5.6.1 匀速圆周运动的数学模型教案 (1)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型（1 课时） 【教学内容】 了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系，发展数学建模素养． 【教学目标】 1. 了解匀速圆周运动的数学建模过程； 2. 了解参数ω，φ对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，理解参数ω，φ在圆周运动中的实际意义； 【教学重难点】 教学重点：用函数 y＝Asin(ωx＋φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程； 教学难点： 将实际问题抽象为数学问题的过程；通过实际意义理解参数φ，ω对函数 y ＝Asin(ωx＋φ)图象的影响． （一）整体感知 引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用正弦函数加以刻画．对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？ 设计意图：承上启下，让学生感受到之前只是研究了一个特殊的问题，需要进一步研究一般的匀速圆周运动，从而明确目标，激发兴趣． （二）新知探究 1. 创设问题情境 提出研究问题 引入：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进行灌溉的工作原理． 图 1 问题 1 ：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 师生活动：教师利用多媒体展示筒车运动的真实情况，学生进行观察，思考，交流，鼓励学生自主研究。当学生遇到困难时，老师可以提出后续问题，采用追问的方式进行引导，让学生在抽象简化的基础上再进行思考分析；若学生能自主的从数学的角度进行分析，则鼓励他们进行展示交流。 设计意图：通过筒车模型的引入，体现数学的实际价值，使学生感受到发现问题，提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题。 2. 抽象简化问题，建立函数模型 问题 2：筒车运动的模型中，盛水筒的运动具有周期性，可以考虑三角函数模型去刻画它的运动规律，如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间 t 后，盛水筒距离水面的高度 H 与那些量有关？它们之间有什么关系？ 师生活动：交流的过程中从圆周运动这个视角下进行整体分析：角速度、半径、初始位置、圆心角及建系，同时帮助学生抽象出相应的数学问题．如图 2，相关的量有：设水车半径为 r水车中心距水面的高度为 h；水车转动的角速度为ω；初始位置 所对应的角φ；时间 t；距离水面的相对高度 H；变量 t 与 H 之 间的等量关系是：H＝rsin(ωt＋φ)＋h． 图 2 设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速圆周运动，引出本单元的核心内容；让学生经历数学建模的全过程，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，用数学语言描述世界。 （三）归纳小结 通过生活中筒车模型，和学生一起建立三角函数的数学模型。 (四) 布置作业 教材 241 页的第 6,7 题. 【目标检测题】（见资源包） 学科网（北京）股份有限公司 $$