专题02 整式的乘除（必备知识+17题型+分层检测）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材沪教版

专题02 整式的乘除（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法、乘方、积的乘方 能利用公式熟练计算 一般会在选择题做综合考查，填选题考查逆运用较多 整式的乘法 能利用公式熟练计算 整式乘单项式较多，符号问题，与乘法公式结合考查是易错点 乘法公式 能理解熟记平方差公式和完全平方公式，且利用公式解决图形问题 完全平方公式是考试重点，尤其是常用二级结论，图形问题一般求证平方差公式和完全平方公式 整式的除法 会运算同底数幂的除法、单项式除以单项式和整式除以单项式 一般计算题考查，注意符号、同底数、幂，整体思想和综合考查是易错点 知识点01 同底数幂的乘法 1.乘方概念的引入 1.一般地，将个相乘的运算叫作乘方，记作，乘方的结果叫作幂.在中，叫作底数，正整数叫作指数.读作“的次方”，当被看作是的次方的结果时，也读作“的次幂”. 2.同底数幂的乘法 ★1.同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， . ★2.语言叙述 同底数幂相乘，底数不变,指数相加 同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用 单个字母或数字可以看成是指数为1的幂. 底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式.例如： 注意：在进行同底数幂的运算时，不能忽略了指数为1的幂. 3.同底数幂的乘法的推广和逆用 （1） 推广：（都是正整数）； （都是正整数）. （2）逆用：（都是正整数）. 知识点02 幂的乘方 1.幂的乘方 ★1. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如是n个相乘，读作的次幂的次方.幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算. ★2. 乘方法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， ★3. 语言叙述 幂的乘方，底数不变,指数相乘 2.幂的乘方的逆用 ★1.幂的乘方法则可推广为 ★2.幂的乘方法则的逆用: 知识点03 积的乘方 1.积的乘方 ★1. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如,等. (积的乘方的意义) (乘法交换律、结合律) 积的乘方等于乘方的积，即（是正整数）. ★2. 积的乘方法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， ★3. 语言叙述 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即乘方的积. 2.积的乘方运算 积的乘方，等于乘方的积，即（是正整数）.一般地，（是正整数）. 3.积的乘方的逆用 ★1. 积的乘方法则可推广:三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，例如 ★2. 幂的乘方法则的逆用: 知识点04 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘 ★1.法则 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ★2.单项式与单项式相乘的注意事项 (1)应先确定积的符号再计算积的绝对值 (2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变,指数相加”进行计算 (3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏 2.单项式与整式相乘 ★1.法则 一般地，单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ★2.式子表示 特别提醒 (1) 单项式与多项式相乘,结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项 (2) 计算时要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号 (3) 对于混合运算,应注意运算顺序,有同类项必须合并同类项,从而得到最简结果 3.整式与整式相乘 ★1. 法则 一般地，多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. ★2. 式子表示 ★3. 运算顺序 例如,可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘,得,再用单项式与多项式相乘的法则展开即 知识点05 乘法公式 1.平方差公式 ★1. 平方差公式的推导 ★2. 平方差公式 （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. ★3. 平方差公式的特征 （1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数. （2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）. 归纳:平方差公式的应用一般有下面几种变形: （1）位置变化: （2）符号变化: （3）系数变化: （4）指数变化: （5）增项变化: （6）增因式变化: （7）连用公式变化: 2.平方差公式的几何意义 一般地，若在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为 剩余部分拼成一个长方形,这个长方形的长为(a+b）,宽为(ab),面积为(a+b)(a-b)计算化简得出左右两图剩余面积面积相等，因此，可以用拼图的方法验证平方差公式: 3.完全平方公式 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，即 注意：的符号取决于左边二项式中两项的符号. （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. 公式的特征 （1）两个公式的左边都是一个二项式的平方的形式，二者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同; （3）公式中的可以是数，也可以是单项式或多项式. 归纳: 完全平方公式的应用一般有下面几种变形: 4.完全平方公式的几何意义 一般地，可以通过从不同角度求几何图形的面积来验证完全平方公式 （1）验证 如图所示，一方面大正方形的面积为(a+b),另一方面大正方形的面积可看成四个部分的面积之和，则： （2）验证，同理，易得： 知识点06 整式的除法 1.同底数幂的除法 （1）同底数幂的除法性质 同底数幂相除，底数不变,指数相减 （2）同底数幂的除法运算法则的推导 推导1： 一般地，设， 推导2： 因为除法是乘法的逆运算，由,可以得到同底数幂的除法运算法则 （3）零指数幂 如果把公式(，推广到的情形,那么有.又,所以规定,即任何不等于零的数的零次幂为1 （4）幂的运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除: 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的 2.单项式除以单项式 （1）法则 两个单项式相除,把系数同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 提示 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为系数与系数相除，同底数幂分别相除 （2）一般运算步骤 (1)系数:先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数[注意系数的符号] (2)同底数幂：同底数幂相除，利用同底数幂的除法运算性质进行正确计算，所得的商作为商的一个因式 (3)只在被除式里含有的字母:只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏 3.整式除以单项式 （1）法则 多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加 式子表示： （2）实质 把“多项式除以单项式”转化为“单项除以单项式 注意： (1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号,还要注意各个运算结果的符号,不要将符号弄错; (2)多项式除以单项式要逐项相除，不要漏项，所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为 1的项不能漏掉. 题型一、同底数幂相乘 例1.（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足 ，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法解题的关键是掌握以上运算法则． 根据，，列出等式即可解答． 【详解】解：， ， ∵，、均为正整数， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方运算的逆用．根据同底数幂的乘法及幂的乘方运算的逆用，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：，，则 ． 【答案】128 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆用法则解答即可，也是解题关键． 【分析】解：∵，， ∴ ． 故答案为：128． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型二、幂的乘方运算 例2.（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果，那么的值是（  ） A．负数 B．正数 C．当为奇数时，是负数 D．当为偶数时，是负数 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的性质和幂的正负的判断，因为，，所以当为奇数时，，当为偶数时，，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴当为奇数时，， 当为偶数时，， 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方，根据积的乘方，幂的乘方进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则把A、B、D三个选项中的数化为指数为10的数即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期中）比较大小： （填“”或“”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，解题关键是正确运用公式进行变形． 先利用幂的乘方运算的逆运算对两个式子进行变形，再进行比较． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式2-4】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，加减消元法法解二元一次方程，掌握幂的运算方法，加减消元法是解题的关键． 根据幂的运算可得，可得关于的二元一次方程组，运用代入法求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∴，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 题型三、积的乘方运算 例3.、为正整数，如果成立，那么（   ） A．必为奇数 B．必为奇数 C．、必同为奇数 D．、必同为偶数 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴必为奇数， 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了积的乘方、单项式乘法等知识点，掌握积的乘方运算法则成为解题的关键． 先算积的乘方，然后按照单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，积的乘方运算的逆运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【变式3-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型四、计算单项式乘单项式或多项式 例4.（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式法则以及积的乘方法则分别计算式子中的两部分，再将结果相减．本题主要考查了整式的混合运算，涉及单项式乘单项式、积的乘方运算．熟练掌握单项式乘单项式法则（系数相乘，同底数幂相乘）以及积的乘方法则（先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，先计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方．利用单项式乘多项式，积的乘方计算，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 题型五、计算多项式乘多项式 例5.（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，按多项式乘以多项式展开，再进行加减运算，即可求解；掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知整式分解因式得，则的值分别（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键． 利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期中）由整式与整式相乘的法则可知：即：，我们把这个等式叫做整式乘法的立方和公式．下列对这个立方和公式应用不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式．根据立方公式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，因此本选项符合题意； B、，因此本选项不符合题意； C、，因此本选项不符合题意； D、，因此本选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）已知关于的整式与的乘积为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式． 根据多项式乘多项式求出、的值后即可得解． 【详解】解：依题得：， ， ， ， ． 故答案为：． 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例6.已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的一次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵该代数式的积中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知整式中无x的一次项，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果合并同类项，根据整式中无x的一次项建立方程，即可求解．解题的关键是明确不含的一次项，则一次项的系数为． 【详解】解： ， ∵整式中无x的一次项， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海·期中）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．首先根据多项式乘多项式的法则进行计算可得，合并同类项可得，根据积中不出现一次项，且二次项系数为，可得方程组，两个方程相减可得结果 ． 【详解】解： ， 积中不出现一次项，且二次项系数为， ， 得：． 故答案为： ． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期中）将关于x的两个整式与相乘，积中不出现一次项， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法中不含某项的问题，根据多项式乘法法则，乘完后，合并同类项，令x的系数为零即可． 【详解】解： ∵积中不出现一次项， ∴ 解得： 故答案为：． 题型七、整式的化简求值 例7.若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 【答案】， 【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型八、多项式乘多项式与图形面积 例8.（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，先用、的代数式表示长、宽，再根据阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图， 由图形得：，， ． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积； （1）根据大长方形面积=各部分面积的和，解答即可； （2）根据大长方形的面积=各部分面积的和，解答即可； （3）根据题意画出边长为的正方形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：如图所示， 根据图形可得： 【变式8-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， ． 题型九、整式乘法中的规律性问题 例9.（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法规律探究，由“杨辉三角”得到： (n为非负整数)展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数． ； ； ； ； 根据上述规律， ． 【答案】 【分析】本题考查的是有关探究规律的题目．根据“杨辉三角”的特点可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和；依据规律可得的各项系数依次为、、、、，据此即可完成本题． 【详解】解：根据题意可知图中第五行的数字依次为，，，，， 由此可得的各项展开式的系数除首尾两项外都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， 依规律可得的各项系数依次为：、、、、， 因为它的每一行的数字正好对应了为非负整数)的展开式中按次数从大到小排列的项的系数， 所以． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海浦东新区·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式及其拓展，正确理解题意、找出规律是解题的关键．根据题目给出的规律可得出的展开式，然后令式中即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：； 令上式中，得： ． 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1)验证过程见解析部分 (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． （1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 题型十、整式乘法混合运算 例10.（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，，，则 ． 【答案】 【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式10-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型十一、平方差公式 例11.（24-25七年级上·上海·期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的特征是解题的关键．平方差公式为，需满足两括号中有一项相同，另一项互为相反数，根据这个特征一一判断即可． 【详解】解：A、，满足a相同，与相反，可用平方差公式，结果为； B、可调整为满足y相同，与相反，可用平方差公式，结果为； C、可调整为满足相同，与相反，可用平方差公式，结果为； D、可调整为，两括号为同一二项式的相反数，结果为完全平方的负数，无法用平方差公式． 故选：D． 【变式11-1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【变式11-2】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用两种方法表示出图形的面积即可． 【详解】解：第一个图形的面积是， 第二个图形的大平行四边形的面积为， ． 故选：C． 【变式11-3】（24-25七年级上·上海·期中）有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与图形面积、多项式乘多项式与图形面积，解题关键是从图中提取出正确信息． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，求出后可得、，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题得：， 得， 即， ， ，， ， ． 即正方形、的面积之和是． 故答案为：． 【变式11-4】（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 故答案为：． 题型十二、完全平方公式 例12.（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、乘法公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、乘法公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，，所以，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式12-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算 【答案】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用；本题先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式12-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）已知，，那么的值是 ． 【答案】21 【分析】本题考查完全平方公式，将式子变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：21． 【变式12-3】（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则代数式的值为 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据题意得出，求得，将化简为，再整体代入，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式12-4】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知，，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据，结合，，进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 【变式12-5】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，则 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，此时不满足题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-6】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，代数恒等式与图形的面积，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的几何背景． （1）利用面积相等求解即可； （2）利用（1）的结论，得到方程，求出t的值，再由，求符合条件的t的值即可． 【详解】（1）解：∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c， ∴面积分别为， ∵边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个， ∴面积分别为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， ∴． 题型十三、求完全平方式中的字母系数 例13.（24-25七年级上·上海浦东新区·期中）将整式加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构进行解答即可求解． 【详解】解：或， 加上的单项式可以是：或， 选项D错误， 故选：D． 【变式13-1】（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故答案为：． 【变式13-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：由， ∴，解得或， 故答案为：1或 【变式13-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项为，则一次项为，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的整式是某个关于的整式的平方，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 题型十四、整式乘法和乘法公式的混合运算 例14.（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解： ． 【变式14-1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，先把原式变形为，然后根据平方差计算后，再根据完全平方公式计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式14-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及多项式乘多项式，完全平方公式及平方差公式等知识，正确计算是解题的关键；先用平方差公式、多项式乘多项式展开，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型十五、同底数幂的除法运算 例15.（24-25七年级上·上海·期中）计算： （用幂的形式表示结果）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 首先统一底数，然后根据同底数幂的除法法则，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式15-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，掌握计算公式是解题的关键． 先根据幂的乘方运算将化为，再根据同底数幂的乘除法化简计算，最后代入求值． 【详解】解：， 故答案为：8． 【变式15-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 利用同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算将原式变形，然后将已知的式子代入求解即可． 【详解】解：， ． 故选D． 【变式15-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，熟练掌握同底数幂除法运算法则，是解题的关键．根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【变式15-4】（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，涉及幂的乘方的逆用和同底数幂的除法的逆用，运用相关公式的计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型十六、计算单项式除以单项式 例16.（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的除法． 直接根据单项式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式16-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 【变式16-2】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简．先根据多项式除单项式和单项式除单项式法则算除法，再合并同类项，化简后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型十七、整式除以单项式 例17.（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则． 根据多项式除以单项式运算法则即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式17-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式17-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键． 根据多项式除以单项式法则可直接进行求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式17-3】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式运算，根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用幂的乘法，积的乘方计算即可． 本题考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，左边一幅图剩下的图形面积等于边长为的正方形面积剪去一个边长为的正方形面积，右边一幅图的面积为一个长为，宽为的长方形面积，再根据左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等即可得到结论． 【详解】解：左边一幅图剩下的图形面积为， 右边一幅图的面积为， ∵左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）已知（都是正整数），用含的式子表示 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方、同底数幂的乘法,运用逆用幂的乘方、同底数幂的乘法进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和积的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法法则，积的乘方的法则，是解决问题的关键． 逆用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为8，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故答案为：4． 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据积的乘方、幂的乘方将原式化简，然后进行单项式的乘除运算，最后合并同类项即可．解题的关键是掌握：单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式；单项式除以单项式运算法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据积的乘方将原式化简，然后根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则进行运算，最后合并同类项即可．解题的关键是掌握单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·上海宝山·期中）代数式可以化为，则的值是 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法，即可完成．根据配方法化，即可得到a、b的值，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：28． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，计算，令三次项系数为1，一次项系数为零即可求解； 【详解】解： ∵不出现一次项，且三次项系数为1， ∴， 解得： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．先根据多项式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选C． 2．（24-25七年级上·上海·期中）将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第个图形共有圆点 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，单项式乘以多项式，观察可知每个图形的最外圈有4个小圆点，中间的小圆点数是序号乘以序号加1，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形有个圆点， 第2个图形有个圆点， 第3个图形有个圆点， 第4个图形有个圆点， ……， 以此类推，可知第个图形共有圆点：个， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是 ．（用含有a、b和的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，阴影部分的面积等于一个扇形面积加上的面积加上正方形的面积再减去的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解方程组得，． 故选：B． 5．（24-25七年级上·上海·期中）如图，已知线段，点是线段上一点，分别以、为边作两个正方形． (1)如果，求两个正方形的面积之和； (2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和； (3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】此题主要考查列代数式，整式乘法的运算，完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运用． （1）由，则，然后根据代入求解即可； （2）首先求出，然后根据正方形的面积公式求解即可； （3）首先得到，然后计算，进而得到． 【详解】（1）解：∵，则 ∴； （2）解：当点P是的中点时，， ∴； （3）解：当点P不是的中点时，得， ∴ ∵ ∴ ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法、乘方、积的乘方 能利用公式熟练计算 一般会在选择题做综合考查，填选题考查逆运用较多 整式的乘法 能利用公式熟练计算 整式乘单项式较多，符号问题，与乘法公式结合考查是易错点 乘法公式 能理解熟记平方差公式和完全平方公式，且利用公式解决图形问题 完全平方公式是考试重点，尤其是常用二级结论，图形问题一般求证平方差公式和完全平方公式 整式的除法 会运算同底数幂的除法、单项式除以单项式和整式除以单项式 一般计算题考查，注意符号、同底数、幂，整体思想和综合考查是易错点 知识点01 同底数幂的乘法 1.乘方概念的引入 1.一般地，将个相乘的运算叫作乘方，记作，乘方的结果叫作幂.在中，叫作底数，正整数叫作指数.读作“的次方”，当被看作是的次方的结果时，也读作“的次幂”. 2.同底数幂的乘法 ★1.同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， . ★2.语言叙述 同底数幂相乘，底数不变,指数______________ 同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用 单个字母或数字可以看成是指数为1的幂. 底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式.例如： 注意：在进行同底数幂的运算时，不能忽略了指数为1的幂. 3.同底数幂的乘法的推广和逆用 （1） 推广：（都是正整数）； （都是正整数）. （2）逆用：（都是正整数）. 知识点02 幂的乘方 1.幂的乘方 ★1. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如是n个相乘，读作的次幂的次方.幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算. ★2. 乘方法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， ★3. 语言叙述 幂的乘方，底数不变,指数______________ 2.幂的乘方的逆用 ★1.幂的乘方法则可推广为 ★2.幂的乘方法则的逆用: 知识点03 积的乘方 1.积的乘方 ★1. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如,等. (积的乘方的意义) (乘法交换律、结合律) 积的乘方等于乘方的积，即（是正整数）. ★2. 积的乘方法则 一般地，对于任意底数与任意正整数， ★3. 语言叙述 积的乘方，等于把积的______________分别______________,再把所得的幂相乘,即乘方的积. 2.积的乘方运算 积的乘方，等于乘方的积，即（是正整数）.一般地，（是正整数）. 3.积的乘方的逆用 ★1. 积的乘方法则可推广:三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，例如 ★2. 幂的乘方法则的逆用: 知识点04 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘 ★1.法则 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ★2.单项式与单项式相乘的注意事项 (1)应先确定积的符号再计算积的绝对值 (2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变,指数相加”进行计算 (3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏 2.单项式与整式相乘 ★1.法则 一般地，单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的______________，再把所得的积______________ ★2.式子表示 特别提醒 (1) 单项式与多项式相乘,结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项 (2) 计算时要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号 (3) 对于混合运算,应注意运算顺序,有同类项必须合并同类项,从而得到最简结果 3.整式与整式相乘 ★1. 法则 一般地，多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的______________,再把所得的积______________. ★2. 式子表示 ★3. 运算顺序 例如,可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘,得,再用单项式与多项式相乘的法则展开即 知识点05 乘法公式 1.平方差公式 ★1. 平方差公式的推导 ★2. 平方差公式 （1）文字语言:两个数的______________与这两个数的______________的乘积等于这两个数的______________. （2）符号语言:______________ 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. ★3. 平方差公式的特征 （1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数. （2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）. 归纳:平方差公式的应用一般有下面几种变形: 2.平方差公式的几何意义 一般地，若在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为 剩余部分拼成一个长方形,这个长方形的长为(a+b）,宽为(ab),面积为(a+b)(a-b)计算化简得出左右两图剩余面积面积相等，因此，可以用拼图的方法验证平方差公式: 3.完全平方公式 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，即__________________________________________ 注意：的符号取决于左边二项式中两项的符号. （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. 公式的特征 （1）两个公式的左边都是一个二项式的平方的形式，二者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同; （3）公式中的可以是数，也可以是单项式或多项式. 归纳: 完全平方公式的应用一般有下面几种变形: 4.完全平方公式的几何意义 一般地，可以通过从不同角度求几何图形的面积来验证完全平方公式 （1）验证 如图所示，一方面大正方形的面积为(a+b),另一方面大正方形的面积可看成四个部分的面积之和，则： （2）验证，同理，易得： 知识点06 整式的除法 1.同底数幂的除法 （1）同底数幂的除法性质 同底数幂相除，______________不变,指数______________ （2）同底数幂的除法运算法则的推导 推导1： 一般地，设， 推导2： 因为除法是乘法的逆运算，由,可以得到同底数幂的除法运算法则 （3）零指数幂 如果把公式(，推广到的情形,那么有.又,所以规定,即任何不等于零的数的零次幂为1 （4）幂的运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除: 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的 2.单项式除以单项式 （1）法则 两个单项式相除,把系数同底数幂分别______________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 提示 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为系数与系数相除，同底数幂分别相除 （2）一般运算步骤 (1)系数:先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数[注意系数的符号] (2)同底数幂：同底数幂相除，利用同底数幂的除法运算性质进行正确计算，所得的商作为商的一个因式 (3)只在被除式里含有的字母:只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏 3.整式除以单项式 （1）法则 整式除以单项式,先把多项式的______________除以单项式,再把所得的商______________ 式子表示： （2）实质 把“多项式除以单项式”转化为“单项除以单项式 注意： (1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号,还要注意各个运算结果的符号,不要将符号弄错; (2)多项式除以单项式要逐项相除，不要漏项，所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为 1的项不能漏掉. 题型一、同底数幂相乘 例1.（24-25七年级上·上海虹口·期中）若、均为正整数，且满足 ，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则 【变式1-3】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：，，则 ． 【变式1-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 题型二、幂的乘方运算 例2.（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果，那么的值是（  ） A．负数 B．正数 C．当为奇数时，是负数 D．当为偶数时，是负数 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期中）比较大小： （填“”或“”或“=”）． 【变式2-4】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，，则 ． 题型三、积的乘方运算 例3.、为正整数，如果成立，那么（   ） A．必为奇数 B．必为奇数 C．、必同为奇数 D．、必同为偶数 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 题型四、计算单项式乘单项式或多项式 例4.（24-25七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式4-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海·期中）化简： 题型五、计算多项式乘多项式 例5.（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知整式分解因式得，则的值分别（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期中）由整式与整式相乘的法则可知：即：，我们把这个等式叫做整式乘法的立方和公式．下列对这个立方和公式应用不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）已知关于的整式与的乘积为，那么 ． 题型六、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例6.已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知整式中无x的一次项，求 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海·期中）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期中）将关于x的两个整式与相乘，积中不出现一次项， ． 题型七、整式的化简求值 例7.若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式7-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 题型八、多项式乘多项式与图形面积 例8.（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 题型九、整式乘法中的规律性问题 例9.（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【变式9-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数． ； ； ； ； 根据上述规律， ． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海浦东新区·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： ．（结果用幂的形式表示） 【变式9-3】（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 题型十、整式乘法混合运算 例10.（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，，，则 ． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式10-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 题型十一、平方差公式 例11.（24-25七年级上·上海·期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【变式11-2】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25七年级上·上海·期中）有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是 ． 【变式11-4】（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 题型十二、完全平方公式 例12.（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算 【变式12-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）已知，，那么的值是 ． 【变式12-3】（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则代数式的值为 【变式12-4】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知，，则 ． 【变式12-5】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知，则 ． 【变式12-6】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 题型十三、求完全平方式中的字母系数 例13.（24-25七年级上·上海浦东新区·期中）将整式加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【变式13-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知是完全平方式，那么的值为 ． 【变式13-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则 ． 题型十四、整式乘法和乘法公式的混合运算 例14.（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【变式14-1】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【变式14-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 题型十五、同底数幂的除法运算 例15.（24-25七年级上·上海·期中）计算： （用幂的形式表示结果）． 【变式15-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【变式15-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，，则 ． 【变式15-4】（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为 ． 题型十六、计算单项式除以单项式 例16.（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【变式16-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 【变式16-2】（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 题型十七、整式除以单项式 例17.（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式17-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式17-2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式17-3】（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）已知（都是正整数），用含的式子表示 ． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 6． （24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 7． （24-25七年级上·上海·期中）计算： 8．（24-25七年级上·上海宝山·期中）代数式可以化为，则的值是 ． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（24-25七年级上·上海·期中）将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第个图形共有圆点 个． 3．（24-25七年级上·上海·期中）如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是 ．（用含有a、b和的代数式表示） 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 5．（24-25七年级上·上海·期中）如图，已知线段，点是线段上一点，分别以、为边作两个正方形． (1)如果，求两个正方形的面积之和； (2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和； (3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小． 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $