13.3.2 三角形的外角-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步教案（人教版2024）

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.2 三角形的外角 一、教学目标 【知识与技能】 了解三角形的外角的两条性质,能利用三角形的外角性质解决问题. 【过程与方法】 经历观察、探索、交流等过程,增强表达能力和推理能力. 【情感、态度与价值观】 通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现,敢于实践及合作交流的习惯. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 1.了解三角形外角的概念及性质. 2.能利用三角形外角的性质解决简单问题. 【教学难点】 1.能够证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”. 2.了解“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的应用范围，并能解决简单问题. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等。 学生：三角尺、直尺。 六、教学过程 （一）导入新课 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？（出示课件3） （二）探索新知 1.创设情境，导入三角形的外角的概念 问题引入：发现老鼠独自在O处后，小猫打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住老鼠返回鼠窝的去路，小猫则直接在B处拦截老鼠，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.小猫从C处要转多少度角才能直达B处？（出示课件5） 教师问1：题目中“小猫从C处要转多少度角才能直达B处？”就是求那个角的度数？ 学生回答：从图上看出就是求∠BCD的度数. 教师问2：我们知道三角形的内角和是180°，利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 学生回答：由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 教师问3：像∠BCD这样的角有什么特征吗？（出示课件6） 学生回答：一条边是三角形的边，另一条边不是三角形的变. 教师问4：在问题中，像∠BCD这样的角被称为三角形的外角，根据∠BCD的构成，你能说明什么叫三角形的外角吗？ 学生讨论回答：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 教师总结如下：（出示课件7） 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. 教师问5：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ 学生回答：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 教师问6：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 学生回答：∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角. （出示课件8） 教师问7：根据定义，画出三角形的外角.你能画出多少个？ 学生回答：如图，可以画出6个外角. 教师问8：这几个角有什么关系？(位置关系和数量关系) 学生回答，教师补充说明如下：（出示课件9） 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 教师总结如下：（出示课件10） 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 2.手脑并用探索三角形外角的性质及外角和 教师问9：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°， 求∠BAC的度数及三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数. 学生回答：∠BAC＝75°，∠1＝105°，∠2＝115°，∠3＝140°. 教师问10：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ 学生回答：∠BCD与∠ACB互补. （出示课件12） 教师问11：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 学生回答：∠A+∠B=∠BCD. 教师问12：你是怎么得出结论的呢？ 学生回答如下：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 教师问13：观察你的结论，你能发现三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗？ 学生讨论回答，教师总结：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 教师问14：试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 学生回答： 已知：在△ABC中，∠1是三角形的一个外角. 求证：∠1＝∠A＋∠B. 证明：∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B. ∵∠1与∠ACB是邻补角， ∴∠1＋∠ACB＝180°. ∴∠1＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B. 教师问15：你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 学生讨论并回答：（出示课件14） 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：过C作CE平行于AB，∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等）∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. 教师总结如下：（出示课件15） 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角. ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 教师问16：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°，∠BAC=75° 则三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数之和是多少呢？ 学生计算并回答：∵∠BAC=75°，∴∠1=105°， 同理可得：∠2=115°，∠3=140°. ∴∠1+∠2+∠3=105°+115°+140°=360° 3.利用三角形外角的性质求角的度数（出示课件17） 例：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数。 师生共同解答如下： 解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60° ∴ ∠BFC=88°. 出示课件18，学生自行练习解答，教师给出答案。 4.借助辅助线求角的度数（出示课件19-20） 例：如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 共同分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． 解答如下： 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决. 出示课件21-26，教师带领学生一起解答，并给出答案。 教师问17：如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？（出示课件27） 学生回答： 解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3， ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. （出示课件28）解法二：如图，∠BAE+∠1=180 °， ① ∠CBF +∠2=180 °，② ∠ACD +∠3=180 °，③ 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °– 180°=360°. （出示课件29） 解法三：过A作AM平行于BC，∠3＝ ∠4，∠2＝ ∠BAM，∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360° 教师总结：三角形的外角和等于360°. 出示课件30-32，学生解答练习。 （三）课堂练习（出示课件33-38） 1. 判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　） A．24° B．59° C．60° D．69° 3. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 4. （1）如图，∠BDC是________的外角，也是________的外角； （2）若∠B=45 °，∠BAE=36 °，∠BCE=20 °，试求∠AEC的度数. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 6. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 参考答案： 1.（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×（6）√ 2.B 3.360° 4.（1）△ADC △ADE （2）解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE， ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 5. 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°． 6. 解：∵∠1是△FBE的外角，∴∠1=∠B+ ∠E，同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中， ∠C+∠1+∠2=180º， ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: (1)三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系,在应用三角形外角的性质及内角和定理时,一定要注意外角与和它相邻的内角是互补关系. (2)三角形的外角性质的应用:可以用来计算角的大小,也可以用来判断相关角的不等关系. (3)三角形的外角和是360°. （五）课前预习 预习下节课（14.1）的相关内容。 1.知道全等形、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角等概念 2.了解全等三角形的性质 七、课后作业 1、教材第16页练习和教材17页第11题 2、已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗? 八、板书设计： 九、教学反思： 本节主要介绍三角形的外角及其性质，是一节探究课. 本节的知识是要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，教师放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力. 在教学设计上，利用变式训练让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要，在获得数学活动经验的同时，提高学生探究、发现和创新的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $