5.5.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式（第3课时）（教学设计）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学教学设计聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过手机拍照放大类比角度变化、天坛祈年殿扇形设计等生活与工程实例导入，衔接两角和差公式推导新知，为后续半角公式等学习搭建逻辑支架。 此资料以真实情境激发探究欲，推导环节渗透换元思想培养逻辑推理，例题变式训练强化数学运算，助力学生用数学眼光观察现实、用数学思维构建公式联系，教师可直接借鉴情境设计与分层练习，提升课堂效率与学生应用能力。

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第3课时　 二倍角的正弦、余弦、正切公式 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019版《数学·必修第一册》第五章“三角函数”中的第5.5.1节“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”的第3课时，核心内容是二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导与应用。学生将在前两课时的基础上，从“和角公式”出发，通过代数变形推导出“倍角公式”，并掌握其在三角恒等变换与求值中的应用。 内容解析 本节内容是三角恒等变换的核心之一，承上启下： 承上：基于两角和的正弦、余弦、正切公式（S(α+β)、C(α+β)、T(α+β)）进行推导； 启下：为后续学习半角公式、积化和差、解三角形等奠定公式基础。 教学重点在于引导学生从“和角”到“倍角”的逻辑迁移，体会换元思想与公式变形的价值，强化数学运算与逻辑推理核心素养。 教学目标 1.会由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式, 并了解它们之间的内在联系, 达 到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次. 2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换和 数值计算, 并能灵活地将公式变形运用, 达到逻辑推理和 数学运算核心素养学业质量水平二的层次. 3. 通过运用公式进行简单的恒等变换, 进一步提高运 用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性, 体会 换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用, 达到逻 辑推理核心素养学业质量水平三的层次. 目标解析 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值． 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用． 达成上述目标的标志是： · 能独立写出二倍角公式（S2α、C2α、T2α）的三种形式； · 能在复杂表达式中识别并构造“倍角”结构进行化简； · 能通过“换元”将非标准角转化为标准角，解决“给值求值”问题； · 能用“联系的观点”解释公式间的逻辑关系（如：C2α与cos²α-sin²α的等价性）。 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：1.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础, 推导二倍 角的正弦、余弦和正切公式, 二倍角公式的简单应用. 2.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础, 推导二倍 角的正弦、余弦和正切公式, 二倍角公式的简单应用.教学难点： 用单角的三角函数表示二倍角的三角函数, 倍角公式 与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和 角公式的综合应用. 知识点一　二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sinαcosα C2α cos2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ [点拨]　(1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． (2)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z. 知识点二　二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α． (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2． [拓展]　用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. 导入1：生活中的“放大”与“倍角” 教师展示一张手机拍照界面： “同学们，拍照时我们用手指放大画面，其实是将图像的边长变为原来的2倍。那么，如果角度也被‘放大2倍’，它的正弦值、余弦值会如何变化？是不是也简单乘以2呢？” 【设计意图】用“图像放大”类比“角度放大”，直观引出“倍角≠数值×2”的认知冲突。 【教学建议】引导学生猜测sin2α与2sinα的关系，暴露错误直觉。 导入2：建筑中的“对称美” 教师展示天坛祈年殿的俯视图： “这座建筑的屋顶由多个对称的扇形组成，每个扇形的圆心角是θ，而整个屋顶的圆心角是2θ。工程师需要计算sin2θ来设计弧度，但只能测量sinθ。该如何解决？” 【设计意图】将“倍角公式”置于真实工程问题中，突出其实用价值。 【教学建议】鼓励学生提出“用θ表示2θ”的思路，自然过渡到公式推导。 探究点1：二倍角公式的推导 上一节我们已学习了两角和的正弦、余弦、正切公式, 大家回忆一下. 当 时,我们能否由此得到 的表达式呢? 以公式为基础，我们已经得到六个和(差)角公式，下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式 1. 公式的推导. 探究 你能利用，，推导出，，的公式吗？ 根据刚才的复习,学生自己动手,把上述公式中的 换成 即可. (1) , 令 ,得 . (2) , 令 ,得 . (3) , 令 ,得 . 通过推导，可以得到： 探究点2：公式的变形应用（升幂与降幂） 2. 思考. 把上述关于 的式子能否变成只含有 或 形式的式子呢? 如果要求二倍角的余弦公式中仅含的正弦(余弦)，那么又可得到： 以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系． 这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去． 归纳 从和(差)角公式、倍角公式的推导过程可以发现．这些公式存在紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结． 3. 二倍角公式的变形. (1) 公式的逆用: , . (2)二倍角公式的重要变形一一升幂公式和降幂公式 升幂公式: 降幂公式: 探究点3：综合应用（给值求值） 例5 已知，．求，，的值． 分析：已知条件给出了的正弦函数值．由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式． “倍”是描达两个数量之间关系的，是的二倍，是的二倍，是的二倍，这里蕴合着换元思想． 解：由，得，又，所以． 于是， ， ． 点评 (1) 本例是直接应用二倍角公式解题, 解题的 关键是由 及 ,求出 的值,代人 二倍角公式直接计算即可. (2) 为了保证计算的正确性, 最好使用原始数据, 如选 用公式 就是如此. (3) 本题也可以先求出 ,再用 求值. 【变式】已知角的终边在函数的图象上． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先可以求出，然后根据诱导公式化简待求表达式，分子分母同时除以解决； （2）补上分母，然后同时除以解决. 【详解】（1）由题意得， 所以． （2）． 反思感悟　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式：应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． 二、给值求值(角) 例6 在中，，，求的值． 与，之间能构成怎样的关系？ 想一想 1: 的三个内角和满足什么关系? 每个 内角的取值范围是什么? 想一想 可以看作哪两个角的和? 是哪个 角的二倍角? 分析: 由 的值及 为三角形的内角,利用同角 三角函数间的基本关系求出 的值,进而确定出 的值; 利用二倍角的正切公式结合已知的 值分别求 出 与 的值,利用两角和的正切公式将所求 式子化简后, 把各自的值代人即可求出结果. 解法1：在中，由，，得， 所以，． 又，所以． 于是． 解法2：在中，由，，得， 所以，又，所以， 所以． 【变式】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边平方，然后利用二倍角公式和诱导公式可得答案. 【详解】由，得， 则. 故选：D. 反思感悟　(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 1.（25-26高二上·辽宁·开学考试）若点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先由三角函数的定义，得到，再化简原式为，代入计算，即可求解. 【详解】由点在角的终边上，可得， 则． 故选：A. 2.（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据弦切互化，以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故． 故选：A 3.（2025·广东·模拟预测）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【详解】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 4.（25-26高三上·河南·开学考试）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正切公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用诱导公式可得，由平方关系可求，由商数关系可得：，利用正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由题可得：，则， 因为在第二象限，所以， 则， 所以. 故选：D 5.（多选题）（24-25高一下·江苏南通·期末）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】利用两角和的正弦公式判断A，利用二倍角的余弦公式判断B，利用两角和的正切公式判断C，利用两角差的正切公式判断D即可. 【详解】对于A，由两角和的正弦公式得 ，故A正确， 对于B，由二倍角的余弦公式得，故B错误， 对于C，由题意得， 由两角和的正切公式得， 则，代入可得 ，故C正确， 对于D，由题意结合两角差的正切公式得 ，故D错误. 故选：AC 6.（多选题）（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】由为锐角，求出的范围，根据，由同角三角关系式分别求得.再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项. 【详解】因为为锐角，所以,所以,所以 因为所以, 因为，所以. 选项A:,所以选项A正确. 选项B:,所以选项B错误.或直接根据锐角的正余值大于零，判断选项B错误. 选项CD:因为,所以,所以.所以C正确，D错误. 故选：AC. 7.（多选题）（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 8.（多选题）（24-25高一下·辽宁辽阳·阶段练习）下列各式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】利用三角恒等变换公式逐一计算求值即可. 【详解】对A：，故A不满足题意； 对B：，故B满足题意； 对C：，故C满足题意； 对D：，故D满足题意. 故选：BCD 9.（多选题）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的余弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】将原式平方即可判断A，由即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角公式化简即可判断C，由与的值代入计算，即可判断D. 【详解】由可得，则，故A正确； 且，则， 所以， 且，则，故B错误； ，故C正确； 因为， 由，可得，故D错误； 故选：AC 10.（多选题）（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）若，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】利用两角和与差的正弦和余弦公式以及二倍角公式化简条件可得，从而求出，结合特殊角的正切值即可求解. 【详解】由于，所以， 即，即，所以，即， 则. 故选：C 1.（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列式子运算正确的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值、求15°等特殊角的余弦、二倍角的正弦公式 【分析】根据同角的平方关系计算即可判断A；根据两角和的余弦公式计算即可判断B；根据二倍角的正切公式计算即可判断C；根据两角和正切公式计算即可判断D. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：由得 所以，故C正确； D：，， ，故D正确. 故选：ACD 2.（多选题）（25-26高二上·安徽亳州·阶段练习）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】对于A：利用余弦的倍角公式可得答案；对于B：利用正切的诱导公式可得答案；对于C：利用正弦的诱导公式与倍角公式化简可得答案；对于D：利用正切的和角公式可得答案. 【详解】对于A：，故A 正确； 对于 B： ，故B 正确； 对于 C：， ，故C 错误； 对于 D： 由两角和的正切公式：， 代入，， 则，故D 正确. 故选：ABD 3.（多选题）（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】由正弦二倍角公式可得A正确，利用余弦二倍角公式可得B错误，再由两角差的正弦公式计算可得C正确，根据两角和的正切公式整理可得D正确. 【详解】对于A，易知，即A正确； 对于B，显然，可得B错误； 对于C，易知，所以C正确； 对于D，易知， 整理可得，即，即D正确. 故选：ACD 4.（多选题）（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的正弦公式 【分析】对于A选项利用诱导公式将化为，化为，式子呈现两角和余弦公式形式，进而得出，算出结果.对于B选项先由平方差公式展开，再依据平方关系和二倍角公式，对比结果判断对错.对于C选项分子分母同除，结合，变形为两角和正切公式形式，求出值.对于D选项先将化为，通分后用二倍角公式，再把化为展开化简得结果. 【详解】根据诱导公式可得，. 则. 可得. 因为，所以选项正确. 可得. 则.可得. 所以，选项错误. 分子分母同时除以， 可得. 因为，所以. 可得，C选项正确. . 可得. 则. 可得. 所以，选项正确. 故选：ACD. 本节我们学习了二倍角的正弦、余弦、正切公式, 要 熟练记忆, 在解题过程中要善于发现规律, 学会灵活 运用. 1．知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导． (2)公式的正用、逆用、变形用． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：公式中加减符号易记错． 1. 教材第 223 页练习第 4 , 5 题. 2. 教材第 229 页习题 5.5 第 7 题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 第 3 课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 三、应用举例 一、复习引入 例 1 两角和的正弦、余弦、正切公式 例 2 二、知识形成 练习 二倍角公式的推导 四、归纳小结 五、布置作业 1．利用公式证明： （1）； （2）． 【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 1、 教学反思 练习（第217页） 1．证明：（1） ， （2）． 2．利用公式求的值． 2． ． 3．已知，求的值． 3．解析：，，， ． 4．已知，是第二象限角，求的值． 4．解析： ，是第二象限角，， ． 5．已知，求的值． 5．解析： ，． ． ． 练习（第220页） 1．利用和（差）角公式，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 1．解析：（1） (2) ． (3) ． (4) ． 2．（1）已知，求的值； （2）已知，是第三象限角，求的值； （3）已知，求的值． 2．解析：（1），，， （2），是第三象限角，， ． （3）． 3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 3．解析：（1）． （2）． （3）． （4）． （5） ． （6） ． 4．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．解析：（1）． （2）． （3）． （4） ． 5．已知，是第三象限角，求的值． 5．解析：由已知得即，即， 所以．又是第三象限角，所以． 因此，． 练习（第223页） 1．已知，求的值． 1．解析： ，，， 又，，，，． 2．已知，求的值． 2．解析： ，，． 3．已知，求的值． 3．解析：，，又，， 从而有，，． 4．已知，求的值． 4．解析：，，， 或． 5．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表 前面在“对数的发明”中曾经谈到，纳皮尔利用对教制作了0°~90°每隔1'的八位三角函数表．应当说，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神，今天，我们可以利用已经学会的三角函数知识以及算法知识，借助信息技术，容易地制作出非常精确的三角函数表，下面我们借助信息技术来作一个每隔的八位三角函数表． 用计算工具可得：． 以此作为初始值，利用， 就可以写出一个程序框图(如右图所示)，然后通过信息技术得到一个正弦函数的三角函数表． 请同学们根据上述思路，自己编写程序，得出一个三角函数表． 学科网（北京）股份有限公司 $