专题12 综合题分类训练（4种类型32道）-2025-2026学年九年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题12 综合题分类训练 （4种类型32道） 目录 【题型1一元二次方程相关综合题】 1 【题型2二次函数相关综合题（不含图像）】 9 【题型3 二次函数相关综合题（含图像）】 18 【题型4 旋转相关综合题】 28 【题型1一元二次方程相关综合题】 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 2．已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键． ①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【详解】解：①∵方程的两个根为和1， ∴ ， ，∴，， ∴，故说法①不正确； ②若，代入得，即方程有一根为，故②正确； ③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵是方程的一个根，∴ ， ∵ ∴，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选：C． 3．已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程，①根据一元二次方程的定义判断；②代入，验证根的和是否为6；③计算判别式Δ，分析k的取值对Δ的影响；④求满足条件的正整数k，验证根是否为整数． 【详解】解：①方程为一元二次方程时，二次项系数，即，故说法①正确； ②当时，方程化简为，根的和为，故说法②错误； ③判别式，当时，，但需（否则方程非二次），题目未排除，故说法③错误； ④解方程得根为，，要求为整数，得（唯一正整数解），故说法④正确． 综上，正确的为①④，共2个， 故选：B． 4．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 5．已知实数，，，，其中，满足，．则以下说法：；，是关于的一元二次方程的两个根；；若，，均为奇数，则，可能都为整数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，得出，可判断；若，是关于的一元二次方程的两个根，则，，可判断；由，，则，可判断；当，，均为奇数时，则为奇数，即中一奇一偶；为奇数，即中全为奇数，可判断． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ，故正确； 若，是关于的一元二次方程的两个根， 则，， ∴与题中不符，故错误； ∵，， ∴ ， ∴，故正确； 设，为整数， 当，，均为奇数时， ∴为奇数，即中一奇一偶；为奇数，即中全为奇数， ∴，相矛盾，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 6．在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若r是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确． ③由是方程的一个根，得． 当，则；当，则不一定等于，故③不一定正确． 综上所述：正确的有2个； 故选：C． 7．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，故①错误； ②一元二次方程的倒方程为，则联立得：， 两式相减得到， 则， 由于，那么， 解得：，故有公共解，故②正确； ③若一元二次方程无解，则， 而倒方程为，那么根的判别式也为， 故它的倒方程也无解，故③正确； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故选：C． 8．对于方程，下列说法： ①若，则方程必有两个实数根； ②若，则方程必有两个不等实数根； ③若方程没有实数根，则方程有两个不等实数根； ④若，则方程必有一根为1 其中正确的有（   ） A．① ② ③ B．② ③ ④ C．① ③ ④ D．① ② ④ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，求得方程的解即可判断④；根据差别式的值，即可判断①②③；故可得结论． 【详解】解：①若，则，一元二次方程有实数根，故①正确； ②由可取，代入得，此方程无解，可知②错误； ③若方程没有实数根，得到， 则方程中，，故方程必有两个不相等的实数根，故③正确， ④若，则方程可变形为，即，解得，，故④正确； 所以，正确的结论是①③④， 故选：C． 【题型2二次函数相关综合题（不含图像）】 9．关于二次函数．有下列三个结论： ①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则； ②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或． 以上结论正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程之间的关系等知识，①根据抛物线的对称轴和点的对称性得出结果；②根据方程的根的判别式的取值得出结果； ③根据得出抛物线与x轴有两个公共点，设抛物线与x轴的交点是，，根据得出，进而求得m的范围，两者结合得出结果． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②令，可得， ， 令，即， 解得， 该二次函数的图象与轴始终没有交点，故②正确； ③该二次函数的图象与轴交于，两点， ， ， 或， 设抛物线与轴的交点是，， ， ， ， 或， 或时，，故③不正确． 故选：B． 10．已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： 若时，则 若方程有四个根，且四个根和为，则 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是 其中结论正确的结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，通过，两点，则，由，从而可判断；当时，抛物线为，，，然后代入即可判断；由方程有四个根，则或，可得每个方程的根和为，然后由，则，，即，再通过，即可判断；由，则，可得点在对称轴处，即顶点，然后通过二次函数对称轴即可判断；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵过，两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故正确； 当时，抛物线为， ∴，， ∴，故错误； ∵方程有四个根， ∴，各有两个根， ∴每个方程的根的和为， ∴四个根总和， 由抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴点在对称轴处，即顶点， ∴为最大值，故且， 要满足，由，则需比离对称轴更近， ∴，解得，故错误； 综上，正确结论为， 故选：． 11．对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键，利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案． 【详解】解：， ∴它的对称轴是直线，故①正确； ∵对称轴两侧的增减性不一样， ∴设，则当时，有，故②错误； 当，则，解得：，故它的图象与x轴的两个交点是和，故③正确； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵它的图象与x轴的两个交点是和， ∴当时，，故④正确． ∴正确的结论的个数为3， 故选：C． 12．拋物线与轴相交于点．下列结论： ①；②对称轴；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据抛物线与x轴的交点可判断①②；再根据抛物线的开口方向可判断③；结合抛物线的性质可判断④，进而可得本题答案． 【详解】解：∵与轴相交于点 ∴与轴两个交点，即， ∴，即①正确； ∴对称轴为直线，即②不正确； ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴时，， ∴当时，，即：， ∴③正确； ∵点在抛物线上，且， ∴比更靠近对称轴， ∴，即， 两边平方，得， 解得：，即④正确， 故选：C． 13．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（　　） A．②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式，熟练掌握一元二次方程根的定义、判别式与根的关系以及二次函数的性质是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据一元二次方程的相关性质，如判别式、方程的根的定义等进行推理． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即． 对于方程，其判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∴， ， ，故②正确． ③令， ∵， ∴是二次函数， 二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形， ∴存在实数，使得，故③正确． ④∵是方程的一个根， ∴，即， 则或，故④错误． 故选：B． 14．关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握并灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：①由抛物线的开口方向由系数a决定．若，开口向上；若，开口向下．因a的正负未知，故①错误． ②顶点式为，对称轴为．此处，对称轴为，故②正确． ③当时，函数有最小值2；当时，有最大值2．因未明确a的正负，无法确定是否有最小值，故③错误． ④由题意可得顶点坐标为，无论a为何值，抛物线必过顶点，故④正确． ⑤当时，时y随x增大而减小；当时，时y随x增大而增大．因a的正负未知，无法确定增减性，故⑤错误． 综上，正确的说法为②和④，共2个． 故选：D． 15．已知二次函数，有下列四个结论：①点在该函数的图象上；②当且时，；③该函数的图象与轴一定有交点；④当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，其中结论正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将代入二次函数解析式即可判断①；当时，，再结合二次函数的性质即可判断②；令，则，此时，即可判断③；当时，对称轴为直线，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：①当时，，故点不在该函数的图象上，故不符合题意； ②当时，， ∵， ∴当时，有最小值为，当时，，当时，，故当且时，，故不符合题意； ③令，则，此时，故该函数的图象与轴一定有交点，故符合题意； ④当时，对称轴为直线，故该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故符合题意； 综上所述，正确的有③④，共个， 故选：B． 16．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 【题型3 二次函数相关综合题（含图像）】 17．如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ，故①错误； 由图象可知当时，，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故④正确． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想． 18．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 19．已知二次函数 的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④（的实数）．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a，由对称轴在y轴的左边还是右边判断b，由抛物线与y轴的交点判断c，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断， 【详解】解∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴对称轴为， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴上， ∴， ∴，故①错误； ②二次函数的图象与x轴的一个交点在的右边，对称轴为，图象开口方向向下， ∴二次函数的图象与x轴的一个交点在2的右边， ∴当时， 即，故②正确； ∵二次函数的图象与x轴的交点在的右边，图象开口方向向下， ∴当时，， ∴， ∴ ∴不能得出 故③错误； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴当时，y取最大值，最大值为， 当时，， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有②④，共2个， 故选：B． 20．如图是抛物线的一部分图象，它的对称轴为直线，与x轴交于点．下列说法：①；②若与是抛物线上两个点，则；③若点是抛物线上一点，则；④若抛物线与y轴的交点为C，且，则．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用图象的信息即可判断①；利用二次函数的对称性和增减性即可判断②；利用二次函数的最值即可判断③；利用直角三角形函数求得，列出交点式，整理成一般式，即可求得，代入求得a的取值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴， ∴①的结论错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴． ∴②的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴函数的最大值为， ∵点是抛物线上一点， ∴，即， ∴③的结论正确； ∵． ∴， ∵若抛物线与y轴的交点为C，且， ∴，即， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， ∴抛物线一定经过点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴④的结论不正确； 综上，结论正确的有：②③， 故选：B． 21．如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数性质以及二次函数与方程及不等式的关系．根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在，之间，结合图象从而判断①正确；由对称轴为直线可得，代入即可判断②正确；由抛物线顶点坐标为，得到有两个相等实数根，可得，从而判断③正确；由函数最大值为结合函数图象可得有两个不相等的实数根，可判断④错误． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在和之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点坐标为， ∴有两个相等实数根， 即方程有两个相等实数根， ∴， ∴ 故③正确，符合题意； ∵的最大函数值为， ∴有两个不相等的实数根， 故④错误，不符合题意． 故选：B 22．二次函数 的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象和性质，首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定的取值范围，根据和的函数值可以判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴； 故②错误； ∵对称轴为直线，， ∴， ∴， 故③错误； 根据图象可知，当时，， 当时，， ∴，即， 故④正确． 综上所述，正确的有①④，一共2个． 故选：B． 23．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴可知，再由抛物线对称轴为直线得到，由此即可判断①；求出抛物线与x轴的另一个交点为即可判断②；根据抛物线与直线有两个不同的交点即可判断④，结合函数图象进行分析③即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵图象过点，且对称轴为直线 ∴， 即抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故②正确； ∵方程的根可以看作是抛物线与直线的交点的横坐标，而由函数图象可知抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有实数根，故④正确； 无法知道y的最大值，故③不正确； ∴正确的有2个， 故选B． 24．抛物线的部分图象如图所示，顶点坐标为，现有以下结论：①；②；③若t为任意实数，则有；④；⑤当图象经过点时，方程的两根为，（），则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数与一元二次方程的联系，根据函数图象的特点、二次函数与一元二次方程的联系判断出的值是解答本题的关键． 抛物线的顶点为，根据二次函数图象开口方向判断a，根据对称轴位置判断b，根据函数图象与y轴的交点位置判断c，即可判断①；根据抛物线的对称轴得出．结合当时，，即可判断②；当时，y取最小值为，即可判断③；根据抛物线的顶点为，得出，整理，得，即可判断④；根据抛物线与直线的两个交点关于直线对称，图象经过点，得出图象经过点．从而得方程的两个根为，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∴． 由题图，知， ∴． ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴． ∴．故①正确． 由题图，知当时，． ∴． ∴．故②正确． ∵当时，y取最小值为， ∴， 即．故③错误． ∵抛物线的顶点为， ∴． ∴． 整理，得．故④正确． ∵抛物线与直线的两个交点关于直线对称，图象经过点， ∴图象经过点． ∴方程的两个根为，． ∴．故⑤错误． 故选：C． 【题型4 旋转相关综合题】 25．如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，作交的延长线于点E，由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，，可证明，则可以由绕点B逆时针旋转得到，可判断①正确；因为，所以点O与的距离为4，可判断②正确；因为，，所以，则，而，则，可判断③正确；因为，则，所以，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴， ∴是等边三角形，， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故①正确； ∴， ∴点O与的距离为4， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 26．如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由旋转可得，进而证明，，可判断①；由，，可判断②；证明中，可判断③；取中点Q，连接，，证明，可判断④． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 将绕点逆时针旋转一定角度后得到， ， ，，，， ， 为等边三角形； 故①正确； ， ， ； 故②正确； ， ， 在中，， ， ，， ； 故③正确； 如图，取中点Q，连接，， 则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，点Q是中点， ，， ， 故④正确； 综上可知，正确的结论有4个， 故选D． 27．在正方形中，点，分别为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①；②若时，则；③若时，则的周长为2；④若，，则的面积为9．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①将绕点A顺时针旋转得，证明，再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论；②先根据正方形的性质以及，易得，则，用勾股定理列式计算，可得答案；③由，可得，从而将的三边相加即可得答案；④设正方形的边长为，则，，利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，可证得结论． 【详解】解：①如图， 将绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴ ∵ 则， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵不一定等于， 则不一定等于，故①不符合题意； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴， 故②符合题意； ③∵四边形是正方形，， ∴， 由①得， ∴， ∴的周长为：， 则的周长为2； 故③符合题意； ④设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， 则，， 根据解析③可知，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴，故④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理,旋转的性质等知识点，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，本题具有一定的综合性． 28．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 29．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下列结论：①为等腰三角形；②；③，你认为其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转的性质得到，可判断①，求得，可判断②，求得，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等腰三角形，故①符合题意； ∵， ∴，即 ∴， ∴，故②不符合题意； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， ∴符合题意的有有2个， 故选：B． 30．如图，把放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点、分别在和边上，经正方形的对称中心点，且点是的中点，下面说法：①若，则；②若，则；③若，，，则，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．①正确，证明，可得结论；②正确，求出，，可得结论；③错误，求出，，再利用勾股定理求出，即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵， 若， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：，故③错误； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：C． 31．如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，由旋转的性质得，推出，，，，进而求出，推出为等边三角形，即可判断①；再根据已知求出，即可判断②；由，求出，得到，利用勾股定理即可求出，即可判断③；取中点Q，连接，则，证明，易得，即可判断④． 【详解】解：由旋转的性质得， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形，故①正确； ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴，故③正确； 取中点Q，连接， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵Q点是中点，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 32．如图，在正方形中，点O是对角线、的交点，过点O作射线、分别交、于点E、F，且，、交于点G，连接，．给出下列结论： ①； ②； ③四边形的面积为正方形面积的； ④； ⑤， 其中正确的为（    ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案． 【详解】解：①在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等， ∴四边形的面积为正方形面积的， 故③正确； ④∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 故④正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题12 综合题分类训练 （4种类型32道） 目录 【题型1一元二次方程相关综合题】 1 【题型2二次函数相关综合题（不含图像）】 3 【题型3 二次函数相关综合题（含图像）】 5 【题型4 旋转相关综合题】 7 【题型1一元二次方程相关综合题】 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 2．已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 3．已知关于x的方程，则下列说法正确的个数为（   ） ①若该方程为一元二次方程，则； ②当时，该方程有两实数根，且； ③当，该方程总有两不相等的实数根； ④若k为正整数，此方程有两个不相等的实数根且都为整数，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知实数，，，，其中，满足，．则以下说法：；，是关于的一元二次方程的两个根；；若，，均为奇数，则，可能都为整数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 6．在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若r是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．对于方程，下列说法： ①若，则方程必有两个实数根； ②若，则方程必有两个不等实数根； ③若方程没有实数根，则方程有两个不等实数根； ④若，则方程必有一根为1 其中正确的有（   ） A．① ② ③ B．② ③ ④ C．① ③ ④ D．① ② ④ 【题型2二次函数相关综合题（不含图像）】 9．关于二次函数．有下列三个结论： ①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则； ②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或． 以上结论正确的个数是（ ） A． B． C． D． 10．已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： 若时，则 若方程有四个根，且四个根和为，则 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是 其中结论正确的结论有（   ） A． B． C． D． 11．对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 12．拋物线与轴相交于点．下列结论： ①；②对称轴；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（　　） A．②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 14．关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 15．已知二次函数，有下列四个结论：①点在该函数的图象上；②当且时，；③该函数的图象与轴一定有交点；④当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，其中结论正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型3 二次函数相关综合题（含图像）】 17．如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．已知二次函数 的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④（的实数）．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图是抛物线的一部分图象，它的对称轴为直线，与x轴交于点．下列说法：①；②若与是抛物线上两个点，则；③若点是抛物线上一点，则；④若抛物线与y轴的交点为C，且，则．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 22．二次函数 的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①，②，③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．抛物线的部分图象如图所示，顶点坐标为，现有以下结论：①；②；③若t为任意实数，则有；④；⑤当图象经过点时，方程的两根为，（），则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 旋转相关综合题】 25．如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．在正方形中，点，分别为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①；②若时，则；③若时，则的周长为2；④若，，则的面积为9．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 29．如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下列结论：①为等腰三角形；②；③，你认为其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 30．如图，把放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点、分别在和边上，经正方形的对称中心点，且点是的中点，下面说法：①若，则；②若，则；③若，，，则，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 31．如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图，在正方形中，点O是对角线、的交点，过点O作射线、分别交、于点E、F，且，、交于点G，连接，．给出下列结论： ①； ②； ③四边形的面积为正方形面积的； ④； ⑤， 其中正确的为（    ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $