学易金卷：高二数学上学期期中考试卷（上海专用）（提高卷）【测试范围：沪教版必修三第10章～第11章选择性必修第一册第1章～第2章】

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期中考试提高卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修三第10章~第11章+选修性必修第一册第1章~第2章。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 2．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，面积最小的圆的方程为______________________ 3．双曲线－＝1与直线l：y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为 4．如图，该平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为 5．如图，一个底面半径为2a的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为πa3，则该圆锥的体积为 6．如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料________kg.(π取3.14) 7．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝70°，则β＝ 8．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为 9．无论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标为 10．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 11．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是 12．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后(A，B，F2在同一直线上)，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－，AB⊥BD，则E的离心率为 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（ ） A．4π B．(2＋4)π C．(3＋4)π D．(4＋4)π 14．在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，则异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（ ） A．－ B. C．－ D. 15．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则下列命题中错误的是（ ） A．若x1＋x2＝6，则＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M，则＋≥ D．过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，为的直径，垂直于所在的平面， 为圆周上任意一点，，，垂足分别为 ，. （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的体积. 18．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥PC， （1）求证：AD⊥平面PDC； （2）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行， 19．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 20．已知点P为圆C：(x－2)2＋y2＝4上任意一点和A(－2,0)，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H. （1）求曲线H的方程； （2）若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点． ①证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点； ②求＋的取值范围． 21．平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个是圆锥曲线的第二定义）．其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率．当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线． （1）若方程表示的二次曲线是椭圆，求的取值范围； （2）已知椭圆的右焦点为，点，试在椭圆上求一点，使的值最小，并求这个最小值． （3）双曲线的右焦点，左准线，其中，过作直线与双曲线右支交于两点，线段的中点为，且，求该双曲线的实轴长的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中考试（提高卷）全解析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修三第10章~第11章+选修性必修第一册第1章~第2章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 【答案】(x－3)2＋y2＝2； 【解析】直径|AB|＝＝2，所以半径为，又线段AB的中点坐标为(3,0)， 所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2； 【考点】圆的定义与标准方程； 2．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，面积最小的圆的方程为______________________ 【答案】5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0； 【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0， r＝＝， 当λ＝时，r最小，此时Smin＝， 故所求圆的方程为5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0； 【考点】曲线的交点与借助平面几何性质，巧用“交点系”方程，简化计算； 3．双曲线－＝1与直线l：y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为 【答案】0或1； 【解析】因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x， 所以当m＝0时，直线l：y＝－x与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当m≠0时，直线l与渐近线y＝－x平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 【考点】双曲线的几何性质与渐近线的几何特征； 4．如图，该平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为 【答案】4； 【解析】由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的倍， 故原图形的面积为×＝4. 【考点】斜二测作法的规则； 5．如图，一个底面半径为2a的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为πa3，则该圆锥的体积为 【答案】πa3； 【解析】作出该几何体的轴截面如图所示，AB为圆锥的高， 设内接圆柱的高为h，而BC＝2a，BD＝a ， 因为内接圆柱的体积为πa3，即πa2h＝πa3， 则h＝a， 由于AB∥ED，故△CAB∽△CED，则＝， 即＝，故AB＝2a， 所以圆锥体积为π×(2a)2×2a＝πa3 . 【考点】圆锥的几何性质与体积公式； 6．如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料________kg.(π取3.14) 【答案】423.9； 【解析】一个浮标的表面积为＝0.847 8(m2)，所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg)． 【考点】几何体的分解与柱体、球体的体积公式； 7．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝70°，则β＝ 【答案】70°或110°； 【解析】根据等角定理知α＝β或α＋β＝180°，若α＝70°，则β＝70°或110°. 【考点】等角定理； 8．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为 【答案】4； 【解析】如图所示，等腰四面体A-BCD的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积.设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则等腰四面体A-BCD的体积V＝abc－4××（abc）＝abc＝4； 【考点】长方体与三棱锥，几何体的分割； 9．无论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标为 【答案】(－2，1) ； 【解析】直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m(x＋2)＋(y－1)＝0， 由题意，可得 ∴ ∴直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过定点(－2,1)； 【考点】直线系； 10．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 【答案】； 【解析】如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点， 设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝， 所以AE＝. 连接ED，则ED＝. 因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)． 在△EAD中，cos ∠EAD＝. 所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为. 【考点】圆柱的几何性质与异面直线所成的角； 11．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是 【答案】 (0，1]； 【解析】因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C1C⊥ED， 由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC， 在矩形ABCD中，设AE＝a，0≤a≤2， 则BE＝2－a， 由∠DEA＋∠CEB＝90°，可得tan ∠DEA·tan ∠CEB＝＝1， 即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1， 当a＝1时，t2取得最大值1，即t的最大值为1； 当a＝0或2时，t2取得最小值0， 但由于t>0，所以t的取值范围是(0，1]. 【考点】正方体几何性质与三角、一元二次函数的最值； 12．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后(A，B，F2在同一直线上)，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－，AB⊥BD，则E的离心率为 【答案】； 【解析】如图，连接F1A，F1B，则F1，A，C三点共线，F1，B，D三点共线， 设|F2B|＝x，则|F1B|＝x＋2a， 因为cos∠F1AB＝cos(π－∠BAC)＝， 所以sin∠F1AB＝＝， 所以tan∠F1AB＝＝， 又AB⊥BD，所以tan∠F1AB＝＝， 即|AB|＝|F1B|＝x＋a， sin∠F1AB＝＝，即|F1A|＝|F1B|＝x＋a， 又|F2A|＝|AB|－|F2B|＝x＋a， 因此|F1A|－|F2A|＝x＋a＝2a，即x＝a， 在Rt△F1F2B中，由勾股定理得(2c)2＝(x＋2a)2＋x2＝10a2，即c2＝a2. 故e＝. 【考点】双曲线的几何性质； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选 项) 13．如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（ ） A．4π B．(2＋4)π C．(3＋4)π D．(4＋4)π 【答案】D； 【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝＝，圆柱的侧面积为2πr·2h＝4π，故制作这样一个粮仓的用料面积为(4＋4)π. 【考点】圆柱与圆锥的侧面积公式； 14．在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，则异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（ ） A．－ B. C．－ D. 【答案】B； 【解析】如图所示，将直三棱柱ABC－A′B′C′向上方补形为直三棱柱ABC－FGH， 其中A′，B′，C′分别为所在棱的中点，取B′G的中点D′，连接AD′，C′D′， 可知CE∥C′D′，异面直线CE与C′A所成的角即为C′D′与C′A所成的角，即∠AC′D′(或其补角)． 设CB＝2，则C′D′＝，C′A＝2，AD′＝，cos∠AC′D′＝＝－， 故异面直线CE与C′A所成角的余弦值为. 【考点】三棱柱的几何性质与平移法求异面直线所成的角； 15．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C； 【解析】圆的方程x2＋y2－4y＋2＝0可化为x2＋(y－2)2＝2， 则其圆心坐标为(0,2)，半径为. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由对称性，不妨取y＝x，即bx－ay＝0. 圆心(0,2)到渐近线的距离d＝＝1， 又由点到直线的距离公式， 可得＝＝＝1，所以e＝2. 【考点】圆与双曲线的几何性质，点到直线的距离公式； 16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则下列命题中错误的是（ ） A．若x1＋x2＝6，则＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M，则＋≥ D．过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】D； 【解析】对于A，因为p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2，则|PQ|＝8，故A正确； 对于B，设N为PQ的中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1， 则由梯形性质可得＝＝＝，故B正确； 对于C，因为F(1,0)，所以|PM|＋＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，当且仅当M，P，F三点共线时等号成立， 故C正确； 对于D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点．当 过点M的直线斜率存在时，可设为y＝kx＋1(k≠0)，由 可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1， 所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，所以有三条直线符合题意，故D错误； 【考点】抛物线的定义、标准方程与几何性质，直线与抛物线的关系； 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，为的直径，垂直于所在的平面， 为圆周上任意一点，，，垂足分别为 ，. （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的体积. 【提示】（1）根据直径所对圆周角为直角，及线面垂直的性质定理与判定定理进行证明即可； （2）由（1）知平面，所以为三棱锥的高，再根据平面几何计算各个棱长及底面面积，进而求得锥体体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）因为是的直径，所以， 因为垂直于所在的平面，所以，所以平面. 因为平面，所以， 又，，所以平面， 所以，又因为，，所以平面， 所以. （2）由（1）知平面，所以为三棱锥的高. 因为，所以是等腰直角三角形， 所以. 在中可得， 所以，. 又由（1）可知平面，所以，所以， 因此. 【考点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直； 18．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥PC， （1）求证：AD⊥平面PDC； （2）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行， 【解析】证明：（1）在平面PCD中过点D作DH⊥DC，交PC于H， 因为平面ABCD⊥平面PCD，DH⊂平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD， 所以DH⊥平面ABCD， 因为AD⊂平面ABCD， 所以DH⊥AD， 又AD⊥PC，且PC∩DH＝H， 所以AD⊥平面PCD， （2）方法一　假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC，显然F与点C不重合， 所以P，M，F，C四点共面于α， 所以FC⊂α，PM⊂α， 所以B∈FC⊂α，A∈PM⊂α， 所以α就是点A，B，C确定的平面，所以P∈α， 这与P-ABCD为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证， 方法二：假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC， 连接AC，取其中点N， 在△PAC中，因为M，N分别为PA，CA的中点，所以MN∥PC， 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF与MN重合， 所以点F在线段AC上，所以F是AC，BC的交点C，即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证， 【考点】空间位置关系的判别、证明；探索性问题与反证法的交汇； 19．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【提示】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案； （2）直线与抛物线联立求出、可得答案； （3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案. 【答案】（1）；（2）；（3）4.0米； 【解析】（1）如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； （2），焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则； （3）设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. 【考点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的应用、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 20．已知点P为圆C：(x－2)2＋y2＝4上任意一点和A(－2,0)，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H. （1）求曲线H的方程； （2）若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点． ①证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点； ②求＋的取值范围． 【解析】（1）M为PA的垂直平分线上一点， 则|MP|＝|MA|， 则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||＝2<|AC|＝4， ∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线， 且2a＝2，c＝2， 故点M的轨迹方程为H：x2－＝1. （2）①证明：设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)， 双曲线的渐近线方程为：y＝±x， 如图所示： 则y1＝x1①，y2＝－x2②， ①＋②得，y1＋y2＝(x1－x2)， ①－②得，y1－y2＝(x1＋x2)， 则 ＝， 得＝， 由题可知|MS|＝|MT|，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 得＝，即kST＝， ∴直线ST的方程为y－y0＝(x－x0)， 即3x0x－y0y＝3x－y， 又∵点M在曲线H上，则3x－y＝3， 得3x0x－y0y＝3， 将方程联立 得(y－3x)x2＋6x0x－3－y＝0， 得－3x2＋6x0x－3x＝0， 由Δ＝(6x0)2－4×(－3)×(－3x)＝0，可知方程有且仅有一个解， 得直线l与曲线H有且仅有一个交点． ②由①联立可得x1＝， 同理可得，x2＝， 则|OS|·|OT|＝·＝4|x1x2|＝4×＝4， 故＋＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即|OS|＝2时取等号． 故＋的取值范围为[，＋∞)． 【考点】曲线与方程，双曲线的标准方程与几何性质； 21．平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个是圆锥曲线的第二定义）．其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率．当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线． （1）若方程表示的二次曲线是椭圆，求的取值范围； （2）已知椭圆的右焦点为，点，试在椭圆上求一点，使的值最小，并求这个最小值． （3）双曲线的右焦点，左准线，其中，过作直线与双曲线右支交于两点，线段的中点为，且，求该双曲线的实轴长的取值范围． 【提示】（1）将方程进行变形，再利用椭圆的第二定义即可求解； （2）利用椭圆的第二定义将转化为，再利用三点共线即可求解； （3）根据第二定义写出双曲线的方程，设出直线的方程进行联立，利用可知恒为锐角，可得恒成立即可求解. 【答案】（1）；（2），最小值为；（3）； 【解析】（1）方程表示的是椭圆， ，即， 由圆锥曲线第二定义可得，即，故的取值范围是； （2）设点， 由椭圆方程得，，则， 椭圆离心率为，右准线为， 作于，由椭圆第二定义，如图： ， 当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为点到右准线的距离， 即的最小值是7， 此时，代入得，； （3）由双曲线第二定义知双曲线方程为：， 设，则双曲线方程为， 线段的中点为，且，在以线段为直径的圆的外部， 恒为锐角． 由于，故的焦距为2，则， 由于直线的斜率不为零，可设其方程为， 结合，联立， 得． 设．则, 由于两点均在的右支上，得，,即, 又 ． 恒为锐角，对任意的，均有， 又，， 恒成立． ，不等号左边是关于的增函数，只需时，成立即可． 解得，结合，可知的取值范围是． 综上所述，双曲线的实轴长的取值范围是； 【考点】求椭圆中的最值问题、圆锥曲线的统一定义的应用 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二上学期期中考试卷 提高卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中考试（提高卷） 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修三第10章~第11章+选修性必修第一册第1章~第2章。。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．(x－3)2＋y2＝2； 2．5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0 3．0或1； 4．4； 5．πa3； 6．423.9； 7．70°或110°； 8．4； 9．(－2，1) ； 10．； 11．(0，1]； 12. ； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．D； 14．B； 15．C； 16．D； 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 注：解答题给出步骤分值 16．【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）因为是的直径，所以， 因为垂直于所在的平面，所以，所以平面. 因为平面，所以， 又，，所以平面， 所以，又因为，，所以平面， 所以.【7分】 （2）由（1）知平面，所以为三棱锥的高. 因为，所以是等腰直角三角形， 所以. 在中可得， 所以，. 又由（1）可知平面，所以，所以， 因此.【14分】 18．【解析】证明：（1）在平面PCD中过点D作DH⊥DC，交PC于H， 因为平面ABCD⊥平面PCD，DH⊂平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD， 所以DH⊥平面ABCD， 因为AD⊂平面ABCD， 所以DH⊥AD， 又AD⊥PC，且PC∩DH＝H， 所以AD⊥平面PCD，【6分】 （2）方法一　假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC，显然F与点C不重合， 所以P，M，F，C四点共面于α， 所以FC⊂α，PM⊂α， 所以B∈FC⊂α，A∈PM⊂α， 所以α就是点A，B，C确定的平面，所以P∈α， 这与P-ABCD为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证， 方法二：假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC， 连接AC，取其中点N， 在△PAC中，因为M，N分别为PA，CA的中点，所以MN∥PC， 因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF与MN重合， 所以点F在线段AC上，所以F是AC，BC的交点C，即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证，【14分】 19．【答案】（1）；（2）；（3）4.0米； 【解析】（1）如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为；【4分】 （2），焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则；【10分】 （3）设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. 【14分】 20．【解析】（1）M为PA的垂直平分线上一点， 则|MP|＝|MA|， 则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||＝2<|AC|＝4， ∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线， 且2a＝2，c＝2， 故点M的轨迹方程为H：x2－＝1. 【4分】 （2）①证明：设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)， 双曲线的渐近线方程为：y＝±x， 如图所示： 则y1＝x1①，y2＝－x2②， ①＋②得，y1＋y2＝(x1－x2)， ①－②得，y1－y2＝(x1＋x2)， 则 ＝， 得＝， 由题可知|MS|＝|MT|，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 得＝，即kST＝， ∴直线ST的方程为y－y0＝(x－x0)， 即3x0x－y0y＝3x－y， 又∵点M在曲线H上，则3x－y＝3， 得3x0x－y0y＝3， 将方程联立 得(y－3x)x2＋6x0x－3－y＝0， 得－3x2＋6x0x－3x＝0， 由Δ＝(6x0)2－4×(－3)×(－3x)＝0，可知方程有且仅有一个解，【12分】 得直线l与曲线H有且仅有一个交点． ②由①联立可得x1＝， 同理可得，x2＝， 则|OS|·|OT|＝·＝4|x1x2|＝4×＝4， 故＋＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即|OS|＝2时取等号． 故＋的取值范围为[，＋∞)．【18分】 21．【答案】（1）；（2），最小值为；（3）； 【解析】（1）方程表示的是椭圆， ，即， 由圆锥曲线第二定义可得，即，故的取值范围是；【4分】 （2）设点， 由椭圆方程得，，则， 椭圆离心率为，右准线为， 作于，由椭圆第二定义，如图： ， 当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为点到右准线的距离， 即的最小值是7， 此时，代入得，；【10分】 （3）由双曲线第二定义知双曲线方程为：， 设，则双曲线方程为， 线段的中点为，且，在以线段为直径的圆的外部， 恒为锐角． 由于，故的焦距为2，则， 由于直线的斜率不为零，可设其方程为， 结合，联立， 得． 设．则, 由于两点均在的右支上，得，,即, 又 ． 恒为锐角，对任意的，均有， 又，， 恒成立． ，不等号左边是关于的增函数，只需时，成立即可． 解得，结合，可知的取值范围是． 综上所述，双曲线的实轴长的取值范围是；【18分】 科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2025-2026学年高二上学期期中考试卷 提高卷数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码， 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 23 2 123 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3 3 3 4 1234 1234 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 5 破。 6 56 6 6 56 5. 正确填涂 7 67 7 7 67 56789 12345678 78 5678 8 8 8 8 缺考标记 9 9 9 9 9 9 9 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) ! ! 7. 10 图 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A[B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A]B][C][D] 16[A[B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 1e.140) 友华集工工(k6乐) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期中考试（提高卷） （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修三第10章~第11章+选修性必修第一册第1章~第2章。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 2．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，面积最小的圆的方程为______________________ 3．双曲线－＝1与直线l：y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为 4．如图，该平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为 5．如图，一个底面半径为2a的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为πa3，则该圆锥的体积为 6．如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料________kg.(π取3.14) 7．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝70°，则β＝ 8．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为 9．无论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标为 10．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 11．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是 12．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后(A，B，F2在同一直线上)，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－，AB⊥BD，则E的离心率为 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正 确选项) 13．如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（ ） A．4π B．(2＋4)π C．(3＋4)π D．(4＋4)π 14．在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，则异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（ ） A．－ B. C．－ D. 15．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则下列命题中错误的是（ ） A．若x1＋x2＝6，则＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M，则＋≥ D．过点M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，为的直径，垂直于所在的平面， 为圆周上任意一点，，，垂足分别为 ，. （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的体积. 18．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥PC， （1）求证：AD⊥平面PDC； （2）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行， 19．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 20．已知点P为圆C：(x－2)2＋y2＝4上任意一点和A(－2,0)，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H. （1）求曲线H的方程； （2）若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点． ①证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点； ②求＋的取值范围． 21．平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个是圆锥曲线的第二定义）．其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率．当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线． （1）若方程表示的二次曲线是椭圆，求的取值范围； （2）已知椭圆的右焦点为，点，试在椭圆上求一点，使的值最小，并求这个最小值． （3）双曲线的右焦点，左准线，其中，过作直线与双曲线右支交于两点，线段的中点为，且，求该双曲线的实轴长的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $