第7讲 带电粒子的运动问题-2026年浙江省高中物理选考二轮复习解密

第7讲 带电粒子的运动问题 命题情境常与现代科技相结合，如离子注入机、医用重离子放疗设备、粒子加速器等，以这些设备为背景，考查学生对带电粒子在电场、磁场中运动规律的理解和应用能力，体现物理学科的实用性和时代性。主要考查的知识点有：带电粒子在带电场中的加速和偏转，在有界匀强磁场中的运动，以及带电粒子在组合场中的运动，都是考试关注的焦点。 一、做好“两个区分”，谨防做题误入歧途 1.正确区分电场力、洛伦兹力的大小、方向特点及做功特点 力的特点 功和能的特点 电场力 大小：F＝Qe 方向：正电荷受力方向与电场强度方向相同；负电荷受力方向与电场强度方向相反 电场力做功与路径无关，电场力做功改变电势能 洛伦兹力 洛伦兹力F＝qvB 方向符合左手定则 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2.正确区分“电偏转”和“磁偏转”的规律 (1)电偏转→ (2)磁偏转→→→→ 二、带电粒子在有界磁场中的运动 带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是： (1)画出运动轨迹； (2)确定圆心和半径； (3)利用洛伦兹力提供向心力列式． 模型 解读 “平移圆”模型 （1）条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同一直线上。 （2）特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 （3）用法：将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子运动的有关临界问题 “放缩圆”模型 （1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大小不同。 （2）特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。 （3）用法：用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题 “旋转圆”模型 （1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方向不同。 （2）特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。 （3）用法：将半径相同的轨迹圆以入射点为圆心旋转，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与磁场圆上过入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，磁场圆上过该点的切线与入射方向平行 三、带电粒子在复合场中的运动实例 质谱仪 加速：qU＝mv2。偏转：d＝2r＝。比荷＝。可以用来确定带电粒子的比荷和分析同位素等 速度选择器 带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝。这个结论与粒子带何种电荷以及所带电荷量多少都无关 磁流体发电机 当等离子体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，此时离子受力平衡：qvB＝q，即U＝Bdv 电磁流量计 导电的液体向左流动，导电液体中的正负离子在洛伦兹力作用下纵向偏转，a、b间出现电势差。流量稳定时流量Q＝Sv＝ 四、方法指导 （1）“三种方法”和“两种物理思想” 1.对称法、合成法、分解法。 2.等效思想、分解思想。 （2）解题用到的“三个技巧” 1.按照带电粒子运动的先后顺序，将整个运动过程划分成不同阶段的小过程。 2.善于利用几何图形处理边角关系，要有运用数学知识处理物理问题的习惯。 3.速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计的共同特点是粒子稳定运动时电场力与洛伦兹力平衡。 题型1选考真题探秘 1. （2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核结构。如图1所示，用回旋加速器使氘原子核（）获得2.74MeV动能，让其在S处撞击铝（）核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子（）。产生的质子束经狭缝X沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B的圆形匀强磁场区域，经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D处（探测板与磁场边界相切于A点，D点与磁场圆心O处在同一竖直线上），获得如图2所示的质子动能的能谱图。 (1)写出氘核撞击铝核的核反应方程； (2)求A、D的间距L； (3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率； (4)处于激发态的核会发生β衰变，核反应方程是。若核质量等于核质量，电子质量为0.51MeV/c2，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。 【答案】(1) (2) (3)2.74×103W (4)5.49MeV 【详解】（1）氘核撞击铝核的核反应方程 （2）由图可知，两种质子的动能分别为3MeV和9MeV，动能之比1∶3，可知速度之比，根据 可知 可知在磁场中的半径之比为 由图可知半径较小的打到A点，半径较大的打到D点，由几何关系可知， 解得 可得A、D的间距 （3）若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，则时间t射出氘核的数量为 回旋加速器的输出功率 （4）氘核撞击铝核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子。根据能量守恒可得，能量的为3MeV和9MeV质子分别对应处于激发态的和处于基态的态的。激发态的回到基态会释放能量 核质量等于核质量，则衰变释放的能量主要来源于激发态的跃迁产生的能量差。电子质量为0.51MeV/c2，则衰变释放能量 2. （2025·浙江·高考真题）同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系统如图1所示。将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪ESA-I、磁体-I和高电压清除器，让只含有三种碳同位素、、的离子束（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U的加速电极P，磁感应强度为B、半径为R的四分之一圆弧细管道和离子接收器F构成。通过调节U，可分离、、三种同位素，其中、的离子被接收器F所接收并计数，它们的离子数百分比与U之间的关系曲线如图2所示，而离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-Ⅱ，被接收器D接收并计算。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及发生衰变生成的核反应方程式： (2)根据图2写出的离子所对应的U值，并求磁感应强度B的大小（计算结果保留两位有效数字。已知，原子质量单位，元电荷）； (3)如图1所示，ESA-Ⅱ可简化为间距两平行极板，在下极板开有间距的两小孔，仅允许入射角的离子通过。求两极板之间的电势差U： (4)对古木样品，测得与离子数之比值为；采用同样办法，测得活木头中与的比值为，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计算古木被砍伐距今的时间（已知的半衰期约为5700年，） 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【详解】（1）中子与发生核反应生成的核反应方程式为 发生衰变生成的核反应方程式为 （2）在加速电场中，由动能定理得 解得 磁场中，洛伦兹力提供向心力 联立解得 ， 相比，的比荷更大，通过圆形管道所需要的电压更大，通过图2可知当电压为时，与的离子数百分比为，故的离子所对应的U值为。 根据整理得 （3）由题意知，粒子在板间做类斜抛运动，水平方向有 ， 竖直方向有 ，， 联立解得 （4）古木中与比值是活木头中的，说明经过衰变后只剩下，已知经过一个半衰期剩下，设经过n个半衰期，则有 解得 则砍伐时间 3. （2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U=kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控（UNM>0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 （1）若U=U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）。 （2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求： ①U的调节范围（用U0表示）； ②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度； （3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。 【答案】（1）L；（2）①；②；（3）， 【详解】（1）对a离子根据动能定理得 a离子在匀强磁场中做匀速圆周运动 a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置，联立解得 （2）①要使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，只能经电压为U的电场加速后再经第一象限匀强磁场偏转一次打在P板上方任意处，则 结合（1）中分析得 即 即 ②b离子经过电压为U的电场加速后在磁场中第一次偏转打在x轴上的位置坐标为 代入得 故可知b离子能从栅极板（坐标范围为）任意位置经电压为的电场减速射入虚线下方的磁场，此时 b离子先经过电压为U的电场加速再在第一象限磁场中做匀速圆周运动后再经过电压为的电场减速，因为根据动能定理得 同时有 ， 当时，b离子从栅极板左端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板左端的距离为 当时，b离子从栅极板右端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板右端的距离为 故b离子落在喷镀板P下表面的区域长度为 （3）要求a离子落在喷镀板中点Q，由（1）可知 故可得 则b离子从处经过栅极板，若b离子减速一次恰好打在P板下方中央处，设，则同理可知 联立解得 则可得 当减速n次 联立得 当减速n次恰好打在P板下方中央处，可得 即 解得 即，n取整数，故可得，故可得 4. （2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析 【详解】（1）根据牛顿第二定律 不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d的最小值为 （2）设水平方向为方向，竖直方向为方向，方向速度不变，方向速度变小，假设折射角为，根据动能定理 解得 根据速度关系 解得 （3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候方向速度为零，即 可得 即应满足 （4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得 所以如果的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下： ①当时 又 解得 全部都打不到板的情况 ②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为时，粒子刚好打到D点，水平方向速度为 所以 又 解得 即当时 ③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（），此时仅有O点右侧的一束粒子能打到板上，因此 又 解得 题型2带电粒子在电磁场中的直线运动和偏转 5. （2025·浙江金华·一模）如图（a）所示，在矩形区域内存在周期性变化的匀强电场，电场的变化规律如图（b）所示，电场方向由指向时为正方向。在上方存在方向垂直纸面向里的磁场区域Ⅰ，下方存在方向垂直纸面向外的磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小均为且磁场区域足够大。在的中点处有一电子发射源，可以源源不断地发出质量为、电荷量为、速度方向与垂直、大小为的电子。上有一电子吸收板。已知，，，，，，且电子重力不计。 (1)若时刻发出的电子没有进入磁场，且恰好能经过的中点，求的大小； (2)若所有从电子源发出的电子都不会从和边界进入磁场，请求出满足该情况的的取值范围； (3)若，求时刻发出的电子最终打在吸收板上的位置； (4)现保持电场强度不变，方向向上，从中点射出的电子恰好经过的中点，电子源从的中点匀速缓慢向靠近，计算这一过程中打在吸收板上的电子占射出总电子的百分比。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）电子到达吸收板时所需时间为 到时间内，类平抛运动满足 解得 （2）若不出电场，在水平方向向右做匀速直线运动，到达吸收板时所需的时间为 所有电子中时刻发出的电子在向上或向下的方向上有最大的位移，且 解得 （3）0时刻射出的粒子，经过后，方向位移满足 说明粒子恰好从的中点射出，射出瞬间方向速度满足 速度偏转角满足 可得 故合速度及入射角为 因此由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹为四分之一圆周。 电子在磁场中做匀速圆周运动，有洛伦兹力提供向心力 又有时间满足 联立解得， 故有， 电子重新进入电场后在水平方向向右做匀速直线运动，有 所以电子在电场中运动时电场方向为正方向，且方向未发生变化。因此电子向上做匀加速直线运动，有 因此电子不会进入磁场区域Ⅰ，直接打在吸收板距点的距离为处。 （4）假设在电场中加速时间为的电子恰好打在点，在电场中运动的水平位移 进入磁场时竖直方向的速度 由第三问可得 进入磁场后 电子从进入磁场到到达点 又有 联立解得 射出的电子在电场中竖直方向运动的距离 上方电子射出，下方电子打到吸收板电子占射出总电子的百分比 6. （2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，比例为0；当时，比例为；当时，比例为 【详解】（1）由题可知粒子速度方向对准A点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示，由几何规律可知，圆形磁场边界，出射速度与磁场区域半径的夹角等于入射速度与磁场区域半径的夹角 入射时 解得 （3）设粒子从O点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过x轴时所在位置离O点距离为x，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准A点时，刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限，所以粒子在x轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从O点入射时，y方向速度越大，偏转位移x越大，由于初始粒子沿y轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，也即距离x轴的粒子均能从小孔通过，其中距离x轴0.5R时，也即的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （4）由（3）可知，k越大，x越小，对此分为如下三种情况： （i）当从O点沿y轴正向入射时（x最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近A点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在P点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离x大于小孔右边界，故粒子所占比例为 7. （2025·浙江湖州·一模）为探究带电粒子对探测板的作用力，探究小组设计的一实验装置如图所示，粒子源S、加速器出口、速度选择器中线CD、x轴位于同一水平线上。坐标系的第Ⅰ象限全部和第Ⅳ象限部分区域内存在有界磁场，边界OM满足。探测板PQ与x轴平行，P点在y轴上，位置可调，PQ长度为l。粒子源S正对加速器出口，单位时间释放N0个粒子，粒子初速度大小连续分布在0和之间，经加速后从C点射入速度选择器，从D点射出后均从O点沿x轴正方向射入磁场，在磁场中偏转后射出边界OM，打到探测板PQ上的粒子均匀分布在探测板上并被探测板吸收。其中，初速度为0的粒子恰好沿中线CD射出速度选择器。已知粒子的质量为m，电荷量为−q（q>0），加速电压为，速度选择器内的磁场和有界磁场的磁感应强度大小分别为B1和B2，方向垂直纸面向里，。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力，粒子不会与速度选择器的极板碰撞。 (1)求速度选择器电场强度的大小E； (2)求速度选择器间的极板长度L的可能值； (3)调节探测板位置，稳定后，求粒子对探测板的平均作用力竖直分量的最大值Fm及对应的探测板位置y轴坐标。（该问结果用字母N0、q、B2和l表示） 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）对初速度为0的粒子，由动能定理可得 解得 在速度选择器中受力平衡，则有 解得 （2）从加速器发射粒子速度大小v连续分布在v0和2v0之间。在选择器中的运动可视为以v0沿CD的匀速运动与以v−v0的匀速圆周运动的合运动。要求粒子从D点射出后均从O点沿x轴射入磁场，则有 （3）进入有界磁场速度大小v连续分布在v0和2v0之间，半径为R和2R， 其中， 即对应y轴坐标为 此时，粒子对探测板的平均作用力的竖直分量Fm最大。如图所示 此时Q点和P3点对应粒子速度分别为2v0和1.5v0，由题意可知，单位时间探测板接收到的粒子数 在探测板上距P3为x处，取Δx→0，在t时间内，根据动量定理可得 其中，，， 联立解得 积分可得 解得 8. （2025·浙江杭州·一模）一圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长，半径R。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为、质量是m、电量为e的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上。忽略场的边界效应、电子受到的重力及电子间相互作用力。若电子碰到筒壁，则被吸收且电中和，R、、m、e均为已知量。 (1)求的大小； (2)接第（1）问，当磁感应强度大小调至 ①求垂直中心轴发射的电子，从发射到落到筒壁上的时间； ②求筒壁上落有电子的区域面积S； ③如图c若电子发射速度与中心轴夹角为α，可经过离O点正上方距离为的点，求α角的可能值。 【答案】(1) (2)①；②；③或 【详解】（1）当磁场的磁感应强度为时，电子刚好不会落到筒壁上。则电子以速度垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为，根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 （2）①当，电子轨道半径，如下图所示P点为电子在筒壁落点为等边三角形 所以 ②磁感应强度调整为后，将速度方向与中心轴夹角为θ的电子运动分解为垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解， 电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹圆半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得， 解得 电子发出到与筒壁相切时间 电子发射方向上下对称，则打在筒壁沿轴方向长度 可知最大面积 ③根据题意可知时电子不受洛伦兹力，可匀速直线运动过点。 当电子水平方向圆周运动周期为 竖直方向匀速直线运动 解得 当n=1时； 当n>1时，电子打在筒壁上，不符合要求。 综上所述：经过O点正上方距离为的点α角的可能值是或。 题型3带电粒子在叠加场中的运动问题 9. （2025·浙江杭州·模拟预测）透射电子显微镜以钨作为热电子源，利用高压加速电子，再通过速度选择器筛选特定速度电子后打在较薄的样品上得到图样，其结构简化后如图所示。O点为钨电子源，处在两正对金属极板C、D的正中间处，加热后可产生速度较小可忽略的电子。D极板上有一小孔，电子可以在加速后从小孔打出，进入正对金属板E、F构成的电容器中，E、F板间电压为U，板间距为L。E、F中间区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在E、F板的末端有一开有小孔的收集板G，G与E、F板绝缘，且位置左右可调，粒子打到收集板上立即被导走。从小孔中打出电子的最大速度与最小速度的差被称为速度选择器的误差。两小孔与电子源在同一轴线上。在CD间加有约为380kV的恒定高压时，电子物质波波长为λ0，电子电量为e，电子静止质量为m，普朗克常数为h。考虑相对论效应时，电子的质量随速度增大。对于能从收集板上小孔打出的电子，不计离开钨的初速度大小，求： (1)从小孔中点打出的电子的速度v； (2)电子的动量p； (3)G移动时，速度选择器的误差会改变，最小误差Δv与小孔的孔径d的函数关系； (4)钨作为热电子源，在加热后会如同光电效应向空间各方向发射不超过一定速度的电子。在C、D间不加电压，而施加一平行于板垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度也为B；此时所有电子均能打在C板上，且有电子打中的面积为S，电子的最大初速度vm。 【答案】(1)，水平向右 (2)，水平向右 (3) (4) 【详解】（1）根据平衡条件 电场强度大小为 解得  水平向右 （2）电子的德布罗意波长为   解得  水平向右 （3）最小误差为 电子做匀速圆周运动的半径 解得 （4）粒子运动时间   与磁场垂直的分速度为   解得 与磁场平行的分速度为 解得   合速度为 解得 粒子能打到的范围是一个椭圆，面积为S 解得 10. （2025·浙江·三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为，匀强电场方向竖直向下，场强大小为。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求： (1)粒子由P点射出时水平分速度vx的大小； (2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程； (3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比； (4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。 【答案】(1)3v0 (2) (3) (4) 【详解】（1）设从P 点射出的一粒子，其速度大小为v，方向与y 轴正方向成θ角。 可得 即从P 点射出的粒子其平行于x 轴的分速度大小是3v0。 （2）电场方向沿y 轴负方向。粒子到达O 点后分布在与x 轴正方向成60°的范围内。 电场区域的边界为从O 点进入电场的粒子经电场偏转后速度平行于x 轴正方向时的}出点的集合。令出点的坐标为（x，y），有x =vxt     消去 t 得 （3）若粒子恰能水平进入探测器，即竖直减速为零位移等于探测器高度      其中 解得 即当粒子发射方向与y 轴正方向成45⁰ 至90⁰角的范围内能进入探测器所占比例为 （4）粒子以大小为3v0的水平速度进入电磁场，为抵消粒子所受的电场力，需给粒子一个水平向右的速度v0，粒子在探测器中的运动可以看成匀速直线运动和圆周运动的合运动,其圆周半径，即离x 轴高L 的粒子恰能与上边界相切 根据      解得 即粒子发射方向与y 轴正方向成60°至90°角的范围内能达到右边收集板 收集粒子数 作用时间     根据探测器水平长度，假设粒子以v0匀速向右，则 其中圆周周期 根据,可知 如图所示 解得    θ=60° 则撞击瞬间粒子水平速度为 由动量定理     解得 11. （2025·浙江绍兴·二模）如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。 【提示：空间角是三维空间中的角度度量，用于描述从一个点出发所能观察到的立体角，半顶角为θ的圆锥形发散空间角为】 (1)写出氘和氚核聚变的核反应方程式； (2)若粒子以v0速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小； (3)将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子。 ①若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距； ②求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比； (4)实际装置的环向场线圈产生类似“磁瓶”形状的非匀强磁场来约束粒子，如图丁所示。已知沿轴线方向的磁感应强度最大和最小的关系为：，在粒子运行过程中，垂直轴线方向速度的平方与沿轴线方向的磁感应强度的大小之比为一常数，即。位于轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射粒子（所有粒子均没有碰到室壁），求粒子能被约束在“磁瓶”内的比例。 【答案】(1) (2) (3)，40% (4) 【详解】（1）氘和氚核聚变的核反应方程式 （2）设极向场线圈产生的磁场大小为B，洛仑兹力提供向心力 解得 （3）带电粒子与x轴成θ角射入环向磁场，粒子沿螺旋线运动。 ①设粒子垂直轴向做圆周运动的周期为T，则 设粒子沿轴向上做匀速运动的速度vx，则螺距 解得 ②粒子垂直轴向上做匀速圆周运动，设粒子刚好碰到室壁的角度为θ，洛仑兹力提供向心力 半径为 根据速度的分解，有 可得 粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比 解得 （4）中点O处的磁场最弱，设在O处发射粒子的速度为v，与轴线夹角为θ；“磁瓶”的“瓶颈”处磁场最强，粒子运动到此处时速度方向恰好与轴线垂直，则粒子能够被约束在“磁瓶”内，因为洛仑兹力不做功，粒子速度大小始终为v。根据题意可知 可得 即 则角度大于θ的粒子能被约束在“磁瓶”内 可得 12. （2025·浙江·二模）如图所示，在平面内的区域有竖直向下、大小为的匀强电场，在区域有以轴为中心轴、半径为、高为的圆筒，筒内分布着方向竖直向上、大小的匀强磁场，顶部平面与平面重合，圆心处开有小孔，圆筒底面涂有荧光粉，带电粒子到达处会发出荧光。在平面内有一粒子发射带，其两端坐标：、，之间各点均可在平面内向轴发射不同速率带正电的粒子。已知粒子质量为，电荷量为，圆筒接地，碰到圆筒的粒子即被导走，不计重力，不考虑场的边界效应及粒子间相互作用。 (1)若从点偏离水平方向向右下方发射的粒子恰能通过点进入磁场，求该粒子发射的速度； (2)在某次发射中，从两点水平发射的粒子穿过点到达了圆筒底部，求它们发光点点的坐标； (3)若发射带各点持续水平发射粒子，部分粒子穿过进入磁场，请通过分析，在乙图中画出荧光屏上的图案。 【答案】(1) (2), (3)见解析 【详解】（1）水平方向 竖直方向 得 （2）水平方向 竖直方向 得 粒子在磁场中做等距螺旋运动，在垂直轴平面内有 得 周期 竖直方向 运动时间 回旋次数 落点位置在与轴夹角为处，故坐标为，即 由对称性，易得   （3）粒子进入磁场后，不同，相同，相同，回旋半径不同、螺距相同。落点位置和底面中心连线相对轴的夹角相同，得出与轴夹角为的倾斜直线，直线以、为端点（不触边界） 1. （2025·浙江·二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压U=1.8V，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，π=3，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求： (1)光电子到达极板A的最大速度； (2)极板A上有光电子打中的区域面积； (3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件，并计算电子在磁场中运动最短时间（计算结果保留1位有效数字）； (4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程得 电场中动能定理 解得 （2）设极板上有光电子打中得区域为半径为y的圆形区域，电子的最大动能为 当电子以最大速度且沿平行极板方向逸出锌板时，电子打到圆形区域的边缘。此时电子在平行极板方向做匀速直线运动，则 电子在垂直极板方向做匀加速直线运动，有 其中，根据牛顿第二定律可知，电子沿垂直极板方向的加速度大小为 联立得y=0.6m 则，极板A上有光电子打中的区域面积为 （3）设电子经过A板时最大速度大小为，与板最小夹角为α，则 解得 所有电子均不从右侧边界飞出临界情况如图 由几何关系得 解得Dm=0.9m 所以磁场宽度D应满足的条件为。光电子在磁场中运动最短时间对应轨迹如图 电子在磁场中运动的周期为 运动的最小时间为 解得 （4）取向下为y轴正方向，由y方向动量定理得 则 所以 当向上时，电子水平位移最大，此时 磁场宽度D′应满足的条件。 2. （2025·浙江绍兴·模拟预测）《中国激光》杂志第六期（2025.3）报道，上海光学精密机械研究所林楠团队创新地采用固体激光器方案，实现了LPP-EUV光源技术全球领先，这标志着国产芯片制造迈入了新阶段。物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构图简化如下（z方向足够长），晶圆（截面MN）固定放置于xOy坐标系的第一象限内，OMN区域内有匀强磁场，磁感应强度，方向沿z轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强，方向沿y轴负方向。初速可略的氩离子（比荷 ）经电压为U（待求）的电场加速后，从点水平进入匀强电场E中，恰好打到位于原点O处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的金属离子（比荷）从O点飞入磁场区域，速度大小均为，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其间的相互作用力，求： (1)U的数值； (2)假设进入磁场的离子沿各个方向都有，求晶圆MN方向上的涂膜（金属离子打中的区域）长度； (3)假设从O点飞入磁场的离子分布在半顶角的圆锥侧面上，圆锥对称轴垂直于晶圆截面，如图乙，考察方向上的离子，打在晶圆上的位置坐标。 【答案】(1) (2)0.5m (3)0.555m 【详解】（1）氩离子在电场中做类平抛运动，竖直方向有 水平方向有 在加速电场中，由动能定理可得 联立解得 （2）金属离子在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 沿x轴正向射出的离子，圆心在M点，落点到M点的距离为0.5m，分析知，离子能直接打到M点（此时的弦切角为），故涂膜的长度为0.5m。 （3）对着A点入射的离子，v与B方向不再垂直，将v正交分解，得， 则 在xOy平面内，其落点的y坐标为 即落在M点，故，，图孤所对的圆心角为，则 故 3. （2025·浙江温州·三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立xOy直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2m。一质量m=0.1kg，电荷量q=0.1C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度v0=2m/s沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。 (1)当d=1.25m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v； (2)调节挡板M端与y轴距离为x0时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。 ①求x0； ②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。 ③撤去收集板，在x≤x0区域施加电场强度E=2V/m，方向沿y轴正方向的匀强电场。当d=1m时，求小球在磁场区域运动过程中距x轴的最远距离ym。 【答案】(1)3m/s (2)①2m；②（0≤d≤2m）；③4m 【详解】（1）进入磁场后，小球做匀加速运动，根据牛顿第二定律有 解得 离开挡板时，沿挡板方向速度为 离开挡板时，小球速度大小为 （2）①由题可知，无论d多大，小球都能垂直打在收集板上，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系可得 ②小球离开挡板前，根据 解得 则有 小球离开挡板后，根据几何关系有 根据几何关系可得y与d有关系为（0≤d≤2m） ③当d=1m时，离开挡板时，沿挡板方向速度为 离开挡板时，小球速度大小为 根据动能定理有 水平方向，根据动量定理有 联立解得 小球离开挡板前 则最远距离 4. （2025·浙江湖州·三模）如图为探测磁场区域离子位置的装置。两足够长且间距极小的平行栅极板MN水平放置，左端与电压为U的电源相连，MN之间无磁场，M板上方存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场I，N板下方存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，边界为倾斜虚线OC的匀强磁场Ⅱ。正极板N上的O点有一离子源，能垂直极板向上发射速度大小连续均匀分布在之间的离子，并从D点进入磁场I。已知，离子质量为m，电荷量为q（），虚线OC与N板夹角，忽略栅极的电场边缘效应、离子在电场中的运动时间、离子间的相互作用及离子的重力，则 (1)离子进入磁场Ⅰ的速度大小v的范围； (2)从磁场Ⅱ的边界OC射出离子数比例； (3)若负极板M上水平放置探测板，从上方和下方射入的粒子均能被其接收。在时离子从O点射出，要求能在时间内探测到未从边界OC射出的所有离子，求探测板的最小长度L。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）动能定理 解得 解得 所以 （2）临界如图所示 设此时速度大小v，上圆半径为，下圆半径为 则 解得 解得， O点的速度大小 所以 （3）离子经过三个半圆弧，打到探测板上方 距O点最近水平距离对应离子初速度为零时， 离子经过二个半圆弧，打到探测板下方 距O点最远水平距离对应离子初速度为时， 当离子经过二个半圆弧恰好经过，其半径分别为、，随后进入磁场I 可得 比较离子打到的最远点，知 探测板的最短长度 5. （2025·浙江嘉兴·三模）如图所示是粒子发射接收装置，粒子源（大小不计）能均匀释放初速度可视为0的电子，单位时间内释放的电子数为n。在以为圆心、半径为的水平区域内存在辐向电场，能为电子提供可在范围内调节的加速电压。电子经辐向电场加速后沿各个径向均匀射出，后进入同时存在磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场的区域，两场方向均竖直向上。为粒子源正下方的一点，且位于足够大的水平收集板上，与的距离可调。已知电子电量为，质量为，电子到达收集板后立刻被吸收且电中和，不计电子受到的重力及相互间作用力。    (1)求电子刚从辐向电场射出时速度的大小范围； (2)上下移动收集板，求收集板上能收集到电子的区域的最大面积； (3)若无论怎样调节辐向电场的加速电压U，电子在收集板上的落点与收集板中心的距离都相同，求 ①距离需满足的条件； ②收集板所受冲击力大小F。 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）从粒子源到辐射电场，根据动能定理： 根据题意可知电压范围为 代入可得速度的最小值为   速度的最大值为 所以速度范围是 （2）根据洛伦兹力提供向心力 可得电子运动最大半径 由图可知    电子与中心的最远距离 电子与中心的最近距离 收集板上能收集到到电子的区域面积 （3）①由题意可知，接收板只能在电子运动周期整数倍的位置，才能使所有落在收集板上电子与收集板中心距离都相同。 电子运动周期 根据匀变速直线运动规律 ②垂直方向的速度为 根据动量定理 可得 6. （2025·浙江杭州·二模）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴O，经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，，求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小； (2)离子的电荷量； (3)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离O、轴线的距离。 (4)离子以（3）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直、轴线且匀速旋转的匀强电场使离子加速。稳定后离子在垂直、轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。 ①为保证离子不接触芯片，求芯片距离的最小距离； ②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。 【答案】(1) (2) (3) (4)①；② 【详解】（1）离子沿水平中轴 OO1经过速度选择器，设离子电荷量为q满足 解得 （2）偏转区仅加电场时，水平方向 竖直方向 且有 联立解得 （3）离子在磁场中偏转时，设偏转角为，磁场半径 偏转角等于圆心角，由几何关系 可得 离子出射时偏离轴线的距离 （4）当离子进入共振腔后，将速度分解为两个方向，其中水平方向 其中 ①水平方向在阻力下做减速运动，为保证离子不接触芯片，对离子进入到水平方向速度减小为0过程分析，由动量定理有 其中 得芯片距离O2的最小距离 ②稳定后离子会以与旋转电场相同的恒定角速度在某一切面内做匀速圆周运动，设最终速度为。沿圆周的半径方向 沿圆周的切线方向 可得 旋转电场对离子做功的功率 当 即时，电场对离子做功的瞬时功率最大。 7. （2025·浙江杭州·模拟预测）为了探测粒子的轨迹，云室中常用电场和磁场来控制粒子的运动，如图所示，直角坐标系平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度从点垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 (1)求电场强度E的大小和磁感应强度B的大小； (2)若粒子在磁场中受到与速度方向相反、大小与速度成正比的阻力（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； (3)在第（2）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）作出粒子运动轨迹如图所示 粒子在电场中做类斜抛运动，利用逆向思维有， 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 根据几何关系有 解得 （2）将粒子的速度沿x轴与y轴分解，在x轴方向，根据动量定理有 其中， 结合上述解得 即Q点的坐标为。 （3）令粒子在Q点的速度为，结合上述，在y轴方向，根据动量定理有，， 结合上述解得 根据题意洛伦兹力方向与阻力方向始终垂直，令粒子的速度为v，沿速度方向利用动量定理有 则有 结合上述解得 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 带电粒子的运动问题 命题情境常与现代科技相结合，如离子注入机、医用重离子放疗设备、粒子加速器等，以这些设备为背景，考查学生对带电粒子在电场、磁场中运动规律的理解和应用能力，体现物理学科的实用性和时代性。主要考查的知识点有：带电粒子在带电场中的加速和偏转，在有界匀强磁场中的运动，以及带电粒子在组合场中的运动，都是考试关注的焦点。 一、做好“两个区分”，谨防做题误入歧途 1.正确区分电场力、洛伦兹力的大小、方向特点及做功特点 力的特点 功和能的特点 电场力 大小：F＝Qe 方向：正电荷受力方向与电场强度方向相同；负电荷受力方向与电场强度方向相反 电场力做功与路径无关，电场力做功改变电势能 洛伦兹力 洛伦兹力F＝qvB 方向符合左手定则 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2.正确区分“电偏转”和“磁偏转”的规律 (1)电偏转→ (2)磁偏转→→→→ 二、带电粒子在有界磁场中的运动 带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示) 4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是： (1)画出运动轨迹； (2)确定圆心和半径； (3)利用洛伦兹力提供向心力列式． 模型 解读 “平移圆”模型 （1）条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同一直线上。 （2）特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 （3）用法：将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子运动的有关临界问题 “放缩圆”模型 （1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大小不同。 （2）特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。 （3）用法：用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题 “旋转圆”模型 （1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方向不同。 （2）特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。 （3）用法：将半径相同的轨迹圆以入射点为圆心旋转，从圆的动态变化中可发现粒子运动的有关临界问题 磁发散 磁聚焦 带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与磁场圆上过入射点的切线方向平行 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，磁场圆上过该点的切线与入射方向平行 三、带电粒子在复合场中的运动实例 质谱仪 加速：qU＝mv2。偏转：d＝2r＝。比荷＝。可以用来确定带电粒子的比荷和分析同位素等 速度选择器 带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝。这个结论与粒子带何种电荷以及所带电荷量多少都无关 磁流体发电机 当等离子体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，此时离子受力平衡：qvB＝q，即U＝Bdv 电磁流量计 导电的液体向左流动，导电液体中的正负离子在洛伦兹力作用下纵向偏转，a、b间出现电势差。流量稳定时流量Q＝Sv＝ 四、方法指导 （1）“三种方法”和“两种物理思想” 1.对称法、合成法、分解法。 2.等效思想、分解思想。 （2）解题用到的“三个技巧” 1.按照带电粒子运动的先后顺序，将整个运动过程划分成不同阶段的小过程。 2.善于利用几何图形处理边角关系，要有运用数学知识处理物理问题的习惯。 3.速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计的共同特点是粒子稳定运动时电场力与洛伦兹力平衡。 题型1选考真题探秘 1. （2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核结构。如图1所示，用回旋加速器使氘原子核（）获得2.74MeV动能，让其在S处撞击铝（）核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子（）。产生的质子束经狭缝X沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B的圆形匀强磁场区域，经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D处（探测板与磁场边界相切于A点，D点与磁场圆心O处在同一竖直线上），获得如图2所示的质子动能的能谱图。 (1)写出氘核撞击铝核的核反应方程； (2)求A、D的间距L； (3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率； (4)处于激发态的核会发生β衰变，核反应方程是。若核质量等于核质量，电子质量为0.51MeV/c2，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。 2. （2025·浙江·高考真题）同位素相对含量的测量在考古学中有重要应用，其测量系统如图1所示。将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪ESA-I、磁体-I和高电压清除器，让只含有三种碳同位素、、的离子束（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U的加速电极P，磁感应强度为B、半径为R的四分之一圆弧细管道和离子接收器F构成。通过调节U，可分离、、三种同位素，其中、的离子被接收器F所接收并计数，它们的离子数百分比与U之间的关系曲线如图2所示，而离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-Ⅱ，被接收器D接收并计算。 (1)写出中子与发生核反应生成，以及发生衰变生成的核反应方程式： (2)根据图2写出的离子所对应的U值，并求磁感应强度B的大小（计算结果保留两位有效数字。已知，原子质量单位，元电荷）； (3)如图1所示，ESA-Ⅱ可简化为间距两平行极板，在下极板开有间距的两小孔，仅允许入射角的离子通过。求两极板之间的电势差U： (4)对古木样品，测得与离子数之比值为；采用同样办法，测得活木头中与的比值为，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳定。试计算古木被砍伐距今的时间（已知的半衰期约为5700年，） 3. （2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U=kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控（UNM>0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 （1）若U=U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）。 （2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求： ①U的调节范围（用U0表示）； ②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度； （3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。 4. （2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值） （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区） （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 题型2带电粒子在电磁场中的直线运动和偏转 5. （2025·浙江金华·一模）如图（a）所示，在矩形区域内存在周期性变化的匀强电场，电场的变化规律如图（b）所示，电场方向由指向时为正方向。在上方存在方向垂直纸面向里的磁场区域Ⅰ，下方存在方向垂直纸面向外的磁场区域Ⅱ，磁感应强度大小均为且磁场区域足够大。在的中点处有一电子发射源，可以源源不断地发出质量为、电荷量为、速度方向与垂直、大小为的电子。上有一电子吸收板。已知，，，，，，且电子重力不计。 (1)若时刻发出的电子没有进入磁场，且恰好能经过的中点，求的大小； (2)若所有从电子源发出的电子都不会从和边界进入磁场，请求出满足该情况的的取值范围； (3)若，求时刻发出的电子最终打在吸收板上的位置； (4)现保持电场强度不变，方向向上，从中点射出的电子恰好经过的中点，电子源从的中点匀速缓慢向靠近，计算这一过程中打在吸收板上的电子占射出总电子的百分比。 6. （2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 7. （2025·浙江湖州·一模）为探究带电粒子对探测板的作用力，探究小组设计的一实验装置如图所示，粒子源S、加速器出口、速度选择器中线CD、x轴位于同一水平线上。坐标系的第Ⅰ象限全部和第Ⅳ象限部分区域内存在有界磁场，边界OM满足。探测板PQ与x轴平行，P点在y轴上，位置可调，PQ长度为l。粒子源S正对加速器出口，单位时间释放N0个粒子，粒子初速度大小连续分布在0和之间，经加速后从C点射入速度选择器，从D点射出后均从O点沿x轴正方向射入磁场，在磁场中偏转后射出边界OM，打到探测板PQ上的粒子均匀分布在探测板上并被探测板吸收。其中，初速度为0的粒子恰好沿中线CD射出速度选择器。已知粒子的质量为m，电荷量为−q（q>0），加速电压为，速度选择器内的磁场和有界磁场的磁感应强度大小分别为B1和B2，方向垂直纸面向里，。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力，粒子不会与速度选择器的极板碰撞。 (1)求速度选择器电场强度的大小E； (2)求速度选择器间的极板长度L的可能值； (3)调节探测板位置，稳定后，求粒子对探测板的平均作用力竖直分量的最大值Fm及对应的探测板位置y轴坐标。（该问结果用字母N0、q、B2和l表示） 8. （2025·浙江杭州·一模）一圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长，半径R。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为、质量是m、电量为e的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上。忽略场的边界效应、电子受到的重力及电子间相互作用力。若电子碰到筒壁，则被吸收且电中和，R、、m、e均为已知量。 (1)求的大小； (2)接第（1）问，当磁感应强度大小调至 ①求垂直中心轴发射的电子，从发射到落到筒壁上的时间； ②求筒壁上落有电子的区域面积S； ③如图c若电子发射速度与中心轴夹角为α，可经过离O点正上方距离为的点，求α角的可能值。 题型3带电粒子在叠加场中的运动问题 9. （2025·浙江杭州·模拟预测）透射电子显微镜以钨作为热电子源，利用高压加速电子，再通过速度选择器筛选特定速度电子后打在较薄的样品上得到图样，其结构简化后如图所示。O点为钨电子源，处在两正对金属极板C、D的正中间处，加热后可产生速度较小可忽略的电子。D极板上有一小孔，电子可以在加速后从小孔打出，进入正对金属板E、F构成的电容器中，E、F板间电压为U，板间距为L。E、F中间区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在E、F板的末端有一开有小孔的收集板G，G与E、F板绝缘，且位置左右可调，粒子打到收集板上立即被导走。从小孔中打出电子的最大速度与最小速度的差被称为速度选择器的误差。两小孔与电子源在同一轴线上。在CD间加有约为380kV的恒定高压时，电子物质波波长为λ0，电子电量为e，电子静止质量为m，普朗克常数为h。考虑相对论效应时，电子的质量随速度增大。对于能从收集板上小孔打出的电子，不计离开钨的初速度大小，求： (1)从小孔中点打出的电子的速度v； (2)电子的动量p； (3)G移动时，速度选择器的误差会改变，最小误差Δv与小孔的孔径d的函数关系； (4)钨作为热电子源，在加热后会如同光电效应向空间各方向发射不超过一定速度的电子。在C、D间不加电压，而施加一平行于板垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度也为B；此时所有电子均能打在C板上，且有电子打中的面积为S，电子的最大初速度vm。 10. （2025·浙江·三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为，匀强电场方向竖直向下，场强大小为。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求： (1)粒子由P点射出时水平分速度vx的大小； (2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程； (3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比； (4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。 11. （2025·浙江绍兴·二模）如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。 【提示：空间角是三维空间中的角度度量，用于描述从一个点出发所能观察到的立体角，半顶角为θ的圆锥形发散空间角为】 (1)写出氘和氚核聚变的核反应方程式； (2)若粒子以v0速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小； (3)将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子。 ①若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距； ②求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比； (4)实际装置的环向场线圈产生类似“磁瓶”形状的非匀强磁场来约束粒子，如图丁所示。已知沿轴线方向的磁感应强度最大和最小的关系为：，在粒子运行过程中，垂直轴线方向速度的平方与沿轴线方向的磁感应强度的大小之比为一常数，即。位于轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射粒子（所有粒子均没有碰到室壁），求粒子能被约束在“磁瓶”内的比例。 12. （2025·浙江·二模）如图所示，在平面内的区域有竖直向下、大小为的匀强电场，在区域有以轴为中心轴、半径为、高为的圆筒，筒内分布着方向竖直向上、大小的匀强磁场，顶部平面与平面重合，圆心处开有小孔，圆筒底面涂有荧光粉，带电粒子到达处会发出荧光。在平面内有一粒子发射带，其两端坐标：、，之间各点均可在平面内向轴发射不同速率带正电的粒子。已知粒子质量为，电荷量为，圆筒接地，碰到圆筒的粒子即被导走，不计重力，不考虑场的边界效应及粒子间相互作用。 (1)若从点偏离水平方向向右下方发射的粒子恰能通过点进入磁场，求该粒子发射的速度； (2)在某次发射中，从两点水平发射的粒子穿过点到达了圆筒底部，求它们发光点点的坐标； (3)若发射带各点持续水平发射粒子，部分粒子穿过进入磁场，请通过分析，在乙图中画出荧光屏上的图案。 1. （2025·浙江·二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压U=1.8V，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，π=3，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求： (1)光电子到达极板A的最大速度； (2)极板A上有光电子打中的区域面积； (3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件，并计算电子在磁场中运动最短时间（计算结果保留1位有效数字）； (4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度应满足的条件。 2. （2025·浙江绍兴·模拟预测）《中国激光》杂志第六期（2025.3）报道，上海光学精密机械研究所林楠团队创新地采用固体激光器方案，实现了LPP-EUV光源技术全球领先，这标志着国产芯片制造迈入了新阶段。物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构图简化如下（z方向足够长），晶圆（截面MN）固定放置于xOy坐标系的第一象限内，OMN区域内有匀强磁场，磁感应强度，方向沿z轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强，方向沿y轴负方向。初速可略的氩离子（比荷 ）经电压为U（待求）的电场加速后，从点水平进入匀强电场E中，恰好打到位于原点O处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的金属离子（比荷）从O点飞入磁场区域，速度大小均为，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其间的相互作用力，求： (1)U的数值； (2)假设进入磁场的离子沿各个方向都有，求晶圆MN方向上的涂膜（金属离子打中的区域）长度； (3)假设从O点飞入磁场的离子分布在半顶角的圆锥侧面上，圆锥对称轴垂直于晶圆截面，如图乙，考察方向上的离子，打在晶圆上的位置坐标。 3. （2025·浙江温州·三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立xOy直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2m。一质量m=0.1kg，电荷量q=0.1C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度v0=2m/s沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。 (1)当d=1.25m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v； (2)调节挡板M端与y轴距离为x0时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。 ①求x0； ②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。 ③撤去收集板，在x≤x0区域施加电场强度E=2V/m，方向沿y轴正方向的匀强电场。当d=1m时，求小球在磁场区域运动过程中距x轴的最远距离ym。 4. （2025·浙江湖州·三模）如图为探测磁场区域离子位置的装置。两足够长且间距极小的平行栅极板MN水平放置，左端与电压为U的电源相连，MN之间无磁场，M板上方存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场I，N板下方存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，边界为倾斜虚线OC的匀强磁场Ⅱ。正极板N上的O点有一离子源，能垂直极板向上发射速度大小连续均匀分布在之间的离子，并从D点进入磁场I。已知，离子质量为m，电荷量为q（），虚线OC与N板夹角，忽略栅极的电场边缘效应、离子在电场中的运动时间、离子间的相互作用及离子的重力，则 (1)离子进入磁场Ⅰ的速度大小v的范围； (2)从磁场Ⅱ的边界OC射出离子数比例； (3)若负极板M上水平放置探测板，从上方和下方射入的粒子均能被其接收。在时离子从O点射出，要求能在时间内探测到未从边界OC射出的所有离子，求探测板的最小长度L。 5. （2025·浙江嘉兴·三模）如图所示是粒子发射接收装置，粒子源（大小不计）能均匀释放初速度可视为0的电子，单位时间内释放的电子数为n。在以为圆心、半径为的水平区域内存在辐向电场，能为电子提供可在范围内调节的加速电压。电子经辐向电场加速后沿各个径向均匀射出，后进入同时存在磁感应强度为的匀强磁场和电场强度为的匀强电场的区域，两场方向均竖直向上。为粒子源正下方的一点，且位于足够大的水平收集板上，与的距离可调。已知电子电量为，质量为，电子到达收集板后立刻被吸收且电中和，不计电子受到的重力及相互间作用力。    (1)求电子刚从辐向电场射出时速度的大小范围； (2)上下移动收集板，求收集板上能收集到电子的区域的最大面积； (3)若无论怎样调节辐向电场的加速电压U，电子在收集板上的落点与收集板中心的距离都相同，求 ①距离需满足的条件； ②收集板所受冲击力大小F。 6. （2025·浙江杭州·二模）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴O，经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，，求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小； (2)离子的电荷量； (3)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离O、轴线的距离。 (4)离子以（3）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直、轴线且匀速旋转的匀强电场使离子加速。稳定后离子在垂直、轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。 ①为保证离子不接触芯片，求芯片距离的最小距离； ②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。 7. （2025·浙江杭州·模拟预测）为了探测粒子的轨迹，云室中常用电场和磁场来控制粒子的运动，如图所示，直角坐标系平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度从点垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 (1)求电场强度E的大小和磁感应强度B的大小； (2)若粒子在磁场中受到与速度方向相反、大小与速度成正比的阻力（k为已知常量），粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求Q点的坐标； (3)在第（2）问的情况下，求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $