13.3.1 三角形的内角（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步课件（人教版2024）

该初中数学课件聚焦“三角形的内角和定理”，通过三类三角形争论内角和的情境导入，衔接小学已知结论，引导学生经测量、剪拼验证，再从直观操作过渡到逻辑证明，构建“感知-验证-推理”的学习支架。 其亮点在于以多证法（作平行线转化为平角等）渗透转化思想，培养数学思维中的推理能力，结合情境导入与动手操作发展数学眼光中的几何直观，例题涵盖方程思想、方位问题等模型应用，分层练习含中考题，助力学生提升应用意识，教师教学更具系统性与高效性。

13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角(第1课时) 人教版 数学 八年级 上册 13.3 三角形的内角与外角/ 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新知 13.3 三角形的内角与外角/ 2. 会运用三角形内角和定理进行计算. 1. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 素养目标 13.3 三角形的内角与外角/ 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关. 【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 探究新知 知识点 三角形的内角和 13.3 三角形的内角与外角/ 剪拼 A B C 2 1 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 测量 48° 72° 60° 60°＋48°＋72°＝180° 探究新知 锐角三角形 13.3 三角形的内角与外角/ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 探究新知 还有其他的拼接方法吗？ 13.3 三角形的内角与外角/ 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 探究新知 同学们还有其他的方法吗？ 13.3 三角形的内角与外角/ 【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 探究新知 1 2 C B A E D 1 2 C B A E D F 13.3 三角形的内角与外角/ C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤. 探究新知 试一试 13.3 三角形的内角与外角/ 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°–∠B –∠BAD =180°–75°–20° =85°. 利用三角形的内角和定理求角的度数 素养考点 1 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°. 变式题 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数. 解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°) ＝130°. 在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(　　) A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60° D 巩固练习 13.3 三角形的内角与外角/ 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　) A．45° B．54° C．40° D．50° C 巩固练习 13.3 三角形的内角与外角/ 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作 DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°. 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/  直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°， 则∠2＝________． 40° 巩固练习 l1 l2 13.3 三角形的内角与外角/ 基本图形 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 归纳总结 探究新知 3 4 13.3 三角形的内角与外角/ 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 素养考点 2 方程的思想与三角形内角和定理的综合应用 探究新知 方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解. 13.3 三角形的内角与外角/ 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数． 分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数． 比例关系可考虑用方程思想求角度. 变式题 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°. 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 23 七彩城就梦想 ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°， ∠C= ∠A + 10°， 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 巩固练习 完成下列各题. 解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°. 13.3 三角形的内角与外角/ 24 七彩城就梦想 北 . A D 北 . C B . 东 E 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、 B两岛的视角∠ACB呢？ 利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题） 素养考点 3 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°. 由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°， ∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB =180°–60°–30° =90°， 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 探究新知 13.3 三角形的内角与外角/ 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？ 巩固练习 13.3 三角形的内角与外角/ 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， ∴ ∠ABD＝60°. 又∵ ∠DBE＝90°， ∴ ∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°. ∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， ∴ ∠ACE＝90°–40°＝50°. ∴ ∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. 巩固练习 13.3 三角形的内角与外角/ （2024·四川凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是______． 解析：∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB=∠CDA=90°. ∵∠BCD=30°，∠ACB=80°， ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°. ∴∠CAB=90°-∠ACD=40°. ∵AE是∠CAB的平分线​，∴∠EAB= ∠CAB=20°. ∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°． 100° 链接中考 13.3 三角形的内角与外角/ 1.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 课堂检测 基础巩固题 13.3 三角形的内角与外角/ 3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　　　　． 100° 课堂检测 13.3 三角形的内角与外角/ 1. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C） =180°–（78°+60°） =42°． 能力提升题 课堂检测 13.3 三角形的内角与外角/ 2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°. 课堂检测 13.3 三角形的内角与外角/ 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°–60°=120°． 拓广探索题 课堂检测 13.3 三角形的内角与外角/ 【思考】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°– （∠ABC+∠ACB） =180°– （180°–∠A）=90°+ ∠A ． 课堂检测 13.3 三角形的内角与外角/ 35 七彩城就梦想 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 辅助线 三角形的内角和等于180 ° 作平行线 转化思想 课堂小结 13.3 三角形的内角与外角/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 13.3 三角形的内角与外角/ 伴你成长 $