第四单元 多边形的面积（知识梳理+13个考点讲练+真题演练+难度分层练 共64题）-2025-2026学年北师大版数学五年级上册单元复习举一反三培优精讲练

第四单元 多边形的面积 （知识梳理+13个考点讲练+真题演练+难度分层练 共64题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：面积的比较和高的认识 2 知识点梳理02：平行四边形的面积 3 知识点梳理03：三角形的面积 3 知识点梳理04：梯形的面积 4 高频考点讲练1：借助方格比较图形的面积 4 高频考点讲练2：平行四边形的高及画法 7 高频考点讲练3：三角形的高及画法 9 高频考点讲练4：梯形的高及画法 10 高频考点讲练5：平行四边形面积的计算 12 高频考点讲练6：平行四边形面积的应用 14 高频考点讲练7：利用平移法求平行四边形的面积 15 高频考点讲练8：三角形面积的计算 17 高频考点讲练9：三角形面积的应用 19 高频考点讲练10：平行线间三角形的面积问题 20 高频考点讲练11：梯形面积的计算 23 高频考点讲练12：梯形面积的应用 24 高频考点讲练13：与梯形相关的重叠问题 28 升学真题 实战演练 30 优选题型 培优强化 33 基础夯实 能力提升 33 创新拓展 拔尖冲刺 40 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：面积的比较和高的认识 1.比较图形面积大小的方法。 （1）数方格法:观察方格纸中的各图形，数出各图形各占几个格，根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。 （2）重叠法:借助图形变换使两个图形重叠，观察两个图形能否完全重合，来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方法) （3）拼组法:将两个图形组在一起，看是否与其他图形相同。 （4）分割移补法:两个图形的形状不同，不能完全重合，但可以把图形分割平移，变成一种比较相似的图形，再比较它们的面积。 温馨提示：两个图形面积的大小与它们的形状没有关系。 2.梯形的底和高及画法。 （1）梯形中平行的两条边为梯形的上底和下底。上、下底之间的垂直线段就是梯形的高。梯形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合，另一条直角边与另一条底边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是梯形的高。 3.平行四边形的底和高及画法。 （1）从平行四边形的顶点（或一条边上的任意一点）向它的对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是这条高对应的底。平行四边形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条底边重合，另一条直角边与平行四边形这条底边所对的边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是平行四边形的高。 4.三角形的底和高及画法。 （1）三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。三角形有三组对应的底和高。 （2）把三角尺的一条直角边与一条底边重合，沿着这条底边平移三角尺，使三角尺的另一条直角边通过底边所对的顶点，从顶点向底边（或底边延长线）画一条垂线，顶点到底边（或底边延长线）的垂直线段就是三角形底边上的高。 5.画指定底和高长度的平面图形的方法。 先画指定长度的底，然后根据底确定指定长度的高，最后画出其他的边。 知识点梳理02：平行四边形的面积 1.平行四边形面积计算公式的推导过程。 通过割补法把平行四边形转化为长方形，长方形的长等于原平行四边形的底，长方形的宽等于原平行四边形的高。 2.平行四边形的面积计算公式。 平行四边形的面积 ＝底×高。如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形面积的计算公式可以写成S＝ah。 温馨提示： 1. 平行四边形的底＝平行四边形的面积÷对应的高，平行四边形的高＝平行四边形的面积÷对应的底 。 2. 决定平行四边形面积大小的是它的底和高，等底等高的平行四边形的面积相等。 知识点梳理03：三角形的面积 1.三角形面积计算公式的推导过程。 两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四边形的底和高分别是三角形的底和高。 平行四边形的面积是其中一个三角形面积的2倍，因此可以由平行四边形面积公式推导出三角形的面积计算公式。 2.三角形的面积计算公式。 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 三角形的面积=底×高÷2。 温馨提示： 1.三角形的底＝三角形的面积×２÷高，三角形的高＝三角形的面积×２÷底。 2. 决定三角形面积大小的是它的底和高，等底等高的三角形的面积相等。 知识点梳理04：梯形的面积 1.梯形面积计算公式的推导过程。  可以把一个梯形分成两个三角形或一个三角形和一个平行四边形，通过计算两个三角形的面积之和或一个三角形和一个平行四边形的面积之和推导出梯形的面积计算公式。 两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。 2.平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 3.梯形的面积计算公式。 梯形的面积＝ (上底＋下底)×高÷２；若用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底,用b表示梯形的下底,用h表示梯形的高,则S＝ (a＋b)×h÷2 。 温馨提示： 1.上底与下底之和相等，高也相等的梯形，面积相等。 2.计算排放整齐的圆木或钢管的数量，可以用梯形的面积计算公式。 高频考点讲练1：借助方格比较图形的面积 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图中哪些图形的面积与图①相等？（每个小方格的面积是1cm2）      数方格法：图①的面积为( )cm2，图②的面积为( )cm2，图①的面积( )图②的面积。 割补法：图形( )的面积与图①的面积相等。    【答案】 12 12 等于 ③ 【思路引导】根据数图形的方法得到图形的面积；再进行比较；根据割补把不规则图形转化成已经学过的图形再数面积，进而解答。 【规范解答】图①12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 图②12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 12＝12，图①面积＝图②面积 图③通过平移以及旋转，有12个小方格，面积：1×12＝12（cm2） 图④通过旋转，有8个小方格，面积：1×8＝8（cm2） 图③面积＝图①面积。 数方格法：图①的面积为12cm2，图②的面积为12cm2，图①的面积等于图②的面积。 割补法：图形③的面积与图①的面积相等。 【变式训练1】（21-22三年级下·陕西渭南·期末）下图中每个小方格代表1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是（    ）。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 【答案】C 【思路引导】因为每个小方格的面积是1平方厘米，数一数阴影部分由多少个方格组成，不足一格按半个计算；用方格的个数乘1平方厘米即可。图形①由16个整格组成；图形②由14个整格组成；图形③由16个整格，4个半格，组成2个整格，共有16＋2＝18（个）整格组成；分别求出它们的面积，再比较解答。 【规范解答】根据分析可得： 图①的面积是：16×1＝16（平方厘米） 图②的面积是：14×1＝14（平方厘米） 图③的面积是：18×1＝18（平方厘米） 18平方厘米＞16平方厘米＞14平方厘米， 所以上面三个图形面积大小排列顺序正确的是③＞①＞②。 故答案为：C 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握利用数方格计算图形面积的方法，弄清楚阴影部分有多少个方格组成，是解答本题的关键。 【变式训练2】（24-25五年级上·辽宁·单元测试）求下列图形的面积。（每个小方格边长是1cm） ( )cm²　　　　( )cm²　　　( )cm²　　　　    ( )cm² 【答案】 12 7 6 7.5 【思路引导】通过分割、移补的方法，把不足一格的部分拼成一格，再数格。 【规范解答】每个小方格边长是1cm，面积就是1平方厘米。 （1）平行四边形的上面两个不满一格的部分可以补到下面不满一格的部分，形成两个满格，梯形也是这样移补，最后数格是12格，也就是12平方厘米； （2）三角形四个不满一格的部分，正好可以移补成两个满格，梯形左边半格移补到右边，最后数格是7格，也就是7平方厘米； （3）12个半格，可以移补成6个整格，也就是6平方厘米； （4）平行四边形左边不满一格的部分移补成1个整格，图形上部两个三角形和平行四边形的右边可以移补成2.5个格，最后数格是7.5格，也就是7.5平方厘米。 【考点剖析】本题考查不规则图形的面积，通过分割、移补的方法把不满1个的部分拼成整格。 高频考点讲练2：平行四边形的高及画法 【典例精讲】（23-24五年级上·浙江金华·期末）按要求画图。 （1）以虚线为对称轴画出平行四边形ABCD的对称图形。 （2）将平行四边形ABCD向下平移3格，再向右平移7格，画出平移后的图形。 （3）在平行四边形ABCD中，画出底边BC对应的高。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到平行四边形ABCD的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到轴对称图形。 （2）根据平移的特征，把平行四边形ABCD的各顶点分别先向下平移3格，再向右平移7格，依次连接即可得到平移后的图形。 （3）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 【规范解答】如图： 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）( )和( )画高的方法是正确的。 ①          ②          ③           ④ 【答案】 ② ④ 【思路引导】画三角形、梯形、平行四边形给定底边上的高，都相当于过直线外一点画已知直线的垂直线段。先确定画哪条底边上的高，再从对着该底边的顶点（或对边上的某一点）向这个底边画垂直线段。 【规范解答】①该三角形底边上的高应该从左上方的顶点向这个底边画垂直线段，该画法是错误的； ②该梯形的高画法是正确的； ③该三角形底边上的高应该从对着该底边的顶点向这个底边画垂直线段，该画法是错误的； ④该平行四边形的高画法是正确的。 因此②和④画高的方法是正确的。 【变式训练2】（21-22四年级上·重庆大足·期末）已知下图四边形ABCD是平行四边形，，下列说法正确的有（    ）个。 （1）平行四边形ABCD的CD边上的高是15cm。 （2）DE＝10cm。 （3）四边形ABED是一个直角梯形。 （4）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】（1）从点A向CD边作的垂线段的长度是15厘米，这条垂线即为CD边上的高； （2）平行四边形的对边互相平行，边AD与边BC互相平行，由图可知从点A向BC边作的垂线段的长度是10厘米，这个垂线段即为BC边上的高，从点D向BC边作的垂线段（也是BC边上的高），所以线段DE的长度也是10厘米， （3）四边形ABED有一组对边互相平行，AD边与BE边互相平行，另外一组对边不平行，即这个四边形只有一组对边互相平行，所以是梯形，且DE边与BE边互相垂直，即为直角梯形。 （4）AB边与AD边是相邻的两条边，它们是相交的关系，不是平行的关系。 【规范解答】（1）平行四边形ABCD的CD边上的高是15厘米，这句话说法正确； （2）DE＝10厘米，是正确的； （3）四边形ABED是一个直角梯形，这句话是正确的； （4），这个结论是错误的。 所以共有3个是正确的。 故答案为：C 高频考点讲练3：三角形的高及画法 【典例精讲】（24-25五年级上·河南商丘·期末）如图，在三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．① B．② C．③ D．以上都不是 【答案】A 【思路引导】根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高，再根据过直线外一点画已知直线的重线的方法，即可解题。 【规范解答】在三角形ABC中顶点C的对边是AB，即在三角形ABC中，AB边上的高是①。 故答案为：A 【变式训练1】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）在方格图中按要求画出图形。 （1）以虚线m为对称轴，画出图形①的轴对称图形②。 （2）将图形①先向左平移7格，再向下平移4格，得到图形③，画出图形③。 （3）画出图形①给定底边上的高。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴（虚线）的下面画出上面图形的关键对称点，依次连接即可 （2）找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，依次连接各对应点。 （3）把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。 【规范解答】根据分析，作图如下： 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图所示，在三角形ADE中，DE边上的高是（    ）。 A．EF B．AD C．AC 【答案】C 【思路引导】画三角形给定底边上的高，相当于过直线外一点画已知直线的垂直线段。先确定画哪条底边上的高，再从对着该底边的顶点（或对边上的某一点）向这个底边画垂直线段。 【规范解答】画三角形ADE中DE边上的高，从DE边相对的顶点A作DE边的垂直线段会与AC重合，所以DE边上的高是AC。 故答案为：C 高频考点讲练4：梯形的高及画法 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）画出下面图形给定底边上的高。 【答案】见详解 【思路引导】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高； 从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高； 从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。 画三角形、梯形、平行四边形给定底边上的高，都相当于过直线外一点画已知直线的垂直线段。先确定画哪条底边上的高，再从对着该底边的顶点（或对边上的某一点）向这个底边画垂直线段。 【规范解答】如图： 【变式训练1】（23-24五年级上·陕西咸阳·阶段练习）下面各图形中的虚线是该图形给定底边上的高吗？是的画“√”，不是的画“×”。              ( )      ( )       ( )       ( ) 【答案】 √ √ × √ 【思路引导】（1）从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，那么这个顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高； （2）从平行四边形一条边上任意一点向对边（或对边所在的直线）引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高。垂足所在的边叫做平行四边形的底； （3）从梯形上底任意一点到对边作垂线，这点到垂足之间的线段叫做梯形的高。垂足所在的边叫做梯形的底。 【规范解答】根据分析可知，①是给定边上的高；②是给定边上的高；③不是垂线，所以不是高；④是给定边上的高。 【变式训练2】（23-24五年级上·四川成都·期中）画出下面图形给定底边的高。 【答案】见详解 【思路引导】三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，高用虚线表示，最后标出垂足； 根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，称为作高，由此作图即可； 在平行四边形中，从一条边上的任意一点向底边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高。据此画高即可。 【规范解答】如图所示： 高频考点讲练5：平行四边形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋城·期末）如图，天天量出这个平行四边形相邻两边的长分别是5厘米和3厘米，还量出一条高是4厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．15 C．20 【答案】A 【思路引导】量出的平行四边形的高是4厘米，则对应的底是3厘米，再根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算即可。 【规范解答】3×4＝12（平方厘米） 这个平行四边形的面积是12平方厘米。 故答案为：A 【变式训练1】（24-25五年级上·全国·期中）小冬把如图的平行四边形利用割补转化成面积相等的长方形后，用“”来计算它的面积。 （1）他剪拼成的长方形是怎样的？请在图中画出来。 （2）的长度是多少？ 【答案】（1）见详解 （2）10厘米 【思路引导】（1）根据平行四边形面积公式的推导过程可知，把一个平行四边形转化为长方形后面积不变，转化后的长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。据此作图即可。 （2）根据平行四边形的面积底高，那么高面积底，把数据代入公式解答。 【规范解答】（1）作图如下：可以沿高剪开再拼成长方形。（答案不唯一） （2） （厘米） 答：的长度是10厘米。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）王叔叔用一张长方形彩纸剪成了一个平行四边形装饰材料，如图，你知道另一边的长度是多少米吗？（结果保留两位小数） 【答案】22.86米 【思路引导】根据题意可知，平行四边形长时16米的底对应的高是20米，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出平行四边形面积，再根据底＝面积÷高，用平行四边形的面积除以另一条边对应的高14米，即可求出另一边的长度，据此解答。 【规范解答】16×20÷14 ＝320÷14 ≈22.86（米） 答：另一边的长度是22.86米。 高频考点讲练6：平行四边形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·四川成都·期中）一块平行四边形广告牌，底9.5米，高4.8米，用油漆剧这块广告牌，每平方米用油漆0.75千克。刷这块广告牌要用油漆多少千克？ 【答案】34.2千克 【思路引导】根据平行四边形面积＝底×高，求出广告牌面积，广告牌面积×每平方米用的油漆质量＝刷这块广告牌要用油漆质量，据此列式解答。 【规范解答】9.5×4.8×0.75 ＝45.6×0.75 ＝34.2（千克） 答：刷这块广告牌要用油漆34.2千克。 【变式训练1】（24-25五年级上·浙江金华·期末）一块底是60米的平行四边形菜地，现在扩大规模需要沿着底边进行拓宽，形状不变，底边拓宽了15米，菜地面积增加到1200平方米。原来菜地的面积是多少？ 【答案】960平方米 【思路引导】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，用拓宽后的面积除以拓宽后的底边长，即可求出平行四边形菜地的高，再用原来的底边长×高，即可求出原来平行四边形菜地的面积，据此解答。 【规范解答】1200÷（60＋15） ＝1200÷75 ＝16（米） 60×16＝960 答：原来菜地面积是960平方米。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图中用割补法能推导出平行四边形面积计算公式的是（    ）。         ①       ②       ③      ④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】①把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。 ②在平行四边形沿高剪下一个小直角梯形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。 ③在平行四边形的左边剪下一个小三角形，然后平移到右边，把平行四边形又转化成一个平行四边形，所以不能推导出平行四边形面积计算公式； ④N、M是平行四边形两条边上的中点，沿N、M向底边作垂线，在平行四边形的左下角、右上角各剪下一个小直角三角形，再补回左上角、右下角，把平行四边形转化成长方形，平行四边形的面积＝长方形面积，根据长方形的面积公式可推导出平行四边形的面积计算公式。 【规范解答】从分析中可知，①②④都是用割补法把平行四边形转化成长方形，平行四边形的面积＝长方形面积，根据长方形的面积公式可推导出平行四边形的面积计算公式。 故答案为：C 高频考点讲练7：利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】（23-24五年级上·四川成都·期末）学校劳动实践基地有一块平行四边形的菜地，为了方便管理，中间留了一条平行四边形的小路（如图）。如果每平方米收的白菜能卖25元，这块菜地的白菜一共可以卖多少元？ 【答案】10875元 【思路引导】先算菜地的面积，通过平移可知，菜地可看成一个底是米，高是15米的平行四边形，再根据，代入数据计算得菜地面积，再乘25，即可得解。 【规范解答】 （元） 答：这块菜地的白菜一共可以卖10875元。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁葫芦岛·期末）本学期我们利用“转化”的方法解决了许多问题，下面做法正确的有（    ）。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【思路引导】根据积的变化规律，商不变的规律，以及平行四边形面积公式推导的方法对各个问题进行分析，找出正确的即可。 【规范解答】 ①，先把两个因数同时乘10，这样积就扩大到原来的100倍，然后积再除以100，就得到了原来算式的积，是正确的； ②，把平行四边形割补成长方形，面积不变，长方形的长是平行四边形的底，长方形的宽是平行四边形的高，根据长方形的面积＝长×宽，得出平行四边形的面积＝底×高，是正确的； ③，9.75÷2.5根据商不变规律，被除数和除数同时乘10后再计算，应变成97.5÷25，而原题变成了975÷25，是错误的。 故答案为：A 【变式训练2】（22-23五年级上·辽宁大连·期末）如图，一块平行四边形的空地中有一条长7米，宽2米的长方形小路。 （1）求空地的面积。 （2）计划将空地进行绿化改造，每平方米空地的绿化需40元，这块平行四边形空地绿化需要多少元？ 【答案】161平方米；6440元 【思路引导】（1）通过平移可知，空地的面积相当于底（25－2）米、高7米的平行四边形的面积根据平行四边形的面积公式S＝ah代入即可解答； （2）用求出的平行四边形的面积乘每平方米空地绿化所需的40元，即可求出绿化所需金额。 【规范解答】（1）（25－2）×7 ＝23×7 ＝161（平方米） 答：空地的面积为161平方米。 （2）161×40＝6440（元） 答：这块平行四边形空地绿化需要6440元。 【考点剖析】本题考查了平行四边形的面积公式的运用。 高频考点讲练8：三角形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽淮北·期末）一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，这个三角形的面积是( )平方分米，平行四边形的面积是( )平方分米。 【答案】 12.5 25 【思路引导】三角形面积是与其等底等高平行四边形面积的一半，设三角形面积是1份，平行四边形面积是2份，则三角形面积比平行四边形面积少2－1＝1份；已知一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，则1份对应12.5平方分米，即三角形的面积；用三角形面积乘2即可求出平行四边形的面积。 【规范解答】12.5÷（2－1） ＝12.5×1 ＝12.5（平方分米） 12.5×2＝25（平方分米） 所以一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，这个三角形的面积是12.5平方分米，平行四边形的面积是25平方分米。 【变式训练1】（24-25五年级上·辽宁锦州·期末）如图，这个梯形中面积相等的三角形有（    ）。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【思路引导】根据梯形的特征：互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底。平行线之间的距离处处相等。三角形的面积＝底×高÷2可知，等底等高的两个三角形的面积相等。 【规范解答】 如图：（1）三角形ABC和三角形DBC等底等高，所以三角形ABC的面积＝三角形DBC的面积。 （2）三角形ABD和三角形ADC等底等高，所以三角形ABD的面积＝三角形ADC的面积。 （3）三角形ABD的面积－三角形ADO的面积＝三角形ABO的面积 三角形ADC的面积－三角形ADO的面积＝三角形DCO的面积 因为三角形ABD的面积＝三角形ADC的面积，所以三角形ABO的面积＝三角形DCO的面积。 这个梯形中面积相等的三角形有3对。 故答案为：C 【变式训练2】（24-25五年级上·浙江金华·期末）同学们在校园小农场里开辟了一块面积是192平方米的菜地，正好可以分割成一块平行四边形和一块直角三角形（如图）。已知直角三角形菜地的两条直角边都是12米，那么，平行四边形菜地的高（h）是多少米？ 【答案】10米 【思路引导】直角三角形的两条直角边可看成底和高，根据，代入数据可计算三角形的面积，再用192减三角形面积，可得平行四边形的面积，再根据平行四边形的面积＝底×高的逆运算，用平行四边形的面积除以底12米，即可得解。 【规范解答】 （米） 答：平行四边形菜地的高（h）是10米。 高频考点讲练9：三角形面积的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·辽宁·期中）如图，平行四边形ABCD的BC边长10厘米，CD边长6厘米，BC边上的高长5厘米，求平行四边形BECF的面积。 【答案】50平方厘米 【思路引导】根据题意，10厘米和5厘米是平行四边形ABCD对应的底和高，因此，它的面积是10×5＝50（平方厘米），因为三角形BCE与平行四边形ABCD等底等高，所以三角形BCE是平行四边形ABCD的一半，三角形BCE又与平行四边形BECF等底等高，所以三角形BCE是平行四边形BECF的一半，所以，平行四边形BECF的面积与平行四边形ABCD的面积相等，均为50平方厘米。 【规范解答】10×5＝50（平方厘米） 三角形BCE与平行四边形ABCD等底等高，三角形BCE是平行四边形ABCD的一半。 三角形BCE又与平行四边形BECF等底等高，三角形BCE是平行四边形BECF的一半。 平行四边形BECF的面积与平行四边形ABCD的面积相等。 所以，平行四边形BECF的面积是50平方厘米。 【变式训练1】（24-25五年级上·北京怀柔·期末）如图，下面四个平行四边形的面积相等。比较图中阴影部分面积，说法正确的是（    ）。 A．③＞②＞① B．①＞②＞③ C．②＞③＞① D．①＝②＝③ 【答案】D 【思路引导】根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，当平行四边形和三角形等底等高时，三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此解答。 【规范解答】三个图的阴影部分都是三角形，且与平行四边形等底等高，则三角形的面积是等底等高平行四边形面积的一半，因为三个平行四边形的面积相等，所以三个图中的阴影部分面积也相等，即①＝②＝③。 故答案为：D 【变式训练2】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一块三角形土地与一块平行四边形土地的面积相等，高也相等，三角形土地的底是36.8m，那么平行四边形土地的底是( )m。 【答案】18.4 【思路引导】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，可知当三角形和平行四边形等高等面积时，平行四边形的底是三角形底的一半，据此用三角形的底除以2，即可求出平行四边形的底。 【规范解答】36.8÷2＝18.4（m） 平行四边形土地的底是18.4m。 高频考点讲练10：平行线间三角形的面积问题 53．（24-25五年级上·浙江金华·期末）请你用不同的方法画出和以下三角形面积相等但形状不同的三角形。（至少两种不同的方法。） 【答案】见详解 【思路引导】过A点作BC的平行线，以BC为底边，在过A的平行线上任取一点，即可画出面积相等，但形状不同的三角形，据此解答（答案不唯一）。 【规范解答】如图： （答案不唯一） （答案不唯一） 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）算一算，想一想，你发现了什么？ 列式解答： 。 发现：它们的底和高都( )，面积也( )。 【答案】 7×9÷2＝31.5（平方厘米） 相等 相等 【思路引导】通过观察图可知，这三个三角形的底都为7厘米，高为9厘米，根据面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，通过计算三角形的面积来观察规律。 【规范解答】列式解答：7×9÷2＝31.5（平方厘米） 这三个三角形的面积都为31.5平方厘米。 发现：它们的底和高都相等，面积也相等。 【变式训练2】（23-24五年级上·山西吕梁·期末）数学思想方法是数学的灵魂，等积转换就是重要的思想方法之一，也就是相同的面积互相转换。例如：下面图1中的四个同底三角形面积相等，就可以互相转换。又如图2：两个完全相同的平行四边形中，涂色三角形的面积都等于平行四边形面积的一半，也可以互相转换。        图1                          图2 （1）图3中涂色三角形的面积是正方形面积的一半吗？说一说你的理由。 图3 （2）图4为梯形ABCD，在图中找出与涂色三角形面积相等的三角形，涂上颜色。 图4 （3）将上面图3和图4组合成一个图形，利用等积转换求阴影部分的面积。 【答案】（1）是，因为等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 （2）见详解； （3）8平方厘米 【思路引导】（1）图3中，三角形的底和高等于正方形的边长，根据三角形的面积公式和正方形的面积公式可知，三角形的面积等于正方形面积的一半；（合理即可，答案不唯一） （2）根据梯形的特征，上底和下底平行，所以三角形ABD和三角形ABC面积相等； （3）因为三角形ABD和三角形ABC面积相等，三角形ABC的面积等于正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于正方形面积的一半，代入数据即可解答。 【规范解答】（1）图3中涂色三角形的面积是正方形面积的一半，因为等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半；（合理即可，答案不唯一） （2）根据分析作图如下： （3）4×4÷2＝8（平方厘米） 答：阴影部分的面积为8平方厘米。 高频考点讲练11：梯形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽淮北·期末）一个直角梯形的上底是9厘米，下底是11厘米，高是8厘米，梯形的面积是( )平方厘米，在这个梯形内剪下一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 80 64 【思路引导】已知一个直角梯形的上底是9厘米，下底是11厘米，高是8厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出梯形的面积；要在这个直角梯形内剪下一个最大的正方形，因为梯形的高是8厘米，且是直角梯形，所以正方形的边长最大只能等于梯形的高，即正方形的边长为8厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出最大正方形的面积。 【规范解答】（9＋11）×8÷2 ＝20×8÷2 ＝160÷2 ＝80（平方厘米） 所以一个直角梯形的上底是9厘米，下底是11厘米，高是8厘米，梯形的面积是80平方厘米。 8×8＝64（平方厘米） 所以在这个梯形内剪下一个最大的正方形，正方形的面积是64平方厘米。 【变式训练1】（24-25五年级上·河南商丘·期末）如图所示，将一个梯形分成三部分，这三部分的面积相比较，（    ）。 A．①的面积最大 B．②的面积最大 C．③的面积最大 D．这三部分的面积一样大 【答案】B 【思路引导】三部分的高都是原梯形的高，假设高是h，根据平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别表示出三部分的面积，比较即可。 【规范解答】假设高是h。 ①的面积：3×h＝3h（cm2） ②的面积：8h÷2＝4h（cm2） ③的面积：（2＋4）h÷2 ＝6h÷2 ＝3h（cm2） 3h＜4h，所以，这三部分的面积相比较，②的面积最大。 故答案为：B 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）在研究梯形的面积公式时，淘气把梯形转化成了一个平行四边形。下列面积计算方法的思路和淘气的想法相对应的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由图可知，把梯形转化成了一个平行四边形，梯形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形高的一半，根据平行四边形的面积＝底×高，即可得出梯形的面积。 【规范解答】平行四边形的面积＝底×高 S＝（a＋b）×（h÷2） 梯形的面积＝平行四边形的面积 所以梯形的面积S ＝（a＋b）×（h÷2） 故答案为：B 高频考点讲练12：梯形面积的应用 【典例精讲】（23-24五年级上·河南商丘·期末）如图，把一块面积是48平方米的平行四边形的菜地，分为直角三角形和直角梯形两块地。一共收721.5千克白菜，平均每平方米能收多少千克白菜？ 【答案】18.5千克 【思路引导】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；底＝面积÷高，代入数据，求出平行四边形菜地的底；再根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出梯形菜地的面积，再用收白菜的重量÷梯形菜地的面积，即可解答。 【规范解答】48÷6＝8（米） （5＋8）×6÷2 ＝13×6÷2 ＝78÷2 ＝39（平方米） 721.5÷39＝18.5（千克） 答：平均每平方米能收18.5千克白菜。 【变式训练1】（24-25五年级上·广东深圳·期末）高铁“子弹头火车”因流线型车头得名，设计旨在降低风阻、提升速度和能效。如图是高铁车厢头侧面的简笔画，为了方便算出它的大概面积，同学们将它进行了简化， （1）你认同下面的计算方法吗？说明理由。 算式：37×3－（3－0.5）×（37－27） （2）请用你的方法计算它的大概面积。 【答案】（1）不认同；算式中37×3表示长方形的面积，三角形面积实际应为：（3－0.5）×（37－27）÷2，而它的算式中忘记除以2，导致计算面积小于实际面积（理由答案不唯一） （2）98.5平方米 【思路引导】（1）该题是用长方形的面积减去底是（3－0.5）米、高是（37－27）米的三角形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2进行判断即可。 （2）如图： 把它分割成一个长方形和一个梯形，长方形的长为27米、宽为3米；梯形的上底是0.5米、下底是3米，高是37－27＝10（米），根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入相关数据解答即可。 【规范解答】（1）答：不认同，因为算式中37×3表示长方形的面积，三角形面积实际应为：（3－0.5）×（37－27）÷2，而它的算式中忘记除以2，导致计算面积小于实际面积。（理由答案不唯一） （2）27×3＋（0.5＋3）×（37－27）÷2 ＝81＋3.5×10÷2 ＝81＋35÷2 ＝81＋17.5 ＝98.5（平方米） 答：图形的大概面积为98.5平方米。 【变式训练2】（24-25五年级上·广东深圳·期末）（1）如图，这个梯形A的面积是（    ）平方厘米。 （2）在下图中将这个梯形A的上底增加1厘米，下底减少1厘米，高不变，得到新的梯形①，请你将梯形①画在梯形A的右边。 （3）继续做下去，奇思发现梯形的上底和下底越来越接近，于是他得出：在高不变的情况下，梯形A的上底增加（    ）厘米，下底减少（    ）厘米，梯形A就会变成平行四边形（或长方形）。 （4）如果在高不变的情况下，梯形A的上底减少1厘米，下底增加1厘米，得到新的梯形②，请你将梯形②画在梯形A的左边，……，直到上底为0（即一个点），你发现了什么？ （5）经过以上的探索，有同学说：三角形的面积和平行四边形的面积都可以用梯形的面积公式来表示，你同意吗？写下你的想法。 【答案】（1）35； （2）图见详解； （3）3；3； （4）图见详解； （5）同意。理由见详解； 【思路引导】（1）图形A是一个梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 （2）上底增加1厘米，下底减少1厘米，则现在梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，高是5厘米。画出梯形即可； （3）根据平行四边形（长方形的特点）对边相等，则梯形上底与下底相差6厘米，则除以2，即可得出上底增加3厘米是7厘米，下底减少3厘米是7厘米。 （4）梯形A的上底减少1厘米，下底增加1厘米，则现在梯形的上底是3厘米，下底是11厘米，高是5厘米。画出梯形即可； （5）通过（3）和（4）发现，上底增加的长度和下底减少的长度是相同的，上下底的和是相同的。 则当梯形通过上底增加和下底减少使上下底相同，则梯形的上底和下底和是两个平行四边形底的和，高不变，即平行四边形的面积＝底×高＝（上底＋下底）÷2×高； 当梯形通过上底减少和下底增加使上底为0，下底增加上底长度，则梯形的上底和下底和是三角形的底，高不变，即三角形的面积＝底×高÷2＝（上底－上底＋下底＋上底）×高÷2＝（上底＋下底）×高÷2 【规范解答】（1）（4＋10）×5÷2 ＝14×5÷2 ＝70÷2 ＝35（平方厘米） 这个梯形A的面积是35平方厘米。 （2） （3）（10－4）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 梯形A的上底增加3厘米，下底减少3厘米，梯形A就会变成平行四边形（或长方形）。 （4） （5）同意。则当梯形通过上底增加和下底减少使上下底相同，则梯形的上底和下底和是两个平行四边形底的和，高不变，即平行四边形的面积＝底×高＝（上底＋下底）÷2×高； 当梯形通过上底减少和下底增加使上底为0，下底增加上底长度，则梯形的上底和下底和是三角形的底，高不变，即三角形的面积＝底×高÷2＝（上底－上底＋下底＋上底）×高÷2＝（上底＋下底）×高÷2。 高频考点讲练13：与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】（24-25五年级上·全国·期中）如图每个小正方形的边长是1厘米，如果将三角形向右平移3格，这个图形扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】15 【思路引导】将三角形向右平移3格后，形成一个上底3厘米，下底7厘米，高3厘米的梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数据带入计算。 【规范解答】 （平方厘米） 这个图形扫过的面积是15平方厘米。 【变式训练1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）如图，两个完全相同的等腰直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：米）    【答案】20平方米 【思路引导】如图：    阴影部分的面积＝梯形ABCD的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据进行解答即可。 【规范解答】（3＋7）×（7－3）÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方米） 阴影部分的面积是20平方米。 【变式训练2】（24-25五年级上·四川成都·期末）下图是两个相同的直角梯形重叠在一起，阴影部分的面积为( )。（单位：） 【答案】140 【思路引导】两个相同的直角梯形重叠在一起，重叠部分是它们的公共部分，则阴影部分的面积等于下面直角梯形的面积，其中上底是20－5＝15厘米，下底是20厘米，高是8厘米，根据梯形的面积公式计算即可。 【规范解答】由分析可知，阴影部分的面积为： （20－5＋20）×8÷2 ＝35×8÷2 ＝140（平方厘米） 【考点剖析】此题运用到了转化思想，把不规则的图形面积转化成我们常见图形的面积再计算。 【演练1】（2024·甘肃定西·小升初真题）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（    ）cm2。 A．48 B．96 C．104 D．128 【答案】C 【思路引导】梯形的面积＝长方形面积－三角形的面积，根据公式长方形面积＝长×宽求出长为16 cm，宽为8 cm的长方形面积；根据三角形面积＝底×高÷2求出底为8cm，高为6cm的三角形面积，最后相减即可。 【规范解答】16×8－6×8÷2 ＝128－24 ＝104（cm2） 所以这个梯形的面积是104cm2。 故答案为：C 【演练2】（2024·安徽亳州·小升初真题）一堆圆木，堆成梯形的形状，最上层7根，最下层18根，每相邻两层差一根，这堆圆木共有_____根。（    ） A．57 B．50 C．150 D．180 【答案】C 【思路引导】从题意可知：这堆原木共18－7＋1＝12（层），也就是梯形的高。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】18－7＋1＝12（层） （7＋18）×12÷2 ＝25×12÷2 ＝150（根） 这堆圆木共有150根。 故答案为：C 【演练3】（2024·山西晋城·小升初真题）如图所示的点子图中有两条平行线，且平行线之间有甲、乙、丙、丁四个图形。下面叙述中正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙、丁四个图形的面积相等。 B．三角形的面积最小，平行四边形的面积最大。 C．面积按从小到大的顺序排列是乙＜丙＜甲＜丁。 D．无法比较四个图形的面积大小。 【答案】B 【思路引导】设相邻两个点之间的距离是1；根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，分别求出各图形的面积，再比较大小，找出叙述正确的选项即可。 【规范解答】设相邻两个点之间的距离是1； 甲长方形的面积：3×2＝6 乙梯形的面积： （1＋4）×2÷2 ＝5×2÷2 ＝5 丙三角形的面积：4×2÷2＝4 丁平行四边形的面积：6×2＝12 4＜5＜6＜12 A．甲、乙、丙、丁四个图形的面积不相等，原题叙述错误； B．三角形的面积最小，平行四边形的面积最大，原题叙述正确； C．面积按从小到大的顺序排列是丙＜乙＜甲＜丁，原题叙述错误。 D．可以比较四个图形的面积大小，原题叙述错误。 故答案为：B 【演练4】（2022·广东茂名·小升初真题）一张长方形ABCD的纸折成如图，E恰好是AD边的中点，三角形AEF面积是3.5平方厘米，三角形EDC的面积是10.5平方厘米，问长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】42平方厘米 【思路引导】观察图形，分析题意可知，由S△EDC＝DC×DE；又因为点E恰好是AD边的中点，因为S△EDC＝10.5平方厘米，所以AD×DC＝10.5，即AD×DC＝42；又由长方形ABCD的面积＝DC×AD，从而得出长方形的面积。 【规范解答】因为点E恰好是AD边的中点，所以DE＝AD； 因为S△EDC＝DE×DC，所以S△EDC＝×AD×DC＝AD×DC； 因为S△EDC＝10.5cm2，所以AD×DC＝10.5平方厘米； 即AD×DC ＝10.5×4 ＝42（平方厘米） 因为长方形ABCD的面积＝AD×DC，所以S长方形ABCD＝42平方厘米。 答：长方形ABCD的面积是42平方厘米。 【考点剖析】此题主要是根据条件找△EDC的边与长方形ABCD的边之间的关系。 【演练5】（2022·四川成都·小升初真题）一个平行四边形的周长是144厘米，已知它相邻两条边上的高分别是30厘米和24厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】960 【思路引导】设平行四边形相邻的两条边的长度分别为a厘米和b厘米，由题意得：a＋b＝144÷2＝72厘米，又因a×30＝b×24，所以可以求出a和b的值，再根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。 【规范解答】设平行四边形相邻的两条边的长度分别为a厘米和b厘米。 由题意得：144÷2＝72（厘米） 又因a×30＝b×24 所以a＝b a＝b b＋b＝72 b＝72 b÷＝72÷ b＝72× b＝40 40×＝32（厘米） 平行四边形的面积： 32×30＝960（平方厘米） 平行四边形的面积是960平方厘米。 【考点剖析】此题主要考查平行四边形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是先求出平行四边形的两个邻边的长度。 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级上·吉林长春·期末）在一次户外活动中，老师要求学生们测量并计算一个梯形花园的面积，花园的上底是4厘米，下底是6厘米，高是5厘米。它的面积是（    ）平方厘米。 A．25 B．30 C．35 D．50 【答案】A 【思路引导】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算即可。 【规范解答】（4＋6）×5÷2 ＝10×5÷2 ＝25（平方厘米） 它的面积是25平方厘米。 故答案为：A 2．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）正确计算下边三角形面积的算式是（    ）。 A．9.8×2.3 B．9.8×2.3÷2 C．6.2×2.3 D．6.2×2.3÷2 【答案】B 【思路引导】三角形的底和高要一一对应，从图中可知，三角形的高2.3cm对应的底是9.8cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，据此列出算式。 【规范解答】9.8×2.3÷2 ＝22.54÷2 ＝11.27（cm2） 三角形面积是11.27cm2。 正确计算下边三角形面积的算式是9.8×2.3÷2。 故答案为：B 3．（22-23五年级上·辽宁锦州·期末）将一个平行四边形框架拉成长方形，比较框架拉动前后的变化，下面说法正确的是（    ）。 A．周长不变，面积变小 B．周长不变，面积变大 C．周长和面积都不变 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】把平行四边形框架拉成长方形，四条边的长度没变，所以平行四边形和长方形的周长相等。 把平行四边形框架拉成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽大于平行四边形的高；根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，可得出：长方形的面积大于平行四边形的面积。 【规范解答】如图： 长方形的周长＝平行四边形的周长 长方形的长＝平行四边形的底 长方形的宽＞平行四边形的高 长×宽＞底×高 所以，长方形的面积＞平行四边形的面积。 将一个平行四边形框架拉成长方形，周长不变，面积变大。 故答案为：B 4．（22-23五年级上·辽宁铁岭·期末）用两个同样的三角形拼成一个平行四边形（如图）：经过观察，我们发现三角形的底等于平行四边形的( )；三角形的高等于平行四边形的( )；根据平行四边形的面积＝底×高，可以推导出三角形的面积＝( )。 【答案】 底 高 底×高÷2 【思路引导】观察可知，三角形的底与平行四边形的底相等，三角形的高等于平行四边形的高，又知平行四边形的面积是三角形的2倍，根据平行四边形的面积＝底×高，可以推导出三角形的面积公式。 【规范解答】用两个同样的三角形拼成一个平行四边形（如图）：经过观察，我们发现三角形的底等于平行四边形的底；三角形的高等于平行四边形的高；根据平行四边形的面积＝底×高，可以推导出三角形的面积＝底×高÷2。 5．（22-23五年级上·安徽淮南·期末）一个平行四边形的底是6分米，高是3.2分米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方分米。 【答案】9.6 【思路引导】由题意可知，三角形的底是6分米，高是3.2分米，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出三角形的面积，据此解答。 【规范解答】6×3.2÷2 ＝19.2÷2 ＝9.6（平方分米） 所以，与它等底等高的三角形的面积是9.6平方分米。 6．（2024·湖南株洲·小升初真题）计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】37.8平方厘米 【思路引导】由图可知，阴影部分是一个梯形，先求出梯形的上底，再根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出阴影部分的面积，据此解答。 【规范解答】（9－5.4＋9）×6÷2 ＝（3.6＋9）×6÷2 ＝12.6×6÷2 ＝75.6÷2 ＝37.8（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是37.8平方厘米。 7．（25-26五年级上·辽宁·期中）计算下面图形的面积。 【答案】37.5cm2；13.6m2；72dm2 【思路引导】第一个图形：该图形是三角形，底为12.5cm，高为6cm，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，把数据代入计算即可。 第二个图形：该图形是梯形，上底为2.3m，下底为5.7m，高为3.4m，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入计算即可。 第三个图形：先求平行四边形里面的直角三角形的面积，8×9÷2＝36（dm2），这个直角三角形与平行四边形同底等高，所以平行四边形的面积是这个三角形面积的2倍，即36×2＝72（dm2）。 【规范解答】第一个图形：12.5×6÷2＝37.5（cm2） 第二个图形： （2.3＋5.7）×3.4÷2 ＝8×3.4÷2 ＝27.2÷2 ＝13.6（m2） 第三个图形：8×9÷2×2＝72（dm2） 第一个图形面积为37.5cm2；第二个图形面积为13.6m2；第三个图形面积为72dm2。 8．（25-26五年级上·全国·课后作业）下面是四位同学在进行梯形面积计算公式推导过程中想到的方法。 小晴 （    ） 小飞 （    ） 小雨 （    ） 小强 （    ） （1）你认为哪些同学的方法是正确的？在题目中名字下面的（    ）里画“√”。 （2）任选一位同学的方法说明思路。 我要解释说明的是（    ）的方法：_________________。 【答案】（1）见详解 （2）小晴；见详解 【思路引导】（1）小晴把梯形划分为两个三角形。因为三角形面积公式是已知的，分别计算这两个三角形的面积，再将它们的面积求和，就可以得到梯形的面积。这种方法是合理正确的，所以小晴的方法正确。 小飞将梯形沿两腰的中点切开，然后重新组成一个平行四边形。平行四边形的面积公式也是已知的，求出平行四边形的面积就等同于求出了原来梯形的面积。这种转化和计算方式合理，小飞的方法正确。 小雨通过对折的方式，把梯形变成一个长方形。先计算出长方形的面积，由于这个长方形的面积是原来梯形面积的一半，所以再乘2就能得到梯形的面积。该方法逻辑合理，小雨的方法正确。 小强用两个相同的梯形组成一个大的平行四边形。计算出这个大平行四边形的面积后除以2，就可以得到一个梯形的面积。此方法可行，小强的方法正确。 综上，四位同学的方法都正确。 （2）我要解释说明的是小晴的方法：小晴将梯形划分为两个三角形，分别计算面积，最后求和，因为这两个三角形的面积和就是这个梯形的面积。 【规范解答】（1）如下表： 小晴 （ √ ） 小飞 （ √ ） 小雨 （ √ ） 小强 （ √ ） （2）我要解释说明的是小晴的方法：小晴将梯形划分为两个三角形，分别计算面积，最后求和，因为这两个三角形的面积和就是这个梯形的面积。例如梯形的上底为a，下底为b，高为h，划分出的两个三角形高都为h，一个底为a，另一个底为b，根据三角形面积＝×底×高，两个三角形面积分别为ah和bh，它们的和为ah＋bh＝（a＋b） h，这正是梯形的面积公式。 （答案不唯一，合理即可） 9．（24-25五年级上·山西晋城·期末）我国古代数学名著《九章算术》中的“方田章”记载了计算三角形面积的方法：“半广以乘正从”。受此启发，五（3）班的同学们纷纷尝试推导三角形的面积计算公式。 上面的两种方法都是把三角形转化成长方形。请你选择其中一种，用数学语言描述出转化前后两个图形之间的关系，推导出三角形的面积计算公式。 【答案】见详解 【思路引导】①观察图形可知，用割补法将三角形转化成一个长方形，转化后的长方形面积等于三角形面积；长方形的长等于三角形的底，长方形的宽等于三角形高的一半，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，据此推导出三角形面积。 ②观察图形可知，用割补法将三角形转化成一个长方形，转化后的长方形面积等于三角形的面积；长方形的长等于三角形的高，长方形的宽等于三角形底的一半；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，据此推导出三角形面积。 【规范解答】①长方形的长＝三角形的底，长方形的宽＝三角形的高÷2； 三角形面积＝长方形面积 三角形面积＝长×宽 ＝三角形的底×三角形的高÷2 ＝底×高÷2 三角形面积＝底×高÷2。 ②长方形的长＝三角形的高，长方形的宽＝三角形的底÷2。 三角形面积＝长方形面积 三角形面积＝三角形的高×三角形的底÷2 ＝底×高÷2 用字母表示：S代表面积；a代表底，h代表高： S＝ah÷2。 10．（24-25五年级上·浙江金华·期末）十月秋高气爽，是露营的好季节，小明和小亮两家打算网购一顶帐篷去北山顶露营，在挑选帐篷时，网店上有如下数据：已知帐篷的一个面是三角形，它的面积和底如图所示，它的高是多少呢？ 【答案】1.5米 【思路引导】根据三角形的面积＝底×高÷2，则三角形的高＝三角形的面积×2÷底，代入数据计算即可。 【规范解答】1.65×2÷2.2 ＝3.3÷2.2 ＝1.5（米） 答：它的高是1.5米。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25五年级上·安徽淮北·期末）在下面四个图形中，面积最小的是（    ）（单位：cm）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【思路引导】正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。将数据分别代入公式，求出四个图形的面积，再比较面积的大小即可。 【规范解答】图形A面积：4×4＝16（cm2） 图形B面积：10×4÷2＝20（cm2） 图形C面积：5×4＝20（cm2） 图形D面积： （3＋6）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝18（cm2） 16＜18＜20，所以图形A的面积最小。 故答案为：A 12．（24-25五年级上·浙江金华·期末）数学课上，老师做了一个长方形活动框架，笑笑把它拉成一个平行四边形，平行四边形与原来的长方形相比，（    ）。 A．周长、面积都不变 B．周长变小、面积变大 C．周长不变、面积变大 D．周长不变、面积变小 【答案】D 【思路引导】把一个长方形框架拉成平行四边形后，长方形的长变成了平行四边形的底，长方形的宽变成了平行四边形的邻边；长方形的周长＝（长＋宽）×2，平行四边形的周长＝（底＋邻边）×2，所以周长不变；长方形的面积＝长×宽，平行四边形面积＝底×高。因为长方形的宽大于平行四边形的高，所以面积变小，由此判断即可。 【规范解答】据分析可知，数学课上，老师做了一个长方形活动框架，笑笑把它拉成一个平行四边形，平行四边形与原来的长方形相比，周长不变、面积变小。 故答案为：D 13．（24-25五年级上·安徽淮北·期末）有一堆大小、形状一样的圆木，最上面的一层是4根，每相邻两层相差一根，最下面一层是12根，这堆圆木共有( )层，一共有( )根。 【答案】 9 72 【思路引导】把最上面一层圆木数量看作梯形的上底，最下面一层圆木数量看作梯形的下底，相邻两层相差1根，那么层数就相当于梯形的高，梯形的高＝下底－上底＋1，即12－4＋1＝9层；然后根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出这堆圆木的总根数。 【规范解答】12－4＋1 ＝8＋1 ＝9（层） （4＋12）×9÷2 ＝16×9÷2 ＝144÷2 ＝72（根） 所以这堆圆木共有9层，一共有72根。 14．（24-25五年级上·浙江金华·期末）观察下图，平行线间面积相等的图形有( )个。 【答案】4 【思路引导】设平行线间的距离是h，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出它们的面积，再找出面积相等的图形即可。 【规范解答】4×h＝4h 4×h＝4h 8×h÷2 ＝8h÷2 ＝4h （5＋3）×h÷2 ＝8h÷2 ＝4h 4h÷2＝2h 前4个图形的面积都是4h，最后一个图形的面积是2h。 所以平行线间面积相等的图形有4个。 15．（23-24五年级上·浙江金华·期末）如图，三角形和三角形都是等腰直角三角形，，四边形是正方形，已知三角形的面积是54平方厘米，那么三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】48 【思路引导】 如图：，连接正方形EFGH的对角线，相较于J，过E点作HB的垂线，交BH于I；过F点作CG的垂线，交CG与K；三角形ABC和三角形DEC等腰直角三角形，正方形EFGH四条边相等；所以三角形DHA＝三角形HGA＝三角形HEI＝三角形BEI＝三角形EJH＝三角形EFJ＝三角形HGJ＝三角形GFJ＝三角形GFK＝三角形KFC，由此可知，三角形ABC的面积平均分成了9个相等的三角形，用三角形ABC的面积÷9，求出1个三角形的面积；观察图形可知，三角形DEC平均分成了8份，用1份的面积×8，即可求出三角形DEC的面积。 【规范解答】连接正方形EFGH的对角线，相较于J，过E点作HB的垂线，交BH于I；过F点作CG的垂线，交CG与K；三角形ABC和三角形DEC等腰直角三角形； 如图： 三角形DHA＝三角形HGA＝三角形HEI＝三角形BEI＝三角形EJH＝三角形EFJ＝三角形HGJ＝三角形GFJ＝三角形GFK＝三角形KFC 三角形ABC的面积＝三角形HGA面积＋三角形HEI面积＋三角形BEI面积＋三角形EJH面积＋三角形EFJ面积＋三角形HGJ面积＋三角形GFJ面积＋三角形GFK面积＋三角形KFC面积； 所以1个三角形的面积是：54÷9＝6（平方厘米） 三角形DEC的面积＝三角形DHA面积＋三角形HGA面积＋三角形EJH面积＋三角形EFJ面积＋三角形HGJ面积＋三角形GFJ面积＋三角形GFK面积＋三角形KFC面积， 三角形DEC的面积：6×8＝48（平方厘米） 三角形DEC的面积是48平方厘米。 【考点剖析】把大三角形分成若干个小三角形，各个小三角形之间的关系以及各个小三角形与大三角形之间的关系，是解答本题的关系。 16．（23-24五年级上·河南商丘·期末）一个梯形的上底和下底分别扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的4倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，采用赋值法举例说明即可。 【规范解答】假设梯形的上底2厘米，下底4厘米，高3厘米。 （2＋4）×3÷2 ＝6×3÷2 ＝9（平方厘米） （2×2＋4×2）×3÷2 ＝（4＋8）×3÷2 ＝12×3÷2 ＝18（平方厘米） 18÷9＝2 一个梯形的上底和下底分别扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的2倍，所以原题说法错误。 故答案为：× 17．（22-23五年级上·甘肃定西·期末）如果两个平行四边形的面积相等，那么这两个平行四边形的底和高也分别相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】平行四边形面积＝底×高，面积相等的两个平行四边形，底和高不一定相等，举例说明即可。 【规范解答】如果两个平行四边形的面积相等，那么这两个平行四边形的底和高不一定相等。 如：6×2＝12（平方厘米） 4×3＝12（平方厘米） 一个平行四边形的底6厘米，高2厘米，另一个平行四边形的底4厘米，高3厘米，面积都是12平方厘米。 故答案为：× 18．（24-25五年级上·河南商丘·期末）计算下面图形的面积。 【答案】18cm2；96cm2；36.4cm2 【思路引导】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2。将数据分别代入公式，求出梯形、平行四边形和三角形的面积即可。 【规范解答】（4＋5）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（cm2） 梯形的面积为18cm2； 16×6＝96（cm2） 平行四边形的面积为：96cm2； 10.4×7÷2 ＝72.8÷2 ＝36.4（cm2） 三角形的面积为：36.4cm2。 19．（24-25五年级上·陕西西安·期中）王叔叔在长方形菜地的一条长边上取中点，将菜地分割成两块区域（如下图）。为提高菜地的产量，决定要对图中的梯形菜地进行施肥。若每平方米施肥25克，则至少需要购买几桶肥料？ 【答案】3桶 【思路引导】观察图形可知：梯形的上底为26米的一半，下底是26米，高是14米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算出梯形的面积。每平方米施肥25克，再用梯形的面积乘25克计算出需要的肥料重量。由图示知：每桶肥料是2.5千克，将肥料重量换算成千克做单位再除以2.5，最后用进一法保留整数，即可解决本题。 【规范解答】（26÷2＋26）×14÷2 ＝（13＋26）×14÷2 ＝39×14÷2 ＝546÷2 ＝273（平方米） 273×25＝6825（克） 6825克＝6.825千克 6.825÷2.5＝2.73≈3（桶） 答：至少需要购买3桶肥料。 20．（21-22五年级上·广东惠州·阶段练习）一个梯形，如果上底减少4cm，它就变成一个三角形，面积比原来的梯形减少8cm2；如果上底增加6cm，就变成一个平行四边形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】28平方厘米 【思路引导】梯形的上底减少4cm，它就变成一个三角形，说明梯形的上底就是4厘米；如果上底增加6cm，梯形就变成一个平行四边形，说明梯形的下底比上底多6厘米，则梯形的下底是4＋6＝10厘米。如下图所示，梯形变成三角形后，阴影部分就是比原来的梯形减少的面积。已知阴影部分的面积是8平方厘米，根据“三角形的面积＝底×高÷2”，用8乘2除以4即可求出三角形的高，即原来的梯形的高。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【规范解答】4＋6＝10（厘米） 8×2÷4＝4（厘米） （4＋10）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝28（平方厘米） 答：原来梯形的面积是28平方厘米。 【考点剖析】读懂题意，确定梯形的上底和下底，并根据三角形的面积公式求出梯形的高是解题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 多边形的面积 （知识梳理+13个考点讲练+真题演练+难度分层练 共64题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：面积的比较和高的认识 2 知识点梳理02：平行四边形的面积 3 知识点梳理03：三角形的面积 3 知识点梳理04：梯形的面积 4 高频考点讲练1：借助方格比较图形的面积 4 高频考点讲练2：平行四边形的高及画法 5 高频考点讲练3：三角形的高及画法 6 高频考点讲练4：梯形的高及画法 7 高频考点讲练5：平行四边形面积的计算 8 高频考点讲练6：平行四边形面积的应用 9 高频考点讲练7：利用平移法求平行四边形的面积 9 高频考点讲练8：三角形面积的计算 10 高频考点讲练9：三角形面积的应用 11 高频考点讲练10：平行线间三角形的面积问题 12 高频考点讲练11：梯形面积的计算 13 高频考点讲练12：梯形面积的应用 14 高频考点讲练13：与梯形相关的重叠问题 15 升学真题 实战演练 16 优选题型 培优强化 17 基础夯实 能力提升 17 创新拓展 拔尖冲刺 20 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：面积的比较和高的认识 1.比较图形面积大小的方法。 （1）数方格法:观察方格纸中的各图形，数出各图形各占几个格，根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。 （2）重叠法:借助图形变换使两个图形重叠，观察两个图形能否完全重合，来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方法) （3）拼组法:将两个图形组在一起，看是否与其他图形相同。 （4）分割移补法:两个图形的形状不同，不能完全重合，但可以把图形分割平移，变成一种比较相似的图形，再比较它们的面积。 温馨提示：两个图形面积的大小与它们的形状没有关系。 2.梯形的底和高及画法。 （1）梯形中平行的两条边为梯形的上底和下底。上、下底之间的垂直线段就是梯形的高。梯形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合，另一条直角边与另一条底边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是梯形的高。 3.平行四边形的底和高及画法。 （1）从平行四边形的顶点（或一条边上的任意一点）向它的对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是这条高对应的底。平行四边形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条底边重合，另一条直角边与平行四边形这条底边所对的边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是平行四边形的高。 4.三角形的底和高及画法。 （1）三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。三角形有三组对应的底和高。 （2）把三角尺的一条直角边与一条底边重合，沿着这条底边平移三角尺，使三角尺的另一条直角边通过底边所对的顶点，从顶点向底边（或底边延长线）画一条垂线，顶点到底边（或底边延长线）的垂直线段就是三角形底边上的高。 5.画指定底和高长度的平面图形的方法。 先画指定长度的底，然后根据底确定指定长度的高，最后画出其他的边。 知识点梳理02：平行四边形的面积 1.平行四边形面积计算公式的推导过程。 通过割补法把平行四边形转化为长方形，长方形的长等于原平行四边形的底，长方形的宽等于原平行四边形的高。 2.平行四边形的面积计算公式。 平行四边形的面积 ＝底×高。如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形面积的计算公式可以写成S＝ah。 温馨提示： 1. 平行四边形的底＝平行四边形的面积÷对应的高，平行四边形的高＝平行四边形的面积÷对应的底 。 2. 决定平行四边形面积大小的是它的底和高，等底等高的平行四边形的面积相等。 知识点梳理03：三角形的面积 1.三角形面积计算公式的推导过程。 两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四边形的底和高分别是三角形的底和高。 平行四边形的面积是其中一个三角形面积的2倍，因此可以由平行四边形面积公式推导出三角形的面积计算公式。 2.三角形的面积计算公式。 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 三角形的面积=底×高÷2。 温馨提示： 1.三角形的底＝三角形的面积×２÷高，三角形的高＝三角形的面积×２÷底。 2. 决定三角形面积大小的是它的底和高，等底等高的三角形的面积相等。 知识点梳理04：梯形的面积 1.梯形面积计算公式的推导过程。  可以把一个梯形分成两个三角形或一个三角形和一个平行四边形，通过计算两个三角形的面积之和或一个三角形和一个平行四边形的面积之和推导出梯形的面积计算公式。 两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。 2.平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 3.梯形的面积计算公式。 梯形的面积＝ (上底＋下底)×高÷２；若用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底,用b表示梯形的下底,用h表示梯形的高,则S＝ (a＋b)×h÷2 。 温馨提示： 1.上底与下底之和相等，高也相等的梯形，面积相等。 2.计算排放整齐的圆木或钢管的数量，可以用梯形的面积计算公式。 高频考点讲练1：借助方格比较图形的面积 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图中哪些图形的面积与图①相等？（每个小方格的面积是1cm2）      数方格法：图①的面积为( )cm2，图②的面积为( )cm2，图①的面积( )图②的面积。 割补法：图形( )的面积与图①的面积相等。    【变式训练1】（21-22三年级下·陕西渭南·期末）下图中每个小方格代表1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是（    ）。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 【变式训练2】（24-25五年级上·辽宁·单元测试）求下列图形的面积。（每个小方格边长是1cm） ( )cm²　　　　( )cm²　　　( )cm²　　　　    ( )cm² 高频考点讲练2：平行四边形的高及画法 【典例精讲】（23-24五年级上·浙江金华·期末）按要求画图。 （1）以虚线为对称轴画出平行四边形ABCD的对称图形。 （2）将平行四边形ABCD向下平移3格，再向右平移7格，画出平移后的图形。 （3）在平行四边形ABCD中，画出底边BC对应的高。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）( )和( )画高的方法是正确的。 ①          ②          ③           ④ 【变式训练2】（21-22四年级上·重庆大足·期末）已知下图四边形ABCD是平行四边形，，下列说法正确的有（    ）个。 （1）平行四边形ABCD的CD边上的高是15cm。 （2）DE＝10cm。 （3）四边形ABED是一个直角梯形。 （4）。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点讲练3：三角形的高及画法 【典例精讲】（24-25五年级上·河南商丘·期末）如图，在三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．① B．② C．③ D．以上都不是 【变式训练1】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）在方格图中按要求画出图形。 （1）以虚线m为对称轴，画出图形①的轴对称图形②。 （2）将图形①先向左平移7格，再向下平移4格，得到图形③，画出图形③。 （3）画出图形①给定底边上的高。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图所示，在三角形ADE中，DE边上的高是（    ）。 A．EF B．AD C．AC 高频考点讲练4：梯形的高及画法 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）画出下面图形给定底边上的高。 【变式训练1】（23-24五年级上·陕西咸阳·阶段练习）下面各图形中的虚线是该图形给定底边上的高吗？是的画“√”，不是的画“×”。              ( )      ( )       ( )       ( ) 【变式训练2】（23-24五年级上·四川成都·期中）画出下面图形给定底边的高。 高频考点讲练5：平行四边形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋城·期末）如图，天天量出这个平行四边形相邻两边的长分别是5厘米和3厘米，还量出一条高是4厘米，这个平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．15 C．20 【变式训练1】（24-25五年级上·全国·期中）小冬把如图的平行四边形利用割补转化成面积相等的长方形后，用“”来计算它的面积。 （1）他剪拼成的长方形是怎样的？请在图中画出来。 （2）的长度是多少？ 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）王叔叔用一张长方形彩纸剪成了一个平行四边形装饰材料，如图，你知道另一边的长度是多少米吗？（结果保留两位小数） 高频考点讲练6：平行四边形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·四川成都·期中）一块平行四边形广告牌，底9.5米，高4.8米，用油漆剧这块广告牌，每平方米用油漆0.75千克。刷这块广告牌要用油漆多少千克？ 【变式训练1】（24-25五年级上·浙江金华·期末）一块底是60米的平行四边形菜地，现在扩大规模需要沿着底边进行拓宽，形状不变，底边拓宽了15米，菜地面积增加到1200平方米。原来菜地的面积是多少？ 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图中用割补法能推导出平行四边形面积计算公式的是（    ）。         ①       ②       ③      ④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 高频考点讲练7：利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】（23-24五年级上·四川成都·期末）学校劳动实践基地有一块平行四边形的菜地，为了方便管理，中间留了一条平行四边形的小路（如图）。如果每平方米收的白菜能卖25元，这块菜地的白菜一共可以卖多少元？ 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁葫芦岛·期末）本学期我们利用“转化”的方法解决了许多问题，下面做法正确的有（    ）。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练2】（22-23五年级上·辽宁大连·期末）如图，一块平行四边形的空地中有一条长7米，宽2米的长方形小路。 （1）求空地的面积。 （2）计划将空地进行绿化改造，每平方米空地的绿化需40元，这块平行四边形空地绿化需要多少元？ 高频考点讲练8：三角形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽淮北·期末）一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，这个三角形的面积是( )平方分米，平行四边形的面积是( )平方分米。 【变式训练1】（24-25五年级上·辽宁锦州·期末）如图，这个梯形中面积相等的三角形有（    ）。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式训练2】（24-25五年级上·浙江金华·期末）同学们在校园小农场里开辟了一块面积是192平方米的菜地，正好可以分割成一块平行四边形和一块直角三角形（如图）。已知直角三角形菜地的两条直角边都是12米，那么，平行四边形菜地的高（h）是多少米？ 高频考点讲练9：三角形面积的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·辽宁·期中）如图，平行四边形ABCD的BC边长10厘米，CD边长6厘米，BC边上的高长5厘米，求平行四边形BECF的面积。 【变式训练1】（24-25五年级上·北京怀柔·期末）如图，下面四个平行四边形的面积相等。比较图中阴影部分面积，说法正确的是（    ）。 A．③＞②＞① B．①＞②＞③ C．②＞③＞① D．①＝②＝③ 【变式训练2】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一块三角形土地与一块平行四边形土地的面积相等，高也相等，三角形土地的底是36.8m，那么平行四边形土地的底是( )m。 高频考点讲练10：平行线间三角形的面积问题 53．（24-25五年级上·浙江金华·期末）请你用不同的方法画出和以下三角形面积相等但形状不同的三角形。（至少两种不同的方法。） 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）算一算，想一想，你发现了什么？ 列式解答： 。 发现：它们的底和高都( )，面积也( )。 【变式训练2】（23-24五年级上·山西吕梁·期末）数学思想方法是数学的灵魂，等积转换就是重要的思想方法之一，也就是相同的面积互相转换。例如：下面图1中的四个同底三角形面积相等，就可以互相转换。又如图2：两个完全相同的平行四边形中，涂色三角形的面积都等于平行四边形面积的一半，也可以互相转换。        图1                          图2 （1）图3中涂色三角形的面积是正方形面积的一半吗？说一说你的理由。 图3 （2）图4为梯形ABCD，在图中找出与涂色三角形面积相等的三角形，涂上颜色。 图4 （3）将上面图3和图4组合成一个图形，利用等积转换求阴影部分的面积。 高频考点讲练11：梯形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽淮北·期末）一个直角梯形的上底是9厘米，下底是11厘米，高是8厘米，梯形的面积是( )平方厘米，在这个梯形内剪下一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方厘米。 【变式训练1】（24-25五年级上·河南商丘·期末）如图所示，将一个梯形分成三部分，这三部分的面积相比较，（    ）。 A．①的面积最大 B．②的面积最大 C．③的面积最大 D．这三部分的面积一样大 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）在研究梯形的面积公式时，淘气把梯形转化成了一个平行四边形。下列面积计算方法的思路和淘气的想法相对应的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点讲练12：梯形面积的应用 【典例精讲】（23-24五年级上·河南商丘·期末）如图，把一块面积是48平方米的平行四边形的菜地，分为直角三角形和直角梯形两块地。一共收721.5千克白菜，平均每平方米能收多少千克白菜？ 【变式训练1】（24-25五年级上·广东深圳·期末）高铁“子弹头火车”因流线型车头得名，设计旨在降低风阻、提升速度和能效。如图是高铁车厢头侧面的简笔画，为了方便算出它的大概面积，同学们将它进行了简化， （1）你认同下面的计算方法吗？说明理由。 算式：37×3－（3－0.5）×（37－27） （2）请用你的方法计算它的大概面积。 【变式训练2】（24-25五年级上·广东深圳·期末）（1）如图，这个梯形A的面积是（    ）平方厘米。 （2）在下图中将这个梯形A的上底增加1厘米，下底减少1厘米，高不变，得到新的梯形①，请你将梯形①画在梯形A的右边。 （3）继续做下去，奇思发现梯形的上底和下底越来越接近，于是他得出：在高不变的情况下，梯形A的上底增加（    ）厘米，下底减少（    ）厘米，梯形A就会变成平行四边形（或长方形）。 （4）如果在高不变的情况下，梯形A的上底减少1厘米，下底增加1厘米，得到新的梯形②，请你将梯形②画在梯形A的左边，……，直到上底为0（即一个点），你发现了什么？ （5）经过以上的探索，有同学说：三角形的面积和平行四边形的面积都可以用梯形的面积公式来表示，你同意吗？写下你的想法。 高频考点讲练13：与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】（24-25五年级上·全国·期中）如图每个小正方形的边长是1厘米，如果将三角形向右平移3格，这个图形扫过的面积是( )平方厘米。 【变式训练1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）如图，两个完全相同的等腰直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：米）    【变式训练2】（24-25五年级上·四川成都·期末）下图是两个相同的直角梯形重叠在一起，阴影部分的面积为( )。（单位：） 【演练1】（2024·甘肃定西·小升初真题）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（    ）cm2。 A．48 B．96 C．104 D．128 【演练2】（2024·安徽亳州·小升初真题）一堆圆木，堆成梯形的形状，最上层7根，最下层18根，每相邻两层差一根，这堆圆木共有_____根。（    ） A．57 B．50 C．150 D．180 【演练3】（2024·山西晋城·小升初真题）如图所示的点子图中有两条平行线，且平行线之间有甲、乙、丙、丁四个图形。下面叙述中正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙、丁四个图形的面积相等。 B．三角形的面积最小，平行四边形的面积最大。 C．面积按从小到大的顺序排列是乙＜丙＜甲＜丁。 D．无法比较四个图形的面积大小。 【演练4】（2022·广东茂名·小升初真题）一张长方形ABCD的纸折成如图，E恰好是AD边的中点，三角形AEF面积是3.5平方厘米，三角形EDC的面积是10.5平方厘米，问长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【演练5】（2022·四川成都·小升初真题）一个平行四边形的周长是144厘米，已知它相邻两条边上的高分别是30厘米和24厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级上·吉林长春·期末）在一次户外活动中，老师要求学生们测量并计算一个梯形花园的面积，花园的上底是4厘米，下底是6厘米，高是5厘米。它的面积是（    ）平方厘米。 A．25 B．30 C．35 D．50 2．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）正确计算下边三角形面积的算式是（    ）。 A．9.8×2.3 B．9.8×2.3÷2 C．6.2×2.3 D．6.2×2.3÷2 3．（22-23五年级上·辽宁锦州·期末）将一个平行四边形框架拉成长方形，比较框架拉动前后的变化，下面说法正确的是（    ）。 A．周长不变，面积变小 B．周长不变，面积变大 C．周长和面积都不变 D．无法确定 4．（22-23五年级上·辽宁铁岭·期末）用两个同样的三角形拼成一个平行四边形（如图）：经过观察，我们发现三角形的底等于平行四边形的( )；三角形的高等于平行四边形的( )；根据平行四边形的面积＝底×高，可以推导出三角形的面积＝( )。 5．（22-23五年级上·安徽淮南·期末）一个平行四边形的底是6分米，高是3.2分米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方分米。 6．（2024·湖南株洲·小升初真题）计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 7．（25-26五年级上·辽宁·期中）计算下面图形的面积。 8．（25-26五年级上·全国·课后作业）下面是四位同学在进行梯形面积计算公式推导过程中想到的方法。 小晴 （    ） 小飞 （    ） 小雨 （    ） 小强 （    ） （1）你认为哪些同学的方法是正确的？在题目中名字下面的（    ）里画“√”。 （2）任选一位同学的方法说明思路。 我要解释说明的是（    ）的方法：_________________。 9．（24-25五年级上·山西晋城·期末）我国古代数学名著《九章算术》中的“方田章”记载了计算三角形面积的方法：“半广以乘正从”。受此启发，五（3）班的同学们纷纷尝试推导三角形的面积计算公式。 上面的两种方法都是把三角形转化成长方形。请你选择其中一种，用数学语言描述出转化前后两个图形之间的关系，推导出三角形的面积计算公式。 10．（24-25五年级上·浙江金华·期末）十月秋高气爽，是露营的好季节，小明和小亮两家打算网购一顶帐篷去北山顶露营，在挑选帐篷时，网店上有如下数据：已知帐篷的一个面是三角形，它的面积和底如图所示，它的高是多少呢？ 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25五年级上·安徽淮北·期末）在下面四个图形中，面积最小的是（    ）（单位：cm）。 A．A B．B C．C D．D 12．（24-25五年级上·浙江金华·期末）数学课上，老师做了一个长方形活动框架，笑笑把它拉成一个平行四边形，平行四边形与原来的长方形相比，（    ）。 A．周长、面积都不变 B．周长变小、面积变大 C．周长不变、面积变大 D．周长不变、面积变小 13．（24-25五年级上·安徽淮北·期末）有一堆大小、形状一样的圆木，最上面的一层是4根，每相邻两层相差一根，最下面一层是12根，这堆圆木共有( )层，一共有( )根。 14．（24-25五年级上·浙江金华·期末）观察下图，平行线间面积相等的图形有( )个。 15．（23-24五年级上·浙江金华·期末）如图，三角形和三角形都是等腰直角三角形，，四边形是正方形，已知三角形的面积是54平方厘米，那么三角形的面积是( )平方厘米。 16．（23-24五年级上·河南商丘·期末）一个梯形的上底和下底分别扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的4倍。( )（判断对错） 17．（22-23五年级上·甘肃定西·期末）如果两个平行四边形的面积相等，那么这两个平行四边形的底和高也分别相等。( )（判断对错） 18．（24-25五年级上·河南商丘·期末）计算下面图形的面积。 19．（24-25五年级上·陕西西安·期中）王叔叔在长方形菜地的一条长边上取中点，将菜地分割成两块区域（如下图）。为提高菜地的产量，决定要对图中的梯形菜地进行施肥。若每平方米施肥25克，则至少需要购买几桶肥料？ 20．（21-22五年级上·广东惠州·阶段练习）一个梯形，如果上底减少4cm，它就变成一个三角形，面积比原来的梯形减少8cm2；如果上底增加6cm，就变成一个平行四边形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $