5.4.2 周期性与奇偶性（第1课时）（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性 学习目标 1.理解周期函数的概念,能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据定义进行简单的拓展,达到数学抽象和逻辑推理核心素养水平一的要求. 2.根据之前所学和图象来研究三角函数的奇偶性,能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性,达到逻辑推理核心素养水平二的要求. 3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期; 4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等); 5.能利用性质解决一些简单问题. 目录 CATALOG 01.正弦函数、余弦函数的周期 03.题型强化训练 02.正弦函数、余弦函数的奇偶性 04.小结及随堂练习 01 正弦函数、余弦函数 的周期 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性 导入新知：音乐中的周期 教师播放一段钢琴曲《致爱丽丝》，提问：“为什么我们能感知旋律的‘重复’？ 数学中用什么性质 描述这种重复？” 导入新知：游乐园的旋转木马 展示旋转木马视频， 提问：“木马的运动有什么规律？ 若木马高度 是时间的函数，它可能具备什么数学性质？” 导入新知 探究：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质? 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的. 新知1. 周期性 新知1. 周期性 新知1. 周期性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求正弦（型）函数的最小正周期 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求正弦（型）函数的最小正周期 新知2. 奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 思考: 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助? 新知2. 奇偶性 正弦、余弦函数的奇偶性 y=sinx (xR) sin(-x)= - sinx (xR) x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  是奇函数 x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y y=cosx (xR) cos(-x)= cosx (xR) 是偶函数 定义域关于原点对称 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 诱导公式五、六、函数奇偶性的定义与判断 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 诱导公式五、六、求余弦（型）函数的奇偶性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求正弦（型）函数的最小正周期 02 正弦函数、余弦函数 的奇偶性 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性 应用新知 例2： 分析： 应用新知 例2： 应用新知 例2： 应用新知 思考: 回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗? 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求含sinx的函数的最小正周期 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求余弦（型）函数的奇偶性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求含sinx的函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 03 题型强化训练 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性 能力提升 题型一：函数周期性的判断 C 能力提升 题型一： 函数周期性的判断 能力提升 题型二：函数奇偶性的判断 D 能力提升 题型二： 函数奇偶性的判断 能力提升 题型三：三角函数周期性与奇偶性的综合 能力提升 题型三：三角函数周期性与奇偶性的综合 能力提升 题型三：三角函数周期性与奇偶性的综合 能力提升 题型三：三角函数周期性与奇偶性的综合 04 小结及随堂练习 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性 课堂总结 课堂总结 作业 课本207页练习、213页习题5.4.2 --- 6、10、11题. 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性 练习(第203页) 练习(第203页) 练习(第203页) 练习(第203页) 练习(第203页) 练习(第203页) （1）奇函数； （3）奇函数； （2）偶函数； （4）奇函数. 练习(第203页) 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】函数 的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 【解析】因 ，则最小正周期为： . 故选：C 【练习2】下列函数中，周期为 的是（    ）． A． B． C． D． 【解析】由正余弦型的三角函数的周期公式 求解， 要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为 ， ， ， ， 故选：D． 【练习3】下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，函数 的定义域为 ，且 ，即 ，故 为奇函数，故选项A正确；对于B，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以 为非奇非偶函数，故选项B错误；对于C，函数 的定义域为 ， ， 均不恒为0，故 为非奇非偶函数，故选项C错误；对于D，函数 的定义域为 ，且 ，所以 为偶函数，故选项D错误.故选：A． 【练习4】 的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【解析】令 ， ， 又 ， 所以函数 是偶函数. 故选：A. 【练习5】下列函数中，最小正周期为 的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【解析】 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 但不是奇函数. 故选：B 【变式】求下列三角函数的最小正周期： (1)y＝|sinx|； (2)y＝cosπx； (3) ； (4) 解：(1)由f(x)＝|sinx|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)， 得y＝|sinx|的最小正周期为 π (或通过图象判断)． (2)由y＝cosπx，得T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,π)＝2. (3)由 ，得T＝eq \f(2π,|ω|)＝ eq \f(2π,\f(1,2))＝4π. (4)由 ，得T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π. 【练习6】设函数 ，则 为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【解析】 ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确D错误. 故选：C 【练习7】已知函数 是奇函数，则 （   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【解析】因为函数 是奇函数，定义域为 ， 则 ， 所以 . 故选：B. 【反思感悟】求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数， A≠0，ω≠0)的函数， . (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 【练习8】下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【解析】设对于A， ，即 取 时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B， ，即 取 时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C， 是偶函数，且 ，即 不恒为0，C不是； 对于D，函数 的定义域为 ，而 ， 函数 是奇函数，D是. 故选：D 【练习9】函数 是（  ） A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数 C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数 【解析】因为 EMBED Equation.DSMT4 . 所以 ， ， 所以 是最小正周期为 的奇函数. 故选：A 【练习10】将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后， 得到一个偶函数的图象，则 不可能的取值为（    ）． A． B． C．0 D． 【解析】将函数 的图象向左平移 个单位长度后， 得到 的图象，因为它是偶函数， 所以 ， ，即 ． 当 时， ；当 时， ；当 时， ． 故选：C． 【练习1】函数 的最小正周期是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【解析】用周期公式 求解即可. 【详解】 【感悟提升】求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0， ω≠0)， . (3)图象法：画出函数的图象，借助图象判断函数的周期，特别是对于含绝 对值的函数一般采用此法． 【练习2】已知函数 ( 为常数)为奇函数，那么 （     ）. A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为函数 ( 为常数)为奇函数， 所以 ，所以 ， ， 当k为偶数,则 , 当k为奇数,则 ,即 ； 【感悟提升】判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面 ①函数的定义域是否关于原点对称； ②f (x)与f (－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后 再判断． 提醒：研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则． 【练习3】已知函数 ， . (1)求函数 的最小正周期； (2)求函数 的单调递增区间； (3)若把 向右平移 个单位得到函数 ,求 在区间 上的最小值和最大值. 【详解】(1)由二倍角公式及降幂公式,结合辅助角公式化简可得 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 由 ,可得 的最小正周期为 . 【详解】(2)由(1)可知 函数 的单调递增区间,由正弦函数的图像与性质可得 , 则 ,所以函数 的单调增区间为 ； 【练习3】已知函数 ， . (1)求函数 的最小正周期； (2)求函数 的单调递增区间； (3)若把 向右平移 个单位得到函数 ,求 在区间 上的最小值和最大值. 【详解】(3)若把函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象 则 , EMBED Equation.DSMT4 由正弦函数的图像与性质可知 故 在区间 上的最小值为-2,最大值为1. 【练习3】已知函数 ， . (1)求函数 的最小正周期； (2)求函数 的单调递增区间； (3)若把 向右平移 个单位得到函数 ,求 在区间 上的最小值和最大值. 【感悟提升】三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值． (2)利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值和求 解析式的问题． 1．知识清单： (1)周期函数的概念，三角函数的周期． (2)三角函数的奇偶性． (3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用． 2．方法归纳：定义法、公式法、数形结合法． 3．常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数， 且A≠0，ω≠0)的周期为T＝eq \f(2π,|ω|). $