3.5.1点和线 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

3.5最基本的图形-点和线 学习目标 1. 理解点、线段、射线、直线的基本概念及它们的表示方法。 2. 掌握直线的基本性质（两点确定一条直线）。 3. 理解线段的性质（两点之间线段最短），并能运用其解决简单问题。 4. 理解两点间距离的概念。 5. 掌握比较线段长短的方法，会进行线段的和、差、倍（中点）的简单计算。 知识点讲解 一、点 1. 概念：点是几何图形中最基本的组成部分，它没有大小（即没有面积、长度、宽度），只表示一个位置。 2. 表示方法：通常用一个大写的英文字母来表示，例如点 A，点 B，点 P 等。 二、线段 1. 概念：线段是指直线上两点间的有限部分，它有两个端点。线段可以度量长度。 2. 表示方法： · 用表示线段两个端点的大写英文字母表示，字母的顺序可以交换。例如，以点 A 和点 B 为端点的线段，可以记作线段 AB 或线段 BA。 · 用一个小写英文字母表示。例如，线段 a，线段 l 等。 三、射线 1. 概念：射线是指由线段的一端无限延长所形成的图形。它有一个端点，另一端可以无限延伸，因此射线无法度量长度。 2. 表示方法： · 用表示射线端点的大写英文字母和射线上另一个任意点的大写英文字母表示，并且表示端点的字母必须写在前面。例如，以点 O 为端点，经过点 C 的射线，记作射线 OC。 · 用一个小写英文字母表示。例如，射线 m，射线 n 等。 四、直线 1. 概念：直线是指能够向两端无限延伸的笔直的线，它没有端点，因此直线无法度量长度。 2. 表示方法： · 用直线上任意两个点的大写英文字母表示，字母的顺序可以交换。例如，直线上有两点 M 和 N，这条直线可以记作直线 MN 或直线 NM。 · 用一个小写英文字母表示。例如，直线 l，直线 k 等。 五、直线的基本性质 · 性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 · 含义： 1. “有一条直线”：表明存在性，即经过给定的两个点，至少能画出一条直线。 2. “只有一条直线”：表明唯一性，即经过给定的两个点，不能画出两条或更多条不同的直线。 · 应用：日常生活中，我们经常利用这个性质。例如，建筑工人砌墙时，会先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，以保证墙壁是直的；植树时，只要确定两个树坑的位置，就能确定一行树的位置。 六、线段的基本性质 · 性质：两点之间，线段最短。 · 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。距离是一个数量，通常用刻度尺来度量。 · 注意：“线段”是图形，“距离”是线段的长度，是一个数值。 七、线段的大小比较 · 度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后比较长度数值的大小。数值大的线段较长，数值小的线段较短，数值相等则线段一样长。 八、线段的和、差、中点 1. 线段的和：点 C 在线段 AB 的延长线上（或点 B 在线段 AC 上），则线段 AC 的长度等于线段 AB 与线段 BC 的长度之和，记作 AC = AB + BC。 2. 线段的差：点 C 在线段 AB 上，且点 C 不与点 A、B 重合，则线段 AB 的长度等于线段 AC 与线段 CB 的长度之和，线段 AC 的长度等于线段 AB 的长度减去线段 CB 的长度，记作 AC = AB - CB；类似地，CB = AB - AC。 3. 线段的中点： · 定义：点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，那么点 M 叫做线段 AB 的中点。 · 几何语言表示： 因为 M 是线段 AB 的中点， 所以 AM = MB = AB， 或 AB = 2AM = 2MB。 例题解析 例题 1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）直线 AB 比线段 CD 长。 （2）延长射线 OA 到点 B。 （3）经过三点可以画三条直线。 （4）线段 AB 和线段 BA 是同一条线段。 例题 2：已知平面上有 A、B、C 三个点，过其中每两个点画直线，一共可以画多少条直线？ 例题 3：已知线段 AB = 8 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在 CB 上，且 DB = 1.5 cm，求线段 CD 的长度。 例题 4：已知线段 AB = 12 cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC = AB，点 D 是线段 BC 的中点，求线段 AD 的长度。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 下列图形中，能够相交的是（ ） A. 两条不相交的直线 B. 一条直线和一条射线（射线的端点在直线上，且射线向直线的一方延伸） C. 两条端点不同的射线（方向相反） D. 一条射线和一条线段（线段的一个端点在射线上，且线段向射线相反方向延伸） 2. 下列说法正确的是（ ） A. 画直线 AB = 5 cm B. 延长线段 AB 到 C，使 BC = AB C. 画射线 OB = 3 cm D. 在线段 AB 上截取 AC = 5 cm（已知 AB = 3 cm） 3. 下列关于直线、射线、线段的说法不正确的是（ ） A. 直线没有端点 B. 射线有一个端点 C. 线段有两个端点 D. 射线和线段都是直线的一部分，所以射线和线段都比直线短 4. 经过平面上的四点 A、B、C、D，最多可以画直线的条数是（ ） A. 1 条 B. 4 条 C. 6 条 D. 无数条 5. 点 M 是线段 AB 的中点，则下列各式中不正确的是（ ） A. AM = MB B. AB = 2AM C. AM = AB D. AM + MB = AB 二、填空题 1. 用一个小写字母表示图中的直线，可以表示为直线 _______。（注：此处虽提及“图”，但仅为引导，实际无需图形，假设直线通常可用 l, m, n 等表示，此处留空待填） 2. 要在墙上固定一根木条，至少需要钉 _______ 个钉子，理由是 _______。 3. 已知线段 AB = 10 cm，点 C 是 AB 的中点，点 D 是 AC 的中点，则线段 AD = _______ cm。 4. 若点 P 在线段 AB 上，且 AP = 3 cm，PB = 5 cm，则 AB = _______ cm。 三、解答题 1. 已知线段 AB = 16 cm，点 C 在 AB 的延长线上，且 BC = AB，点 D 是线段 AC 的中点，求线段 BD 的长度。 2. 已知点 A、B、C 在同一条直线上，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点，若 AB = 10 cm，求线段 MN 的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5最基本的图形-点和线 学习目标 1. 理解点、线段、射线、直线的基本概念及它们的表示方法。 2. 掌握直线的基本性质（两点确定一条直线）。 3. 理解线段的性质（两点之间线段最短），并能运用其解决简单问题。 4. 理解两点间距离的概念。 5. 掌握比较线段长短的方法，会进行线段的和、差、倍（中点）的简单计算。 知识点讲解 一、点 1. 概念：点是几何图形中最基本的组成部分，它没有大小（即没有面积、长度、宽度），只表示一个位置。 2. 表示方法：通常用一个大写的英文字母来表示，例如点 A，点 B，点 P 等。 二、线段 1. 概念：线段是指直线上两点间的有限部分，它有两个端点。线段可以度量长度。 2. 表示方法： · 用表示线段两个端点的大写英文字母表示，字母的顺序可以交换。例如，以点 A 和点 B 为端点的线段，可以记作线段 AB 或线段 BA。 · 用一个小写英文字母表示。例如，线段 a，线段 l 等。 三、射线 1. 概念：射线是指由线段的一端无限延长所形成的图形。它有一个端点，另一端可以无限延伸，因此射线无法度量长度。 2. 表示方法： · 用表示射线端点的大写英文字母和射线上另一个任意点的大写英文字母表示，并且表示端点的字母必须写在前面。例如，以点 O 为端点，经过点 C 的射线，记作射线 OC。 · 用一个小写英文字母表示。例如，射线 m，射线 n 等。 四、直线 1. 概念：直线是指能够向两端无限延伸的笔直的线，它没有端点，因此直线无法度量长度。 2. 表示方法： · 用直线上任意两个点的大写英文字母表示，字母的顺序可以交换。例如，直线上有两点 M 和 N，这条直线可以记作直线 MN 或直线 NM。 · 用一个小写英文字母表示。例如，直线 l，直线 k 等。 五、直线的基本性质 · 性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 · 含义： 1. “有一条直线”：表明存在性，即经过给定的两个点，至少能画出一条直线。 2. “只有一条直线”：表明唯一性，即经过给定的两个点，不能画出两条或更多条不同的直线。 · 应用：日常生活中，我们经常利用这个性质。例如，建筑工人砌墙时，会先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，以保证墙壁是直的；植树时，只要确定两个树坑的位置，就能确定一行树的位置。 六、线段的基本性质 · 性质：两点之间，线段最短。 · 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。距离是一个数量，通常用刻度尺来度量。 · 注意：“线段”是图形，“距离”是线段的长度，是一个数值。 七、线段的大小比较 · 度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后比较长度数值的大小。数值大的线段较长，数值小的线段较短，数值相等则线段一样长。 八、线段的和、差、中点 1. 线段的和：点 C 在线段 AB 的延长线上（或点 B 在线段 AC 上），则线段 AC 的长度等于线段 AB 与线段 BC 的长度之和，记作 AC = AB + BC。 2. 线段的差：点 C 在线段 AB 上，且点 C 不与点 A、B 重合，则线段 AB 的长度等于线段 AC 与线段 CB 的长度之和，线段 AC 的长度等于线段 AB 的长度减去线段 CB 的长度，记作 AC = AB - CB；类似地，CB = AB - AC。 3. 线段的中点： · 定义：点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，那么点 M 叫做线段 AB 的中点。 · 几何语言表示： 因为 M 是线段 AB 的中点， 所以 AM = MB = AB， 或 AB = 2AM = 2MB。 例题解析 例题 1：判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）直线 AB 比线段 CD 长。 （2）延长射线 OA 到点 B。 （3）经过三点可以画三条直线。 （4）线段 AB 和线段 BA 是同一条线段。 解析： （1）错误。理由：直线没有端点，可以向两端无限延伸，因此直线的长度是不可度量的；而线段有两个端点，其长度是可以度量的。不可度量的量与可度量的量无法比较大小。 （2）错误。理由：射线本身就是由一个端点向一方无限延伸的图形，它没有“尽头”，因此不能说“延长射线 OA”。可以说“反向延长射线 OA”。 （3）错误。理由：经过三点画直线有两种情况。如果这三个点在同一条直线上（即三点共线），那么经过这三点只能画一条直线；如果这三个点不在同一条直线上（即三点不共线），那么经过每两个点可以画一条直线，共可以画三条直线。题目中没有明确三点是否共线，因此说“可以画三条直线”是不准确的，应强调“在三点不共线的情况下”。 （4）正确。理由：线段有两个端点，线段 AB 和线段 BA 表示的是端点为 A 和 B 的同一条线段，线段的表示与端点字母的顺序无关。 例题 2：已知平面上有 A、B、C 三个点，过其中每两个点画直线，一共可以画多少条直线？ 解析： 本题需要考虑 A、B、C 三个点的位置关系。 情况一：如果点 A、B、C 三点在同一条直线上，那么经过这三个点只能画一条直线。 情况二：如果点 A、B、C 三点不在同一条直线上，那么根据“两点确定一条直线”，经过点 A 和点 B 可以画一条直线，经过点 A 和点 C 可以画一条直线，经过点 B 和点 C 可以画一条直线，一共可以画三条直线。 答：一共可以画 1 条或 3 条直线。 例题 3：已知线段 AB = 8 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在 CB 上，且 DB = 1.5 cm，求线段 CD 的长度。 解析： 因为点 C 是线段 AB 的中点，AB = 8 cm， 所以 CB = AB CB = × 8 cm CB = 4 cm 因为 DB = 1.5 cm，且点 D 在 CB 上， 所以 CD = CB - DB CD = 4 cm - 1.5 cm CD = 2.5 cm 答：线段 CD 的长度为 2.5 cm。 例题 4：已知线段 AB = 12 cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC = AB，点 D 是线段 BC 的中点，求线段 AD 的长度。 解析： 因为 AB = 12 cm，AC = AB， 所以 AC = × 12 cm AC = 4 cm 因为点 C 在线段 AB 上， 所以 BC = AB - AC BC = 12 cm - 4 cm BC = 8 cm 因为点 D 是线段 BC 的中点， 所以 CD = BC CD = × 8 cm CD = 4 cm 所以 AD = AC + CD AD = 4 cm + 4 cm AD = 8 cm 答：线段 AD 的长度为 8 cm。 巩固练习 一、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 下列图形中，能够相交的是（ ） A. 两条不相交的直线 B. 一条直线和一条射线（射线的端点在直线上，且射线向直线的一方延伸） C. 两条端点不同的射线（方向相反） D. 一条射线和一条线段（线段的一个端点在射线上，且线段向射线相反方向延伸） 2. 下列说法正确的是（ ） A. 画直线 AB = 5 cm B. 延长线段 AB 到 C，使 BC = AB C. 画射线 OB = 3 cm D. 在线段 AB 上截取 AC = 5 cm（已知 AB = 3 cm） 3. 下列关于直线、射线、线段的说法不正确的是（ ） A. 直线没有端点 B. 射线有一个端点 C. 线段有两个端点 D. 射线和线段都是直线的一部分，所以射线和线段都比直线短 4. 经过平面上的四点 A、B、C、D，最多可以画直线的条数是（ ） A. 1 条 B. 4 条 C. 6 条 D. 无数条 5. 点 M 是线段 AB 的中点，则下列各式中不正确的是（ ） A. AM = MB B. AB = 2AM C. AM = AB D. AM + MB = AB 二、填空题 1. 用一个小写字母表示图中的直线，可以表示为直线 _______。（注：此处虽提及“图”，但仅为引导，实际无需图形，假设直线通常可用 l, m, n 等表示，此处留空待填） 2. 要在墙上固定一根木条，至少需要钉 _______ 个钉子，理由是 _______。 3. 已知线段 AB = 10 cm，点 C 是 AB 的中点，点 D 是 AC 的中点，则线段 AD = _______ cm。 4. 若点 P 在线段 AB 上，且 AP = 3 cm，PB = 5 cm，则 AB = _______ cm。 三、解答题 1. 已知线段 AB = 16 cm，点 C 在 AB 的延长线上，且 BC = AB，点 D 是线段 AC 的中点，求线段 BD 的长度。 2. 已知点 A、B、C 在同一条直线上，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点，若 AB = 10 cm，求线段 MN 的长度。 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. B 解析：A 选项，两条不相交的直线（在同一平面内是平行线）不相交；C 选项，两条端点不同且方向相反的射线，如果端点不重合且不延伸相交，则不相交；D 选项，线段向射线相反方向延伸，不会与射线本身相交；B 选项，射线的端点在直线上，且向直线的一方延伸，射线与直线重合部分为射线本身，故相交。 2. B 解析：A 选项，直线不可度量，不能说画直线 AB=5cm；C 选项，射线不可度量，不能说画射线 OB=3cm；D 选项，AB=3cm，无法截取 AC=5cm；B 选项，延长线段 AB 到 C，使 BC=AB 是正确的操作。 3. D 解析：直线和射线都是无限延伸的，无法比较长短，D 选项错误；A、B、C 选项关于直线、射线、线段端点的描述均正确。 4. C 解析：经过平面上的 n 个点，最多可画直线的条数为 。当四点中任意三点不共线时，最多可画 6 条直线。 5. D 解析：点 M 是线段 AB 的中点时，AM=MB=AB，AB=2AM=2MB，A、B、C 选项均正确；D 选项 AM+MB=AB 对于线段上任意点 M 都成立，并非中点特有的性质，故 D 选项说法不正确，题目要求选不正确的。 二、填空题 1. l （或 m, n 等小写字母均可，具体根据常规表示） 解析：直线可以用一个小写英文字母表示，如直线 l。 2. 2；两点确定一条直线 解析：根据直线的基本性质，两点确定一条直线，所以至少需要 2 个钉子。 3. 2.5 解析： 因为 AB = 10 cm，点 C 是 AB 的中点， 所以 AC = AB AC = × 10 cm AC = 5 cm 因为点 D 是 AC 的中点， 所以 AD = AC AD = × 5 cm AD = 2.5 cm 4. 8 解析： AB = AP + PB AB = 3 cm + 5 cm AB = 8 cm 三、解答题 1. 解： 因为 AB = 16 cm，BC = AB， 所以 BC = × 16 cm BC = 4 cm 因为点 C 在 AB 的延长线上， 所以 AC = AB + BC AC = 16 cm + 4 cm AC = 20 cm 因为点 D 是线段 AC 的中点， 所以 AD = AC AD = × 20 cm AD = 10 cm 所以 BD = AB - AD BD = 16 cm - 10 cm BD = 6 cm 答：线段 BD 的长度为 6 cm。 2. 解： 设 BC = x cm。 因为点 A、B、C 在同一条直线上，AB = 10 cm， 所以 AC = AB + BC = (10 + x) cm。 因为点 M 是线段 AC 的中点， 所以 MC = AC MC = (10 + x) cm MC = 5 + x cm 因为点 N 是线段 BC 的中点， 所以 NC = BC NC = x cm 所以 x cm MN = 5 cm 答：线段 MN 的长度为 5 cm。 学科网（北京）股份有限公司 $