15.3.1 等腰三角形（第2课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步教案（人教版2024）

第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第2课时 一、教学目标 【知识与技能】 会证明等腰三角形的判定定理,解决简单问题. 【过程与方法】 发展学生的归纳猜想能力,提高学生证明文字命题的能力,培养举一反三、灵活变换的能力. 【情感、态度与价值观】 体会数学源于实际,运用于实际的应用价值,领悟数学中的转化思想,欣赏数学的几何美、对称美. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时，共2课时。 四、教学重难点 【教学重点】 等腰三角形判定定理及其应用. 【教学难点】 等腰三角形判定定理的探索和应用. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。 学生：三角尺、直尺、圆规。 六、教学过程 （一）导入新课 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？（出示课件2） （二）探索新知 1.创设情境，探究等腰三角形的判定 教师问1：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有哪些性质？ 老师指定学生回答：1.等腰三角形的两个底角相等，2.等腰三角形底边上的中线、高、顶角的平分线重合（三线合一）. 教师问2：如图，已知AC＝BD，是否能根据等边对等角得到这两条边所对的角∠ABC＝∠DAB呢？如果不可以，那是为什么呢？ 学生回答：不能根据等边对等角得到这两条边所对的角相等，因为不在同一个三角形内，等边对等角是指在同一个三角形内的边角关系. 教师问3：我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢.我们一起探究下边的问题： 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 学生讨论后猜想：这个三角形的两条边相等. 教师问4：我们如何证明猜想是否正确呢？ 请同学们用直尺和量角器，画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？（出示课件4） 学生回答：数量关系：AB=AC,结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 教师问5：现在我们把这个问题一般化，那就可以变成：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系? 学生回答：相等. 教师问6：请你们证明这个猜想. 师生共同解答如下：（出示课件5） 证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∴AB=AC. 教师总结点拨：（出示课件6） 等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边” ），这又是一个判定两条线段相等的根据之一. 应用格式： 在△ABC中，∵∠B=∠C， ( 已知 ) ∴ AC=AB. ( 等角对等边 ) 即△ABC为等腰三角形. 教师问7：如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)? 学生回答：能同时到达. 教师问8：为什么能同时到达呢？说说你的依据是什么？ 学生给出回答：∵∠A＝∠B，∴OA＝OB(等角对等边).∴△OAB是等腰三角形.又因为两艘救生船以同样的速度同时出发，所以能同时到达. 出示课件7，学生独立思考后解答,教师给出答案. 例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．（出示课件8） 师生共同解答如下： 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE是△ABC的平分线，AD∥BC． 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又AD平分∠CAE， ∴∠1=∠2. ∴∠B=∠C. ∴AB=AC （等角对等边）． 出示课件9，学生独立思考后解答，教师给出答案. 例2：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB=AD.（出示课件10） 师生共同解答如下： 证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC. ∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC. ∴∠ABD=∠ADB. ∴AB=AD. 出示课件11，学生独立思考后解答，教师给出答案. 例3：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．（出示课件12） 师生共同解答如下： 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°. ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC. ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE. ∴CE＝CF.∴△CEF是等腰三角形． 教师总结点拨：（出示课件13） “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是“在同一个三角形中”． 出示课件14，学生讨论后解答，教师给出答案. 例4：已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作等腰△ABC.使底边AB=a，底边上的高为h.（出示课件15） 师生共同解答如下： 作法： 1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 例5：如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F. 探究EF，BE，FC之间的关系.（出示课件16） 师生共同解答如下： 解：∵ EF∥BC, ∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO. ∵ BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO， ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO， ∴BE＝OE，CF=OF， ∴ EF=EO+FO＝BE+CF. 教师总结点拨：（出示课件17） 判定线段之间的数量关系，一般做法是通过证明线段所在的两个三角形全等或利用同一个三角形中“等角对等边”，运用转化思想，解决问题. 出示课件18，学生讨论后解答，教师给出答案. （三）课堂练习（出示课件20-26） 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠ABD=_____， ∠BDC=_____，图中的等腰三角形有____________________________. 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____. 6.如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. 7. （A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C． （B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C， 求证：AD=CD． 8.在△ABC中，AB=AC，小红一不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ 参考答案： 1.A 2.C 3.D 4.36° 72° △ABC、△DBA、△BCD 5.9 6.解：∵∠NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°– 40°= 40°. ∴ ∠C = ∠A.∴ AB=BC(等角对等边). ∵AB=20×(12–10)=40(海里), ∴BC=40海里. 答：B处距离灯塔C为40海里. 7.证明：（A类）连接AC， ∵AB=BC，AD=CD， ∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA. ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠ BAD=∠BCD. （B类）连接AC， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA. 又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD． 8. 3种“补出”方法： 方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A． 方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A． 方法3：对折． （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). （五）课前预习 预习下节课（15.3.2）教材第82页的相关内容。 知道等边三角形的性质与判定 七、课后作业 1、教材81页练习第3题，教材第84-85页习题15.3第2，4，9题. 2、如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形. 八、板书设计： 九、教学反思： 本节是等腰三角形的判定,在探索等腰三角形的判定定理时,首先要求学生写出已知和求证,独立思考后再在小组内讨论,最后与课本规范的证明过程对比.这种学生自主学习的形式代替老师的讲解,能使学生的印象更加深刻. 在教学过程中，采取分小组合作探究学习的方式，强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想.注意引导学生对解题思路和方法进行总结，切实提高学生分析问题、解决问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $