专题02 与三角形有关的角六大题型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题02 与三角形有关的角六大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形折叠中的角度问题……………………………………………… 1 题型2：三角形内角和定理的证明……………………………………………… 14 题型3：三角形内角和与平行线结合…………………………………………… 16 题型4：三角形内角和与角平分线结合………………………………………… 21 题型5：三角形内外角的定义及性质应用……………………………………… 28 题型6：三角形内角和与外角的性质综合……………………………………… 32 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 51 知识梳理 1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 2、三角形外角的性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； （3）三角形的外角和等于360°． 重难点题型分类 【题型1：三角形折叠中的角度问题】 【例1】如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【详解】解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 【变式1-3】如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 【例2】如图，将三角形纸片沿折叠使点落在点处．且平分，平分．若，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质．由题意得．如图，连接．根据三角形外角的性质，得，，则．由三角形内角和定理得．由平分，平分，得，，由，得，进而求得，即可求解． 【详解】如图，连接． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 由折叠可得：． ∵，， ∴． 故选：D． 【变式2-1】如图，将△纸片沿进行折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了折叠的性质，多边形内角与外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质找出图中角度之间的关系． 根据折叠得出，，再结合平角定义得出，推出，运用多边形内角与外角的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， △纸片沿进行折叠，点A落在四边形的外部点的位置， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2-2】如图，在中，点D，E分别是边，上的点，将沿翻折，使得点 A落在边上的点处．若，则 °． 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 先由三角形内角和定理得出，再由折叠的性质得出，，即可由求解． 【详解】解：∵， ∴． 由折叠的性质， 知，， ∴． 故答案为：88． 【例3】如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】连接、，由折叠的性质得，则，，又由折叠的性质得，，得出，，由三角形外角性质得出，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可得出结果． 【详解】解：连接、，如图所示： 由折叠的性质得：， ， ， 又由折叠的性质得：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质与等腰三角形的性质与解题的关键． 【变式3-1】如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 【变式3-2】如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 【变式3-3】如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．由折叠可得，，利用三角形的外角性质与三角形内角和定理可求得的度数，的度数，从而可求解． 【详解】解：由折叠知：，． ， ． ， ， ， ． ． 故答案为：． 【变式3-4】如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】如图，将沿翻折交于点D，又将沿翻折，点C落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，正确掌握翻折的性质是解题的关键． 由翻折得，，设，根据三角形内角和得到，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由翻折得，，， 设， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 【变式5-1】已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【分析】设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式5-2】如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为．展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 ． 【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得，在中，根据三角形内角和定理即可求出，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据三角形外角的性质及，求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，由折叠的性质得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图进行标注： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：92． 【题型2：三角形内角和定理的证明】 【例1】小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______ ） 因为 所以 ______（理由：_______ ） ______（理由：_______ ） 因为 ______ 所以． 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 【变式1-1】在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． 【变式1-2】【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明方法． （1）根据辅助线的作法，结合平行线的性质逐个图分析即可； （2）选择方法①，由平行线的性质得，，结合可证． 【详解】（1）解：根据辅助线的作法，结合平行线的性质可知①②③④均能说明“三角形的内角和是”． 故答案为：①②③④； （2）解：选择方法①， 因为 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以三角形内角和为． 【题型3：三角形内角和与平行线结合】 【例1】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【变式1-1】如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【分析】（1）根据“两直线平行，同位角相等”，即可得答案；过O点作平行于格线，同理可得； （2）分两种情况讨论：射线在的内部射线在的外部． 【详解】（1）解：如图： 如图1：格线都互相平行，， ， ， ， ， 故答案为：； ， 证明：如图2：过O点作平行于格线， 格线都互相平行, ， ， ; （2）或， 理由： 当射线在的内部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ， ； 当射线在的外部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ． 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，对顶角相等等知识点，灵活运用这些知识是解决本题的关键． 【题型4：三角形内角和与角平分线结合】 【例1】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠A＝50°，则∠BOC的度数为（    ） A．75° B．105° C．115° D．130° 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】∵点O是△ABC的两条角平分线的交点， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB， ∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠A＝50°， ∴2∠OBC+2∠OCB+50°=180°， ∴∠OBC+∠OCB=65°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义及三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 【变式1-1】图：∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，，∠P＝18°，则∠A的度数为（   ） A．50° B．46° C．48° D．80° 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，根据，可推出，又因为，即可求出． 【详解】解：如图， ，的角平分线交于点， ，， 由三角形的内角和定理得，， ， 即， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，由题意找到角之间的关系． 【变式1-2】如图，四条线段，，，首尾顺次相接，在的延长线上，的平分线和的平分线相交于点．若，，则 ．（用含，的代数式表示） 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解本题的关键． 利用角平分线的定义得到相关角相等，再结合三角形内角和定理列出等式，即可求得． 【详解】解：作如图所示： 是的平分线，是的平分线， ，， ，即， ， ，即， ， 故答案为：． 【变式1-3】已知：在中，平分交于点E，为边上的高，点F在的延长线上，过点F作于点G，且，求出的度数． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质．利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再求出，得出，利用平行线的性质和判定即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【例2】如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得，在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线定义得，，进而可求得．本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， 在中，， ∵，的平分线交于点， ∴平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-1】如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出，，再找到可以去掉的式子即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵的平分线与的平分线的交于点， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 即． 故选：A． 【变式2-2】如图，在中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则 （用含的代数式表示）． 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，列代数式，关键是由三角形内角和定理，角平分线定义求出，由角平分线定义求出，由三角形外角的性质得到 由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，由角平分线定义求出，由三角形外角的性质得到，于是 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 【分析】（）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理得，再把代入计算即可求证； 本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 【题型5：三角形内外角的定义及性质应用】 【例1】如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可求，利用邻补角的定义即可求的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选： 【变式1-1】如图是交通直行指示标志，将其抽象成平面图形，，，，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到延长交于M，延长交于N，过G作，得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可求出的度数． 【详解】解：延长交于M，延长交于N，过G作， ， ， ，， ， ， ，， ， 同理：， 故选：B． 【变式1-2】如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ． 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，，推出解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，直线，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，根据，可得，再利用平行线的性质得到，即得到，再利用三角形外角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型6：三角形内角和与外角的性质综合】 【例1】如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为    （    ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 【变式1-2】如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵是的平分线， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 又， ， ，解得：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解． 【变式1-3】如图，为边上的一点，，且，求的度数． 【分析】此题考查的是三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和是和三角形外角的性质是解答此题的关键． 先根据三角形外角的性质得出，再根据已知条件，，可得，求出，进而得出结论． 【详解】解：，，， ， ，解得， ． 【例2】如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、平行线的性质、垂直的性质以及三角形内角和与外角的性质，解题的关键是利用相关性质推导各角之间的数量关系，进而判断选项的正确性． 根据角平分线定义得到角的倍数关系，结合平行线性质（同位角、同旁内角）、垂直性质（直角）及三角形内角和与外角定理，逐一分析各选项中角的关系是否成立． 【详解】解：已知在中，，故． ∵平分，平分， ， ． 选项∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分， ∴， ∴ ，A正确． 选项∵，， ∴（一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），即． ∴． 在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，B正确． 选项C：在中， ． ∵与是对顶角， ∴，C错误． 选项是的外角，则． ， ，D正确． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；由三角形外角的性质，角平分线的定义可判定⑤；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ，故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ，故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ，故④正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上正确的有：①②③④⑤． 故选：D． 【变式2-2】如图， 和的平分线交于点O， 连结， 的外角的平分线与的延长线交于点E，交于点D．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【分析】根据和的平分线交于点O，得出平分，求出，证明，根据平行线的判定得出，说明①正确；根据角平分线和三角形外角的性质求出，根据，得出，判定②错误；先求出，，得出，判定③正确；根据，，即可判定④正确． 【详解】解：∵和的平分线交于点O， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②错误； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质． 【变式2-3】阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形内角和定理和外角性质是解题的关键． （1）先在中利用三角形内角和定理求出，再在中求出，最后通过两者相减得到． （2）通过三角形内角和定理，将和用和表示，进而推导出与的关系． （3）利用三角形外角性质，将和用、和表示，再结合推导出与的关系． 【详解】解：（1）在中，， ． 在中，， ． ． 故答案为：；． （2）在中， 三角形内角和为， ． 在中，， 三角形内角和为， ． ． 故答案为：． （3），， ，， ． 故答案为：． 【例3】我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【分析】（）根据，得到，求得，得到，进而根据“和谐三角形”的定义即可判断； （）由是的一个外角，得到，求出，，即得，进而根据“和谐三角形”的定义即可求证； （）由，，得到，可以证明，得到，进而由得到，即得，得到，再根据得到，最后根据是“和谐三角形”解答即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”， 故答案为：，不是； （）∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或 ∵ ∴或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【变式3-1】根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形内角和定理、平角的定义等知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （3）①延长、交于点M．利用平角的定义和（2）的结论可得结果；②利用（3）①的结论，把作为标准，先计算出，再判断的形状． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ， 故答案为：． （2）解：∵与是的两个外角， ∴，． ∴ ． ∵平分，..平分， ∴，． ∵ ∴ ∴． （3）解：①延长、交于点M． ∵平分，平分，由（2）得，． ∵ ． ∴ ． ②∵与是四边形的两个内角， ∴． 当时，，为直角三角形； 当时，，为锐角三角形； 当时，，为钝角三角形． 【变式3-2】已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，． 【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数． 【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质． （1）由，得即可； （2）根据三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质做等量代换，引入参数，由解题； （3）由，三角形外角定理，根据的两种不同表示方式求出，由解题． 【详解】解：（1）如图1，是直角三角形， 理由如下： 在中，∵，， ， ， 是直角三角形；                                                    （2）如图2，令，， ， 平分， ， 在中，， 又， ， ， 在中，， ， ； （3）， 由（2）可知， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式3-3】已知直线于点，点在直线上，点在直线上． (1)如图1，射线分别是和的角平分线，问点运动过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求的大小； (2)如图2，延长至，是内的一条射线，与直线相交于点，若的平分线恰好交于点，过点作于，设，试探究和满足的数量关系，并证明； (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线所在直线分别相交于，在的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出的度数． 【分析】本题综合考查角平分线性质、三角形内角和与外角定理，通过设角、利用定理推导关系，分情况讨论求解，关键是熟练运用相关定理和性质． （1）利用直角三角形两锐角和为以及角平分线性质和三角形内角和定理求； （2）设，，．则，通过角平分线性质和三角形外角定理分别表示出与，进而找与关系； （3）先求，再分情况讨论与的倍数关系求． 【详解】（1）解：不发生变化，理由如下： ∵ ∴， 在中，， ∵射线分别是和的角平分线， ∴，， ∴， 在中，， ∴大小不发生变化，为； （2）∵的平分线恰好交于点， 设，，． ∴ ∴ 即 ∴ ∴， ， ， ∵ ∴， ∴ ∴． （3）∵平分，平分， ∴ ∵平分，， ∴． 分情况讨论 情况一：若，， 则，， ∵ ∴ ． 情况二：若，，则，， 而，不合题意，舍去 情况三：若，则， ∴ 而，不合题意，舍去 情况四：若，， ∵ ∴ ． 综上所述，为或． 能力提升 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分，，则等于（     ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 设，，则，，在中，由三角形内角和定理得，再求出，，由角平分线定义得，，进而得，再由角平分线定义得，，继而得，在中，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：设，， ∵，分别平分，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，分别平分，， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形称为“灵动三角形”，例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上任取一点，过点作于点，交于点，以为端点作射线，交线段于点（其中）． ①的度数为； ②是“灵动三角形”； ③若，则是“灵动三角形”； ④当为“灵动三角形”时，则满足条件的的值有4个． 以上结论正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了三角形的内角和定理； 根据新定义，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系，逐一计算判定即可． 【详解】解：∵，，即， ∴，故①正确； ∵， ∴是“灵动三角形”，故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴是“灵动三角形”，故③正确； ∵为“灵动三角形”，， ∴或或， 当时， ∴， ∴； 当时， 根据题意，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， 综上，满足条件的的值有3个，故④错误， 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断①；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断②；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定③；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①是真命题； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由无法证明，故②是假命题； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴，故③是真命题； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故④是真命题； ∴真命题的个数是3． 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 7．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，是的反向延长线上一点，平分，若，，则①的度数为 ；②的度数为 ． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过G作，得，利用平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线解答即可． 【详解】解：如图，过G作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 8．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 9．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图， 度． 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 【分析】先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 则， 故答案为：110，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 三、解答题 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，图形的旋转等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，，进一步得出结果即可； （2）当点和在点C异侧时，延长，交于F，可得出，从而得出，当和在点C同侧时，设交于G，可得出，从而得出∠； （3）分为，同理（2）可得是两种情形；当与时，也是分别两种情形，同理（2）得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 延长，交于F， ， ， ， 如图2-2， 设交于G， ， ， ， 综上所述：当时，或； （3）当时， 如图3-1， ， ， 如图3-2， ， ， 当时， 如图3-3， ， ， 如图3-4， ， 由（2）知， 当时，或， 综上所述：或或或或或． 13．（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______ ） ，（平角的定义） ．（______ ） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 【分析】本题考查三角形内角和的证明，平行线的性质与判定；小明的想法逐步分析前后步骤之间的关系，再填上理由即可；小颖的想法由可得，即可得到，等量代换以后得到． 【详解】解：小明的想法证明过程如下： 证明：过点A作直线，则 ，（两直线平行，内错角相等） ，（平角的定义） ．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换； 小颖的想法可行． 证明：如图，作， ∴， ， 即， ． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知和，，，将按一定方式摆放，使的两条边分别经过点和点． (1)若将按如图1所示方式摆放，则 度； (2)若将按如图2所示方式摆放，求的度数； (3)在（2）中， （填“存在”或“不存在”）某一位置，同时使平分，平分． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可； （2）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可； （3）先根据已知条件，求出，假设、同时平分和，求出，根据三角形内角和定理进行解答判断即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：240． （2）解：，， ， ，， ， ， ， ． （3）解：， ， ， 若、同时平分和， 则， ，与三角形内角和定理相矛盾， 不能将摆放到某个位置时，使得、同时平分和， 故答案为：不存在． 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______ ）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______ ）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①_____ _； 乙同学证明过程的理论依据是：②______ ． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 17．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O在射线上运动（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足． (1)如图1，点O在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)点E，F在射线上，连接，，满足． ①如图2，点O在线段上，，写出一个m的值，使得恒为定值，并求出此定值； ②如图3，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出m的值． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是： （1）利用平行线的性质，利用三角形外角的性质求出，即可求解； （2）①设，则可求，，，，，，进而求出 则，即时，，即可求解； ②分点O在线段、线段的延长线讨论，然后画出符合题意的图形，利用平行线的性质，三角形内角和定理等求解即可． 【详解】（1）解：补图如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当，即时，， ∴当时，恒为定值； ②当O在线段时，若，如图，    ∵，，， ∴，， 由①知：， ∴， 解得； 当O在线段时，若，如图，    ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当O在线段延长线时，若，如图， 则 ∵， 又， ∴ ∴， 解得； 当O在线段延长线时，若，如图，    ∴， ∴， 解得， 综上，m的值为或或． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答； （2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答； （3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答； （4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是∠ABC的平分线， ∴， 同理可得： ∴， ∵在中，， ∴； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到∠1+∠2+∠C=180°，即可得到答案； （4）延长，交于点G，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，利用得到的度数，可得的度数，从而得出结论． 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ， 故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长交于点F， ∵， ∴， 故答案为：； （4）延长，交于点G，如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 而图中， ∴应减少． 故答案为：减少，10． 1 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题02 与三角形有关的角六大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形折叠中的角度问题……………………………………………… 1 题型2：三角形内角和定理的证明……………………………………………… 5 题型3：三角形内角和与平行线结合…………………………………………… 7 题型4：三角形内角和与角平分线结合………………………………………… 9 题型5：三角形内外角的定义及性质应用……………………………………… 11 题型6：三角形内角和与外角的性质综合……………………………………… 12 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 17 知识梳理 1、三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 2、三角形外角的性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； （3）三角形的外角和等于360°． 重难点题型分类 【题型1：三角形折叠中的角度问题】 【例1】如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【变式1-3】如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【例2】如图，将三角形纸片沿折叠使点落在点处．且平分，平分．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，将△纸片沿进行折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，点D，E分别是边，上的点，将沿翻折，使得点 A落在边上的点处．若，则 °． 【例3】如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 【变式3-4】如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【例4】如图，将沿翻折交于点D，又将沿翻折，点C落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为．展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 ． 【变式5-3】如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 【题型2：三角形内角和定理的证明】 【例1】小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______ ） 因为 所以 ______（理由：_______ ） ______（理由：_______ ） 因为 ______ 所以． 【变式1-1】在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【变式1-2】【阅读材料】：为了说明“三角形的内角和是”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 方法①：过的顶点C作； 方法②：点P在的边上，过点P作交于点E，交于点F； 方法③：点P在的内部，过点P作交于点E，F，交于点D，G，交于点M，N； 方法④：点P在的外部，过点P作交于点E，F，交于点D，． 【解答问题】： (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是”的是______；（只填写序号） (2)请从你在（1）中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是”． 【题型3：三角形内角和与平行线结合】 【例1】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【变式1-2】如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【变式1-3】如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【题型4：三角形内角和与角平分线结合】 【例1】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠A＝50°，则∠BOC的度数为（    ） A．75° B．105° C．115° D．130° 【变式1-1】图：∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，，∠P＝18°，则∠A的度数为（   ） A．50° B．46° C．48° D．80° 【变式1-2】如图，四条线段，，，首尾顺次相接，在的延长线上，的平分线和的平分线相交于点．若，，则 ．（用含，的代数式表示） 【变式1-3】已知：在中，平分交于点E，为边上的高，点F在的延长线上，过点F作于点G，且，求出的度数． 【例2】如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则 （用含的代数式表示）． 【变式2-3】如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 【题型5：三角形内外角的定义及性质应用】 【例1】如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是交通直行指示标志，将其抽象成平面图形，，，，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ． 【变式1-3】如图，直线，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 ． 【题型6：三角形内角和与外角的性质综合】 【例1】如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为    （    ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【变式1-2】如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【变式1-3】如图，为边上的一点，，且，求的度数． 【例2】如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-2】如图， 和的平分线交于点O， 连结， 的外角的平分线与的延长线交于点E，交于点D．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【变式2-3】阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 【例3】我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与重合） （）的度数为________，________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【变式3-1】根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【变式3-2】已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，． 【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数． 【变式3-3】已知直线于点，点在直线上，点在直线上． (1)如图1，射线分别是和的角平分线，问点运动过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求的大小； (2)如图2，延长至，是内的一条射线，与直线相交于点，若的平分线恰好交于点，过点作于，设，试探究和满足的数量关系，并证明； (3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线所在直线分别相交于，在的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出的度数． 能力提升 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形称为“灵动三角形”，例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上任取一点，过点作于点，交于点，以为端点作射线，交线段于点（其中）． ①的度数为； ②是“灵动三角形”； ③若，则是“灵动三角形”； ④当为“灵动三角形”时，则满足条件的的值有4个． 以上结论正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 7．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，是的反向延长线上一点，平分，若，，则①的度数为 ；②的度数为 ． 8．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 9．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图， 度． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知中，，O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，…，平分，平分，…，以此类推，则 °， °． 三、解答题 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 13．（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______ ） ，（平角的定义） ．（______ ） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知和，，，将按一定方式摆放，使的两条边分别经过点和点． (1)若将按如图1所示方式摆放，则 度； (2)若将按如图2所示方式摆放，求的度数； (3)在（2）中， （填“存在”或“不存在”）某一位置，同时使平分，平分． 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______ ）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______ ）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①_____ _； 乙同学证明过程的理论依据是：②______ ． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 16．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 17．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O在射线上运动（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足． (1)如图1，点O在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)点E，F在射线上，连接，，满足． ①如图2，点O在线段上，，写出一个m的值，使得恒为定值，并求出此定值； ②如图3，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出m的值． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 20．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $