学易金卷：高二数学上学期期中考试卷（上海专用）（基础卷）【测试范围：沪教版选择性必修第一册第1章～第2章+复数】

2025-2026学年高二数学上学期期中考试（基础卷）全解析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修性必修第一册第1章~第2章+复数。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．经过A(0,2)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则实数k＝ 【答案】2； 【解析】经过A(0,2)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为＝(－1，－2)，所以(1,2)也为其一个方向向量，所以k＝2. 【考点】直线的方向向量； 2．若直线l经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 【答案】3x＋4y＋15＝0； 【解析】由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tanα＝3，所以 tan2α＝＝－. 又直线l经过点A(－1，－3)， 因此，所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. 【考点】直线方程之：点斜式与三角的简单交汇； 3．两条平行直线6x－4y＋5＝0与y＝x之间的距离为 【答案】； 【解析】将y＝x化成6x－4y＝0，由平行线间距离公式可得＝. 【考点】两条直线之间的距离公式；以及公式使用的前提； 4．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直线方程为 【答案】4x－3y＋9＝0； 【解析】方法一：由方程组 解得 即两直线的交点坐标为. 因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以所求直线的斜率k＝. 由点斜式得所求直线方程为y－＝，即4x－3y＋9＝0. 方法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0， 由方程组可解得两直线的交点坐标为，代入4x－3y＋m＝0，解得m＝9， 故所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 方法三：由题意可设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0， 所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 【考点】求直线方程，巧用直线系方程简化计算； 5．复数的共轭复数是 【答案】－2＋i； 【解析】 因为＝＝－2－i，所以复数的共轭复数是－2＋i. 【考点】复数运算与共轭复数的概念； 6．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为 _(精确到0.01 m)． 【答案】5.39 m 【解析】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)． 方法一：设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以解得 故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0. 方法二：设圆的半径为r，则(r－6)2＋182＝r2，得r＝30.则圆心纵坐标为6－r＝－24，x2＋(y＋24)2＝900. 将点P2的横坐标x＝6代入上述方程，解得y＝－24＋12≈5.39(负值舍去)； 即吊杆A2P2的长约为5.39 m. 【考点】阅读理解；圆的标准方程与圆的一般方程； 7．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为 【答案】x＝3或4x＋3y－15＝0； 【解析】由题意知点P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0， 所以＝3，解得k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0； 综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0. 【考点】圆的切线概念及其方程；注意：直线方程的“限制”条件与数形结合完整解题； 8．已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，－2)，则椭圆的标准方程为 【答案】＋＝1； 【解析】方法一：因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且点(2，－2)在椭圆上， 所以由椭圆的定义知2a＝＋＝8， 所以a＝4，又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－8＝8， 因此所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二：因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，所以c＝2， 从而a2－b2＝c2＝8①， 又因为点(2，－2)在椭圆上，所以＋＝1②， 由①②解得或(舍去)， 因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 【考点】椭圆的定义与标准方程； 9．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若F1A＝13，AB＝10，则C的离心率为 【答案】； 【解析】方法一：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1得y＝±，即A，B，故AB＝＝10，AF2＝＝5， 又AF1－AF2＝2a，得AF1＝AF2＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝. 方法二：2a＝F1A－＝13－5＝8,2c＝＝＝12， 所以e＝＝＝. 【考点】双曲线的定义与标准方程与离心率的概念； 10．若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为2，则线段AB的长为 【答案】6； 【解析】方法一：数形结合(结合定义)AB＝AF＋BF＝AA0＋BB0＝2MM0＝2×(2＋1)＝6. 方法二：因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，则直线l的方程可设为x＝my＋1， 代入抛物线方程得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(2，y0)， 则y0＝＝2m，所以点(2,2m)在直线l上，即2＝2m2＋1，即m2＝， 又AB＝|y1－y2|＝·＝4(1＋m2)＝6. 【考点】抛物线定义与标准方程，以及数形结合； 11．若直线y＝mx＋2与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数n的取值范围是 【答案】 [4，9)； 【解析】直线y＝mx＋2恒过定点(0，2)，若直线y＝mx＋2与椭圆总有公共点， 则定点(0，2)在椭圆上或椭圆内，所以≤1，解得n≥4或n<0； 又因为＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，故0<n<9，所以n∈[4，9)； 【考点】理解标准方程与数形结合、等价转化，简化计算 12．已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足∠POF2＝2∠PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系式是 【答案】e＋e＝2ee； 【解析】如图， 因为∠POF2＝∠PF1F2＋∠F1PO， ∠POF2＝2∠PF1F2， 所以∠PF1F2＝∠F1PO， 所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c， 所以PF1⊥PF2， 记椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则由椭圆和双曲线定义可得m＋n＝2a1，① m－n＝2a2，② ①2＋②2可得2(m2＋n2)＝4(a＋a)， 由勾股定理知m2＋n2＝4c2，代入上式可得2c2＝a＋a， 整理得＋＝2，即＋＝2， 所以e＋e＝2ee. 【考点】数形结合与利用角的关系找隐含条件“等式”，注意巧用椭圆和双曲线的定义； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选 项) 13．已知直线l：x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ） A．[0，π) B． C． D．∪ 【答案】C ； 【解析】方法一：当cosθ＝0时，α＝；当cosθ≠0时，斜率k＝－.因为cosθ∈[－1,0)∪(0,1]， 所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以α∈∪. 综上，α∈. 方法二：当cosθ＝0时，直线方程为x＋3＝0，此时直线的倾斜角为，排除B，D．因为x的系数为1，所以斜率k≠0，故倾斜角α≠0，排除A． 【考点】斜率公式与三角函数； 14．已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A； 【解析】若直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行，则mn－1＝0，即mn＝1.当m＝－1，n＝－1时，两直线方程为x－y－1＝0，－x＋y＋1＝0，此时两直线重合，故“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的充分不必要条件． 【考点】两直线位置关系与充要条件； 15．在复数范围内，下列命题是真命题的为（ ） A. 若z≠0，则z－是纯虚数 B. 若z2＝－|z|2，则z是纯虚数 C. 若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0 D. 若z1，z2为虚数，则z12＋1z2∈R 【答案】D； 【解析】 对于A，取z＝1，则＝1，所以z－＝0，此时z－不是纯虚数，A错误；对于B，取z＝0，则z2＝－|z|2成立，但z不是纯虚数，B错误；对于C，取z1＝i，z2＝1，则z＋z＝0，但z1≠0且z2≠0，C错误；对于D，若z1，z2为虚数，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则1＝a－bi，2＝c－di，所以z12＋1z2＝(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝(ac＋bd)＋(bc－ad)i＋(ac＋bd)＋(ad－bc)i＝2(ac＋bd)∈R，D正确． 【考点】复数的概念与运算性质； 16．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P(x1，y1)是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，|MO|＝.若双曲线C上一点T满足·＝5，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】A ； 【解析】如图，设半焦距为c，延长F2M交PF1于点N，由于PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM， 所以△NPF2是等腰三角形，所以|PN|＝|PF2|，且M是NF2的中点． 根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a， 即|NF1|＝2a，由于O是F1F2的中点， 所以MO是△NF1F2的中位线， 所以|MO|＝|NF1|＝a＝. 又双曲线的离心率为，所以c＝，b＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1. 所以F1(－，0)，F2(，0)，双曲线C的渐近线方程为x±y＝0. 设T(u，v)，T到两渐近线的距离之和为S，则S＝＋， 由·＝(u－)(u＋)＋v2＝u2＋v2－3＝5，即u2＋v2＝8. 又T在－y2＝1上，则－v2＝1，即u2－2v2＝2，解得u2＝6，v2＝2. 由|u|>|v|，故S＝＝2，即距离之和为2. 【考点】椭圆与双曲线的交汇，数形结合与等价转化思想 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分) 17．（1）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点， 分别根据下列条件，求直线l的方程； （1）当△AOB的面积最小时； （2）当MA·MB取得最小值时； （3）当两截距之和最小时； 【答案】（1）x＋2y－4＝0；（2）x＋y－3＝0；（3）为x＋y－2－＝0 【解析】方法一：因为直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)， 由题意可得A，B(0,1－2k)，且解得k<0. 于是S△AOB＝·OA·OB＝··(1－2k)＝≥＝4， 当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB的面积取得最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1. 又因为＋≥2，即1≥2，得ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时等号成立，于是△AOB的面积S＝ab有最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0； （2）方法一：由（1）方法一知A，B(0，1－2k)(k<0)， 所以MA·MB＝·＝2·＝2≥4，当且仅当－k＝－， 即k＝－1时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 方法二：由（1）方法二知A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，＋＝1， 所以MA·MB＝||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1) ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. （3）设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，即a＋b≥3＋2， 当且仅当即时取“＝”，此时直线l的方程为x＋y－2－＝0. 【考点】直线方程综合应用的类型与解题策略 1．求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数知识求解最值． 2．求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． 3．求参数值或取值范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 18． 已知复数z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，其中a是实数． （1） 若z1＝iz2，求实数a的值； （2）若是纯虚数，a是正实数，求＋＋＋…＋. 【解答】（1） 因为z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，z1＝iz2，所以(a＋i)2＝a2－1＋2ai＝3＋4i， 从而解得a＝2，所以实数a的值为2； （2） 依题意得＝＝＝. 因为是纯虚数，所以从而a＝2或a＝－.又因为a是正实数，所以a＝2； 当a＝2时，＝＝i； 因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，…，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＝1(n∈N*)， 所以＋＋＋…＋ ＝i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 025 ＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024)＋i2 025＝i. 【考点】复数的相关概念与运算法则、性质； 19．某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，（单位：十米，下同），O为的中点，椭圆的焦点P在对称轴上，M、N在椭圆上，平行AB交OD与G，且G在P的右侧，为灯光区，用于美化环境. （1）若椭圆的离心率为，且，求的长； （2）若学校的另一条道路EF满足，，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于，求半椭圆形的小湖的最大面积：（椭圆（）的面积为） 【提示】（1）由离心率和关系求出椭圆方程，再解出即可求出； （2）求出方程，由两直线平行和两平行线的距离公式求出，再设椭圆方程，联立直线方程令判别式为零求出，最后计算面积即可； 【答案】（1）；（2）百平方米 【解析】（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设椭圆的方程为， 由题意可得， 又，所以，所以椭圆方程为， 所以，因为，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以， （2）由题意可知，， 所以直线的方程为， 设平行于直线且与椭圆相切的直线， 因为椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于， 所以当椭圆的面积最大时，直线与直线之间的距离为， 可得，解得或（舍去）， 设椭圆方程为， 由消去可得， 令， 所以面积为，即半椭圆形的小湖的最大面积为百平方米. 【考点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 20．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，短轴长为2； （1）求椭圆的标准方程． （2）过点P(2，0)且斜率不为零的直线l与椭圆相交于A，B两点． ①若k＝，求弦长|AB|； ②记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值； 【解析】（1）由题得2a＝2，2b＝2，所以a＝，b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. （2）①由题得k存在且k≠0，可设直线l：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由可知(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， 所以 可得k2＜，|AB|＝2··. 当k＝时，|AB|＝. ②坐标原点O到直线l的距离为d＝， 所以S△AOB＝|AB|×d＝2. 令＝m，易知|m|＞， 所以S△AOB＝2 . 令 ＝t，t＞0，可知S△AOB＝2×＝2×≤，当且仅当t＝2，即m＝±， 即k＝±时等号成立，所以△AOB面积的最大值为. 【考点】椭圆及其标准方程，直线与椭圆的位置关系与基本不等式； 21．动点M(x，y)到直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x的距离之积等于，且|y|<|x|.记点M的轨迹方程为Γ. （1）求Γ的方程； （2）过Γ上的点P作圆Q：x2＋(y－4)2＝1的切线PT，T为切点，求|PT|的最小值； （3）已知点G，直线l：y＝kx＋2(k>0)交Γ于点A，B，Γ上是否存在点C满足＋＋＝0？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由； 【解析】（1）根据M(x，y)到直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x的距离之积等于， 可得·＝，化简得|3x2－y2|＝3， 由于|y|<|x|，故3x2－y2＝3，即x2－＝1. （2）设P(x，y)，|PT|＝＝＝＝， 故当y＝3时，|PT|最小值为2. （3）联立l：y＝kx＋2(k>0)与3x2－y2＝3 可得(3－k2)x2－4kx－7＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 故y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝＋4， 设存在点C满足＋＋＝0， 则 故 由于C(x0，y0)在3x2－y2＝3， 故32－2＝3， 化简得19k4－66k2＋27＝0， 即(k2－3)(19k2－9)＝0， 解得k2＝或k2＝3(舍去)， 由于Δ＝16k2＋28(3－k2)>0， 解得k2<7且k2≠3， 故k2＝符合题意，由于k>0，故k＝， 故故C， 故存在C，使得＋＋＝0； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二上学期期中考试卷 基础卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期期中考试（基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修性必修第一册第1章~第2章+复数。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．经过A(0,2)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则实数k＝ 2．若直线l经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 3．两条平行直线6x－4y＋5＝0与y＝x之间的距离为 4．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直线方程为 5．复数的共轭复数是 6．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为 _(精确到0.01 m)． 7．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为 8．已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，－2)，则椭圆的标准方程为 9．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若F1A＝13，AB＝10，则C的离心率为 10．若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为2，则线段AB的长为 11．若直线y＝mx＋2与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数n的取值范围是 12．已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足∠POF2＝2∠PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系式是 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线l：x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ） A．[0，π) B． C． D．∪ 14．已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．在复数范围内，下列命题是真命题的为（ ） A. 若z≠0，则z－是纯虚数 B. 若z2＝－|z|2，则z是纯虚数 C. 若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0 D. 若z1，z2为虚数，则z12＋1z2∈R 16．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P(x1，y1)是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，|MO|＝.若双曲线C上一点T满足·＝5，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ） A．2 B．2 C．2 D．2 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点， 分别根据下列条件，求直线l的方程； （1）当△AOB的面积最小时； （2）当MA·MB取得最小值时； （3）当两截距之和最小时； 18． 已知复数z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，其中a是实数． （1） 若z1＝iz2，求实数a的值； （2）若是纯虚数，a是正实数，求＋＋＋…＋. 19．某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，（单位：十米，下同），O为的中点，椭圆的焦点P在对称轴上，M、N在椭圆上，平行AB交OD与G，且G在P的右侧，为灯光区，用于美化环境. （1）若椭圆的离心率为，且，求的长； （2）若学校的另一条道路EF满足，，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于，求半椭圆形的小湖的最大面积：（椭圆（）的面积为） 20．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，短轴长为2； （1）求椭圆的标准方程． （2）过点P(2，0)且斜率不为零的直线l与椭圆相交于A，B两点． ①若k＝，求弦长|AB|； ②记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值； 21．动点M(x，y)到直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x的距离之积等于，且|y|<|x|.记点M的轨迹方程为Γ. （1）求Γ的方程； （2）过Γ上的点P作圆Q：x2＋(y－4)2＝1的切线PT，T为切点，求|PT|的最小值； （3）已知点G，直线l：y＝kx＋2(k>0)交Γ于点A，B，Γ上是否存在点C满足＋＋＝0？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由； 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中考试（基础卷）答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．2； 2．3x＋4y＋15＝0； 3．； 4．4x－3y＋9＝0； 5．－2＋i； 6．5.39 m 7．x＝3或4x＋3y－15＝0； 8．＋＝1； 9．； 10．6； 11．[4，9)； 12．e＋e＝2ee； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选 项) 13 14 15 16 C A D A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．【答案】（1）x＋2y－4＝0；（2）x＋y－3＝0；（3）为x＋y－2－＝0 【解析】方法一：因为直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)， 由题意可得A，B(0,1－2k)，且解得k<0. 于是S△AOB＝·OA·OB＝··(1－2k)＝≥＝4， 当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB的面积取得最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1. 又因为＋≥2，即1≥2，得ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时等号成立，于是△AOB的面积S＝ab有最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0；【4分】 （2）方法一：由（1）方法一知A，B(0，1－2k)(k<0)， 所以MA·MB＝·＝2·＝2≥4，当且仅当－k＝－， 即k＝－1时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 方法二：由（1）方法二知A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，＋＝1， 所以MA·MB＝||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1) ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 【8分】 （3）设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，即a＋b≥3＋2， 当且仅当即时取“＝”，此时直线l的方程为x＋y－2－＝0.【14分】 18．【解答】（1） 因为z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，z1＝iz2，所以(a＋i)2＝a2－1＋2ai＝3＋4i， 从而解得a＝2，所以实数a的值为2；【6分】 （2） 依题意得＝＝＝. 因为是纯虚数，所以从而a＝2或a＝－.又因为a是正实数，所以a＝2； 当a＝2时，＝＝i； 因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，…，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＝1(n∈N*)， 所以＋＋＋…＋ ＝i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 025 ＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024)＋i2 025＝i.【14分】 19．【答案】（1）；（2）百平方米 【解析】（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设椭圆的方程为， 由题意可得， 又，所以，所以椭圆方程为， 所以，因为，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，【6分】 （2）由题意可知，， 所以直线的方程为， 设平行于直线且与椭圆相切的直线， 因为椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于， 所以当椭圆的面积最大时，直线与直线之间的距离为， 可得，解得或（舍去）， 设椭圆方程为， 由消去可得， 令， 所以面积为，即半椭圆形的小湖的最大面积为百平方米；【14分】 20．【解析】（1）由题得2a＝2，2b＝2，所以a＝，b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. 【4分】 （2）①由题得k存在且k≠0，可设直线l：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由可知(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， 所以 可得k2＜，|AB|＝2··. 当k＝时，|AB|＝. 【10分】 ②坐标原点O到直线l的距离为d＝， 所以S△AOB＝|AB|×d＝2. 令＝m，易知|m|＞， 所以S△AOB＝2 . 令 ＝t，t＞0，可知S△AOB＝2×＝2×≤，当且仅当t＝2，即m＝±， 即k＝±时等号成立，所以△AOB面积的最大值为;【18分】 21．【解析】（1）根据M(x，y)到直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x的距离之积等于， 可得·＝，化简得|3x2－y2|＝3， 由于|y|<|x|，故3x2－y2＝3，即x2－＝1. 【4分】 （2）设P(x，y)，|PT|＝＝＝＝， 故当y＝3时，|PT|最小值为2. 【10分】 （3）联立l：y＝kx＋2(k>0)与3x2－y2＝3 可得(3－k2)x2－4kx－7＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 故y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝＋4， 设存在点C满足＋＋＝0， 则 故 由于C(x0，y0)在3x2－y2＝3， 故32－2＝3， 化简得19k4－66k2＋27＝0， 即(k2－3)(19k2－9)＝0， 解得k2＝或k2＝3(舍去)， 由于Δ＝16k2＋28(3－k2)>0， 解得k2<7且k2≠3， 故k2＝符合题意，由于k>0，故k＝， 故故C， 故存在C，使得＋＋＝0；【18分】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二上学期期中考试卷 基础卷数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 Ay 1 123 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 2 3 3 3 3 23 234 234 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效： 4 4 4 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 5 5 5 5 破。 正确填涂 678 6 67 6 5. 7 8 8 8 678 678 5678 67 12345678 8 缺考标记 9 6789 9 9 9 9 9 9 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 40 6 个 0 12. 的舡 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[AB][C][D] 14[A][B][CID] 15[A]B][C][D] 16[A][B][C]D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 1e.140) 友华集工工(k6乐) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期中考试（基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修性必修第一册第1章~第2章+复数。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．经过A(0,2)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则实数k＝ 2．若直线l经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 3．两条平行直线6x－4y＋5＝0与y＝x之间的距离为 4．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直线方程为 5．复数的共轭复数是 6．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为 _(精确到0.01 m)． 7．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为 8．已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，－2)，则椭圆的标准方程为 9．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若F1A＝13，AB＝10，则C的离心率为 10．若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为2，则线段AB的长为 11．若直线y＝mx＋2与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数n的取值范围是 12．已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1，F2，若C1，C2在第一象限内的交点为P，且满足∠POF2＝2∠PF1F2，设e1，e2分别是C1，C2的离心率，则e1，e2的关系式是 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选 项) 13．已知直线l：x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ） A．[0，π) B． C． D．∪ 14．已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．在复数范围内，下列命题是真命题的为（ ） A. 若z≠0，则z－是纯虚数 B. 若z2＝－|z|2，则z是纯虚数 C. 若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0 D. 若z1，z2为虚数，则z12＋1z2∈R 16．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P(x1，y1)是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，|MO|＝.若双曲线C上一点T满足·＝5，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ） A．2 B．2 C．2 D．2 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分) 17．（1）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点， 分别根据下列条件，求直线l的方程； （1）当△AOB的面积最小时； （2）当MA·MB取得最小值时； （3）当两截距之和最小时； 18． 已知复数z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，其中a是实数． （1） 若z1＝iz2，求实数a的值； （2）若是纯虚数，a是正实数，求＋＋＋…＋. 19．某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，（单位：十米，下同），O为的中点，椭圆的焦点P在对称轴上，M、N在椭圆上，平行AB交OD与G，且G在P的右侧，为灯光区，用于美化环境. （1）若椭圆的离心率为，且，求的长； （2）若学校的另一条道路EF满足，，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于，求半椭圆形的小湖的最大面积：（椭圆（）的面积为） 20．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，短轴长为2； （1）求椭圆的标准方程． （2）过点P(2，0)且斜率不为零的直线l与椭圆相交于A，B两点． ①若k＝，求弦长|AB|； ②记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值； 21．动点M(x，y)到直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x的距离之积等于，且|y|<|x|.记点M的轨迹方程为Γ. （1）求Γ的方程； （2）过Γ上的点P作圆Q：x2＋(y－4)2＝1的切线PT，T为切点，求|PT|的最小值； （3）已知点G，直线l：y＝kx＋2(k>0)交Γ于点A，B，Γ上是否存在点C满足＋＋＝0？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $