13.3.1 三角形的内角（第2课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步教案（人教版2024）

第十三章 三角形 13.3 与三角形有关的角 13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的性质和判定 一、教学目标 【知识与技能】 掌握直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 【过程与方法】 会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。 【情感态度与价值观】 让学生体会从一般到特殊的思想。 二、课型 新授课 三、课时 第2课时，共2课时。 四、教学重难点 【教学重点】 探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。 【教学难点】 经历直角三角形性质的探索过程，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题，会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。 五、课前准备 教师：课件、三角尺、量角器等。 学生：三角尺、直尺、量角器。 六、教学过程 （一）导入新课 本节课开始之前，先给大家讲一个故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？ 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.（出示课件2） （二）探索新知 1.探索直角三角形的性质 教师问1：三角形的内角和是多少度？ 学生回答：三角形内角和为180°. 教师问2：我们学习过的三角形按角分类，分为哪些呢？ 学生回答：所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么吗？出示直角三角形的图形： 学生回答：直角三角形. 教师讲解：那么老师说它不一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来 教师问3：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度? （出示课件4） 学生回答：30°+60°=90°，45°+45°=90°. 教师让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，等同学们画完以后，让同位互换所画的三角形. 教师问4：请同学们量出自己手中的直角三角形的两个锐角，计算一下它们的和是多少度？ 学生回答：两个锐角的和是90°. 教师问5：如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？如何证明呢？（出示课件5） 学生回答：在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得 ∠A +∠B+∠C=180°， 即 ∠A +∠B=90°. 教师问6：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 学生回答：直角三角形的两个锐角互余. 教师总结：（出示课件6） 直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余． 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 探究1：利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数 例1：（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？（出示课件7） 图 师生共同解答如下: 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D. （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.（出示课件8） 师生共同解答如下：图 解：∠A=∠C. 理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. 出示课件9，学生自主练习解答。 例2：如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？（出示课件10） 师生共同解答如下： 解：在Rt△ACE中，∠CAE=90 °– ∠AEC. 在Rt△BDE中，∠DBE=90 °– ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 总结点拨：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？（出示课件12） 基本图形： ∠A=∠D ∠A=∠C 2.活动探究直角三角形的判定方法 教师问7：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 学生讨论后回答：有两个角互余的三角形是直角三角形. 教师问8：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？（出示课件13） 学生小组讨论给出证明如下： 在△ABC中， 因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又 ∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 即△ABC是直角三角形. 教师总结：（出示课件14） 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 应用格式： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 探究2：利用直角三角形的判定定理识别直角三角形 例：如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？（出示课件15） 师生共同解答如下： 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2， ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 例：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？（出示课件17） 师生共同解答如下： 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. （三）课堂练习（出示课件20-23） 1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________. 2. 如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 若∠BOD=38°，则∠A=________. 3. 在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________. 4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ 　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A–∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C 6. 如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 7. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形． 参考答案： 1. 90° 2. 52° 3. 直角三角形 4.B 5.D 6.C 7. 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形. （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: 1．直角三角形的内角有什么关系？ 答：直角三角形的两锐角互余． 2．目前已学的直角三角形的判定方法： 答：(1)有一个角是直角；(2)两边互相垂直；(3)有两个角互余． （五）课前预习 预习下节课（13.3.2）的相关内容。 知道三角形外角的定义和三角形外角的性质及外角和的度数 七、课后作业 1、教材14页练习和教材16页第4题 2、如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状． 八、板书设计： 13.3.1三角形的内角（第2课时） 直角三角形的两个锐角互余． 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC 例1： 例2： 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 应用格式： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 例3： 例4： 九、教学反思： 老师根据本节课同学们的课堂表现，积极反思教学过程，对这样的教学方法做出改进。了解同学们的自主学习、探索能力，为以后教学提供经验。 学科网（北京）股份有限公司 $