第二十二章 二次函数单元测试-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

试卷02 二次函数单元测试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3． 对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时，y有最小值为7 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是直线 4．小明用GGB探索方程（，a、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6 5．已知点，都在抛物线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（    ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 9．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面增加时，水面下降了（    ） A．2m B．1m C． D． 10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤方程的两根之和为1．其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．函数的图象是抛物线，则m= ． 12．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 13．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 14．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是 ． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 15．已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 16．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为0.8米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米，（不计其他因素）水池的半径至少 米，才能使喷出的水流不致落到池外． 17．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P是抛物线在直线上方图象上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当最大时，a的值是 ． 18．已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足，则，；⑤直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 三．解答题（每小题13分，共78分） 19．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … （1）这个二次函数的解析式是___________________； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． 20．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标． 21．项目化学习 项目主题：如何获得最大利润？ 项目背景：3月5日是二十四节气之一的惊蛰，惊蛰吃梨的风俗在中国有着悠久的历史和丰富的文化内涵，因此梨成为了惊蛰前的热销水果之一．某城市水果销售商以2元/千克的进价购进了一批梨，并放到了本市5家分店进行销售． 任务驱动：销售这批梨完，并获得最大利润． 研究步骤：研究步骤： （1）分别对5家分店进行不同价位的销售； （2）收集每家分店的日销量； （3）分析数据，形成结论． 收集数据∶ 分店编号 1 2 3 4 5 售价（元/千克） 6 2.5 5 3 5.5 日销量千克 40 180 80 160 60 （1）结合数据分析，请直接写出5家分店销售梨的日销量与售价的函数关系式． （2）该水果销售商计划对5家分店统一规定售价，在无损耗的情况下，当售价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出该销售商销售此梨一天的最大利润． （3）若每天未售出的梨中会有10%因变质第二天无法销售，请直接写出当统一售价定为多少时，平均每天可获得最大利润． 22．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现后使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 23．如图，直线过x轴上的点，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，求出的面积． （3）当时，请观察图象直接写出x的取值范围． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； （3）如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷02 二次函数单元测试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2．二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：A． 3．对于二次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时，y有最小值为7 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是直线 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴函数图象的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，y有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，y随x的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 4．小明用GGB探索方程（，a、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6 【答案】C． 【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程的另一个近似根为1.4， 故选：C． 5．已知点，都在抛物线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A． 【解析】解：∵抛物线的开口向上， 对称轴是直线，，， ∴点，分别在抛物线对称轴的左、右两侧， ∵，， 且， ∴， ∵点， 都在抛物线上， 则根据抛物线的对称性可知：与的大小关系为． 故选：A． 6．要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A． 【解析】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：A． 7．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：由二次函数与一次函数的图象可得，，， ∴， ∴二次函数对称轴在y轴左侧，开口向上，与y轴交于负半轴， 故选：D． 8．已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（    ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C． 【解析】解：∵二次函数的图象经过点， 代入，得，即， 二次函数对称轴为直线， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线，即， 此时在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线满足时，即， 此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值， 二次函数顶点纵坐标公式为，将，，代入， 可得， 解得或， ∵， ∴； ③对称轴为直线，即， 此时在上y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， 令，解得，不符合题意，舍去； 故答案为， 故选：C． 9．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面增加时，水面下降了（    ） A．2m B．1m C． D． 【答案】B． 【解析】用如图所示的方式建立平面直角坐标系， 根据题意得，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∵当水面增加时， ∴水面宽度为， ∴， ∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为， ∴当时，． ∴当水面增加时，水面下降了1m． 故选：B． 10．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤方程的两根之和为1．其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C． 【解析】解：∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∴，故③正确； ④根据图象知，当时，y有最小值； 当m为实数时，有， ∴（m为任意实数），故④正确； ⑤∵方程可转化为， ∴方程的两个之和为， ∵， ∴方程的两根之和为，故⑤错误； 故正确的结论有：①②③④，共个， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．函数的图象是抛物线，则m= ． 【答案】． 【解析】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 12．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】，． 【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 13．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且． 【解析】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， 令，则， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 14．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是 ． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 【答案】或5． 【解析】解：根据列表可知：当时，；当时，；当时，， ∴二次函数的解析式为，对称轴为， ∵， ∴， 由列表可得：当时，． ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，． ∴关于x的方程的解是或5． 故答案为：或5． 15．已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】，． 【解析】解：当时，， ∴二次函数的图象经过点， 将二次函数先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到二次函数， ∵二次函数的图象经过点，， ∴平移后点，的坐标分别为，， 即函数的图象经过的定点坐标为，， 故答案为：，． 16．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为0.8米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米，（不计其他因素）水池的半径至少 米，才能使喷出的水流不致落到池外． 【答案】2.5． 【解析】解：根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是，并且经过点， 设抛物线解析式为， 则， 解得， ∴右侧的抛物线解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴水池的半径至少2.5米． 故答案为：2.5． 17．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P是抛物线在直线上方图象上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当最大时，a的值是 ． 【答案】． 【解析】解：根据题意，设，， 则， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 18．已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足，则，；⑤直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确的结论有 ． 【答案】①③④⑤． 【解析】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与x轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，，为，图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； 故答案为：①③④⑤． 三．解答题（每小题13分，共78分） 19．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … （1）这个二次函数的解析式是___________________； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象． 【答案】（1）；（2）作图见解析． 【解析】（1）解：设二次函数解析式为， 把，，代入得， ， 解得 ∴二次函数的解析式是． 故答案为：； （2）解：描点，连线，如图． 20．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，， 代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点M是抛物线对称轴l上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴l的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， 则， 当时，， 故当的值最小时，点． 21．项目化学习 项目主题：如何获得最大利润？ 项目背景：3月5日是二十四节气之一的惊蛰，惊蛰吃梨的风俗在中国有着悠久的历史和丰富的文化内涵，因此梨成为了惊蛰前的热销水果之一．某城市水果销售商以2元/千克的进价购进了一批梨，并放到了本市5家分店进行销售． 任务驱动：销售这批梨完，并获得最大利润． 研究步骤：研究步骤： （1）分别对5家分店进行不同价位的销售； （2）收集每家分店的日销量； （3）分析数据，形成结论． 收集数据∶ 分店编号 1 2 3 4 5 售价（元/千克） 6 2.5 5 3 5.5 日销量千克 40 180 80 160 60 （1）结合数据分析，请直接写出5家分店销售梨的日销量与售价的函数关系式． （2）该水果销售商计划对5家分店统一规定售价，在无损耗的情况下，当售价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出该销售商销售此梨一天的最大利润． （3）若每天未售出的梨中会有10%因变质第二天无法销售，请直接写出当统一售价定为多少时，平均每天可获得最大利润． 【答案】（1）；（2）该水果销售商对5家分店统一规定售价为4.5元/千克时，每天获得的利润最大，销售此梨一天的最大利润为1250元；（3）当定价为4.4元/千克时，平均每天可获得最大利润． 【解析】（1）解：由表格数据可知，y是关于x的一次函数， 设， 把，，代入得， 解得， ∴； （2）解：设一家店的利润为w元， 根据题意得， 即， 当时，w取最大值，最大值为250元， （元）． 答：该水果销售商对5家分店统一规定售价为4.5元/千克时，每天获得的利润最大，销售此梨一天的最大利润为1250元． （3）解：设每家店一天有a千克梨预售，一天获得的利润为w元， 根据题意得 ， ∴当时，w取最大值． 答：当定价为4.4元/千克时，平均每天可获得最大利润． 22．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现后使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间． 如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）解：在矩形中，， ∵，垂直平分， ∴， ∴，，，， 设抛物线表达式为， 将A、D、E三点坐标代入表达式，得， 解得． ∴抛物线表达式为． （2）解：设，则， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． （3）解：设最右侧光线与抛物线的交点为F，如图4，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∴， 整理得， ∵与抛物线有且只有一个交点F， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得, 解得， ∴． ∴． 23．如图，直线过x轴上的点，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，求出的面积． （3）当时，请观察图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由题可知，直线的解析式为． 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为． 对于， 当时，， ∴D点坐标． ∴； （3）解：由图象得：当或时，直线在抛物线的下方， ∴当时，x的取值范围或． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； （3）如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）、，最短路径长6.5；（3）． 【解析】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的表达式为：， ∵抛物线过点， ∴， ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，由抛物线的表达式知， 其对称轴为直线， ∵ ∴， 则 作点C关于抛物线对称轴的对称点N， ∴ ∵点D是的中点 ∴ 作点D关于x轴的对称点G， ∴ 连接交x轴于点E交抛物线对称轴于点F 则此时，点E、F符合题设要求，此时点P运动的路径最小， 理由：∵点D关于轴的对称点G，点C关于抛物线对称轴的对称点N ∴，， 则， 此时的长度满足点P走过的路径最短 设直线的表达式为 把，分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 令，则， 则点， ∵， ∴， 即点E、F坐标分别为：、， ∴最短路径长6.5； （3）解：存在，理由： 依题意 ∴ 解得：（舍去）或3， 则点， 设直线交于点， 由点、知， ∴， 而直线和x轴正半轴的夹角为， 则， ∵，则， 则， 解得：（舍去）或1， 则点， 设直线的表达式为 把点、分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 依题意，得 解得：（舍去）或7， 则点． 25 学科网（北京）股份有限公司 $