【典例1】规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面．观察下列表格中三个代数式及其相应的值，回答问题： x … －2 －1 0 1 2 … －x－2 … 0 －1 －2 －3 a … 2x－2 … －6 －4 b 0 2 … 2x＋1 … －3 －1 1 3 5 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知：a＝ 　 　 ；b＝ 　 　 ； 【归纳规律】 （2）表中－x－2的值的变化规律是：x的值每增加1，－x－2的值就都减少1．类似地，2x＋1的值的变化规律是：　 　 ； （3）观察表格，下列说法正确的有 　 　 （填序号）； ①当－x－2＞2x＋1时，x＜－1；②当－x－2＜2x＋1时，x＞－1；③当x＞1时，－x－2＜2x－2；④当x＜1时，－x－2＞2x－2． 【应用迁移】 （4）已知代数式ax＋b与mx＋n（a，b，m，n为常数且a≠0，m≠0），若无论x取何值，ax＋b始终大于mx＋n，试写出a与m，b与n满足的条件． 【解答】（1）当x＝2时，－x－2＝－2－2＝－4， ∴a＝－4； 当x＝0时，2x－2＝2×0－2＝－2， ∴b＝－2， （2）规律是：x的值每增加1，2x＋1的值就增加2； （3）①∵－x－2的值的变化规律是：x的值每增加1，－x－2的值就都减少1，2x＋1的值的变化规律是x的值每增加1，2x＋1的值就增加2，且当x＝－1时，－x－2和2x＋1的值相同， ∴当－x－2＞2x＋1时，x＜－1，故①正确； ②同理可知当－x－2＜2x＋1时，x＞－1，故②正确； ③同理可知，当x＞0时，－x－2＜2x－2，故③正确； ④同理可知当－x－2＞2x－2时，x＜0，故④错误； ∴正确的有①②③， （4）由题意可得：mx＋n＜ax＋b， 整理得（a－m）x＋b＞n， ∵若无论x取何值，ax＋b的值始终大于mx＋n的值， ∴a－m＝0，b＞n， ∴a＝m，b＞n 【典例2】把黑色围棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…按此规律排列下去，则第⑨个图案棋子的颗数为（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 【解答】分析规律：第n个图案棋子的颗数为1＋3（n－1）＝3n－2， 当n＝9时，3×9－2＝25，即第⑨个图案棋子的颗数为25．故选A． 【变式1】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第20种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　） A．40 B．42 C．44 D．46 【解答】解：由所给图形可知，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n＋2）个， 当n＝20时，2n＋2＝42（个），故选B． 【变式2】依次排列的两个整式－a，a－2b，将第一个整式乘2再减去第二个整式，称为第1次操作，得到第三个整式－3a＋2b；将第二个整式乘2再减去第三个整式，称为第2次操作，得到第四个整式5a－6b；……，以此类推，下列3个说法： ①第五个整式为－11a＋10b； ②若a＝b＝11，则前四个整式之和为－44； ③存在整数n，使第n次与第n＋1次操作后得到的两个整式的和是102a－100b； 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①第1个整式：－a，第2个整式：a－2b， 第3个整式：2（－a）－（a－2b）＝－3a＋2b，（第一次操作）， 第4个整式：2（a－2b）－（－3a＋2b）＝5a－6b，（第二次操作）， 第5个整式：2（－3a＋2b）－（5a－6b）＝－11a＋10b，（第三次操作）， 第6个整式：2（5a－6b）－（－11a＋10b）＝21a－22b，（第四次操作）， 故①正确； 前面4个整式之和为：－a＋a－2b＋（－3a＋2b）＋（5a－6b）＝2a－6b， 当a＝b＝11时，原式＝2×11－6×11＝－44，故②正确； 当n＝1时，第一次操作与第二次操作之和为：2a－4b， 当n＝2时，第二次操作与第三次操作之和为：－6a＋4b， 当n＝3时，第三次操作与第四次操作之和为：10a－12b， 当n＝4时，第四次操作与第五次操作之和为：－22a＋20b， 同理得：求和后a的系数依次为：2，－6，10，－22，42，－86，170， 无法得到102a，∴不存在整数n，使第n次与第n＋1次操作后得到的两个整式的和是102a－100b， 故③错误，故选C． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列各式运算正确的是（　　） A．2x＋3＝5x B．ab2－ab2＝0 C．3a2b－2a2b＝1 D．3a＋5a＝8a2 【解答】A、2x与3不是同类项，不能相加，故该选项运算错误，不符合题意； B、ab2－ab2＝0，故该选项运算正确，符合题意； C、3a2b－2a2b＝a2b，故该选项运算错误，不符合题意； D、3a＋5a＝8a，故该选项运算错误，不符合题意． 故选B． 2.苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（　　） A．85 B．81 C．73 D．71 【解答】解：第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根， ∴第n个图形需要8n＋1（根），第⑩个图形需要8×10＋1＝81根，故选B． 3.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m＋n＝－2，mn＝－4，则2（mn－3m）－3（2n－mn）的值为 　 　 ． 【解答】∵m＋n＝－2，mn＝－4，∴原式＝2mn－6m－6n＋3mn＝5mn－6（m＋n）＝－20＋12＝－8． 4.若整式（3x2＋mx－2y＋4）－（3nx2－2x＋6y－3）的值与字母x的取值无关，则mn的值为　 　 ． 【解答】原式＝3x2＋mx－2y＋4－3nx2＋2x－6y＋3＝（3－3n）x2＋（m＋2）x－8y＋7； ∴3－3n＝0，m＋2＝0， ∴n＝1，m＝－2，∴mn＝（－2）1＝－2． 5.先化简，再求值：3（2a2b－5ab2）－2（ba2－7ab2），其中a＝－1，b＝2． 【解答】解：3（2a2b－5ab2）－2（ba2－7ab2） ＝6a2b－15ab2－2ba2＋14ab2 ＝4a2b－ab2， 当a＝－1，b＝2时，原式＝4×（－1）2×2－（－1）×22＝12． 6.寒假来临，某校将组织学生外出研学．旅行社的报价为每人300元，但当研学人数超过50人时，有两种优惠方案． 方案一：研学团队交1500元后，每人再收费240元； 方案二：5人免费，其余每人的收费打九折（九折即原价的90%）． （1）当参加研学的总人数是x（x＞50）人时，方案一共收费 　 　 元；方案二共收费 　 　 元．（用含x的代数式表示，结果化为最简） （2）当参加研学的总人数是80人时，采用哪种方案更省钱？请通过计算说明理由． 【解答】解：（1）方案一共收费（240x＋1500）元， 方案二共收费300×90%（x－5）＝（270x－1350）（元）． 故答案为：（240x＋1500），（270x－1350）． （2）采用方案二更省钱．理由如下： 当x＝80时，方案一共收费240×80＋1500＝20700（元）， 方案二共收费270×80－1350＝20250（元）， ∵20250＜20700， ∴采用方案二更省钱． 7.【阅读材料】探索并运用“割尾法”来判定一个三位数能否被7整除的奥秘． 方法：1．割尾取整：首先，我们巧妙地割去三位数的末尾数字c，从而得到一个两位数（在数学表达中，ab实则代表10a＋b的数值）． 2．差值计算：接着，我们计算这个两位数与c的两倍（即2c）之间的差值，得到的结果即为． 3．判定规则：若此差值恰好为7的倍数，那么，我们就可以断言，原三位数同样能被7整除． 实例演示：以三位数273为例，我们割去其末尾数字3，得到27．随后，计算27与3的两倍的差值，即：27－2×3＝21，鉴于21是7的倍数，因此，我们可以确信273同样能被7整除． （1）【类比运用】尝试用“割尾法”判断476能否被7整除； （2）【推理验证】已知三位数，请用含a，b，c的表达式表示和“割尾法”后所得的差． 【解答】解：（1）对于三位数476，割掉末位数字6得47，47－6×2＝35，因为35是7的倍数，所以476能被7整除． （2）由条件可得； 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知x＋y＝1，则代数式x＋（x＋y）2＋y的值为　 　 ． 【解答】∵x＋y＝1，∴x＋（x＋y）2＋y＝（x＋y）2＋（x＋y）＝12＋1＝2． 2.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，… （2），… 利用以上规律计算结果是（　　） A．－1 B．0 C．1 D．不能确定 【解答】观察（1）中各式，得出f（n）＝n－1（n为正整数）；观察（2）中各式，得出f（n为正整数），∴原式＝2024＋2023＋2022＋…＋2－0－1－2－…－2024＝－1，故选A． 3.如图所示，观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第n个图形中共有（　　）个三角形． A．2n＋1 B．n＋3 C．4n－1 D．4n＋1 【解答】观察所给图形可知：第1个图形中有3个三角形，4×1－1＝3， 第2个图形中有7个三角形，4×2－1＝7，第3个图形中有11个三角形，4×3－1＝11，因此第n个图形中共有（4n－1）个三角形．故选C． 4.计算：（1）3x2＋6x＋3＋4x－2x2－1； （2）（5a2＋2a－1）－4（3＋2a2）． 【解答】解：（1）3x2＋6x＋3＋4x－2x2－1 ＝（3x2－2x2）＋（6x＋4x）＋3－1 ＝x2＋10x＋2； （2）（5a2＋2a－1）－4（3＋2a2） ＝5a2＋2a－1－12－8a2 ＝（5a2－8a2）＋2a－1－12 ＝－3a2＋2a－13． 5.如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数是－6，点B表示的数是9．点P在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动；设运动时间为t秒，且M点为线段AP的中点，N点为线段BP的中点． （1）AB＝　 　 ，当t＝1时，点P表示的数是　 　 ；点M表示的数是　 　 ；点N表示的数是　 　 ． （2）当t＝a时，点M表示的数为　 　 ，点N表示的数为　 　 ．（用含a的式子填空） （3）在点P的运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【解答】（1）在数轴上有A，B两点，点P在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动；设运动时间为t秒，且M点为线段AP的中点，N点为线段BP的中点， ∵点A表示的数是－6，点B表示的数是9，∴AB＝9－（－6）＝15； 当t＝1时，点P表示的数是－4；点M表示的数是；点N表示的数是； 故答案为：15，－4，－5，2.5； （2）当t＝a时，点P表示的数是2a－6，∵M点为线段AP的中点，N点为线段BP的中点， ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 故答案为：a－6，1.5＋a； （3）线段MN的长度不发生变化，理由如下，由（2）知点M表示的数是a－6，点N表示的数是1.5＋a， ∴MN＝1.5＋a－（a－6）＝7.5，∴线段MN的长度不发生变化，MN的长度为7.5． 6.如图所示的一扇窗户（单位：米），窗户的上部是一个半圆，下部由三个完全相同的长方形组成．窗框为铝合金材料，窗户全部安装玻璃． （1）这样一扇窗户共需要铝合金　 　 米；（用含有x，y的代数式表示） （2）这样一扇窗户共需要玻璃　 　 平方米；（铝合金窗框宽度忽略不计，用含有x，y的代数式表示） （3）某公司需要购进5扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两家厂商分别给出报价如表： 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180元/米 不超过100平方米的部分，定价80元/平方米；超过100平方米的部分，定价50元/平方米 乙 200元/米 定价70元/平方米，每购买7平方米的玻璃赠送1米的铝合金窗框 当x＝4，y＝6时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算（π取3）？ 【解答】解：（1）根据题意得， 因此，一扇这种窗户共需要铝合金米； （2）根据题意得：，因此，一扇这种窗户共需要玻璃平方米； （3）当x＝4，y＝6时，， ， 则共需铝合金78×5＝390米， 玻璃126×5＝630平方米； 根据甲厂报价，购进5扇这样的窗户需180×390＋80×100＋50×（630－100）＝104700（元）， 根据乙厂报价，购进5扇这样的窗户需（元）， 因为104700＞104100， 所以该公司在乙厂购买窗户更合算． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知关于x的整式M＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，其中a，b，c，d，e为整数，6＞a＞b＞c＞d＞e＞－4，|a＋b＋c＋d＋e|＝5且满足下列说法： ①所有满足条件的整式M中，不存在其中两个整式的和为单项式； ②若c＝1，则满足条件的整式M共有6个； ③满足条件的所有整式M共有10个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】①要使满足条件的两个整式M的和为单项式，则需满足两个整式中的对应系数互为相反数，这与系数递减的条件矛盾，即不存在，①说法正确； ②当c＝1时，a，b可从5，4，3，2中取满足条件的值为：a＝5，b＝4或a＝5，b＝3或a＝5，b＝2或a＝4，b＝3或a＝4，b＝2或a＝3，b＝2共6种； d，e可从0，－1，－2，－3中取满足条件的值为d＝0，b＝－1或d＝0，b＝－2或d＝0，b＝－3或d＝－1，b＝－2或d＝－1，b＝－3或d＝－2，b＝－3共6种；再根据|a＋b＋c＋d＋e|＝5的条件，可得满足条件的有：8个，故②错误； ③以此类推当c＝2时，满足条件的系数取值为：a＝5，b＝3，c＝2，d＝－2，e＝－3； a＝4，b＝3，c＝2，d＝－1，e＝－3；共2个；当c＝0时，满足条件的系数取值为：a＝5，b＝4，c＝0，d＝－1，e＝－3；a＝5，b＝3，c＝0，d＝－1，e＝－2；共2个；综上，满足条件的所有整式M共12个，③错误；故选B． 2.一段钢管的形状和尺寸如图所示．如果大圆的半径是R，小圆的半径是r，钢管的长度是a，则这段钢管的体积V＝（　　） A． B． C．π（R2－r2）a D．π（R3－r3）a 【解答】由题意得，大圆的半径是R，小圆的半径是r，钢管的长度是a， 钢管的体积为：V＝（πR2－πr2）•a＝π（R2－r2）a．故选C． 3.如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去，若第n个图中有93颗黑色棋子，则n的值为（　　） A．28 B．31 C．29 D．30 【解答】由所给图形可知，第n个图中黑色棋子的颗数为（3n＋3）颗． 令3n＋3＝93，解得n＝30，故选D． 4.某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． 请通过计算分别求出C，D卡片上的代数式． 【解答】解： ＝x2－2x＋3； ＝－2x2＋4x－5； ∵C卡片上的二次项为：－2x2， ∴卡片C上的代数式为：－2x2＋4x－5； ∵D的常数项为3， ∴卡片D上的代数式为：x2－2x＋3． 5.【阅读材料】 密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的排列顺序如下：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz，如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，我们可以用英语26个字母来编制密码．例如，对于密文“Ldpdvwxhqw”如果给一把破译它的“钥匙”是“x－3”（其中x代表字母表中的任意一个字母，－3表示将该字母换成向前移动3位所得到的字母），按这个规律就有Ldpdvwxhqw→Iamastudent．这样就能把密文“Ldpdvwxhqw”破译成明文“Iamastudent”，从而解读出密文的意思了，“x－3”就是密文到明文的破译密码钥匙． （1）根据材料填空：密文“krsh”可破译成明文　 　 ． 【类比研究】 （2）将26个英文字母a，b，c，⋯，z依次对应序号1，2，3，…，26，如图．对于密文“20 25 18”，给出密文与明文之间的关系如下： 当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为，则将密文破译成英文字母表示的明文为　 　 ． 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【研究拓展】 （3）小明沿用对字母标号的方法，即将26个英文字母a，b，c，⋯，z依次对应序号1，2，3，…，26，把密文“teacher”译成明文“jocidoi”，你能找到该密文到明文的破译密码钥匙吗？请写出它的破译密码钥匙． 【解答】解：（1）密文“krsh”可破译成明文“hope”， 故答案为：hope； （2）密文“20 25 18”翻译成明文为“，，”， ∴表示的明文为end， 故答案为：end； （3）密文“teacher”用序号表示为“205138518”， 明文“jocidoi”用序号表示为“1015394159”， ∴当密文对应的序号x为奇数时，明文对应的序号为3x；当密文对应的序号x为偶数时，明文对应的序号为． 6.【阅读材料】 定义n个关于x的一次整式A1，A2，…，An，存在不等于零的数k1，k2，…，kn，使k1A1＋k2A2＋⋯＋knAn＝a，其中a是常数，我们称这n个一次整式为常数a的“相关整式”． 例如：对于一次整式x－4，－3x＋8，－x－1，存在k1＝1，k2＝－1，k3＝4，使（x－4）－（－3x＋8）＋4（－x－1）＝－16，我们就称一次整式x－4，－3x＋8，－x－1为常数－16的“相关整式”． 【数学理解】 （1）若整式A1＝x，A2＝3x＋1，A3＝x＋4为常数a的“相关整式”，其中k1＝k2＝1，则常数a＝　 　 ，k3＝　 　 ； （2）若整式A1＝px＋q，A2＝x＋1，为常数2的“相关整式”，其中k1＝1，k2＝－1，k3＝3，求p，q的值； 【尝试探究】 （3）若整式A1＝m1x＋n1，A2＝m2x＋n2为常数0的“相关整式”，则等式①m1n1＝m2n2；②m1n2＝m2n1中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式A1＝x＋3，A2＝2x＋6，A3＝mx＋7为常数0的“相关整式”，直接写出m的值． 【解答】解：（1）根据题意可得x＋3x＋1＋k3（x＋4）＝a， 即（1＋3＋k3）x＋1＋4k3＝a， ∵整式A1＝x，A2＝3x＋1，A3＝x＋4为常数a的“相关整式”， ∴1＋3＋k3＝0，1＋4k3＝a， 解得：k3＝－4，a＝－15； 故答案为：－15，－4； （2）根据题意可得， 即（p－1－2）x＋q－1＋1＝2， ∵整式A1＝px＋q，A2＝x＋1，为常数2的“相关整式”， ∴p－1－2＝0，q－1＋1＝2， 解得：p＝3，q＝2； （3）②成立，理由如下： 根据题意可得k1（m1x＋n1）＋k2（m2x＋n2）＝0， 即（k1m1＋k2m2）x＋k1n1＋k2n2＝0， ∵整式A1＝m1x＋n1，A2＝m2x＋n2为常数0的“相关整式”， ∴k1m1＋k2m2＝0，k1n1＋k2n2＝0， ∴k1m1＝－k2m2，kp1＝－kɔn2， ∴－k1k2m1n2＝－k1k2m2n1， ∴m1n2＝m2n1； ∴②成立； （4）根据题意可得k1（x＋3）＋k2（2x＋6）＋k3（mx＋7）＝0， 则（k1＋2k2＋mk3）x＋3k1＋6k2＋7k3＝0， ∵整式A1＝x＋3，A2＝2x＋6，A3＝mx＋7为常数0的“相关整式”， ∴k1＋2k2＋mk3＝0，3k1＋6k2＋7k3＝0， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $