15.3.1 等腰三角形（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步教案（人教版2024）

第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 掌握等腰三角形的性质,会运用性质进行证明和计算. 【过程与方法】 经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力. 【情感、态度与价值观】 通过同学间的合作与交流,体会在解决问题过程中与他人合作的益处,数学知识在生活中的用途. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共2课时。 四、教学重难点 【教学重点】 理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题. 【教学难点】 等腰三角形性质的探索和应用. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等。 学生：三角尺、直尺。 六、教学过程 （一）导入新课 下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？（出示课件2） 我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形。 （二）探索新知 1.师生互动，探究等腰三角形的性质 教师问1：如图,在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开.找出其中重合的线段和角.（出示课件4） 将找出的重合的线段和角填入下表（出示课件5） 重合的线段 重合的角 学生观察讨论后完成下表 教师问2：观察上表，由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想. 学生猜想1：等腰三角形的两个底角相等. （出示课件6） 教师问3：如何证明我们的猜想是否正确呢？ 师生共同解答如下： 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=∠C. 教师问4：如何证明两个角相等呢？ 学生讨论后回答：可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证. 教师问5：这里只有一个三角形，全等三角形需要两个三角形. 如何构造两个全等的三角形？ 师生共同讨论后解答如下：（出示课件7） 方法一：作底边上的中线. 证明：作底边的中线AD，则BD=CD. 在△ABD和△ACD中 AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △ABD≌ △ACD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 教师问6：还有其他的证法吗？ 师生讨论后得到如下答案：（出示课件8） 方法二：作顶角的平分线 证明：作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中 AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △ABD ≌ △ACD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 教师问7：由△ABD≌ △ACD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？（出示课件9） 学生小组内讨论后得到如下答案： 解：∵△ABD≌ △ACD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高. 教师总结点拨：（出示课件10） 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(三线合一）. （出示课件11） 数学语言：如图, 在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一） 教师问8：画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？（出示课件12） 学生作图如下： 学生作图并且比较后回答：不重合，不具有三线合一的性质. 出示课件13，学生独立思考后解答，教师给出答案. 例1：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.（出示课件14） 师生共同分析如下： 分析：（1）找出图中所有相等的角；∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC； （2）指出图中有几个等腰三角形？ △ABC,△ABD, △BCD. （3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？（出示课件15） ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °. 师生共同解答如下：（出示课件16） 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° . 解得x=36 ° . ∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 教师总结点拨：（出示课件17） 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 出示课件18，学生独立思考后解答，教师给出答案. 例2：等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)（出示课件19） A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 解析：当等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（180°-50°）÷2=130°÷2=65°； 当等腰三角形的一个底角是50°，则这个三角形的顶角的大小是180°-50°×2=80°，所以底角是65°或50°，故选A. 总结点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 出示课件20，学生独立思考后解答，教师给出答案. 例3：已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.（出示课件21） (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 图② 图① 师生共同解答如下：（出示课件22） 证明：(1)如图，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG. ∴BG–DG＝CG–EG. ∴BD＝CE. (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF. ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 教师总结点拨：（出示课件23） 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其底边上的中线、底边上的高、顶角平分线是常见的辅助线． 出示课件24-25，由学生讨论后解答，教师给出答案. （三）课堂练习（出示课件27-32） 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ 　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° 3. (1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为__________________； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为___________________. 4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________． 5. 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数. 6. 如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. 7. A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置． 参考答案： 1.B 2.A 3.(1) 45°, 90° (2) 72°,72°或36°,108° （3）30°，30° 4. 70°或20° 提示：分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论. 5. 解：∵AB=AC， ∴ ∠C= ∠B=30°. ∵BD = CD，∴AD⊥BC. ∴∠ADB=∠ADC = 90°. ∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°. 6. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD、CE为底角的平分线， ∴ ∴∠DBC＝∠ECB. ∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F. ∴EC∥DF. 7.解：如下图： 分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！共8个. （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: 1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 2.等腰三角形的底边上的中线、高及顶角平分线相互重合(三线合一) （五）课前预习 预习下节课（15.3.1）教材80页到81页的相关内容。 知道等腰三角形的判定定理 七、课后作业 1、教材80页练习第2，3题，教材第84-86页习题15.3第1，3，6，8，13，14题 2、如图所示,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2的关系是(　　) A.∠1=2∠2 B.∠1+∠2=180° C.∠1+3∠2=180° D.3∠1-∠2=180° 八、板书设计： 九、教学反思： 1.本节课讲的是等腰三角形的性质,设计上让学生从动手实验入手,发现、猜想、证明、探究等腰三角形的性质,并逐步懂得联系生活实际.个别同学会对等边对等角以及“三线合一”的性质理解不透,应用的不是很熟练,仍然忽略两种情况的存在,还需要多尝试练习. 2.本节课通过学生动手实践，观察分析，猜想证明，完成了从感性认识到理性认识的知识发生、发展的认知过程.使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，最后，学生动手运用所学知识解决问题，真正实现学生为主体的教学理念. 学科网（北京）股份有限公司 $