5.6.1 匀速圆周运动的数学模型（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 学习目标 结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响 掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤 会利用图象的变换解决简单的问题． 目录 CATALOG 01.了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义 03.题型强化训练 02.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系 04.小结及随堂练习 01 了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 导入新知1：摩天轮的高度变化 游乐园中的摩天轮是大家熟悉的设施。假设某摩天轮的半径为10米，轮心距离地面20米，摩天轮每分钟匀速旋转1圈。 当你坐在摩天轮的座舱里，从最低点开始随摩天轮转动时，你的高度会随时间变化而变化。 大家思考一下： (1)你的高度随时间变化有什么规律？（周期性） (2)哪些量会影响高度的变化？（半径、轮心高度、旋转速度、初始位置） (3)如何用数学式子表示高度与时间的关系？ 导入新知2： 钟摆的摆动规律 家里的摆钟大家都见过，钟摆左右摆动时，摆锤距离竖直中线的水平距离会随时间变化。假设摆钟的摆长固定，摆锤偏离竖直中线的最大水平距离为5厘米，每2秒往返摆动一次。 (1)摆锤的水平距离随时间变化是否具有周期性？ (2)如何描述这个距离随时间变化的规律？ (3)若摆长变短（摆动变快），或初始偏离角度变化，规律会如何改变？ 导入新知 问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-1)．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2)． 学习新知 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律． 思考：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 学习新知 如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M从点P0运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t． 下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型． 学习新知 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质． 学习新知 思考 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 周期变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 周期变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征 学习新知 学习新知 探究 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相位变换及解析式特征 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相位变换及解析式特征、辅助角公式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相位变换及解析式特征 学习新知 学习新知 探究 学习新知 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 学习新知 学习新知 学习新知 探究 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由图象确定正（余）弦型函数解析式 学习新知 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 诱导公式五、六、相位变换及解析式特征 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相位变换及解析式特征 02 掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 应用新知 例1： 解： 应用新知 例1： 解： 应用新知 例1： 解： 应用新知 X 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 应用新知 应用新知 应用新知 方法技巧 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 03 题型强化训练 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 能力提升 题型一：三角函数图象的平移变换 能力提升 题型一：三角函数图象的平移变换 能力提升 题型一：三角函数图象的平移变换 能力提升 题型一：三角函数图象的平移变换 能力提升 题型二：三角函数图象的伸缩变换 能力提升 能力提升 能力提升 题型二：三角函数图象的伸缩变换 能力提升 题型三：三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 能力提升 题型三：三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 能力提升 题型三：三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 04 小结及随堂练习 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 课堂总结 课堂总结 通过本节学习,要理解并学会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换，即会画y＝Asinx，y＝sinωx的图象，并理解它们与y＝sinx之间的关系. 能利用函数图象求函数解析式. (1) 平移法；(2) 代点法. A由图象的振幅决定； 由图象的周期决定； 求常用的两种方法： 课堂总结 作业 1. 教材第 239 页练习第 1 题. 2. 2.选做题 教材第 240 页习题 5.6 第 1 题. 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 练习(第239页) 练习(第239页) 练习(第239页) C 练习(第239页) B 练习(第239页) C 练习(第239页) 练习(习题5.6第240页) C 练习(习题5.6第240页) A 练习(习题5.6第240页) D 练习(第239页) 练习(第239页) 练习(第239页) 练习(第239页) 练习(第239页) 练习(第239页) 练习(第239页) O B A D 练习(第239页) 练习(第239页) 练习(第239页) 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】函数 的周期、振幅、初相分别是（    ） A． ，2， B． ， ， C． ，2， D． ，2， 【解析】 函数 ， 振幅是2，初相是 ， 又 的系数是 ，故函数的最小正周期是 ， 故选：D． 【练习2】函数 的振幅、周期、初相为（    ） A． 、 、 B．2、 、0 C．2、 、 D．2、 、0 【解析】根据函数解析式知，振幅为 ， 周期为 ，初相为 . 故选：B. 【练习3】函数 的初始相位为 . 【解析】因为函数为 ， 所以初始相位为 . 故答案为： . 【练习4】将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ， 所以 . 故选：A 【练习5】为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（    ） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【解析】函数 ，只需将函数 的图象向右平移 个单位长度，即可得到函数 的图象. 故选：A. 【练习6】（多选题）要得到 的图象，可以将函数 图象上所有的点（    ） A．向右平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 B．向右平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位 D．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位 【解析】将 图象上所有点向右平移 个单位得到 的图象， 再将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变， 得到 的图象，故B正确，A错误； 将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变得到 的图象，再将 图象上所有点向右平移 个单位得到 的图象，故C正确，D错误； 故选：BC. 【练习7】函数 的图象如图所示， 为了得到 的图象，可以将 的图象（　　） A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【解析】由图象可知， ， ，得 ，由五点法作图可知当 时， ，得 ，所以 ， ， ， 所以可以将 向右平移 个单位长度，即可得到 的图象.故选：B 【练习8】为了得到函数 的图象，可将函数 的图象（    ） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【解析】由已知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 设将函数 向左平移 个单位，得 ， 所以 ，解得 ，即将函数 向左平移 个单位长度可得 ，故选：D. 【练习9】已知函数 ，将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解析】将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度， 得到 ， 故 ， 故选：B 【详解】令t＝eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)，列表如下： x －eq \f(π,3) eq \f(2π,3) eq \f(5π,3) eq \f(8π,3) eq \f(11π,3) t 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y 0 2 0 －2 0 描点连线并向左右两边分别扩展， 得到如图所示的函数图象： 【变式】用“五点法”作出函数 的图象． 用“五点法”作函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表 ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(φ,ω) eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(π,ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(2π,ω)－eq \f(φ,ω) y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．　　 【练习10】如图所示，一个质点在半径为2的圆 上以点 为起始点，沿逆时针方向运动，每 转一圈.则该质点到 轴的距离 关于时间 的函数解析式是（    ）   A． B． C． D． 【解析】由题意可知，函数的周期 ，初相为 ，则 ， 因为 表示距离，为非负数，所以BD选项错误； 点的初始位置为 ，即 ，此时距离 轴的距离为1， 而在运动的过程中距离最大值为2，则 ， 所以C选项符合，A选项不符合. 故选：C. 【练习1】要得到函数 的图象，只要将函数 的图象( ) A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 【详解】 ， 所以将函数 的图象向右平移 个单位即得函数 的图象，故选：D． 【感悟提升】三角函数图象的平移变换 (1)左右平移 ①观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数； ②观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的方向和长度； ③方向遵循“左加右减”的规律，且从ωx→ωx＋φ的平移量为 个单位长度． (2)上下平移 平移规律为“上加下减”，即：若将函数y＝sinx的图象沿y轴向上(下)平移k (k>0)个单位长度，则得到的函数图象的解析式为y＝sinx＋k(y＝sinx－k)． 对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，φ≠0，k≠0)，其图象 的基本变换有： (1)纵向伸缩变换：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短． (2)横向伸缩变换：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长． (3)横向平移变换：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移． (4)上下平移(纵向平移变换)：是由k引起的，k>0时上移，k<0时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 2．若相应变换的函数名不同时，先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论． 3．由y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，φ≠0，k≠0)的图象得到y＝sinx的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到． 【练习2】已知函数 ,为了得到函数 的图,只需( ) A．先将函数 图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个单位 B．先将函数 图象上点的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单位 C．先将函数 图象向右平移 个单位，再将点的横坐标变为原来的 D．先将函数 图象向右平移 个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍 【详解】对于A：先将函数 图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到 ，故A错误； 对于B：先将函数 图象上点的横坐标变为原来的 ，得到 ， 再右移 个单位，得到 ，即为 ，故B正确； 对于C: 先将函数 图象向右平移 个单位，得到 ，再将 点的横坐标变为原来的 ，得到 ，故C错误； 【详解】对于D: 先将函数 图象向右平移 个单位，得到 ， 再将点的横坐标变为原来的2倍，得到 ，故D错误； 【点睛】关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位 长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相 位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a. 【感悟提升】三角函数图象的伸缩变换 (1)横向伸缩 已知 ω>0，横向伸缩规律为“伸缩倍数乘倒数”：将函数y＝sinx图象上各点 的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短(当ω>1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)，得 到的函数图象的解析式为y＝sinωx. (2)纵向伸缩 已知A>0，纵向伸缩规律为“伸缩倍数乘倍数”：将函数y＝sinx图象上各点 的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)， 得到的函数图象的解析式为y＝Asinx. 【练习3】做简谐振动的小球上下运动，它在时刻 时相对于平衡位置 的位 移 由下列函数关系式确定： ． (1)以 为横坐标， 为纵坐标，作出这个函数的简图； (2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相． 【详解】(1)解：列表： 0 2 0 -2 0 一个周期内的简图如图所示： 【练习3】做简谐振动的小球上下运动，它在时刻 时相对于平衡位置 的位 移 由下列函数关系式确定： ． (1)以 为横坐标， 为纵坐标，作出这个函数的简图； (2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相． 【详解】(2)因为 ，所以该简谐振动的振幅为2、周期为 、 频率为 、初相为 . 1.“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个 零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表. ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(φ,ω) eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(π,ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(2π,ω)－eq \f(φ,ω) y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象． 1．知识清单： (1)平移变换． (2)伸缩变换． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：探究平移变换时，需要保证x的系数为1. $