专题01 与三角形有关的线段六大题型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题01 与三角形有关的线段六大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形三边关系的应用……………………………………………… 2 题型2：利用三角形的中线求长度…………………………………………… 4 题型3：利用三角形的中线求面积…………………………………………… 7 题型4：利用三角形的高求解………………………………………………… 8 题型5：利用三角形的角平分线求解………………………………………… 11 题型6：三角形的高、中线、角平分线综合………………………………… 11 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 14 知识梳理 1、三角形中线的交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一 点（如图）.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重 心在三角形内部. 2、三角形角平分线的交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角 形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 3、三角形高的交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 重难点题型分类 【题型1：三角形三边关系的应用】 【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【变式1-1】从长度分别为的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为 ． 【变式1-2】已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 【例2】三角形两边长为和，则下列线段长度能作为三角形第三边的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 【变式2-3】已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【例3】已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是，，则满足条件的的值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式3-1】三条边长均为整厘米数，最长边为11厘米的三角形有（    ）个 A．37 B．38 C．36 D．35 【例4】已知的三边长分别为a、b、c，下列三角形中是直角三角形的是（    ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边长分别为2，3，4 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为6，8，10 【变式4-1】已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长． 【变式4-2】【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【例5】（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式5-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·四川巴中·期末）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为22，求a，b，c的值． 【题型2：利用三角形的中线求长度】 【例1】在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【变式1-1】如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为 ． 【变式1-2】中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【变式1-3】已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 【例2】在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【变式2-1】如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【变式2-2】如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【例3】如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 【变式3-1】如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【变式3-2】如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【题型3：利用三角形的中线求面积】 【例1】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-1】如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是 ． 【变式1-2】如图，分别是的高线和中线，若，求和的面积． 【变式1-3】如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【题型4：利用三角形的高求解】 【例1】如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知分别为的边的中点，连接为的中线，连接．若，四边形的面积为20，则的边上的高为 ． 【变式1-3】如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 【例2】如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-1】已知、、是平面直角坐标系中的点，直线交x轴于，则的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．无法确定 【变式2-2】如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【变式2-3】如图，在三角形ABC中，，，，那么三角形的面积是阴影三角形面积的 倍． 【例3】如图，在中，是它的角平分线，，，，则 （     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【变式3-2】如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【例4】如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 【变式4-1】如图，，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．5 【变式4-2】如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【题型5：利用三角形的角平分线求解】 【例1】如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【题型6：三角形的高、中线、角平分线综合】 【例1】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法： ①；②；③；④．其中正确的是(　  　) A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【变式1-2】如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 【例2】如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【变式2-1】如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【变式2-2】如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 【变式2-3】如图，在中，点D在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，，，则的周长比的周长大多少？ 能力提升 一、单选题 1．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）适合条件的是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）下列说法中不正确的个数是（   ） ①一个三角形中至少有两个角为锐角； ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段； ③三角形的外角大于它的任何一个内角； ④若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高，且，平分交于点，过点作，分别交，于点，．下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．②③ C．③ D．② 二、填空题 8．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）长方形的面积为，点为的中点，点为上的一点，的面积为，则阴影部分的面积为 ． 11．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 12．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，求的值． 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 16．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，等腰的对称轴与底边交于点，，，其中、是二元一次方程组的解，，点是边上的一个动点，过点作于点，作于点． (1)求的面积； (2)当点在线段上运动时，求的值； (3)当点在线段的延长线上运动时连接，当时，请补全图形，求此时线段的长． 18．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值； (4)当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 19．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，把点A向上平移5个单位长度得到点B，过点B作x轴的平行线交y轴于点C． (1)求四边形的面积； (2)点P从原点O出发，沿边以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点Q从点A出发沿折线、向点C移动，当点P移动到点A时，点Q刚好移动到点C，当Q在线段上时，若，求的长； (3)在第（2）问P、Q速度不变的情况下，如图2，当轴时，连接、相交于点D，点R为上的一点，若的面积的面积，求R点坐标． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题01 与三角形有关的线段六大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形三边关系的应用……………………………………………… 2 题型2：利用三角形的中线求长度…………………………………………… 11 题型3：利用三角形的中线求面积…………………………………………… 21 题型4：利用三角形的高求解………………………………………………… 24 题型5：利用三角形的角平分线求解………………………………………… 35 题型6：三角形的高、中线、角平分线综合………………………………… 37 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 45 知识梳理 1、三角形中线的交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一 点（如图）.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重 心在三角形内部. 2、三角形角平分线的交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角 形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 3、三角形高的交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 重难点题型分类 【题型1：三角形三边关系的应用】 【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 【变式1-1】从长度分别为的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为 ． 【分析】本题考查三角形的三边关系，利用概率公式求概率，根据三角形的三边关系，确定能组成三角形的情况，再除以总的情况，即可得出结果． 【详解】解：从的四条线段中随机取出三条，共有：，，，，共4种等可能的情况，其中能组成三角形的有，，共2种情况， ∴能够成三角形的概率为； 故答案为：． 【变式1-2】已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解． 【详解】解：当2为腰时，三边为2，2，4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形， 当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是会根据题意，分类讨论． 【例2】三角形两边长为和，则下列线段长度能作为三角形第三边的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值，然后即可求解． 【详解】解：∵三角形两边长为和， ∴根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，即；而小于两边之和，即， ∴逐一核对选项，只有C符合， 故选：C． 【变式2-1】如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 【变式2-2】已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 【分析】本题考查了绝对值、三角形三边关系，解不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形三边关系可得，解得，再去掉原式中的绝对值并化简即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得， 即， 解得， ∴， 故答案为． 【变式2-3】已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 【例3】已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是，，则满足条件的的值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式（组）的应用． 根据三角形三边关系，分最大边为和两种情况讨论，列出不等式组求解，再合并所有符合条件的正整数解． 【详解】解：由得 ①当最大边为时，有 ， 解得， 三角形三边需满足： 解得， ∴， ∵是正整数， ∴． ②当最大边为时，有 ， 解得， 三角形三边需满足： ， 解得， ∴， ∵是正整数， ∴． 综上所述，符合条件的为2、3、4、5、6、7，共6个． 故选C. 【变式3-1】三条边长均为整厘米数，最长边为11厘米的三角形有（    ）个 A．37 B．38 C．36 D．35 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练并灵活运用其关系是解题的关键． 根据三角形三边关系解题即可． 【详解】解：设最长边为11厘米，第二边为，第三边为，满足且，分情况讨论： 当时，需满足，共11种可能； 当时，需满足，共9种可能； 当时，需满足，共7种可能； 当时，需满足，共5种可能； 当时，需满足，共3种可能； 当时，需满足，共1种可能； 将各情况数量相加：． 故选：C． 【例4】已知的三边长分别为a、b、c，下列三角形中是直角三角形的是（    ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边长分别为2，3，4 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为6，8，10 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形三边关系等知识，根据三角形三边关系可以判断A，根据勾股定理的逆定理可以判断B和D，由第三边不确定，无法判断此三角形形状，从而判定C． 【详解】解：A、三角形的三边不可能满足关系，故此选项不合题意； B、三角形的三边长分别为2，3，4，由可知此三角形不是直角三角形，故此选项不合题意； C、三角形的一边等于另一边的一半，第三边不确定，无法判断此三角形形状，故此选项不合题意； D、三角形的三边长为6，8，10，由可知此三角形是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】已知的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设的三边长分别为、、，其中，分为腰长或为底边两种情况进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：为等腰三角形，且周长为， 设的三边长分别为、、，其中， 分两种情况： 当为腰长时， 底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时， 腰长， 为底边，为腰长符合三角形的三边关系， ． 则其余两边长都为6． 【变式4-2】【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 【例5】（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 【变式5-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 【变式5-2】（24-25七年级下·四川巴中·期末）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为22，求a，b，c的值． 【分析】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边列不等式组得出，求解即可； （2）的周长为22，根据题意得出列方程组求解得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴， ∴； （2）由题意得： 解得： 【题型2：利用三角形的中线求长度】 【例1】在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 【变式1-1】如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为 ． 【分析】此题考查了三角形的中线和中位线，先利用中位线性质求得，再由中线知即可解答，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【分析】此题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的定义，并注意分类讨论．首先设，，则，根据的中线把的周长分成两部分的比是可得①；②，分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 【变式1-3】已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 【详解】（1）解：，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）解：不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出的长． 【例2】在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 【变式2-1】如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 【例3】如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型3：利用三角形的中线求面积】 【例1】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式1-1】如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是 ． 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 根据题意可知：是阴影部分的面积的3倍，的面积是的面积的2倍，依此可求解． 【详解】解：点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，， 故答案为： 【变式1-2】如图，分别是的高线和中线，若，求和的面积． 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 根据三角形的中线得到，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：∵分别是的高线和中线，， ∴， ． 【变式1-3】如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【题型4：利用三角形的高求解】 【例1】如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 【变式1-1】在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 【变式1-2】如图，已知分别为的边的中点，连接为的中线，连接．若，四边形的面积为20，则的边上的高为 ． 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、三角形的面积、三角形的高等知识点，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 如图：连接，设，边上高长为h，由三角形中线的性质得，，即得，，进而得，，即得到，再根据四边形的面积为得，解得，即得到，最后根据三角形面积公式求解即可， 【详解】解：如图：连接，设，边上高长为h， ∵为的中线， ∴点F为的中点， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，解得， ∴， ∴，解得：， ∴的边上的高为8. 故答案为8. 【变式1-3】如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 【分析】（1）根据三角形中线将与的周长之差转换为和的差即可得出答案； （2）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：的周长为， 的周长为， ∵是的边上的中线， ∴， ∴； （2）设边上的高为， ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 【例2】如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】本题考查三角形高有关的计算问题．根据题意求出的面积，即可得到的面积． 【详解】解：∵于点E，，， ∴， 又∵， ∴的面积． 故选：C． 【变式2-1】已知、、是平面直角坐标系中的点，直线交x轴于，则的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．无法确定 【分析】本题主要考查坐标与图形，分点和点在的同侧和异侧两种情况结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：①若点和点在的同侧时，如图， ∵、， ∴， 又、， ∴； ②若点和点在的异侧时，如图， ∴， 综上，的面积为20， 故选：B． 【变式2-2】如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴ ∴，即， 同理： ∴． 故答案为：． 【变式2-3】如图，在三角形ABC中，，，，那么三角形的面积是阴影三角形面积的 倍． 【分析】本题考查常规图形面积的计算问题，难点在于不易把握边长间的关系.“如图，连接，可以求出与及与之间的面积比，从而得到三者的面积比，三者的面积和为的面积，从而可以求出的面积，同理可求和的面积，从而可以求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴阴影部分面积， 即的面积是阴影部分面积的7倍． 故答案为：7． 【例3】如图，在中，是它的角平分线，，，，则 （     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，可得出的边上的高与的上的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出与的面积之比． 【详解】解：∵是的角平分线，设的边上的高与的上的高分别为 ∴， ∴与的面积之比 故选：B． 【变式3-1】如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【分析】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 根据三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 【变式3-2】如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 【分析】本题考查的是面积法求三角形的高．熟练掌握三角形的面积公式，垂线段最短．是解题的关键． 当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：当时，最小， ∵三角形中，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-1】如图，，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．5 【分析】本题考查垂线段最短，坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是利用垂线段最短解决问题．连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，根据题意可得：，，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是， ，，， ，， ， ， ， 故选：A． 【变式4-2】如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键． 过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可． 【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点， 当时，取得最小值即， ∴， ∴， ∴， ∴面积最小为， 故答案为：． 【题型5：利用三角形的角平分线求解】 【例1】如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 【变式1-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 【题型6：三角形的高、中线、角平分线综合】 【例1】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法： ①；②；③；④．其中正确的是(　  　) A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【分析】①无法证明是否同底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质即可推出；③根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断；④根据等腰三角形的判定方法即可判断． 【详解】解：∵无法证明， 故无法证明， 故①错误； 是角平分线， ， 是高， ， ， ，， ， ，， ，故②正确； 是高， ， ， ，， ， 是角平分线， ， ， 即，故③正确； 根据已知条件不能推出， 因此不能证明，故④错误； 综上可知，②③结论正确， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识． 【变式1-2】如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质，掌握定理及性质是解题的关键．①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据角平分线的性质即可得出结论；④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①和的平分线相交于点G， ， ， ，， ，， ，， ，故正确； ②和的平分线相交于点G， ， ，故错误； ③和的平分线相交于点G， 点G是的内心， 点G到各边的距离相等，故正确； ④连接， 点G是的内心，，， ，故正确． 故答案为：①③④． 【例2】如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【分析】本题考查了三角形的高、中线以及角平分线，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形的面积公式，得出，再利用中线的定义，即可求出的长； （2）由三角形内角和定理，得出，进而得出，再由三角形内角和定理，求出，即可得出的度数． 【详解】（1）解：为边上的高，的面积为， ， ， 为边上的中线， ； （2）解：，， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 【变式2-2】如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义． （1）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：是的高， ， ，是的角平分线， ， ； （2）解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ． 【变式2-3】如图，在中，点D在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，，，则的周长比的周长大多少？ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到，再由三角形周长公式结合已知条件推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：为的中线， ， ，， ， 的周长比的周长大． 能力提升 一、单选题 1．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）适合条件的是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理：三角形的内角和为．此题隐含的条件是三角形的内角和为，列方程，根据题中角的关系求解，再判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴为直角三角形. 故选：B. 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：， ， 为的角平分线， ， 为的高， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高和角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识并能灵活运用． 4．（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）下列说法中不正确的个数是（   ） ①一个三角形中至少有两个角为锐角； ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段； ③三角形的外角大于它的任何一个内角； ④若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的中线，高线，角平分线的定义，三角形三边的关系，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的内角和为， ∴三角形的内角中，至少有两个角为锐角， ∴①正确； ∵三角形的中线、高线、角平分线都是线段， ∴②正确； ∵三角形的外角大于与它不相邻的内角， ∴③错误； 若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边不一定能组成三角形，如,满足，就不能组成三角形， ∴④错误； 综上所述，不正确的有：③④． 故选：B． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高，且，平分交于点，过点作，分别交，于点，．下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，证明即可判断正确；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断正确；根据，结合角平分线的定义即可判断，证明即可判断，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故错误． 故选:． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积的最大值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比． 连接，设，由三角形面积公式可得，，由点E是的中点，得，，进而得，，，，，，得出，通过讨论的面积最大值得四边形的面积最大值． 【详解】解：连接，    设， ∵， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴当时，的面积最大，为， 四边形的面积的最大值是， 故选：B． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．②③ C．③ D．② 【分析】①设与相交于点，与交于点，由得，再由三角形的外角定理得，由此出，而与无法证明相等，据此可对结论①进行判断； ②由得，再由三角形的外角定理得，进而得，再证，则，据此可对结论②进行判断； ③先求出，，然后根据已知条件得，据此可求出，进而可求出的度数，于是可对结论③进行判断． 【详解】解：①设与相交于点，与交于点，如图所示： 与的角平分线交于点，平分，，， ，，， ， ， ， ， ， 而根据已知条件，无法与无法证明相等 结论①错误； ②， ， 又， ， 即：， ， ， 即：， ， ， 整理得：， 结论②正确； ③，， ， 由②可知：， ， 又， ， ， ， 结论③正确． 综上所述：正确的结论是②③． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，三角形的内角和定理和三角形的外角定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；三角形的内角和等于；三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 二、填空题 8．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：30． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）长方形的面积为，点为的中点，点为上的一点，的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，连接，根据矩形的性质得长方形的面积，然后求出长方形的面积，进而可得阴影部分的面积，根据同高三角形的底之比等于面积之比计算出空白部分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：连接，连接， ∵是的中点， ∴长方形的面积， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴长方形的面积， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 【分析】本题考查同高三角形，平行线间的距离，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，，再根据平行等积转化，得到，，进行求解即可． 【详解】解：连接， 则：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理：； 故答案为：8，． 三、解答题 13．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，求的值． 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，解题关键是看到垂直条件及一些边长，可利用等面积法求解． 根据题意，利用等面积法，用两种方法表示的面积，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 【分析】本题考查三角形的面积．熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 设面积为s（），由，，可得，， 继而推导出， ，由四边形的面积为22，即可解答． 【详解】连接，如图 设面积为s（）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形的面积为22cm2， ∴， ， ∵+=， ∴， ∴s=45（） 答：三角形的面积是45． 16．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的内角和与三角形的外角： （1）三角形的外角求出的长，利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； （2）∵点E为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，等腰的对称轴与底边交于点，，，其中、是二元一次方程组的解，，点是边上的一个动点，过点作于点，作于点． (1)求的面积； (2)当点在线段上运动时，求的值； (3)当点在线段的延长线上运动时连接，当时，请补全图形，求此时线段的长． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，点到直线的距离，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先求解方程组得到、的值，即与的长度，再根据等腰三角形三线合一性质求出底边长度，最后用三角形面积公式计算； （2）利用连接后，的面积等于与面积之和，通过面积公式建立等式求解； （3）补全图形后，过点作于点，根据（2）的结论得出，进而得出，根据，设未知数，再由的面积与面积关系结合已知条件求出长度，设，进而根据，得出的长度，即可求解．． 【详解】（1）解：解方程组 ①②得 解得：， 将代入②得， 解得： 是等腰三角形，对称轴与底边交于点， ∴， 根据等腰三角形三线合一，， 则，， 根据三角形面积公式； （2）连接，如图所示： ∵， ； （3）画出点在延长线上，，，如图所示： 过点作于点， 由（）可得当重合时， 设 ，则 ， ，，， 解得： ， 设， 解得： ∴． 18．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示） (2)当点P运动到中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值； (4)当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值． 【分析】本题考查列代数式，与三角形的高有关的计算，一元一次方程的应用，正确的列出方程和代数式，是解题的关键： （1）用的长减去点的路程，列出代数式即可； （2）求出点运动的时间，进而求出点的路程，利用线段的和差关系，进行求解即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可； （4）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，当点P在上运动时，； 故答案为：； （2）由题意，， 此时， ∴； 故答案为：7； （3）点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：， ①时，则：， ∴， ∴，解得：； ②时，则：， ∴，解得：； ③时，，， ∴，解得：（舍去）； 综上：或； （4）当点P在上运动时，则：， ∴，， 当时，则：，即：，解得：； 当时，则：，即：，解得：； 综上：或． 19．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，把点A向上平移5个单位长度得到点B，过点B作x轴的平行线交y轴于点C． (1)求四边形的面积； (2)点P从原点O出发，沿边以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点Q从点A出发沿折线、向点C移动，当点P移动到点A时，点Q刚好移动到点C，当Q在线段上时，若，求的长； (3)在第（2）问P、Q速度不变的情况下，如图2，当轴时，连接、相交于点D，点R为上的一点，若的面积的面积，求R点坐标． 【分析】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、平移的性质以及三角形面积等知识． （1）由题意得出四边形是矩形，，，由矩形面积公式即可得出答案； （2）求出点Q运动的速度为（单位长度/秒），当Q在上时，由得出方程，解方程即可； （3）当轴时，则四边形和四边形是矩形，得出，，，设运动时间为t，得出方程，解得，得出，，再设设，则，由得到，即，，求出，，再由的面积的面积得，得出，进而可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：四边形是矩形，，， ∴四边形的面积； （2）解：∵，点P从原点O出发，沿边以每秒钟2个单位长度的速度向点A移动， ∴点P运动到点A时，（秒）， ∵当点P移动到点A时，点Q刚好移动到点C，， ∴点Q运动的速度为（单位长度/秒）， 当Q在上时，，，，如图1所示： 设运动时间为a， 若时，则， 解得：， ∴； （3）解：设运动时间为t，当轴时， 则四边形和四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∵的面积的面积， ∴， ∴， ∴ ∴R点坐标为． 1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $