3.3 幂函数(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

3.3　幂函数 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.(填一填,记一记) 五个具体幂函数的图象与性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y= 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上递增 在　　　　 　　上递减,  在　　　 　　　上递增  在R上递增 在　　　 　　  上递增 在　　　　 　　和  　　　　　　上递减  2.(判对错) (1)幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).(　　) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限.(　　) (3)幂函数y=xα的定义域为R,与指数无关.(　　) (4)当幂指数α分别取2,时,幂函数y=xα均是增函数.(　　) (5)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数.(　　) 3.已知幂函数y=f(x)的图象经过点,则f(2)等于(　　) A. B.2 C. D. 4.a=4.,b=3.,c=(-1.9的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>c 5.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) A B C D 6.(多选)幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是(　　) A.m=3 B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于原点对称 7.汽车在隧道内行驶时,安全车距d(单位:m)正比于车速v(单位:km/h)的平方与车身长(单位:m)的积,且安全车距不得小于半个车身长,假定一种汽车的车身长为4 m,且车速为60 km/h,安全车距为5.76 m,试写出这种汽车的安全车距d与车速v之间的函数关系式. B组　单一知识点 限时35分钟 知识点1　幂函数的概念 8.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点,则k+α等于(　　) A. B.1 C. D.2 知识点2　幂函数的图象及应用 9.已知幂函数的图象经过点P,则该幂函数的大致图象是(　　) 10.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是(　　) A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c 11.(多选)在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是(　　) A B C D 知识点3　幂函数的性质及应用 12.已知a=,b=,c=,则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 13.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N*)为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则m等于(　　) A.1 B.2 C.1或3 D.3 14.幂函数的图象经过点,若0<a<b<1,则下列各式正确的是(　　) A.f(a)<f(b)<f <f B.f <f <f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f <f D.f <f(a)<f <f(b) 15.已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m)=　　 　　.  16.已知幂函数f(x)=,若f(10-2a)<f(a+1),则a的取值范围是　　 　　.  17.已知幂函数f(x)=xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=　　 　　.  18.已知幂函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0.其中m∈{m|-2<m<2,m∈Z},则函数f(x)的解析式为f(x)=　　　　,当x∈[0,3]时,f(x)的值域为　　　　.  19.已知幂函数f(x)=x(m+1)(3-m),其中m∈{m|-2<m<2,m∈Z},满足:①在区间(0,+∞)上单调递增; ②对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0. (1)求同时满足①,②的幂函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在定义域内的单调性并用函数单调性的定义证明. 知识点4　(拓展)“对勾”函数的图象及性质应用 “对勾”函数的图象及性质 函数y=x+(a>0)的图象如图所示, 则函数y=x+(a>0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),单调递增区间是(-∞,-]和[,+∞),单调递减区间是(-,0)和(0,).函数y=x+(a>0)的图象关于点(0,0)中心对称. 函数y=x+(a>0)是奇函数. 20.形如f(x)=x+(a>0)的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质:在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.已知函数f(x)=x+(0<a≤2)在[-2,-1]上的最大值比最小值大,则a=　　　　.  21.因函数f(x)=x+(t>0)的图象形状像对勾,我们称形如f(x)=x+(t>0)的函数为“对勾函数”,该函数具有性质:在(0,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增.若对勾函数f(x)=x+(t>0)对于任意k∈N*,都有f ≤f ,则实数t的最大值为　　　　　.  C组　综合知识点 限时20分钟 22.已知p:f(x)是幂函数,q:f(x)的图象过点(0,0),则p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 23.给出幂函数:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=;⑤f(x)=. 其中满足条件f >(x1>x2>0)的函数的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 24.已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0<m<1)与y=xa,y=xb的图象分别交于A,B,C,D四点,且|AB|=|CD|,则ma+mb=(　　) A. B.1 C. D.2 25.()若幂函数f(x)=的图象关于y轴对称,f(x)解析式中幂的指数为整数,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,则m=(　　) A.　 B.或　 C.-　 D.-或 26.(多选)已知函数f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0.若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值为负,则下列结论可能成立的有　(　　) A.a+b>0,ab<0 B.a+b<0,ab>0 C.a+b<0,ab<0 D.以上都可能 27.已知幂函数f(x)=(实数m∈Z)的图象关于y轴对称,且f(2)>f(3). (1)求m的值及函数f(x)的解析式; (2)若f(a+2)<f(1-2a),求实数a的取值范围. D组　高考怎么考 限时5分钟 28.(全国Ⅱ)设函数f(x)=x3-,则f(x)(　　) A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减 29.(江苏高考)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, f(x)=,则f(-8)的值是　　　　.  30.(上海高考)已知α∈{-2,-1,-,,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　.  31.(全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　.  3.3　幂函数 1.(-∞,0)　(0,+∞)　(0,+∞)　(-∞,0)　(0,+∞) 2.(1)✕　(2)√　(3)✕　(4)✕　(5)✕ 3.A　 4.A　4.>=1,0<3.<=1,(-1.9<0,所以4.>3.>(-1.9.所以a>b>c. 5.B　函数y=-1的图象可看作是由y=的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示),则y=-1的图象关于x轴对称的图象即为选项B中的图象. 6.ABD　因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,所以解得m=3,所以f(x)=x3,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,故f(x)=x3为奇函数,函数图象关于原点对称. 7.解题思路　根据题意,设这种汽车的安全车距d=k·v2·4,且d≥×4,k>0,当v=60,d=5.76时,有k·602×4=5.76,解得k=0.000 4,∴该种汽车的安全车距d与车速v之间的函数关系式为d=0.001 6v2,且d≥2. 8.A　∵幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点,∴k=1,f ==,即α=-, ∴k+α=. 方法总结　幂函数的判断 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是y=xα(α为常数)的形式,需满足:①指数为常数,②底数为自变量,③xα的系数为1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5…形式的函数都不是幂函数. 9.A　设f(x)=xa,由题意得f(16)=16a=, 所以a=-,所以f(x)=, 结合幂函数的性质可知,f(x)的定义域为(0,+∞),排除选项C、D, 易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,排除选项B.故选A. 10.B　在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数由小到大,所以a>b>c>d. 11.CD　当a<0时,函数y=ax-在R上单调递减,此时y=xa在(0,+∞)上也是单调递减的,同时单调递减的只有D,易知函数y=ax-的图象与y轴相交于点,此点在y轴的正半轴上,所以D符合.当a>0时,函数y=ax-在R上单调递增,其图象与y轴相交于点,此点在y轴的负半轴上,只有A,C符合,此时函数y=xa在(0,+∞)上是单调递增的,进一步判断只有C符合.故选CD. 12.A　易知b=<==a,a==<4<5==c,所以b<a<c.故选A. 13.C　因为f(x)=x4-m在(0,+∞)上单调递增,所以4-m>0.所以m<4.又因为m∈N*,所以m=1,2,3.又因为f(x)=x4-m是奇函数,所以m=1或m=3. 14.B　设幂函数解析式为y=xα(α为常数). ∵幂函数的图象经过点, ∴=2,解得α=-1, ∴幂函数解析式为y=x-1=. ∵0<a<b<1,∴0<a<b<1<<. 易知幂函数y=在(0,+∞)上单调递减, ∴f(a)>f(b)>f>f. 15.答案　-1 解题思路　由题意得m2-m=3+m,即m2-2m-3=0, ∴m=3或m=-1. 当m=3时,f(x)=x-1,此时x∈[-6,6],易知f(x)在x=0处无意义,∴不符合题意; 当m=-1时,f(x)=x3,此时x∈[-2,2],函数f(x)在[-2,2]上是奇函数,符合题意, ∴f(m)=f(-1)=(-1)3=-1. 16.答案　(3,5] 解题思路　f(x)==(x≥0),易知幂函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,又f(10-2a)<f(a+1), 所以解得所以3<a≤5.故a的取值范围是(3,5]. 17.答案　 解题思路　由题意得=1且m<0,则m=-2, 所以f(x)=x-2,故f(2)=. 18.答案　x3;[0,27] 解题思路　因为m∈{m|-2<m<2,m∈Z},所以m=-1,0,1. 因为对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数. 当m=-1时,f(x)=x2,不是奇函数; 当m=1时,f(x)=x0,既不满足在区间(0,+∞)上单调递增,又不是奇函数; 当m=0时,f(x)=x3,满足题意,故f(x)=x3. 当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0,27]. 19.解题思路　(1)由幂函数f(x)=x(m+1)(3-m)在区间(0,+∞)上单调递增, 可得(m+1)(3-m)>0,解得-1<m<3. 又m∈{m|-2<m<2,m∈Z}, ∴m=0或m=1. 当m=0时, f(x)=x3符合对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0; 当m=1时, f(x)=x4不符合对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,∴f(x)=x3. (2)f(x)在定义域R上单调递增. 证明:∀x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(+x1x2+)=(x1-x2). ∵x1<x2, ∴x1-x2<0,+>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)=x3在R上单调递增. 20.答案　1 解题思路　易知f(x)为奇函数,因为f(x)在[-2,-1]上的最大值比最小值大, 所以f(x)在[1,2]上的最大值比最小值大,由对勾函数的性质知, 当≤1,即0<a≤1时,f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)max-f(x)min=f(2)-f(1)=2+-1-a=1-=,解得a=1. 当1<≤,即1<a≤2时,f(x)在[1,)上单调递减,在(,2]上单调递增, f(x)min=f()=2, 由于f(2)-f(1)=1-≥0,故f(2)≥f(1), 所以f(x)max-f(x)min=f(2)-f()=2+-2=,解得a=1或a=9,均不满足1<a≤2,舍去. 综上,a=1. 21.答案　 解题思路　因为f ≤f , 所以f -f ≤0. 所以k-+-k--=-1≤0,即≤1. 因为k∈N*,所以k2->0, 所以t≤k2-恒成立,所以t≤=. 所以实数t的最大值为. 22.D　f(x)=x-2是幂函数,但其图象不过点(0,0),故充分性不成立;f(x)=-1的图象过点(0,0),但其不是幂函数,故必要性不成立.所以p是q的既不充分也不必要条件. 23.A　对于①,函数f(x)=x的图象是一条直线,故当x1>x2>0时,f =;对于②,在第一象限,函数f(x)=x2的图象是上凹的,故当x1>x2>0时,f <;对于③,在第一象限,函数f(x)=x3的图象是上凹的,故当x1>x2>0时,f<;对于④,在第一象限,函数f(x)=的图象是上凸的,故当x1>x2>0时,f >;对于⑤,在第一象限,函数f(x)=的图象是上凹的,故当x1>x2>0时,f <.故仅有函数f(x)=满足条件.故选A. 24.B　由题意,|AB|=-,|CD|=ma-mb,由题图可知b>1>a>0, 当0<m<1时,>,ma>mb. 因为|AB|=|CD|,所以m2a-m2b=(ma+mb)(ma-mb)=ma-mb. 又ma-mb>0,所以ma+mb=1. 故选B. 25.D　由题意知f(x)是偶函数,又因为f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以-m2+2m+为正偶数,又-m2+2m+=-(m-1)2+≤, 所以-(m-1)2+=2,解得m=或m=-.故选D. 26.BC　∵对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵f(x)=(m2-m-1)是幂函数, ∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2, 若m=-1,则f(x)=x-3,不符合题意; 若m=2,则f(x)=x3,符合题意, 故f(x)=x3,则f(x)在R上是增函数,且是奇函数. 对于选项A,若a+b>0,则a>-b,∴f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)>0,故选项A中的结论不可能成立; 对于选项B,当a=b=-1时,a+b<0,ab>0,且f(a)+f(b)=-2<0,故选项B中的结论可能成立; 对于选项C,当a=-2,b=1时,a+b<0,ab<0,且f(a)+f(b)=-8+1=-7<0,故选项C中的结论可能成立. 故选BC. 27.命题意图　本题主要考查了幂函数的解析式的求解,以及幂函数的图象与性质的应用,着重考查了推理与运算能力. 解题思路　(1)因为函数f(x)=(实数m∈Z)的图象关于y轴对称,且f(2)>f(3),所以m2-4m为偶数,m2-4m<0,又m∈Z,所以m=2,所以f(x)=x-4. (2)易知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).又函数f(x)=x-4的图象关于y轴对称,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, 所以不等式f(a+2)<f(1-2a)等价于|1-2a|<|a+2|且1-2a≠0,a+2≠0,解得-<a<或<a<3, 所以实数a的取值范围是∪. 28.A　函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)(易错:忽视函数f(x)的定义域),关于原点对称, f(-x)=(-x)3-=-x3+=-f(x),故f(x)=x3-是奇函数.排除C、D选项. 易知y=x3和y=-在(0,+∞)上均单调递增,故f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.故选A. 29.答案　-4 解题思路　由函数f(x)是奇函数得f(-8)=-f(8),因为x=8>0,所以f(8)==(23=4,所以f(-8)=-4. 30.答案　-1 解题思路　∵α∈-2,-1,-,,1,2,3,幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,∴α是奇数,且α<0,∴α=-1. 31.答案　12 解题思路　由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2, ∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12. 学科网（北京）股份有限公司 $