15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步教案（人教版2024）

该初中数学教学设计聚焦“线段的垂直平分线”核心内容，涵盖性质定理、判定定理及互逆命题概念。通过“藏宝公平位置”“医院选址”等生活问题导入，搭建从现实情境到数学抽象的学习支架，衔接轴对称知识，引出探究主题。 此资料以问题驱动探究，性质与判定定理均经“猜想-证明-应用”过程，发展推理意识，规范符号语言培养表达能力。练习层次分明，结合实例巩固知识，助力学生用数学思维解决问题，提升教师教学效率与学生核心素养。

第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.理解线段垂直平分线的性质和判定． 2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用. 3.了解互逆命题、互逆定理的概念. 【过程与方法】 经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力. 【情感、态度与价值观】 在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共2课时。 四、教学重难点 【教学重点】 线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用；了解互逆命题、互逆定理的概念. 【教学难点】 线段的垂直平分线判定定理的证明；会写一个命题的逆命题并判断是否成立. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等。 学生：三角尺、直尺。 六、教学过程 （一）导入新课 1.甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?（出示课件2） 2.在某路段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？（出示课件3） （二）探索新知 1.探究线段垂直平分线的性质定理 教师问1：如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3 ……到点A 与点B 的距离之间的数量关系.（出示课件5） 先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B及P3A与P3B的数量关系后回答：P1A=P1A，P2A=P2B，P3A=P3B. 教师问2：猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系？ 学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 教师问3：我们如何证明猜想是否正确呢？ 师生共同讨论如下：（出示课件6） 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上. 求证：PA＝PB. 师生共同解答如下：（出示课件7） 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 又AC =CB，PC =PC， ∴△PCA ≌△PCB（SAS）． ∴PA =PB． 证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言(即解题时的书写步骤)：∵ CA =CB，l⊥AB，∴PA=PB，并强调学生注意. 教师总结如下：（出示课件8） 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 出示课件9，教师引导学生，利用线段垂直平分线的性质解题. 出示课件10，由学生讨论，并解答，教师给出答案。 2. 探究线段垂直平分线的判定定理 教师问4：把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？（出示课件11） 学生讨论后回答：成立.点P在线段AB的垂直平分线上. 教师问5：如何证明我们的猜想是否正确呢？ 师生共同讨论后总结如下： 已知：如图，PA＝PB. 求证：P点在线段AB的垂直平分线上. 师生共同解答如下：（出示课件12） 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵PA =PB，PC =PC， ∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴AC =BC． 又PC⊥AB， ∴点P在线段AB 的垂直平分线上． 教师总结点拨：（出示课件13） 用数学符号表示为： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． 文字语言：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 教师问6：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？（出示课件14） 学生讨论后回答：到线段AB 两端点的距离相等的点有无数个. 教师问7：这些点能组成什么几何图形？ 学生回答：这些点组成一条直线. 教师总结点拨： 在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合． 例：如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.(出示课件15） 师生共同解答如下： 证明：∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上. 又AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， 即A，O均在BC的垂直平分线上， ∴AO⊥BC. 出示课件16-17，由学生讨论，并解答，教师给出答案。 3.探究互逆命题与互逆定理的概念 教师问8：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？（出示课件18） 学生回答.教师总结： 这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两种命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 教师问9：你还学习过其他具有类似关系的命题吗？请举例. 师生活动：给学生一定的思考交流时间，鼓励学生会议以前学习的知识，列举复核类似关系的命题，并进行广泛交流，进一步体会互逆命题的特点. 教师讲解：（出示课件19） 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 出示课件20，由学生讨论，并解答，教师给出答案并总结。 （三）课堂练习（出示课件23-28） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm 2. 如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3．下列命题:①若a>b+1，则a>b;②若ab=0，则a=0或b=0;③若a=b，则|a|=|b|;④若a>b,则a2>b2.其逆命题是真命题的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 cm. 5. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 __________ 的垂直平分线上． 6. 如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？ 7. 如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD. 8. 如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长． 参考答案： 1.C 2.C 3.A 4.7.8 5.AC 解析：∵BC=BD+AD， 又∵BC=BD+DC， ∴AD=DC. ∴点D在线段AC的垂直平分线上. 6.答：△ABC 三边垂直平分线的交点上. 7. 证明：∵点E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于点D，EC⊥OA于点C， ∴ED＝EC. 在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE， ∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL） ∴OD＝OC. ∴O，E都在CD的垂直平分线上. ∴OE垂直平分CD. 8.解：∵DE垂直平分BC， ∴DB＝DC. ∵AC＋AD＋DC＝14 cm， ∴AC＋AD＋BD＝14 cm. 即AC＋AB＝14 cm. 设AB＝x cm，AC＝y cm. 根据题意，得 解得 ∴AB长为8 cm，AC长为6 cm. （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: 1.线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 用符号语言表示为： ∵PC垂直平分AB(CA＝CB，l⊥AB)，∴PA＝PB. 2. 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 用符号语言表示为： ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 3.互逆命题的概念： 题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题. （五）课前预习 预习下节课（15.1.2）教材67页到68页的相关内容。 了解垂直平分线的作法，知道如何作出轴对称图形的对称轴和轴对称的对称轴. 七、课后作业 1、教材69-71页习题15.1第4，5，6，8，13题. 2、如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在(　　) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三个角的角平分线的交点 C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点 八、板书设计： 九、教学反思： 这节课在设计过程中有几个特色： 1.每个探究活动都能至少针对一个教学目标，各探究衔接自然，前后呼应. 2.活动中用多媒体展示解答过程，既有利于提高学生解题的严密性，又能充分利用多媒体资源. 3.本节是线段的垂直平分线的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想的性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线. 学科网（北京）股份有限公司 $