13.3.1 三角形的内角（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步教案（人教版2024）

该初中数学教学设计聚焦三角形内角和180°这一核心知识点，通过三类三角形争论内角和的趣味导入，衔接小学直观认知，以剪拼实验为起点，逐步引导学生通过辅助线构建逻辑证明，搭建从直观到严谨推理的学习支架。 资料特色在于强化推理能力与转化思想，引导学生从剪拼猜想出发，通过作平行线等多种辅助线方法证明定理，培养几何直观与抽象能力，应用环节结合方程思想解决角度计算、方位问题等实际情境，渗透模型意识，助力学生提升逻辑思维，便于教师开展探究式教学。

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 一、教学目标 【知识与技能】 应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题. 【过程与方法】 通过小组学习,经历得出三角形内角和等于180°的过程,进一步提高学生利用所学知识解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 经历猜想、归纳、证明等过程,学会研究问题的方法. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共2课时。 四、教学重难点 【教学重点】 1.了解三角形的内角和等于180°. 2.利用三角形的内角和等于180°解答简单的数学问题. 【教学难点】 1.利用所学知识证明三角形内角和等于180°. 2.认识辅助线，了解辅助线的作法及作用. 3.独立完成证明过程. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、量角器、三角形纸等。 学生：三角尺、量角器、三角形纸、剪刀。 六、教学过程 （一）导入新课 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.（出示课件2）我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 我的形状最小，那我的内角和最小. （二）探索新知 探究1.三角形的内角和 教师问1：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C等于多少度？ 学生回答：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 教师问2：这个结论你是如何得出的？ 学生回答1：可以利用拼接的方法，如下图：（出示课件4） 学生回答2：将三角形的每个内角剪下，拼成一个平角，或者用量角器进行测量.（出示课件5-6） 计算如下：600＋480＋720＝1800 教师问3：利用这些方法得出的结论准确吗？学生回答：不准确(或准确). 教师讲解：如何得到准确的答案呢？我们一起进入下面的环节： 2.思考证明三角形的内角和定理 师生互动，探究新知 1.观察三角形的构成，探索三角形的概念 教师问4：如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°？ 学生回答：将△ABC的三个内角分别剪下，再拼成一个平角.如图①、图②，（出示课件7） 图①　　　　图② 教师问5：测量的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 学生回答：如果图上虚线l存在就好了。 学生问：在图①、图②中，直线l是存在吗？ 教师答：它们不存在，我们可以画上它们，帮助我们做题. 教师问6：看一下，在图①、图②中，直线l有什么特点呢？ 学生回答：图①中的直线l∥BC，图②中的直线l∥AB，我们自己画上帮助证明用的. 教师问7：这种原图形中不存在，我们为了解题需要而自己加上的线被称之为辅助线.利用图①，你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？ 学生回答：利用平行的性质和平角的定义可以证明. 教师问8：证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180°”. 学生回答：（出示课件8） 已知：△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明1：如图，过点A作直线l，使l∥BC. ∵l∥BC，∴∠1＝∠B(两直线平行，内错角相等). 同理，∠2＝∠C. ∵∠1，∠BAC，∠2组成平角， ∴∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角定义). ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)， 即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°. 证明2：（出示课件9） 延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 教师问9:同学们还有其他的方法吗？ 学生回答：有如下证明的方法： （出示课件10）证明3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 学生问：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 教师答：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 还有下边的辅助线，同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.（出示课件12） 总结点拨：（出示课件13） 1.作辅助线 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 2. 思路总结 为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 探究2.利用三角形的内角和定力求角的度数 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. （出示课件14） 师生共同解答如下： 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°–∠B –∠BAD =180°–75°–20° =85°. 出示课件15-17，完成练习 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D. （出示课件18） 师生共同解答如下： 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°. 出示课件19，完成练习 总结点拨：（出示课件20） 基本图形： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 基本图形： 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 探究3.方程的思想与三角形内角和定理的综合应用 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 师生共同解答如下：（出示课件21） 解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解. 出示课件22-24，学生自己思考解答 探究4.利用三角形的内角和定理解决实际问题（方位问题） 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？（出示课件25） 师生共同解答如下：（出示课件26） 解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°. 由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°， ∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB =180°–60°–30° =90°， 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. （三）课堂练习（出示课件30-34） 1.求出下列各图中的x值． 2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=________． 3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . 4. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 5. 如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数. 6. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 参考答案： 1. x=70 x=60 x=30 x=50 2. 100° 3. 280 ° 4. 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C） =180°–（78°+60°） =42°． 5. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°. 6. 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°–60°=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°–（∠ABC+∠ACB） =180°–（180°–∠A） =90°+∠A ． （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: 1.本节主要学习三角形内角和等于180°. 2.本节涉及的思想方法是整体思想. 3.师生共同总结本节课需要注意的问题. （五）课前预习 预习下节课（13.3.2）教材P13-P14的相关内容。 知道直角三角形的性质定理和判定定理 七、课后作业 1、教材13页练习1，2 2、在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 八、板书设计： 九、教学反思： 本节主要证明三角形内角和等于180°，是一节探讨课. 本节的部分知识内容学生早在小学就已经学过了，而本节课是要对以前所学内容进行有理有据的推论，所以在教学过程中，教师不仅要引导学生发现以前所得结论的不严谨，还要让学生能够从已有的知识出发，对已知结论进行论证.在解决问题时，教师要留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，让学生能够经历得出结论的过程，培养学生的逻辑思维能力. 在教学设计上，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯.本节的证明较多，所以教师要让学生养成先理清思路，再下笔证明的习惯. 学科网（北京）股份有限公司 $