第17讲 带电粒子在各类场中的运动（选考18题）-2026年浙江省高中物理选考二轮复习解密

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第17讲带电粒子在各类场中的运动 01 命题规律 “模型固定”：始终围绕“类平抛（电场）”“匀速圆周（磁场）”“匀速直线（平衡）”三大基础模型，组 合场是“模型串联”，复合场是“模型叠加”，备考时需吃透单个模型的规律； “轨迹为王”：所有计算（半径、时间、偏转角）均基于轨迹分析，画准轨迹是解题的第一步，需养 成“先画图、再分析”的习惯： 临界为魂”：高分问均涉及临界条件（如“恰好射出”“恰好相切”)，需明确“临界状态的物理特征” (如速度方向、受力平衡)，避免漏判临界情况。 02 要点提炼 一、带电粒子在复合场中的运动 1.复合场的分类 (1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存. (2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现. 2.带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动. (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与电场力大小相篷、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于 匀强磁场的平面内做匀速圆周运动， (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变 速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线. (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化. 二、带电粒子在组合场中的运动 1.带电粒子在组合场中运动的分析思路 1/14 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 第1步：分阶段（分过程）按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段： 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下： 匀速圆周运动←一粒子垂直于磁感线进入匀强磁场←一磁偏转一组合场中两种典型运动一→电偏转→粒子 垂直于电场线进入匀强电场→类平抛运动 第3步：用规律 磁偏转→匀速圆周运动一→圆轨迹→找半径一定圆心 电偏转→类平抛运动 2.解题步骤 (1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度（包括大小和方向）是解决该类问题的关键， (2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决 问题. 03 题型研究 题型1选考真题探秘 1.(2025·浙江·高考真题)利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究 原子核结构。如图1所示，用回旋加速器使氘原子核(H)获得2.74MV动能，让其在S处撞 击铝(A1)核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核(A1)以及两种不同能 量的质子(H)。产生的质子束经狭缝X沿水平直径方向射入半径为R,方向垂直纸面向里、 大小为B的圆形匀强磁场区域，经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D处（探测板与磁 场边界相切于A点，D点与磁场圆心O处在同一竖直线上)，获得如图2所示的质子动能的能 谱图。 回旋加速器 D 60 A 40 X B 屈 20 氘核1 质子 R 2.0 3.0 4.05.06.07.08.09.010.0 E/MeV 图1 图2 (1)写出氘核撞击铝核的核反应方程； 2/14 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)求A、D的间距L: (3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA,求回旋加速器的输出功率； (4处于激发态的A1核会发生B衰变，核反应方程是Al→Si+.e。若Al核质量等于Si核质 量，电子质量为0.51MeV/c2,在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。 2. (2025浙江·高考真题)同位素4℃相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系统如图1 所示。将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪E$A-I、磁体I和高电压清 除器，让只含有三种碳同位素}C、君3C、4C的C+离子束（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ.磁 体-Ⅱ由电势差为U的加速电极P,磁感应强度为B、半径为R的四分之一圆弧细管道和离子接 收器F构成。通过调节U,可分离}C、君3C、4C三种同位素，其中2C、3℃的C+离子被接收 器F所接收并计数，它们的离子数百分比与U之间的关系曲线如图2所示，而}4C离子可通过 接收器F,进入静电分析仪ESA-Ⅱ，被接收器D接收并计算。 磁体.Ⅱ 磁休.I 高电正消除器 102 尔 10 ESA-I 接收 109 接收器D ESA-II 10 1.41.51.6 d0819202 图1 图2 (1)写出中子与4N发生核反应生成4C,以及君4C发生B衰变生成4N的核反应方程式： (2)根据图2写出2C的C+离子所对应的U值，并求磁感应强度B的大小（计算结果保留两位有效数 字。已知R=0.2m,原子质量单位u=1.66×1027kg,元电荷e=1.6×1019C: (3)如图1所示，ESA-Ⅱ可简化为间距d=5cm两平行极板，在下极板开有间距L=10cm的两小孔， 仅允许入射角p=45°的4C离子通过。求两极板之间的电势差： (4)对古木样品，测得酷4C与2℃离子数之比值为4×1013，采用同样办法，测得活木头中4C与2℃的 比值为1.2×1012，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计算古木被砍伐 距今的时间（已知}4C的半衰期约为5700年，ln3=1.1,ln2=0.7) 3.(2024浙江·高考真题)探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验 装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B, 方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀 板P、长度均为L的栅极板M和N(由金属细丝组成的网状电极)，喷镀板P上表面中点Q的 坐标为(1.5L,0),栅极板M中点S的坐标为(3L,0),离子源产生a和b两种正离子，其中 3/14 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 a离于质量为，电荷量为g,b离子的比荷为a离子的时倍，经电压U-亿（其中。=芒 8m; k大小可调，α和b离子初速度视为0)的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和 栅极板N和M间电压UaM调控(Ua>O),a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被 吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 (1)若U=U,求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置xo(用L表示)。 (2)调节U和Ua并保持UN=U,使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求： ①U的调节范围（用U表示）； ②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度； (3)要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UaM的大小。 离子源 UNM 4 (2024浙江·高考真题)类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反 射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域I、Ⅱ和Ⅲ；I区宽度为d,存在磁感 应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。I区和Ⅲ区电势处处相等， 分别为P和P,其电势差U=PP1。一束质量为m、电荷量为e的质子从0点以入射角日 射向I区，在P点以出射角6射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角日射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折 射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的 质子数为N,初速度为Vo,不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布 的影响。 (1)若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； (2)若U=要， 求“折射率”n(入射角正弦与折射角正弦的比值) (3)计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回I区） (4)在P点下方距离处水平放置一长为需的探测板CQD(Q在P的正下方)，CQ长为 eB 密，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称。 同时从O点射入I区，且日=30·，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 4/14 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ·法线 B· .p Ⅲ 9 Ⅲ 法线 (2023·浙江·高考真题)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oy 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域I和Ⅱ，其中区域 I存在磁感应强度大小为B,的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂 直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于(0,3L处的离子源能释放出质量为m、电荷量 为9、速度方向与x轴夹角为60的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间 的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v,及其在磁场中的运动时间 (2)若B2=2B1,求能到达y=气处的离子的最小速度v2: (3)若B2=是y,且离子源射出的离了数按速度大小均匀地分布在兴~，兴范围，求进入第四 m 象限的离子数与总离子数之比。 y 3N60 I x 6. (2023浙江·高考真题)探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂 直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度 足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C(孔径忽略不计)，N 板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速 度方向与y轴夹角最大值为60；且各个方向均有速度大小连续分布在号V和V2V0之间的离子 射出。已知速度大小为Vo、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未 能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作 5/14 扇学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 用，不考虑离子间的碰撞。 (1)求孔C所处位置的坐标x0: (2)求离子打在N板上区域的长度L: (3)若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压U0: (4)若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压 Ux与孔C位置坐标x之间关系式。 609 60° M 分析器 (A 题型2带电粒子在复合场中的运动 7.(2025浙江杭州三模)科学家发现通过人工磁场可使光子晶体中的光发生偏转，打破了光学的 对称性。某实验室设计了一种新型光子晶体，能使光子在传播过程中受到类似洛伦兹力的作用。 如图所示，一束激光（波长7=442nm,功率P=10mW)从光源O点发出，从P点沿x轴 入射，穿过宽度L=0.6m的平行光子晶体区域（区域中存在垂直平面向里的“人工磁场” B。=0.625×108T)。已知光子在晶体中的速度v=2×10m/s,等效电荷 9=1.6×101℃。在光子晶体右侧平行x轴放置完全反射的探测面，经偏转后的光束以角度日 (未知)撞击探测面。普朗克常量h=6.63×1034s,光速c=3×108m/s,传播过程中激 光能量不衰减。提示：单个光子等效质量m=悬，其中E为单个光子能量。(si37°=0.6， c0s37o=0.8)求： L ×××X ×××× ×××× ×××× 8 ×X×× X××X ×××× ×××× 6/14 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)单个光子的等效质量m: (2)光子在晶体中的轨迹半径r和偏转位移d; (3)若磁场存在梯度分布：以P点为坐标原点，B=Bo(1-Bx),B=1m1,求激光束打在探测板上 对探测板的作用力F(仅考虑出射晶体时的折射情况)： (4)若可调节晶体折射率，使光子在晶体中速度可在0~2×10m/s范围内变化，光从P点进入一块 上述光子晶体，OP=1m,请你设计光子晶体的形状，使光子在以上速度范围内经过晶体内磁场偏 转后都可以回到O点，画出晶体形状，并计算最小面积。（不考虑进出晶体界面处由于折射反射引 起的方向改变) 8.(2025浙江·模拟预测)如图所示直角坐标系xOy中，第一象限存在垂直纸面向里磁感应强度B 的匀强磁场，第二象限以某角线为界，上部存在沿y转正方向，大小为B=罗的电场，下部 和x轴所围的部分无电场，当位于M(-4d,0)的粒子源沿与x轴正方向成8角发射的同种粒子 以不同的速度大小射入电场，射入电场的粒子最终均能以相同大小的速度Vo沿x轴正方向，从 y轴上y=d到y=2d到的范围内射入第一象限的磁场中，已知粒子质量m,电荷量-9，距离 d,不计粒子间的相互作用力。 X X × X X × X BX × E X X X X × X × × × × X × × × <6 × × × × H)若B=罗，求粒子在电场中加速度a和在磁场中运动的半径：（用v0、d表示） 2)若B=器，求x轴上有粒子击中的坐标范围： )若第一象限的磁感应强度随纵坐标y变化，满足B=, y,从y=d处入射的粒子刚好能击中x 轴，求k的值； (4)求粒子从M点发射时tan6的取值范围； 9.(2025·浙江·三模)正负电子对撞机是研究粒子基本性质和相互作用的实验装置。正负电子经加 速器加速到极高速度后，射入对撞测量区域，通过调整测量区的磁感应强度大小，使正负电子 发生正碰。一实验探究小组设计的对撞机结构原理图如图所示，测量区ABCD中存在两个有界 7/14 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 匀强磁场，水平虚线MN下方I区域磁场的磁感应强度大小为B:(大小未知)，方向垂直纸面 向外，MN上方Ⅱ区域磁场的磁感应强度大小为B2(大小未知)，方向垂直纸面向里，直线EF 为测量区的中线。在同一水平面上的直线加速器甲、乙同时以相同速率分别垂直AB、CD边界 射入电子和正电子，并最终在EF上的某处实现正碰。已知正、负电子的比荷为k,边界AB、 CD间的距离为4d,两加速器与MW的距离均为d,忽略电荷间的相互作用及正、负电子的重力。 A B r 十 十 直线加速器甲 4d 直线加速器乙 B (1)电子以速度大小Vo射入I区域， ①若电子能垂直MN进入IⅡ区域，求B1; ②若B1=密，为使电子不从B射出，求Ⅱ区域磁场的最小值B2: (2)若B1=B2=B,为使正负电子在EF上某处发生正碰，求射入磁场的速度大小v与B之间满足的 关系 10.(2025·浙江宁波·三模)如图所示，在xOy平面内有一平行于y轴宽为R的线状电子源，每秒沿 x轴正方向均匀发射个速度相同的电子。电子源中心与半径为R、磁感应强度大小为B、方向 垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域圆心O1等高。射入圆形磁场区域的电子汇聚到磁场的最低点 O后，进入x轴正下方足够大的、磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。 在x轴上有一左端置于原点0点，长为5=6+迟的电子收集板（不计收集板的厚度）。打到 收集板上的电子被收集板吸收后全部导入大地。已知电子质量为m,电荷量为，忽略电子重 力和电子间的相互作用。 8/14 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 y个 电子源 × B × 收集板 ● ● B ● (1)求从电子源发射出来的电子的速度大小： (2)求电子从0点射出时与负y轴方向的夹角6的范围： 3)电子源发射一段时间后，求收集板接地导线中的电流大小； (4)若收集板平行于y轴放置，且足够长，其上端位于原点0，则在收集板向右平移的过程中，试求 收集板上能接收到电子的区域长度！与收集板所处位置横坐标x之间的关系。 04 巩固提升 1.(2025浙江金华.三模)图1为某离子发电装置，可简化为三个区域：离子发射区、加速区和发 电区，图2是其截面示意图。发射区存在一垂直纸面向里的半径为R的圆形匀强磁场区域，磁 感应强度为B,长度均为L的线状离子发射源P(正离子源)、Q（负离子源)正对位于磁场的 上下顶点；加速区由两高度均为R,长、宽均为L的匀强电场组成，电场强度E=2,电 ml 场方向相反；发电区由长为3R,宽为L的平行金属板S、T组成，板间存在垂直纸面向里，大 小可调的匀强磁场，金属板外连接开关和电动机，开关初始均断开。电场上下边界及金属板S、 T均与圆形磁场上下边界切线共线。离子发射源P、Q单位时间单位长度分别能向右侧90°范围 内均匀发射N个质量为m,初速率相同，电量为q的离子，且所有离子均能水平离开圆形磁场 区域。不考虑离子间作用力及离子重力，求： P XXX 图2 9/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)离子发射的初速率Vo及发射区磁场内离子运动的最长时间； (2)当发电区磁感应强度为B时，提供的最大电动势及闭合S1且电路稳定时的外电路电流； (3)当发电区磁感应强度B'=5B时，保持S1断开，闭合S2,待电路稳定后，测得金属板间电压为 U=409R,电动机此时消耗的功率多大？ 21 2.(2025浙江台州·二模)在竖直平面内建立如图所示的xOy直角坐标系，x轴水平，y≥L（L未 知)的区域I内存在着水平方向的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场（图中均未画出)，x 轴下方的区域Ⅲ存在垂直于纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ无电场或磁场。一个带正电的小球从 y轴上的P点以与水平方向成30°的初速度vo斜向右下抛出，沿直线运动到M点后进入区域Ⅱ 做曲线运动，而后经过N点进入区域Ⅲ，小球在N点时的速度与水平方向成60°角。已知小球 的质量为m,电荷量为+9，区域Ⅲ的磁感应强度大小B2与区域I的磁感应强度大小B满足 B2=号B1(B、B2为未知量)，重力加速度为g。求： y P 30 M N →X 0 ×××× Ⅲ (1)区域I内电场E的大小与方向； (2汇的大小： (3)小球在区域Ⅲ运动的时间； (4)小球第二次经过y=L时与M点的距离。 3.(2025北京西城一模)图1为一种测量电子比荷（电荷量与质量m之比）的实验装置。两 块金属圆盘M、N平行放置，间距为d,照相底片环绕圆盘，距圆盘边缘的径向距离为L。整 个装置放在真空中。在两圆盘中心连线的中央有一点状粒子源，向各个方向均匀发射速度大小 不同的电子，由于d很小，只有速度方向平行圆盘的电子才能射出圆盘区域。 磁感应强 M、N间电势 度 差 10/14 第17讲 带电粒子在各类场中的运动 “模型固定”：始终围绕 “类平抛（电场）”“匀速圆周（磁场）”“匀速直线（平衡）” 三大基础模型，组合场是 “模型串联”，复合场是 “模型叠加”，备考时需吃透单个模型的规律； “轨迹为王”：所有计算（半径、时间、偏转角）均基于轨迹分析，画准轨迹是解题的第一步，需养成 “先画图、再分析” 的习惯； “临界为魂”：高分问均涉及临界条件（如 “恰好射出”“恰好相切”），需明确 “临界状态的物理特征”（如速度方向、受力平衡），避免漏判临界情况。 。 一、带电粒子在复合场中的运动 1．复合场的分类 (1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存． (2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现． 2．带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动． (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动． (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线． (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化． 二、带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段； 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下： ←←←→→→ 第3步：用规律 →→→→ → 2．解题步骤 (1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． (2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题． 题型1选考真题探秘 1. （2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核结构。如图1所示，用回旋加速器使氘原子核（）获得2.74MeV动能，让其在S处撞击铝（）核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子（）。产生的质子束经狭缝X沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B的圆形匀强磁场区域，经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D处（探测板与磁场边界相切于A点，D点与磁场圆心O处在同一竖直线上），获得如图2所示的质子动能的能谱图。 (1)写出氘核撞击铝核的核反应方程； (2)求A、D的间距L； (3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率； (4)处于激发态的核会发生β衰变，核反应方程是。若核质量等于核质量，电子质量为0.51MeV/c2，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。 【答案】(1) (2) (3)2.74×103W (4)5.49MeV 【详解】（1）氘核撞击铝核的核反应方程 （2）由图可知，两种质子的动能分别为3MeV和9MeV，动能之比1∶3，可知速度之比，根据 可知 可知在磁场中的半径之比为 由图可知半径较小的打到A点，半径较大的打到D点，由几何关系可知， 解得 可得A、D的间距 （3）若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，则时间t射出氘核的数量为 回旋加速器的输出功率 （4）氘核撞击铝核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子。根据能量守恒可得，能量的为3MeV和9MeV质子分别对应处于激发态的和处于基态的态的。激发态的回到基态会释放能量 核质量等于核质量，则衰变释放的能量主要来源于激发态的跃迁产生的能量差。电子质量为0.51MeV/c2，则衰变释放能量 2. （2025·浙江·高考真题）同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系统如图1所示。将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪ESA-I、磁体-I和高电压清除器，让只含有三种碳同位素、、的离子束（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U的加速电极P，磁感应强度为B、半径为R的四分之一圆弧细管道和离子接收器F构成。通过调节U，可分离、、三种同位素，其中、的离子被接收器F所接收并计数，它们的离子数百分比与U之间的关系曲线如图2所示，而离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-Ⅱ，被接收器D接收并计算。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及发生衰变生成的核反应方程式： (2)根据图2写出的离子所对应的U值，并求磁感应强度B的大小（计算结果保留两位有效数字。已知，原子质量单位，元电荷）； (3)如图1所示，ESA-Ⅱ可简化为间距两平行极板，在下极板开有间距的两小孔，仅允许入射角的离子通过。求两极板之间的电势差U： (4)对古木样品，测得与离子数之比值为；采用同样办法，测得活木头中与的比值为，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计算古木被砍伐距今的时间（已知的半衰期约为5700年，） 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【详解】（1）中子与发生核反应生成的核反应方程式为 发生衰变生成的核反应方程式为 （2）在加速电场中，由动能定理得 解得 磁场中，洛伦兹力提供向心力 联立解得 ， 相比，的比荷更大，通过圆形管道所需要的电压更大，通过图2可知当电压为时，与的离子数百分比为，故的离子所对应的U值为。 根据整理得 （3）由题意知，粒子在板间做类斜抛运动，水平方向有 ， 竖直方向有 ，， 联立解得 （4）古木中与比值是活木头中的，说明经过衰变后只剩下，已知经过一个半衰期剩下，设经过n个半衰期，则有 解得 则砍伐时间 3. （2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U=kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控（UNM>0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 （1）若U=U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）。 （2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求： ①U的调节范围（用U0表示）； ②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度； （3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。 【答案】（1）L；（2）①；②；（3）， 【详解】（1）对a离子根据动能定理得 a离子在匀强磁场中做匀速圆周运动 a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置，联立解得 （2）①要使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，只能经电压为U的电场加速后再经第一象限匀强磁场偏转一次打在P板上方任意处，则 结合（1）中分析得 即 即 ②b离子经过电压为U的电场加速后在磁场中第一次偏转打在x轴上的位置坐标为 代入得 故可知b离子能从栅极板（坐标范围为）任意位置经电压为的电场减速射入虚线下方的磁场，此时 b离子先经过电压为U的电场加速再在第一象限磁场中做匀速圆周运动后再经过电压为的电场减速，因为根据动能定理得 同时有 ， 当时，b离子从栅极板左端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板左端的距离为 当时，b离子从栅极板右端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板右端的距离为 故b离子落在喷镀板P下表面的区域长度为 （3）要求a离子落在喷镀板中点Q，由（1）可知 故可得 则b离子从处经过栅极板，若b离子减速一次恰好打在P板下方中央处，设，则同理可知 联立解得 则可得 当减速n次 联立得 当减速n次恰好打在P板下方中央处，可得 即 解得 即，n取整数，故可得，故可得 4. （2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析 【详解】（1）根据牛顿第二定律 不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d的最小值为 （2）设水平方向为方向，竖直方向为方向，方向速度不变，方向速度变小，假设折射角为，根据动能定理 解得 根据速度关系 解得 （3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候方向速度为零，即 可得 即应满足 （4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得 所以如果的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下： ①当时 又 解得 全部都打不到板的情况 ②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为时，粒子刚好打到D点，水平方向速度为 所以 又 解得 即当时 ③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（），此时仅有O点右侧的一束粒子能打到板上，因此 又 解得 5. （2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【答案】（1）；（2）（3）60% 【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系 解得 r1=2L 根据 解得 在磁场中运动的周期 运动时间    （2）若B2=2B1，根据 可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系 解得 r2=2L 根据 解得 （3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得 粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中 解得 则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为 η=60% 6. （2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时， 【详解】（1）速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图 由洛伦兹力提供向心力 解得半径 孔C所处位置的坐标 （2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力 解得半径 若要能在C点入射，则由几何关系可得 解得 如图 由几何关系可得 （3）不管从何角度发射 由（2）可得 根据动力学公式可得 ， 联立解得 （4）孔C位置坐标x 其中 联立可得 ， 解得 在此范围内，和（3）相同，只与相关，可得 解得 根据动力学公式可得 ， 解得 题型2带电粒子在复合场中的运动 7. （2025·浙江杭州·三模）科学家发现通过人工磁场可使光子晶体中的光发生偏转，打破了光学的对称性。某实验室设计了一种新型光子晶体，能使光子在传播过程中受到类似洛伦兹力的作用。如图所示，一束激光（波长，功率）从光源O点发出，从P点沿x轴入射，穿过宽度的平行光子晶体区域（区域中存在垂直平面向里的“人工磁场”）。已知光子在晶体中的速度，等效电荷。在光子晶体右侧平行x轴放置完全反射的探测面，经偏转后的光束以角度（未知）撞击探测面。普朗克常量，光速，传播过程中激光能量不衰减。提示：单个光子等效质量，其中为单个光子能量。（，）求： (1)单个光子的等效质量； (2)光子在晶体中的轨迹半径和偏转位移； (3)若磁场存在梯度分布：以P点为坐标原点，，求激光束打在探测板上对探测板的作用力F（仅考虑出射晶体时的折射情况）； (4)若可调节晶体折射率，使光子在晶体中速度可在范围内变化，光从P点进入一块上述光子晶体，，请你设计光子晶体的形状，使光子在以上速度范围内经过晶体内磁场偏转后都可以回到O点，画出晶体形状，并计算最小面积。（不考虑进出晶体界面处由于折射反射引起的方向改变） 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）光子的能量为 根据质能方程可知，光子的等效质量为 解得 （2）洛伦兹力充当向心力，故有 解得 根据几何关系有 （3）将粒子的速度分解，在方向上的洛伦兹力与水平分速度有关，列动量定理，有 即 可解得 所以 方向为 根据折射率公式，有 碰撞时有动量定理，可知 （4）由于 当时， 如图所示，曲线1为速度最大值时对应的轨迹，曲线2为速度为时对应的一般轨迹，假设出射点为。 由几何关系得， 即所有出射点连接起来为圆弧。所以满足题意可设计如下图所示形状的光子晶体。 则光子晶体的最小面积为 8. （2025·浙江·模拟预测）如图所示直角坐标系中，第一象限存在垂直纸面向里磁感应强度的匀强磁场，第二象限以某曲线为界，上部存在沿轴正方向，大小为的电场，下部和轴所围的部分无电场，当位于的粒子源沿与轴正方向成角发射的同种粒子以不同的速度大小射入电场，射入电场的粒子最终均能以相同大小的速度沿轴正方向，从轴上到到的范围内射入第一象限的磁场中，已知粒子质量，电荷量，距离，不计粒子间的相互作用力。 (1)若，求粒子在电场中加速度和在磁场中运动的半径；（用、表示） (2)若，求轴上有粒子击中的坐标范围； (3)若第一象限的磁感应强度随纵坐标变化，满足，从处入射的粒子刚好能击中轴，求的值； (4)求粒子从点发射时的取值范围； 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）粒子在电场中的加速度 粒子在磁场中的运动半径为 . （2）半径将变成原来的两倍，即 可知，从轴上处进入磁场的粒子在轴上击中的最大坐标位置 轨迹如图 可知，从轴上处进入磁场的粒子在轴上击中的最小坐标位置为，轨迹如图 几何关系有 解得 （3）对粒子沿方向应用动量定理得 代入数据，整理得 设进入B区域时的纵坐标为的粒子的轨迹恰与轴相切，则 则当时，解得 （4）由逆向思维，令粒子在轴上出射点的坐标为，轨迹与电场边界的交点为，如图 则有 同时将 代入可得， 当时，解得 当时，解得， 故的取值范围为 9. （2025·浙江·三模）正负电子对撞机是研究粒子基本性质和相互作用的实验装置。正负电子经加速器加速到极高速度后，射入对撞测量区域，通过调整测量区的磁感应强度大小，使正负电子发生正碰。一实验探究小组设计的对撞机结构原理图如图所示，测量区ABCD中存在两个有界匀强磁场，水平虚线MN下方Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小为（大小未知），方向垂直纸面向外，MN上方Ⅱ区域磁场的磁感应强度大小为（大小未知），方向垂直纸面向里，直线EF为测量区的中线。在同一水平面上的直线加速器甲、乙同时以相同速率分别垂直AB、CD边界射入电子和正电子，并最终在EF上的某处实现正碰。已知正、负电子的比荷为k，边界AB、CD间的距离为4d，两加速器与MN的距离均为d，忽略电荷间的相互作用及正、负电子的重力。 (1)电子以速度大小射入Ⅰ区域， ①若电子能垂直MN进入Ⅱ区域，求； ②若，为使电子不从AB射出，求Ⅱ区域磁场的最小值； (2)若，为使正负电子在EF上某处发生正碰，求射入磁场的速度大小v与B之间满足的关系。 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①加速器甲射出电子，在Ⅰ区域中的半径，由 得 ②如图所示 轨迹与AB恰好相切于G点时，对应磁感应强度最小。在中，， 在中，得 Ⅱ区域磁场的最小值 （2）若正负电子在MN上方正碰，正负电子奇数次穿过MN，以第1次经过MN的点到边界的弦长作为一段，分别把2d均分为2、6、10…段，每段 由 得 正负电子偶数次穿过MN，以第1次经过MN的点到边界的弦长作为一段，分别把2d均分为4、8、12……段，每段 同理，得 因此，速度大小v与B之间满足的关系为： 分析粒子在Ⅱ区域磁场AB相切时， 得 要求即 得n＝1、2、3 综上， 10. （2025·浙江宁波·三模）如图所示，在平面内有一平行于轴宽为的线状电子源，每秒沿轴正方向均匀发射个速度相同的电子。电子源中心与半径为、磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域圆心等高。射入圆形磁场区域的电子汇聚到磁场的最低点后，进入轴正下方足够大的、磁感应强度大小也为、方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。在轴上有一左端置于原点点，长为的电子收集板（不计收集板的厚度）。打到收集板上的电子被收集板吸收后全部导入大地。已知电子质量为，电荷量为，忽略电子重力和电子间的相互作用。 (1)求从电子源发射出来的电子的速度大小； (2)求电子从点射出时与负轴方向的夹角的范围； (3)电子源发射一段时间后，求收集板接地导线中的电流大小； (4)若收集板平行于轴放置，且足够长，其上端位于原点，则在收集板向右平移的过程中，试求收集板上能接收到电子的区域长度与收集板所处位置横坐标之间的关系。 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【详解】（1）电子只受到洛伦兹力，根据 可知匀强磁场中圆周运动的半径 本题中的磁聚焦要求电子运动半径等于圆形磁场的半径，则 （2）粒子轨迹如图1 由对称性，可设离电子源中心线上、下距离的电子经过磁场偏转后与负轴夹角为，由三角函数，得 所以，的范围为 （3）粒子轨迹如图2 计算能打到收集板上的电子在运动到点时与负轴夹的角，设为。在下方区域内做匀速圆周运动也为。由三角函数得 由对称性，设离电子源中心线上、下距离的电子经过磁场偏转后与负轴夹角恰为。由三角函数得 解得 所以，能到达收集板的电子离电子源中心线的距离为 则接地导线中的电流大小为 （4）电子在下方区域内做匀速圆周运动的半径为。作出电子在下方区域圆周运动轨的三位关键位置①（直径在轴上）、②和③，如图3。 由几何关系可知，可知 ①当时，由于②和③两个圆轨迹关于轴对称，圆心距离为，②向下平移与③重合，则， ②当时，电子圆轨迹与收集板交点的最高点在轴上，最低点是某个圆的直径与收集板的交点，可以作以为圆心，为半径的圆弧，得到 ③时，电子轨道不会碰到收集板，则 1. （2025·浙江金华·三模）图1为某离子发电装置，可简化为三个区域：离子发射区、加速区和发电区，图2是其截面示意图。发射区存在一垂直纸面向里的半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，长度均为L的线状离子发射源P（正离子源）、Q（负离子源）正对位于磁场的上下顶点；加速区由两高度均为R，长、宽均为L的匀强电场组成，电场强度，电场方向相反；发电区由长为3R，宽为L的平行金属板S、T组成，板间存在垂直纸面向里，大小可调的匀强磁场，金属板外连接开关和电动机，开关初始均断开。电场上下边界及金属板S、T均与圆形磁场上下边界切线共线。离子发射源P、Q单位时间单位长度分别能向右侧90°范围内均匀发射N个质量为m，初速率相同，电量为q的离子，且所有离子均能水平离开圆形磁场区域。不考虑离子间作用力及离子重力，求： (1)离子发射的初速率及发射区磁场内离子运动的最长时间； (2)当发电区磁感应强度为B时，提供的最大电动势及闭合且电路稳定时的外电路电流； (3)当发电区磁感应强度时，保持断开，闭合，待电路稳定后，测得金属板间电压为，电动机此时消耗的功率多大？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）离子圆周运动，洛伦兹力提供向心力 可得 圆周运动周期 竖直方向入射在磁场中运动的圆心角90°最大，时间最长，故 （2）加速区，由动能定理 代入数据得 金属板间达到最大电动势，即断路下，离子进入金属板间受力平衡 得 短路时，金属板间电压为0，即离子在板间做圆周运动，电流即为单位时间内打到金属板的电荷量。考虑此时圆周运动半径 可知，从两金属板中间进入的离子恰好打到板上右端点，即所有入射离子均能达到板上,则 （3）当电压为时，利用配速法对离子的运动进行分解，即速度分解为 令 得， 则可看作以匀速直线运动，以匀速圆周运动，圆周运动半径 则单位时间内离两板间距在0.4R范围内进入发电区的离子可以打到金属板形成稳定电流。设从距离板0.4R入射发电区的离子发射时与竖直方向夹角为，如图所示 根据几何关系 解得 故单位时间打到金属板的离子数 电流为 故电功率 2. （2025·浙江台州·二模）在竖直平面内建立如图所示的xOy直角坐标系，x轴水平，y≥L（L未知）的区域Ⅰ内存在着水平方向的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场（图中均未画出），x轴下方的区域Ⅲ存在垂直于纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ无电场或磁场。一个带正电的小球从y轴上的P点以与水平方向成30°的初速度v0斜向右下抛出，沿直线运动到M点后进入区域Ⅱ做曲线运动，而后经过N点进入区域Ⅲ，小球在N点时的速度与水平方向成60°角。已知小球的质量为m，电荷量为+q，区域Ⅲ的磁感应强度大小B2与区域Ⅰ的磁感应强度大小B1满足（B1、B2为未知量），重力加速度为g。求： (1)区域Ⅰ内电场E的大小与方向； (2)L的大小； (3)小球在区域Ⅲ运动的时间； (4)小球第二次经过y=L时与M点的距离。 【答案】(1)，方向水平向左 (2) (3) (4) 【详解】（1）小球在区域Ⅰ做匀速直线运动，由受力平衡图可知= 解得= 方向水平向左； （2）小球在M点的水平速度为，竖直速度为，在N点的水平速度仍为，竖直速度为，所以 （3）由（1）可知，，小球通过N点进入区域Ⅲ时的速度为，方向与水平成60°角斜向右下，利用配速法将此速度分解为水平向右的和斜向左下的，如图所示 小球在向右做匀速直线运动的同时，又在区域Ⅲ完成了圆周运动，故运动时间 （4）小球在区域Ⅱ从M点到N点的水平位移 小球在区域Ⅲ的水平位移 回到区域Ⅱ的水平位移= 故 3. （2025·北京西城·一模）图1为一种测量电子比荷（电荷量e与质量m之比）的实验装置。两块金属圆盘M、N平行放置，间距为d，照相底片环绕圆盘，距圆盘边缘的径向距离为L。整个装置放在真空中。在两圆盘中心连线的中央有一点状粒子源，向各个方向均匀发射速度大小不同的电子，由于d很小，只有速度方向平行圆盘的电子才能射出圆盘区域。 磁感应强度 M、N间电势差 模式1 0 0 模式2 B -U 模式3 -B U 装置所在空间的匀强磁场的磁感应强度和M、N间的电势差按表格所示的三种模式切换，表中B、U均为已知。以水平向右为磁场的正方向，电场只存在于圆盘间。图2为装置的俯视图，定义角度θ为底片上某点和圆盘中心的连线与磁感应强度正方向的夹角。 (1)判断在θ=90°和270°两个方向中，哪个方向在三种模式下均会有电子从圆盘区域射出，求在模式2、3情况下射出电子的速度大小v0. (2)在（1）中有电子射出的方向上，求在模式2、3情况下，电子打在底片上的位置间的距离y0与比荷的关系。 (3)经过三种模式的反复切换，取有曝光线条的一段底片进行分析，如图3所示。研究人员发现，电子在磁场中运动的轨迹半径远大于L，可将电子在偏转过程中受到的洛伦兹力视为恒力。为充分利用数据测出电子的比荷，测量不同角度θ及对应的上下两条曝光曲线间距y，获取多组数据。以y为纵坐标轴，合理选择横坐标轴，就能将数据拟合为一条过原点的直线，使其斜率等于电子的比荷。请写出横坐标轴的表达式。 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【详解】（1）三种模式下，在模式二洛伦兹力向上，电场力向下，可以受力平衡直线运动，模式三洛伦兹力向上电场力向下，可以受力平衡，因此三种模式方向上均有电子射出 模式二洛伦兹力向下，电场力向下不能受力平衡，不能射出。 在模式2、3情况下，圆盘间电场的电场强度大小 电子在圆盘间做直线运动有      得 （2）在模式2、3情况下，电子从圆盘间射出后，在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动半径为R，根据牛顿第二定律有           得 由几何关系可知，在两种模式下，电子打在底片上的位置间的距离 （3）在模式2、3情况下，设从圆盘间沿θ角方向射出的电子速度的大小为v，则根据       得 电子射出后，由题意可知，电子的偏转可视为恒力作用下的运动，则电子从圆盘边缘运动到底片的时间 设电子加速度的大小为a，则 电子打在底片上的偏转距离 得 则以为横轴作出图像，图线的斜率即为电子的比荷。 4. （24-25高二下·山西·阶段练习）如图所示，平面直角坐标系的第一象限内某区域存在一有界匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，x轴下方存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E，在x轴下方放置一足够长的荧光屏，荧光屏一端固定在x轴上的Q点，且可绕Q点转动。从O点沿OP方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以不同速率沿直线运动到P点后进入有界匀强磁场区域，最终所有粒子都垂直经过x轴上NM段。速率最大的粒子在垂直x轴经过M点前都在磁场内运动，不计粒子重力，。求： (1)粒子速率的最大值和最小值。 (2)粒子在第一象限内运动时间的最大值与最小值之差。 (3)若速率最大的粒子与速率最小的粒子打在荧光屏同一位置，荧光屏与x轴负方向夹角的正切值。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知速度最大的粒子运动轨迹如图，圆心O2，由几何关系 解得 可知， 速度最小的粒子运动轨道圆心为O1，则由几何关系 解得rmin=2l 根据 可得 解得最大速率 最小速率 （2）粒子在磁场中运动的周期 由（1）中分析可知，粒子在磁场中转过的角度相等，则粒子在磁场中运动的时间相等，则粒子速率越小在第一象限内运动时间越长，速率越大在第一象限内运动时间越短。粒子在第一象限内运动的最短时间 粒子在第一象限内运动的最长时间 又 则时间差 （3）粒子离开磁场后进入电场，竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，设打到荧光屏上的位置距离x轴的距离为y，因相同的粒子在电场中的加速度相同，设为a，则，，， 其中 解得 荧光屏与x轴负方向夹角的正切值 解得 5. （2025·浙江·模拟预测）一款能抛射带电小球的实验装置如图所示，质量为m、带电荷量的小球从A点无初速下落，平滑进入圆弧轨道后从轨道底端C点进入加速装置，经过加速后进入矩形匀强磁场区域，从磁场上边缘P点与成45°角斜向左上射出，抛出后碰撞到左侧竖直墙面E点，碰后瞬间平行墙面的速度不变，垂直墙面的速度变为零。之后小球能按照第一次经过E点后的运动轨迹循环运动。已知B、C、D、G位于同一水平线上，磁场高度为h，宽度足够大，方向垂直纸面向里。竖直，高度为。加速装置由平行板电容器构成，重力加速度为，忽略一切摩擦。求： (1)极板间的加速电压； (2)小球进入磁场时的动能； (3)磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球到点后能循环运动，则每次经过点小球竖直方向速度相等。根据抛体运动知识可知，小球斜抛运动的最高点与点等高。点至点的逆向运动过程为平抛运动，设运动时间为点水平速度与竖直速度相等，有， 解得 小球由点下落至上抛至点的全过程中，只有加速装置做功，小球在点具有的动能等于加速电场做的功，有 联立解得 （2）根据动能定理可得 得 （3）小球在磁场中运动，同时受到重力与洛伦兹力作用，使用配速法。设进入磁场时的速度为，将分解为和两个分速度，方向均水平向右，其中分速度产生的洛伦兹力与重力恰好平衡，另一个分速度产生的洛伦兹力导致的分运动为匀速圆周运动，即原运动分解成匀速直线运动和匀速圆周运动两个分运动。即有， 匀速直线分运动未发生动量变化，总冲量为0。洛伦兹力的水平方向冲量 对于线速度为的圆周运动，在很短的时间内，设速度的水平分量为，竖直分量为，水平方向的洛伦兹力为，竖直方向位移为，则在水平方向产生的冲量为 两边求和，有 即 联立解得磁感应强度大小 6. （2025·浙江·模拟预测）如图所示，两平行金属板M、N长为、间距为，在与金属板右端距离处，垂直于两板间的中心轴线固定一足够大的收集板P。粒子源连续不断地释放带电荷量为、质量为的带正电的粒子，并由静止开始经相同电压加速后，从左侧沿方向射入两板间，且单位时间内射入的粒子数相等。现在M、N板间加有的交变电压（其中为周期），忽略电场的边界效应，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。交变电压的周期远大于粒子在板间的运动时间，可认为粒子在板间运动的时间内，板间电压不变。 (1)求粒子射入M、N板间时的速度大小。 (2)求收集板P上有粒子被打到的区域长度及每个周期内射入M、N间的粒子在收集板P上的收集率（结果保留1位小数）。 (3)若在M、N板的右侧空间加一垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场，且可调节，为使收集板P上对射入磁场的粒子的收集率恰为，求应满足的条件及粒子打在收集板上的区域长度。 【答案】(1) (2)2L， (3)， 【详解】（1）粒子加速过程中，根据动能定理有 解得 （2）作出轨迹示意图，如图1所示 设粒子在M、N极板中的偏转距离为，则有， 解得 可知，当时，解得 此时，根据几何关系可知，粒子打在收集板前的竖直位移为 根据交流电的周期性可知，收集板P上有粒子被打到的区域长度为。结合上述可知，当电压大小时粒子能射出电场打到收集板P上，由于 可知，被收集的粒子数占射入电场总粒子数的 解得所求的收集率为。 （3）根据题意可知，当，粒子在电场中的侧移为0，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，如图2所示 设其轨迹半径为，则有 解得 当时，结合上述粒子射出电场的侧移 粒子在电场中运动过程中有 解得 可知粒子在极板间速度偏转角度为，进入磁场后做匀速圆周运动，其轨迹半径为 根据几何关系可知，为使收集板P上对射入磁场的粒子的收集率为，即从中心轴线以下射出极板间的粒子均不能打到收集板P上，则收集板距金属板右端的距离应满足 根据几何关系可知，粒子打在收集板上的区域长度 解得 7. （2025·浙江·模拟预测）在科学实验中，我们可以通过调节电场强度的大小来控制带电粒子的运动轨迹，达到相应的实验目的。如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有沿方向的匀强电场，电场强度大小为且可以调整。在第三象限内有一垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。粒子源在平面内可以向各个方向发射速度大小不同的带负电粒子。已知粒子质量为，电荷量的值为。轴上的点与S的连线垂直于轴，S与点的距离为，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。 (1)求从S出发的粒子能到达点的最小速度； (2)若通过点的粒子在电场与磁场中沿闭合轨迹做周期性运动，求此时电场强度的大小； (3)某粒子射出方向与成角并经过点，调整电场强度的大小，使粒子最终能垂直经过轴，试写出点到点的距离与电场强度大小的关系式。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）从点出发的粒子做匀速圆周运动，直接到达点的粒子中，轨迹圆半径越小，粒子速度越小，为直径时，轨迹圆半径最小，则该粒子速度最小； 由几何知识得 对粒子由牛顿第二定律得 解得 （2）在该条件下，粒子在磁场中运动时，S、始终在轨迹圆上，即轨迹圆圆心一定在垂直平分线上，且轨迹圆与轴的另一个交点即为粒子从电场进入磁场的点; 设粒子初速度为，初速度方向与夹角为（小于），从点由电场进入磁场，轨迹如图1所示，设该粒子在磁场中的轨迹半径为，则 由牛顿第二定律有 设粒子在电场中的运动时间为，由对称性可知： 沿轴方向 沿轴方向 解得 初速度方向与夹角大于时，轨迹与图1中轨迹关于对称，不变； （3）由几何知识得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 设粒子的速度为，粒子在电场中做一次类平抛运动的时间是，对粒子在磁场中由牛顿第二定律得 在电场中沿轴方向有 若粒子最终能垂直经过轴，轨迹如图2所示 由几何关系得（其中） 解得（其中） 当时，均可满足； 当时，粒子再次进入磁场，由几何关系可知 解得时，应满足的条件为 8. （2025·浙江宁波·一模）某离子实验装置的基本原理如图甲所示，离子源能源源不断从坐标原点沿轴正向发射同种离子，离子质量为，电量为，初速度大小范围在之间。以过垂直于纸面的界面为边界，左侧为区，存在沿轴正向的匀强电场，大小未知，右侧为II区，存在垂直纸面向外的匀强磁场，其大小也未知。其中初速为的离子从点出射后立刻进入区，在电场中偏转后进入匀强磁场，已知此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等。忽略边界效应，忽略离子间的相互作用力，不计离子重力。 (1)求和的比值； (2)求初速度为的离子在磁场中圆周运动的半径和周期； (3)求从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程； (4)如图乙所示，保持离子源情况和I区电场不变，把II区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小为，方向相反且平行于轴的匀强磁场，两磁场界面也垂直于轴，且整个II区均存在沿轴负向的匀强电场，电场强度大小为。在II区某处放置一块与纸面垂直的足够大的测试板，离子抵达板的左侧面时会发光。沿轴左右调节两磁场区的分界面，使得测试板在分界面右侧磁场沿轴在一定范围内移动时均能探测到发光直线。当分界面在某一特定位置时，此时测试板离轴最远时能探测到的发光直线恰好在平面内。此时把处分界面到测试板之间的两个磁场区间宽度记为和。求这种特定情况下 ①与的比值； ②发光直线的长度。 【答案】(1) (2)， (3)其中/，其中 (4)①或② 【详解】（1）经分析，离子在电场中的加速度为 初速为的离子从点出射后立刻进入区，做类平抛运动，在电场中偏转后进入匀强磁场，根据矢量关系知，离子出电场的速度即在磁场中匀速圆周运动的速度大小为，水平向右的分速度为，根据牛顿第二定律 解得在磁场中的加速度为 此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等，联立可得 （2）离子在电场中根据运动规律 解得加速度 在磁场中的速度大小为，故加速度为 联立可得 故周期 （3）如图1所示 离子在电场中水平方向做初速为0的匀加速直线运动，根据小问1的分析知，离子在点水平向右的分速度为，根据运动规律 解得 故水平方向，根据运动学规律 从边界点射出后进入磁场时 联立上方两式可得 离子在磁场中圆周运动的速度为，满足 可得 圆心的横坐标为 纵坐标为 且当磁场中速度为时 即 则 或 联立以上三式可得圆心的轨迹线为一条直线，方程为 其中 或，其中 （4）①经分析，沿轴负方向看，离子均以做匀速圆周运动，满足要求的轨迹如图2所示 由几何关系可得 则或 ②沿轴方向离子做匀变速直线运动，加速度相同，抵达板上的运动时间也相同，则 ， 初速为的离子落在板上位置最高，到达I区右边界时 所以到板上的位置最高为 初速为0的离子落在板上位置最低，到板上的位置最低为 所以到板上的发光直线长度为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $