高二数学上学期期中模拟卷02（湘教版）（提高版）

2025-2026学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版2019选择性必修第一册第1~2章（数列＋平面解析几何初步） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点、在圆上，且的中点在圆上，则弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的有（    ）个 ①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； ②若数列为等差数列，则为等比数列； ③数列满足：，则 ④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是圆M：上的动点，则的最大值为（     ） A．5 B．25 C．7 D．49 4．已知分别是等差数列与的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知M为圆上一动点，过M作x轴的垂线交直线于N，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．直线过定点 C．的最小值是 D．的最大值是0 10．已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．直线与圆相离 C．圆与圆有三条公切线 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．在数列和中的前n项和则下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线（不考虑斜率不存在的情况）的斜率的取值范围是 . 13．已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，，且，，则的值为 ． 14．圆与圆的公切线长为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）．已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足． (1)证明：数列成等差数列． (2)求数列的前n项和． (3)若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 16（15分）．设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17（15分）．记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项的和． 18（17分）．已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 19（17分）．已知在数列中，，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D B B B B B 1．B 【分析】由弦长公式可得，由此可通过求的最大值，确定弦长的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为点、在圆上，的中点为， 所以，其中， 即， 因为圆的圆心为，半径，点在圆上， 所以，故， 所以当时，取最小值，最小值为， 故选：B. 2．B 【分析】根据特例判断A，由等比数列的定义判断B，根据特例判断C，根据等差数列的定义及求和公式判断D. 【详解】对于①：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，故不是等比数列，①错误； 对于②，设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故②正确； 对于③，依题意，，它不满足，③错误； 对于④，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和，④正确. 故选：B 3．D 【分析】可转化为点到圆心的距离加上圆的半径2，然后再把所得的值平方可得答案. 【详解】求的最大值可转化为 点到圆心的距离加上圆的半径2，然后再把所得的值平方， 所以最大值为. 故选：D.    4．B 【分析】利用等差数列的性质可得：，将所求的式子化简，再利用等差数列前项和即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以， 又因为分别是等差数列与的前项和，且， 所以, 故选：. 5．B 【分析】设，，表达出，，由正弦函数有界性求出最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设，， 将代入中得， 故， 则， 故当，即时，取得最小值，最小值为2. 故选：B 6．B 【分析】设出公比为，分且，且，且，且，且，且，及等情况，进行分类讨论，从而得到答案. 【详解】设公比为，当，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最大值， 当，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最大值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最小值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于0， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值， 此时无最大值，无最小值， 当时，为常数列，此时有最大值，也有最小值， 此时无最大值或无最小值，故充分性不成立， 当时，有最大值，也有最小值， 此时有最大值和最小值， 综上，当既有最大值，又有最小值时，既有最大值，又有最小值， 必要性成立， 故“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的必要不充分条件. 故选：B 7．B 【分析】先设出点的坐标，根据得出点的轨迹方程，再根据圆与圆的位置关系求出实数的取值范围. 【详解】设点，因为为坐标原点，，且. 根据两点间距离公式，则，. 所以，展开整理可得：. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知圆，其圆心为，半径. 因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点. 根据两圆位置关系，两圆的圆心距. 两圆有公共点，则，即. 对于，两边平方得，展开整理得，， ，函数图象开口向上，所以恒成立. 对于，两边平方得，展开得，即，，解得.   综上所得，. 故选：B. 8．B 【分析】根据直线，直线过定点，并可得出，得出的轨迹方程为，根据两圆圆心距离与半径的关系，求出的最大值，并且，然后即可得出的最小值． 【详解】依题意得，半径， 设点坐标，易知直线，恒过点， 直线恒过，且， 则，即，点轨迹为， 圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接,由易知， ，，故B正确． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC ACD 9．ABD 【分析】根据给定条件，求出圆的方程，结合圆的性质及数量积定义依次判断各选项即可. 【详解】由圆过点，得，圆的圆心，半径，A正确； 直线，由，得，即直线过定点，B正确； 显然点在圆内，，当时，，C错误； 当弦长最小时，圆心角最小，此时，则， 因此，当且仅当时取等号，D正确.    故选：ABD 10．AC 【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A，B；求出圆心距，即可判断圆与圆的位置关系，即可判断C；求出，即可判断D. 【详解】对于A，由直线的方程，当时，，可知直线恒经过定点，故A正确； 对于B，因为直线恒经过定点，由圆， 可得圆心，半径，满足，定点在圆内，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，由圆，圆，圆心，半径， 此时，所以圆与圆相外切，有三条公切线，故C正确； 对于D，由， 根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，故D错误. 故选：AC． 11．ACD 【分析】根据迭代可得根据的关系即可求解，即可求解ABC，利用裂项相消法求和即可求解D. 【详解】在数列中 所以当时， 当时，也满足上式，则 则故B错误； 的前项和 当时 当时 当时，也满足上式，则故A正确； 令解得令解得 故36是与的公共项，即C正确； 因为 所以， 因为所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 【分析】作出图形，图形结合斜率公式可得. 【详解】如图，由题意可知. 要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 13．3 【分析】利用等差数列的前项和公式及性质计算，再结合等比数列的前项和公式计算作答. 【详解】等差数列的前项和为，则，即有， ，即有，令等比数列的公比为，则， 所以. 故答案为：3 14．4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15(13分)．(1)证明见详解 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得，利用等差数列的定义即可证明； （2）直接利用错位相减法求解即可； （3）确定数列的单调性，确定其最大值，即可求得实数m的取值范围． 【详解】（1）证明：由题意知，． ∵，∴，， ∴， ∴数列是首项，公差的等差数列.．-----------------------------------------------3分 （2）解：由（1）可得，则，． ∴， 于是， 两式相减得： ， ∴．----------------------------------------------7分 （3）解：∵，． ∴当时，．当时，，即． ∴当或2时，取最大值． 又对一切正整数n恒成立，∴， 即，得或．----------------------------------------------13分 16．（15分）(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）根据（1）的结论,再利用数列求和中的裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意得，解得.---------------------------------------------3分 故数列的通项公式是---------------------------------------------6分 （2）由（1）知，.---------------------------------------------11分 所以.-----------------------------15分 17（15分）．(1) (2) 【分析】（1）先求，再利用“退位法”可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求. 【详解】（1）由是首项与公差均为1的等差数列得 则，当时，，----------------------------------------------------------------------------4分 两式相减得，， 当时，，也满足上式，故数列的通项公式为．---------------------------------------------6分 （2）由（1）得，，------------------------------------------------12分 所以数列的前2024项的和为： --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15分 18（17分）．(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为，---------------------------------------------------------------3分 将代入，解得， 故的一般式方程为．--------------------------------------------------------------------------------------------7分 （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得----------------------------------------------------------------------------------13分 所以的标准方程为．---------------------------------------------------------------------------------17分 19（17分）．(1) (2) 【分析】（1）根据，再写，两式相减即可得到之间的关系，从而求出通项公式 （2）写出的通项公式，是等差乘以等比数列，可以用错位相减求和 【详解】（1）因为，当时，有，---------------------------------------------3分 两式相减得：， 所以.--------------------------------------------------------------------------------------------------------5分 又， 所以数列是首项，公比的等比数列， 所以通项公式为---------------------------------------------------------------------------------------------------7分 （2）由（1）知，--------------------------------------------------------------11分 所以， 从而，-------------------------------------------------------------------13分 两式相减得 所以.---------------------------------------------------------------------------------------------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版2019必修第一册第1~2章（数列＋解析几何初步） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点、在圆上，且的中点在圆上，则弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的有（    ）个 ①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； ②若数列为等差数列，则为等比数列； ③数列满足：，则 ④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是圆M：上的动点，则的最大值为（     ） A．5 B．25 C．7 D．49 4．已知分别是等差数列与的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知M为圆上一动点，过M作x轴的垂线交直线于N，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．直线过定点 C．的最小值是 D．的最大值是0 10．已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．直线与圆相离 C．圆与圆有三条公切线 D．直线被圆截得的最短弦长为 11．在数列和中的前n项和则下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线（不考虑斜率不存在的情况）的斜率的取值范围是 . 13．已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，，且，，则的值为 ． 14．圆与圆的公切线长为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）．已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足． (1)证明：数列成等差数列． (2)求数列的前n项和． (3)若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 16（15分）．设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17（15分）．记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项的和． 18（17分）．已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 19（17分）．已知在数列中，，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和。 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版2019选择性必修第一册第1~2章（数列＋平面解析几何初步） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点、在圆上，且的中点在圆上，则弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．B 【分析】由弦长公式可得，由此可通过求的最大值，确定弦长的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为点、在圆上，的中点为， 所以，其中， 即， 因为圆的圆心为，半径，点在圆上， 所以，故， 所以当时，取最小值，最小值为， 故选：B. 2．下列命题正确的有（    ）个 ①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； ②若数列为等差数列，则为等比数列； ③数列满足：，则 ④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．B 【分析】根据特例判断A，由等比数列的定义判断B，根据特例判断C，根据等差数列的定义及求和公式判断D. 【详解】对于①：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，故不是等比数列，①错误； 对于②，设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故②正确； 对于③，依题意，，它不满足，③错误； 对于④，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和，④正确. 故选：B 3．若是圆M：上的动点，则的最大值为（     ） A．5 B．25 C．7 D．49 3．D 【分析】可转化为点到圆心的距离加上圆的半径2，然后再把所得的值平方可得答案. 【详解】求的最大值可转化为 点到圆心的距离加上圆的半径2，然后再把所得的值平方， 所以最大值为. 故选：D.    4．已知分别是等差数列与的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 4．B 【分析】利用等差数列的性质可得：，将所求的式子化简，再利用等差数列前项和即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以， 又因为分别是等差数列与的前项和，且， 所以, 故选：. 5．已知M为圆上一动点，过M作x轴的垂线交直线于N，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．B 【分析】设，，表达出，，由正弦函数有界性求出最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设，， 将代入中得， 故， 则， 故当，即时，取得最小值，最小值为2. 故选：B 6．在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．B 【分析】设出公比为，分且，且，且，且，且，且，及等情况，进行分类讨论，从而得到答案. 【详解】设公比为，当，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最大值， 当，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最大值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最小值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于0， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值， 此时无最大值，无最小值， 当时，为常数列，此时有最大值，也有最小值， 此时无最大值或无最小值，故充分性不成立， 当时，有最大值，也有最小值， 此时有最大值和最小值， 综上，当既有最大值，又有最小值时，既有最大值，又有最小值， 必要性成立， 故“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的必要不充分条件. 故选：B 7．已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．B 【分析】先设出点的坐标，根据得出点的轨迹方程，再根据圆与圆的位置关系求出实数的取值范围. 【详解】设点，因为为坐标原点，，且. 根据两点间距离公式，则，. 所以，展开整理可得：. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知圆，其圆心为，半径. 因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点. 根据两圆位置关系，两圆的圆心距. 两圆有公共点，则，即. 对于，两边平方得，展开整理得，， ，函数图象开口向上，所以恒成立. 对于，两边平方得，展开得，即，，解得.   综上所得，. 故选：B. 8．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．B 【分析】根据直线，直线过定点，并可得出，得出的轨迹方程为，根据两圆圆心距离与半径的关系，求出的最大值，并且，然后即可得出的最小值． 【详解】依题意得，半径， 设点坐标，易知直线，恒过点， 直线恒过，且， 则，即，点轨迹为， 圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接,由易知， ，，故B正确． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．直线过定点 C．的最小值是 D．的最大值是0 9．ABD 【分析】根据给定条件，求出圆的方程，结合圆的性质及数量积定义依次判断各选项即可. 【详解】由圆过点，得，圆的圆心，半径，A正确； 直线，由，得，即直线过定点，B正确； 显然点在圆内，，当时，，C错误； 当弦长最小时，圆心角最小，此时，则， 因此，当且仅当时取等号，D正确.    故选：ABD 10．已知直线和圆，则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过点 B．直线与圆相离 C．圆与圆有三条公切线 D．直线被圆截得的最短弦长为 10．AC 【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A，B；求出圆心距，即可判断圆与圆的位置关系，即可判断C；求出，即可判断D. 【详解】对于A，由直线的方程，当时，，可知直线恒经过定点，故A正确； 对于B，因为直线恒经过定点，由圆， 可得圆心，半径，满足，定点在圆内，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，由圆，圆，圆心，半径， 此时，所以圆与圆相外切，有三条公切线，故C正确； 对于D，由， 根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，故D错误. 故选：AC． 11．在数列和中的前n项和则下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 11．ACD 【分析】根据迭代可得根据的关系即可求解，即可求解ABC，利用裂项相消法求和即可求解D. 【详解】在数列中 所以当时， 当时，也满足上式，则 则故B错误； 的前项和 当时 当时 当时，也满足上式，则故A正确； 令解得令解得 故36是与的公共项，即C正确； 因为 所以， 因为所以，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线（不考虑斜率不存在的情况）的斜率的取值范围是 . 12． 【分析】作出图形，图形结合斜率公式可得. 【详解】如图，由题意可知. 要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 13．已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，，且，，则的值为 ． 13．3 【分析】利用等差数列的前项和公式及性质计算，再结合等比数列的前项和公式计算作答. 【详解】等差数列的前项和为，则，即有， ，即有，令等比数列的公比为，则， 所以. 故答案为：3 14．圆与圆的公切线长为 . 14．4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）．已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足． (1)证明：数列成等差数列． (2)求数列的前n项和． (3)若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 15(13分)．(1)证明见详解 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得，利用等差数列的定义即可证明； （2）直接利用错位相减法求解即可； （3）确定数列的单调性，确定其最大值，即可求得实数m的取值范围． 【详解】（1）证明：由题意知，． ∵，∴，， ∴， ∴数列是首项，公差的等差数列.．-----------------------------------------------3分 （2）解：由（1）可得，则，． ∴， 于是， 两式相减得： ， ∴．----------------------------------------------7分 （3）解：∵，． ∴当时，．当时，，即． ∴当或2时，取最大值． 又对一切正整数n恒成立，∴， 即，得或．----------------------------------------------13分 16（15分）．设等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．（15分）(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）根据（1）的结论,再利用数列求和中的裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意得，解得.---------------------------------------------3分 故数列的通项公式是---------------------------------------------6分 （2）由（1）知，.---------------------------------------------11分 所以.------15分 17（15分）．记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项的和． 17（15分）．(1) (2) 【分析】（1）先求，再利用“退位法”可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求. 【详解】（1）由是首项与公差均为1的等差数列得 则，当时，，-----------------------4分 两式相减得，， 当时，，也满足上式，故数列的通项公式为．-------------6分 （2）由（1）得，，---------------12分 所以数列的前2024项的和为： -------------------------------------------------------15分 18（17分）．已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 18（17分）．(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为，-------------------------3分 将代入，解得， 故的一般式方程为．--------------------------------------------------7分 （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得-------------------------------------------------13分 所以的标准方程为．---------------------------------------------17分 19（17分）．已知在数列中，，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 19（17分）．(1) (2) 【分析】（1）根据，再写，两式相减即可得到之间的关系，从而求出通项公式 （2）写出的通项公式，是等差乘以等比数列，可以用错位相减求和 【详解】（1）因为，当时，有，------------------------3分 两式相减得：，所以.------------------5分 又， 所以数列是首项，公比的等比数列，所以通项公式为---------7分 （2）由（1）知，-------------------------------------------11分 所以， 从而，-----------------------------------------13分 两式相减得 所以.-------------------------------------------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $