5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）单调性与最值（导学案）数学人教A版2019必修第一册

5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 导学案 1. 理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化 规律, 通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域 上的性质, 达到数学抽象核心素养学业质量水平一的 层次. 2. 能够利用单调性解决一些问题, 比如比较大小, 求 最值等, 达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 教学重点： 1.通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质； 2.对周期函数概念的理解和运用. 教学难点： 1. 应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性. 2.探究函数 的周期. 温故知新 知识点　　正弦函数、余弦函数的性质 y＝sinx y＝cosx 相同处 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期性 最小正周期2π 最小正周期2π 不同处 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在(k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最值 x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 [点拨]　对单调区间的理解 (1)k取Z内的每一个值，都对应着一个单调递增区间及单调递减区间，这些区间是断开的． (2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数． (3)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点． 导入1：音乐中的“周期律” 教师播放两段音频： ① 纯音（正弦波）；② 和弦（复合波）。提问： “为何音高由频率决定？若频率加倍（周期减半），音高如何变化？这与sinx的单调性有何关联？” 【设计意图】 · 用听觉刺激唤醒周期概念，暗示“单调性=音高变化趋势”。 · 为后续“ω影响单调区间”埋下伏笔。 导入2：导航软件的“路径规划” 展示导航界面：汽车从A到B的路径为一段“余弦曲线”地形。提问： “司机何时在‘上坡’（单调增）？何时‘海拔’最高（最大值）？如何用数学描述？’’ 【教学建议】 · 让学生用手势模拟“爬坡”动作，直观理解“增区间=海拔上升”。 · 追问：“若路径改为y=-cosx，上坡区间会变吗？”（引出系数符号影响） 同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题． 一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值 自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理中的单摆运动,弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知,角的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,需引入一个新的数学概念一一函数周期性. 研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 探究： 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质? 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的． 探究点1：单调性的“周期延拓” 1．周期性 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映，即自变量的值增加整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律． 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ， 那么函数就叫做周期函数(periodicfunction)．非零常数叫做这个函数的周期(period)． 周期函数的周期不止一个．例如，，，，…，以及，，，…都是正弦函数的周期．事实上，且，常数都是它的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期(minimalpositiveperiod)． 根据上述定义，我们有： 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是 类似地，余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． 探究点2：最值的“临界点” 4．最大值与最小值 从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到， 正弦函数当且仅当___________时取得最大值1，当且仅当___________时取得最小值; 余弦函数当且仅当____________时取得最大值1，当且仅当____________时取得最小值． 探究点3：复合函数的单调陷阱 3．单调性 由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域． 观察图5.4-8，可以看到： 当由增大到时，曲线逐渐上升，的值由增大到；当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由1减小到． 的值的变化情况如表5.4-2所示： 表5.4-2 ↗ 0 ↗ ↗ ↗ ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ 这就是说， 正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 由正弦函数的周期性可得， 正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从增大到1，在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到． 类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表5.4—3： 表5.4-3 ↗ ↗ ↗ ↗ 由此可得， 函数在区间_____________上单调递增，其值从增大到；在区间_________上单调递减，其值从1减小到． 由余弦函数的周期性可得， 余弦函数在每一个闭区间__________________________上都单调递增，其值从增大到1﹔在每一个闭区间________________________上都单调递减，其值从1减小到． 4．最大值与最小值 从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到， 正弦函数当且仅当___________时取得最大值1，当且仅当___________时取得最小值; 余弦函数当且仅当____________时取得最大值1，当且仅当____________时取得最小值． 例3下列函数有最大值、最小值吗?如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值． (1)； (2) ． 解: 容易知道，这两个函数都有最大值、最小值． （1）使函数取得最大值的的集合，就是使函数取得最大值的的集合 ； 使函数取得最小值的的集合，就是使函数取得最小值的的集合 函数的最大值是，最小值是． （2）令，使函数取得最大值的的集合，就是使取得最小值的的集合 由，得．所以，使函数取得最大值的的集合是 同理，使函数取得最小值的的集合是 函数的最大值是3，最小值是． 【变式】若函数的最大值是4，最小值是，则 【答案】2或-4 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】对分类讨论，结合余弦函数的有界性，用表示出的最值，得到关于的方程，求解即可. 【详解】当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，或. 故答案为：或. 解题方法（三角函数的值域问题解题思路） 三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(ωx+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题. 例4 不通过求值，比较下列各组数的大小： (1) 与； (2) 与 分析:可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小． 解:（1）因为 正弦函数在区间上单调递增，所以 （2）， ， 因为，且函数在区间上单调递减，所以 即． 【变式】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】比较余弦值的大小、比较正弦值的大小、诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】将选项中所需比较的角,根据诱导公式转化为区间内,再根据,两个函数的单调性进行判断大小即可. 【详解】解:由于函数在上单调递增,且, 所以,故选项A错误; 因为在上单调递增, ,故选项B正确; 因为, , 所以,故选项C正确; 因为,所以,故选项D错误. 故选:BC 反思感悟　比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 三、求正弦函数、余弦函数的单调区间 例5 求函数，的单调递增区间． 分析：令，当自变量的值增大时，的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增． 解：令，则， 因为的单调递增区间是，且由 得． 所以，函数，的单调递增区间是 思考： 你能求出函数的单调递增区间吗? 【变式】函数，，下面为的一个单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】将向右平移个单位即可得到，利用图象法即可得到答案. 【详解】在上单调递增，将向右平移个单位即可得到 ，故的单调递增区间为， 是的子集，所以A正确. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间问题，本题可以直接利用平移得到，是一道基础题. 反思感悟　求正、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此．    1.（23-24高一下·湖北十堰·期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、求含cosx的函数的最小正周期、函数奇偶性的应用 【分析】运用周期性定义和奇偶性定义验证即可． 【详解】因为，所以， 所以，则是偶函数. 因为，， 所以是周期为的偶函数. 故选：A. 2.（2025·贵州·二模）函数的最大值为（   ） A．4 B．7 C． D．15 【答案】B 【知识点】求cosx（型）函数的最值 【分析】利用余弦函数的性质求出最大值. 【详解】函数中，，所以当时，. 故选：B 3.（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 4.（24-25高二下·安徽阜阳·期中）函数，的最小值为（   ） A． B．0 C．5 D．+4 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据正弦函数、一次函数的性质判断的区间单调性，即可求最小值. 【详解】由在上单调递增， 所以. 故选：B 5.（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解可得，即可得结果. 【详解】因为，且，则， 若函数在区间上单调递增， 注意到，则，解得， 所以的最大值为1. 故选：C. 6.（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由题意可得，利用单调性计算求出参数范围. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以当时，即时，函数在上单调递增， 则的取值范围. 故选：B. 7.（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 8.（2025·福建漳州·模拟预测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较正弦值的大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】通过中间值即可比较大小. 【详解】易知， ， ， 所以， 故选：C 9.（23-24高一下·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求sinx的函数的单调性 【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解. 【详解】对于函数，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以， 则的最大值为. 故选：B 10.（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数在时的值域为 C．若，则的值为0 D．函数的单调递增区间是 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含cosx型的函数的定义域、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】对于A：根据根式以及余弦函数性质分析求解；对于B：以为整体，结合正弦函数分析求解；对于C：根据周期性和对称性分析求解；对于D：取特值结合单调性的定义分析判断. 【详解】对于选项A：令，则， 可得，解得， 所以函数的定义域是，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可知，则，故B正确； 对于选项C：因为的最小正周期， 又因为，可知为的对称中心， 则， 即，且， 所以，故C正确； 对于选项D：当时，；当时，； 可知函数在不单调，故D错误； 故选：D. 1.（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用余弦函数的图象性质求解即可. 【详解】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，所以， 所以 故选：A. 2.（24-25高一下·安徽·阶段练习）若函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】取得函数的递增区间，得到，列出不等式组，求得且，再由在区间上有唯一的实数解，求得，进而得到答案. 【详解】由函数，令， 解得， 即函数的递增区间为， 因为函数在区间上单调递增， 可得 则满足且，解得且， 由，可得， 因为在区间上有唯一的实数解，可得，解得， 综上可得，当时，，所以的取值范围为. 故选：C. 3.（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】由的范围求出的范围，又由是单调增或减区间的子区间列不等式可解. 【详解】函数，， 函数在上单调递减，所以， 又，则，解得． 当时，， 当在上单调递减时，，， 解得， 当时，. 故选：B. 4.（24-25高一下·辽宁·阶段练习）下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、求含cosx的函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先求出函数定义域，以及的表达式，即可判断奇偶性；对于B、D两项，代入区间，求出整体的取值范围，结合正弦函数的单调性，即可判断正误. 【详解】对于A项，由可得，， 所以，函数的定义域为关于原点对称. 又， 所以，函数为偶函数.故A错误； 对于B项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为奇函数. 又，所以. 正弦函数在上既有增区间又有减区间，不满足题目要求，故B错误； 对于C项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为偶函数.故C错误； 对于D项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为奇函数. 又，所以. 正弦函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 方法归纳： 观察法：对于简单的命题，直接根据全称量词命题和存在量词命题的否定形式写出命题的否定。 分类讨论：在判断命题的真假时，考虑不同情况，如全称量词命题为真时，其否定为假；全称量词命题为假时，其否定为真。 1. 常见误区： 在写出命题的否定时，容易忽略量词的改变和结论的否定。 在判断命题的真假时，容易混淆全称量词命题和存在量词命题的真假关系。 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 课本P207练习1-4（周期计算、奇偶判定）； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 导学案 1. 理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化 规律, 通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域 上的性质, 达到数学抽象核心素养学业质量水平一的 层次. 2. 能够利用单调性解决一些问题, 比如比较大小, 求 最值等, 达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 教学重点： 1.通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质； 2.对周期函数概念的理解和运用. 教学难点： 1.应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性. 2.探究函数 的周期. 温故知新 知识点　　正弦函数、余弦函数的性质 y＝sinx y＝cosx 相同处 定义域 值域 周期性 不同处 图象 奇偶性 函数 函数 单调性 在 上单调递增； 在 上单调递减 在 上单调递增； 在 上单调递减 最值 x＝ 时，ymax＝1； x＝ 时，ymin＝－1 x＝ 时，ymax＝1； x＝ 时，ymin＝－1 导入1：音乐中的“周期律” 教师播放两段音频： ① 纯音（正弦波）；② 和弦（复合波）。提问： “为何音高由频率决定？若频率加倍（周期减半），音高如何变化？这与sinx的单调性有何关联？” 导入2：导航软件的“路径规划” 展示导航界面：汽车从A到B的路径为一段“余弦曲线”地形。提问： “司机何时在‘上坡’（单调增）？何时‘海拔’最高（最大值）？如何用数学描述？’’ 同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题． 一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值 自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理中的单摆运动,弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知,角的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,需引入一个新的数学概念一一函数周期性. 研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 探究： 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质? 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的． 探究点1：单调性的“周期延拓” 1．周期性 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映，即自变量的值增加整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律． 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ， 那么函数就叫做周期函数(periodicfunction)．非零常数叫做这个函数的周期(period)． 周期函数的周期不止一个．例如，，，，…，以及，，，…都是正弦函数的周期．事实上，且，常数都是它的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期(minimalpositiveperiod)． 根据上述定义，我们有： 正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是 类似地，余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是． 探究点2：最值的“临界点” 4．最大值与最小值 从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到， 正弦函数当且仅当___________时取得最大值1，当且仅当___________时取得最小值; 余弦函数当且仅当____________时取得最大值1，当且仅当____________时取得最小值． 探究点3：复合函数的单调陷阱 3．单调性 由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域． 观察图5.4-8，可以看到： 当由增大到时，曲线逐渐上升，的值由增大到；当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由1减小到． 的值的变化情况如表5.4-2所示： 表5.4-2 ↗ 0 ↗ ↗ ↗ ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ 这就是说， 正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 由正弦函数的周期性可得， 正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从增大到1，在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到． 类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表5.4—3： 表5.4-3 ↗ ↗ ↗ ↗ 由此可得， 函数在区间_____________上单调递增，其值从增大到；在区间_________上单调递减，其值从1减小到． 由余弦函数的周期性可得， 余弦函数在每一个闭区间__________________________上都单调递增，其值从增大到1﹔在每一个闭区间________________________上都单调递减，其值从1减小到． 4．最大值与最小值 从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到， 正弦函数当且仅当___________时取得最大值1，当且仅当___________时取得最小值; 余弦函数当且仅当____________时取得最大值1，当且仅当____________时取得最小值． 例3下列函数有最大值、最小值吗?如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值． (1)； (2) ． 【变式】若函数的最大值是4，最小值是，则 三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(ωx+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题. 例4 不通过求值，比较下列各组数的大小： (1) 与； (2) 与 【变式】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、求正弦函数、余弦函数的单调区间 例5 求函数，的单调递增区间． 思考： 你能求出函数的单调递增区间吗? 【变式】函数，，下面为的一个单调递增区间的是（    ） A． B． C． D．    1.（23-24高一下·湖北十堰·期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 2.（2025·贵州·二模）函数的最大值为（   ） A．4 B．7 C． D．15 3.（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·安徽阜阳·期中）函数，的最小值为（   ） A． B．0 C．5 D．+4 5.（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 6.（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.（2025·福建漳州·模拟预测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 9.（23-24高一下·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 10.（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数在时的值域为 C．若，则的值为0 D．函数的单调递增区间是 1.（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·安徽·阶段练习）若函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·辽宁·阶段练习）下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 方法归纳： 观察法：对于简单的命题，直接根据全称量词命题和存在量词命题的否定形式写出命题的否定。 分类讨论：在判断命题的真假时，考虑不同情况，如全称量词命题为真时，其否定为假；全称量词命题为假时，其否定为真。 1. 常见误区： 在写出命题的否定时，容易忽略量词的改变和结论的否定。 在判断命题的真假时，容易混淆全称量词命题和存在量词命题的真假关系。 课本P207练习1-4（周期计算、奇偶判定）； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $