专题03 有理数（必备知识+11题型+分层检测）（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材沪教版

专题03 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的分类 能够正确分类有理数 一般填选题，重在考查有理数的分类 绝对值 理解绝对值的几何意义和性质 几何意义是考试重点，注意分类讨论情况，去绝对值符号一般作为填空压轴 相反数 能理解相反数的性质 相反数往往和绝对值、倒数一起综合考查，注意它们之间的区别和联系 有理数的运算 能掌握有理数乘法、除法、乘方的运算法则，规范计算格式，计算不出错 有理数乘除法、乘方是计算题考试重点，应用题一般考查有理数的意义，注意区别负数乘法和绝对值乘法表达的实际意义 知识点01 有理数 1.正数、负数和0 像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数.像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.0既不是正数，也不是负数.0是正数与负数的分界. 具有相反意义的量的含义 如果两个量意义相反，且是同一类对象，那么这两个量就叫做具有相反意义的量. 两个量所表示的属性相同. 2.有理数 （1）整数 正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2，0，1，2，3等. （2）分数 正分数、负分数统称为分数，如，0.18，-1.35，等. 分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 【注意】无限不循环小数不能用分数的形式表示。 小数与分数 1.小数可分为有限小数和无限小数.无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数. 2.分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数.分数都可以写成（p，q为整数，q≠0）的形式. （3）有理数 能够写成分数（a,b是整数，a≠0）的数叫作有理数。整数和分数都是有理数的一部分. 几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. （4）有理数的分类 方法1：按有理数的定义分类 方法2：按有理数的性质符号分类 知识点02 数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较 1.数轴 （1）定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 原点是数轴的基准点，也是正数和负数的分界点。 （2）数轴的画法 （1） 在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. (1)绘制数轴时,它的三个要素缺一不可,另外,标注数轴上的点时，需要注意从原点开始向两侧排列； (2)在同一条数轴上,单位长度的大小必须统一； (3)数轴的正方向可以任意选取,通常规定向右或向上为正.可以选取1cm或2cm为一个单位长度，甚至更长或更短;每位长度可以代表“1”“10”“0.1”“500”“0.02”等等。 （3）数轴上的点与有理数的对应关系 数轴上的每一个点都表示一个数，每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数.（如π可以用数轴上的点表示，但π不是有理数.） 数轴是“数”“形”结合的工具，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示. 2.相反数 （1）概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.把其中一个数叫做另一个数的相反数.（符号不同是代数意义） 只有符号不同的两个式子叫做互为相反式.把其中一个式子叫做另一个式子的相反式.（整体思想） 一般地，a和-a互为相反数.特别地，0的相反数是0. （1）相反数的定义中“只有”指的是除了符号不同外其他完全相同. （2）相反数的定义中“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在. （3）数轴上与原点的距离是a（a＞0）的点有两个，分别在原点左右两边，它们互为相反数. （4）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等. （5）-a不一定是负数，a不一定是正数，字母本身没有符号，它的符号是人为定义的，对字母表示数的时候，一定要看清楚字母的取值范围。例如当a＜0，则-a＞0. （2）相反数的性质 ①任何一个数都有唯一一个相反数.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数;0的相反数是0. ②若a，b互为相反数，则a＝-b或b＝-a或a+b＝0. （3）求一个数的相反数的方法 ①一个具体数，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数. ②用字母表示数，只需在字母前面加上“-”号，就可以得到对应的相反数. （4）多重符号的化简 多重符号化简的依据是相反数的定义，如表示的相反数，所以. 一个具体的数前面有几个正、负号时，化简结果是由“-”号的个数决定的(奇负偶正）. 3.绝对值 （1）定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 注意：a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 （2）绝对值的性质 ①一个正数的绝对值是它本身; ②一个负数的绝对值是它的相反数; ③0的绝对值是0. (1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0. (2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数). （3）对于任意有理数都有≥0，即： （4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则＝;绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若＝，则＝或＝-（+＝0）. （5）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大. （6）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. （3）绝对值非负性的应用 若几个数的绝对值的和为0，则这几个数同时为0. 拓展：若几个非负数的和为 0,则每个非负数都为 0. 解题技巧：若+++…=0，则有=0，=0，=0，…，所以=0，=0，=0，…. 4.有理数的大小比较 方 法 内 容 利用数轴 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大 利用法则 （1） 正数大于0，0大于负数，正数大于负数; （2） 两个负数，绝对值大的反而小; （3） 两个正数，绝对值大的数大 知识点03 有理数的加法、减法运算 1.有理数加法法则和运算定律 （1）有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0 ③一个数同0相加，仍得这个数. 注意： (1)若与互为相反数,则(或); (2)若(或),则与互为相反数. 有理数加法的结果的几种情况 (1) 可以是正数,也可以是负数,还可以是零.如5+(-3)=2,-6+4=-2,-3+3=0 (2) 可能比两个加数都大.如2+3 =5; (3)可能比两个加数都小.如(-2)+(-6)=-8 (4)可能比一个加数大,比另一个加数小.如(-3)+4 =1. (5)可能等于其中一个加数.如2+0=0 （2）有理数加法的运算定律 运算定律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加,交换加数的位置,和不变 加法结合律 三个数相加,先把前两个数相加，或者先把后两个数相加,和不变 有理数加法运算的技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; (2) 符号相同的数先相加——“同号结合法”; (3)分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同分母结合法”; (4)几个数相加得到整数先相加——“凑整法”; (5)整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”; (6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和再分别相加——“拆分法”; 注意：方法的选择并不是一成不变，有的时候还需要多种方法共同使用，所以需要具体问题具体分析. 2.有理数的减法法则 （1）有理数的减法法则 减去一个数,等于加这个数的相反数.即.例如. 注意： (1)两变一不变：被减数不变，减号变加号，减数变相反数. (2)有理数的减法，可以先将减法转化为加法,再按有理数的加法法则和运算定律计算. (3)减法没有交换律,被减数与减数的位置不能改变. （2）有理数减法的三种情况 (1) 减去一个正数等于加上一个负数; (2) 减去一个负数等于加上一个正数; (3) 任何数减去0仍得这个数,0减去一个数等于这个数的相反数. 拓展延伸： (1) 在有理数的减法中,当减数为正数时,差一定小于被减数;当减数为负数时，差一定大于被减数. (2) 大数减小数的差为正,小数减大数的差为负,相等两数的差为0.用字母表示为:若,则 ;若,则;若,则. （3）有理数加减混合运算的方法 有括号的,先算括号内的;没有括号的,先将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律进行简化计算. 注意 进行有理数加减混合运算时，应有条理地按步骤进行,不要随意地跳步,否则容易出错. 3.省略加号的和式的写法及读法 （1）省略加号的和式的写法 在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式. 例如(-10)+(-5)+(+3)+(-4)可以写成-10-5+3-4. （2）省略加号的和式的读法 ①按结果读，是性质符号和数字在一起的和，正负不能省略; ②按运算读,是加减,但第一个加数如果是负的,这个“－”号要读“负”而不能读“减”,其余数字前面的符号按运算符号读. 例如-10-5+3-4 的读法:(1)按加法的结果来读:负10负5正3负4的和;(2)按运算来读:负10减5加3减4. 知识点04 有理数的乘法、除法运算 1.有理数的乘法法则 乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负,并把绝对值相乘; (2) 任何数与0相乘,都得0. 有理数乘法的运算步骤 (1)确定积的符号;(2)确定积的绝对值 注意： 确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步,法则中的“同号得正,异号得负”是指两数相乘,不要与有理数的加法法则混淆. 2.倒数 （1）概念 乘积是的两个数互为倒数. 当时,与互为倒数; 当,时,与互为倒数. 注意：倒数是它本身的数只有1和-1. （2）倒数与相反数的区别 倒数 相反数 定义 乘积是1的两个数互为倒数 只有符号不同的两个数互为相反数 表示 的倒数是 的相反数是 性质 若,互为倒数,则 若,互为相反数,则 判定 若,则,互为倒数 若，则,互为相反数 相同点 都成对出现 不同点 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数，0没有倒数 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数,0的相反数是0 3.多个有理数相乘 （1）几个不是0的数相乘的法则 积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时,积是正数;当负因数的个数是奇数时,积是负数.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘.简记为“偶正奇负，绝对值相乘” （2）有因数0的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.同样,若积为零则至少有一个因数为零. 注意： 在乘法运算中,一般先把式子中所有的小数化为分数,带分数化为假分数，然后再确定符号，并把绝对值相乘. 4.有理数的乘法运算律 运算律 文字表达 符号语言 乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等 乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积相等 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 有理数的乘法交换律或乘法结合律一般不单独用,交换的目的是为了更好地结合. 5.有理数除法法则 法则1： 除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.用公式表示为（除数一定不能为0哦!） 法则2： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0. 提示 (1) 有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律. (2) 两个数相除,若商是 1,则这两个数相等;若商是 -1,则这两个数互为相反数. (3) 任何数除以1都得原数;任何数除以-1都得原数的相反数;除以一个非0数等于这个数的倒数. 化简分数要遵循“同号得正，异号得负”的符号法则,分子、分母、分数线前,若有一个或两个负号,则负号可以移到三个位置的任何一个,而分数的值不变. 6.有理数乘除的同级运算 有理数乘除同级运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则,确定积的符号，最后求出结果 注意： 1. 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算； 2. 有理数的乘除运算是同级运算,如果没简便计算情况下，一般要按照从左到右的顺序进行. 知识点05 有理数的乘方 1.有理数乘方的意义 （1）定义 求个相同因数的积的运算,叫做乘方. 一般地，，记作，读作“的次方”． 当 看作的次方的结果时,也可读作“的次幂” （2）乘方的意义 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数,是指因数的个数. ①一个数可以看作这个数本身的一次方.例如就是,就是,指数1通常省略不写,指数是2时读作平方,指数是3时读作立方. ②乘方与幂不同,乘方是一种运算,幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 注意：底数是负数或分数时要加括号 2.有理数乘方运算的符号规律 (1)正数的任何次幂都是正数 (2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数 (3)0的任何正整数次幂都是0 在进行乘方运算时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成,先确定幂的符号,再计算幂的绝对值 归纳 (1) 任何数的偶次幂都是非负数，即. (2) 1的任何次幂都是 1. (3) -1的偶次幂是1，即;-1的奇次幂是-1,即. (4) (1)互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若 a+b=0,则; (5) (2)互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0,则 知识点06 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序 (1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算，从左到右进行; (3)如有括号先做括号内的运算按小括号中括号大括号依次进行. 题型一、有理数的分类 例1.（24-25六年级上·上海·期中）在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握整数和分数统称有理数． 根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是有限小数，属于分数，是有理数， 0是整数，是有理数， 29是正整数，是有理数， 因为是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，不是有理数， 是负分数，属于有理数， ，是无限不循环小数，不是属于有理数， ，是循环小数，属于分数，是有理数， 共5个， 故选：C． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海·期中）在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 【答案】见详解 【分析】本题考查了有理数的概念与分类，整数和分数统称为有理数，大于0的有理数为正有理数，自然数是指0和正整数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，如图： 题型二、化简多重符号 例2.在、、、、、0、、中，非负数的个数是（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】先对部分数据化简，再利用非负数的意义判断即可． 【详解】解：，， 在、、、、、0、、中， 非负数有：、、0、、3.14，共5个． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数、相反数、绝对值，以及非负数的意义，掌握这些概念是解题的关键． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，相反数等知识点，熟记以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值和相反数进行计算，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，先计算绝对值和化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24六年级下·上海·期中）比较大小： （填“”，“”，或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，掌握以上知识是解题的关键．分别化简绝对值和多重符号，进而比较即可判断大小． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型三、绝对值的几何意义 例3.（24-25六年级上·上海嘉定·期中）绝对值不大于3的整数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义：若，则；若，则；若，则．根据绝对值的意义得到整数，，，0的绝对值都不大于3． 【详解】解：绝对值不大于3的整数有：，，，0，共7个数． 故选：C． 【变式3-1】下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据有理数的大小比较方法和绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A．如果，当，时，，故A选项错误，不符合题意； B．如果，当，时，，故B选项错误，不符合题意； C．如果，当，互为相反数时，，故C选项错误，不符合题意； D．如果，那么，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，掌握绝对值的定义是解题的关键． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如果一个数的绝对值等于，那么这个数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 根据绝对值的性质直接判断即可解得． 【详解】解：∵或的绝对值等于， ∴绝对值等于的数是或， 故答案为：或． 【变式3-3】（24-25六年级上·上海长宁·期中）如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上，对应的点分别为M、N、P、Q，且，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是 ． 【答案】p 【分析】此题考查了相反数的几何意义，数轴，以及绝对值．根据题意得到q与n化为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数即离原点最近的点． 【详解】解：∵， ∴原点如图所示， ∴绝对值最小的数是p， 故答案为：p． 题型四、去绝对值符号问题 例4.已知，异号，，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义以及分类讨论的思想解决此题． 【详解】解：①当，时， 原式． ②当，时， 原式． 综上所述， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查绝对值，有理数的除法运算，熟练掌握绝对值、分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）若、、、为四个不为零的有理数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，绝对值的应用，根据题意得出、、、四个数三个为正，一个为负，即可求解． 【详解】解：∵、、、为四个不为零的有理数，且， ∴、、、四个数三个为正，一个为负， ∴ 故答案为：． 题型五、利用数轴比较有理数的大小 例5.（24-25六年级上·上海嘉定·期中）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数． 点表示的数是__________，点表示的数是__________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），； （2）见解析； （3） 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成3份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成3份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从大到小排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是， 如图所示： （3）根据题意得． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）（1）填空：如图，写出数轴上的点A、点B所表示的数．点A表示的数是，点B表示的数是； （2）已知点C表示的数是，点D表示的数是，请在图中的数轴上分别画出点C和点D，并标明相应字母； （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把到之间的长度平均分成6份，每份表示一，所以点表示的数是，然后把1到2之间的长度平均分成4份，每份表示一，所以点表示的数是； （2）根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点、点，并标明相应字母即可； （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将、、、四个点所表示的数从小到大排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是． 故答案为：，； （2）点C和D在数轴上的位置如图所示： （3）根据（2）可得． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海松江·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)； (2)，4，； (3)向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度． 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出是解题关键 （1）利用数轴上a，b，c的位置进而得出大小关系； （2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案； （3）利用（2）中所求得出爬行的方法． 【详解】（1）解：由图可得：； （2）解：∵，，表示数b的点到原点的距离为4，且， ∴由数轴可得：，，； （3）解：由（2）可得：向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度，能爬行到距离原点三个单位长度的位置． 【变式5-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上分别写出点，其中点表示3，点表示，点表示，点表示1.5，并把这些数按从小到大的顺序排列． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示及大小比较，熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解题关键．将各数在数轴上表示出来，然后利用数轴比较各数大小即可． 【详解】解：各数在数轴上表示如下： ． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海普陀·期中）在数轴上分别用A、B表示出，这两个分数对应的点，并写出数轴上的点C、D所表示的数，点C表示的数是______；点D表示的数是______． 再将这几个数用“”连接起来：______． 【答案】数轴表示见解析，，， 【分析】本题考查了数轴，以及有理数的大小比较，将，标注在数轴上，四个数在数轴上从左到右即从小到大排列． 【详解】解：数轴表示为： ， 点C表示的数是，点D表示的数是， 这几个数用“”连接为：． 故答案为：，，． 题型六、有理数的加减混合运算 例6.（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，解题的关键是掌握有理数的加减计算法则． 根据有理数的加减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式6-1】（24-25六年级上·上海长宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加、减运算法则．根据有理数的加、减运算法则计算即可． 【详解】解： 【变式6-2】（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，先把减法化为加法运算，再把和为整数的两个数先加，再计算即可． 【详解】解： 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 题型七、有理数简便运算 例7.计算：． 【答案】0 【分析】现将小数形式化为分数形式，再用加法的交换律及结合律，结合有理数加（减）法则，进行简便运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，加法运算律，会熟练运用运算律进行简便运算是解题的关键． 【变式7-1】（24-25六年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式7-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．在加减混合运算中，通常将分母相同的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ． 【变式7-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，尽量用简便方法计算．本题利用加法的交换律凑整计算即可解题． 【详解】解： 题型八、有理数混合运算 例8.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 先将小数与带分数化为分数，同时将除法转化为乘法，再计算． 【详解】解： ． 【变式8-1】计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除混合运算法则．先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式8-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合计算，先把小数化为分数得到，根据乘法计算法则得到，据此可得答案． 【详解】解： ． 【变式8-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把带分数化为假分数，再把除法化为乘法，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式8-4】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可. 【详解】解： ； 【变式8-5】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 题型九、有理数乘除法简便计算 例9.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： 【变式9-1】计算：． 【答案】15 【分析】先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． 【变式9-2】（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：设， 则 = ， 所以，即． 【变式9-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查乘法运算律，将原式变形为，利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】解： ． 【变式9-4】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法．把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式9-5】（23-24六年级上·上海杨浦·期中） 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，先把2023变成，再利用乘法分配律去括号，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式9-6】 【答案】 【分析】逆用乘法分配律进行计算即可得到结果． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用运算律是解题的关键． 题型十、有理数加减法的应用 例10.（24-25六年级上·上海松江·期中）苏州河青浦段上周末的水位为3.44米，下表是本周内水位的变化情况：（“+”表示水位比前一天上升，“﹣”号表示水位比前一天下降） 星期 一 三 三 四 五 六 日 水位变化/米 +0.03 -0.55 +0.25 +0.20 +0.30 -0.45 +0.05 根据上表，请计算哪天水位最高？本周日的水位是多少？ 【答案】本周五水位最高；本周日的水位高为3.27米． 【分析】本题考查正数和负数，用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数． 计算出每一天的水位变化，比较即可得出答案，根据题中数据得出周日的水位． 【详解】解：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降： 周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， 周六：， 周日：． 故本周五水位最高；本周日的水位高为米． 【变式10-1】（24-25六年级上·上海·期中）今年国庆假期放假7天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，上海某景点在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数；负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化(万人) (1)10月3日的人数为多少？ (2)七天假期里，游客人数最多的是哪一天？达到多少万人． 【答案】(1)10月3日的人数为6万人； (2)10月6日的游客人数最多，达到了为万人 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用： （1）用9月30日的人数加上前三天人数的变化情况即可得到答案； （2）分别求出这七天的人数，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， 答：10月3日的人数为6万人； （2）解：10月1日的游客人数为万人， 10月2日的游客人数为万人， 10月3日的游客人数为万人，     10月4日的游客人数为万人， 10月5日的游客人数为万人， 10月6日的游客人数为万人， 10月7日的游客人数为万人， ∴10月6日的游客人数最多，达到了为万人． 【变式10-2】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【变式10-3】（24-25六年级上·上海·期中）银行的储蓄员小思在办理业务时，约定存入为正，取出为负． 某天上午，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)若他早上领取备用金40000元，那么到时还有多少元？ (2)在这七笔业务中，请求出小思在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？ 【答案】(1)44000元 (2)第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减的混合运算，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）计算七笔业务的代数和，再加上备用金40000元即可求解； （2）分别计算出每笔业务办理后的代数和，再结合题意即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，（元）． 答：若他早上领取备用金40000元，那么到时还有44000元． （2）解：第一笔业务办理后：（元）， 第二笔业务办理后：（元）， 第三笔业务办理后：（元）， 第四笔业务办理后：（元）， 第五笔业务办理后：（元）， 第六笔业务办理后：（元）， 第七笔业务办理后：（元）， 小思在第五笔业务办理后，手中的现金最多；第七笔业务办理后，手中的现金最少． 【变式10-4】（24-25六年级上·上海·期中）巴黎奥运会上中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼后，以总比分击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠罕．其中决赛从第8轮以后开始进入自热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如下表所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 ______ ______ 盛李豪 ______ ______ (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮的总成绩． 【答案】(1)见详解 (2)黄雨婷这六轮的总成绩为环，盛李豪这六轮的总成绩为63环 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确地列出式子进行解题． （1）由正负数的定义，大于的记为正数，小于的记为负数，然后填入数据即可；（2）先求出正负数的和，然后加上基数，即可得到答案． 【详解】（1）解：填写表中空格如图． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 0 （2）解：根据题意，黄雨婷这六轮的总成绩为：（环）． 盛李豪这六轮的总成绩为：（环）． 题型十一、有理数乘法的实际应用 例11.（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 【变式11-1】“滴滴”司机沈师傅从上午在星沙大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)最后沈师傅是否回到起始点？若不能，则沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)不能，西面，5千米； (2)汽车共耗油21.2升 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）将所有数据相加，根据和的情况即可得出结论； （2）将所有数据的绝对值相加，求和后乘以每千米的油耗即可． 【详解】（1）解：， 故最后沈师傅不能回到起始点， ∵， 故沈师傅距离第一批乘客出发地的西面，距离出发地5千米； （2）（升）； 答：汽车共耗油21.2升． 【变式11-2】某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加2.5元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东方，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)共收到车费65元 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法运算法则结合正负数的意义即可求出答案； （2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量； （3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东方，距离公司6千米； （2）解： （千米）， （升）， 答：在这过程中共耗油6升； （3）解：第1批客人运费为（元）， 第2批客人运费为10元； 第3批客人运费为（元）， 第4批客人运费为10元， 第5批客人运费为（元）， （元）， 答：在这过程中该驾驶员共收到车费65元． 【变式11-3】某次唱歌比赛由4位评委通过打分决定选手是否进入决赛．规定一位评委能打的满分是10分，把6分记为0分，超过的用正数表示，不足的用负数表示，选手的总分达到25分可以晋级．5号选手小明的得分情况如下表．小明的最后得分是多少？能否晋级？ 评委 1号 2号 3号 4号 分数 0 ＋3 【答案】小明的最后得分是分，能够晋级； 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的应用，先列式，再计算，把结果与25分比较即可得到答案． 【详解】解：∵小明的得分为：， ∴小明的最后得分是分，能够晋级； 【变式11-4】（24-25六年级上·上海·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量、销量都大幅增加，小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价元／升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为千瓦时，平均充电费用为每千瓦时元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1)千米 (2)元 【分析】本题主要考查了正负数意义，以及有理数计算在实际问题中的应用，理解题意根据题目描述数量间的表达含义，进行有理数的四则运算，计算出问题中的目标量是解题关键， （1）理解正负数的表示含义，即正数表示多于标准的路程数，例如第五天路程表示为，即实际行驶了千米，负数表示少于标准的路程数，例如第一天路程表示为，即实际行驶了千米； （2）利用七天行驶的总路程数，求出每百千米的耗油和耗电量，然后，乘以对应的每升油价和每千瓦时电价，计算出汽油车与新能源汽车七天的行驶费用，最后相减即可计算出结果． 【详解】（1）解：设：总路程为，则依据题意可知， 小海家的新能源汽车这七天每天行驶的路程如下： 由于行驶路程以为标准， （千米） 答：小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米． （2）设：汽油车和新能源车行驶七天的费用分别为和， 依据题意可知， （元） （元） 节省的费用为， （元） 答：这七天的行驶费用比原来节省了元． 【变式11-5】（24-25六年级上·上海·期中）办理加油卡的好处除了可以自助加油，方便个人使用外，同时也给消费者提供了一定的优惠．如某加油站推出持加油卡加油每升优惠元，另外若加油这天的日期的个位数字恰好是5（比如某月5日，某月15日等）再优惠折后价的（规定每天最多只能加1次油）；小张2月15日在这个加油站办理了一张4088元的加油卡，计划在3月31日前加油10次，每次加元，已知现阶段95号汽油价格为元/L． (1)小张的这张加油卡，在计划日期内至少优惠了多少元？（提示：要求出最少优惠，那么就要避开特殊日子） (2)如果小张合理规划加油日期，从2月15日至3月31日期间，总共最多可以加_________升油．（直接写出答案） 【答案】(1)元 (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的算式求解是解题的关键． （1）先求出总加油数，则可求出按照原价加油的费用，再减去办卡的费用即可得到答案； （2）根据题意可得个位数字是5的日期有5天，那么分别求出5天普通日子的加油数和5天特殊日子加油的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：在计划日期内至少优惠了元； （2）解：2月15日至3月31日期间，个位数字是5的日期有2月15日，2月25日，3月5日，3月15日，3月25日，一共五天特殊日期， 升， ∴总共最多可以加升油． 【变式11-6（24-25六年级上·上海金山·期中）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时检修小组位于地的______（东面西面），距离地______千米． (2)若每千米耗油升，问检修小组全程共耗油多少升？ 【答案】(1)西面， (2)升 【分析】（）根据正负数的意义列出算式计算即可； （）求出总路程，再乘以每千米耗油即可； 本题考查了正负数的意义，有理数加法和混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴收工时检修小组位于地的西面，距离地千米， 故答案为：西面，； （2）解：， 答：检修小组全程共耗油升． 【变式11-7】（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 【答案】(1) (2)早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 【分析】本题主要考查最小公倍数及整数四则运算的应用，理解题意是解题关键． （1）甲台新闻加广告是12分钟，乙台新闻加广告是18分钟；12，18的最小公倍数是36，所以是36分钟之后早间新闻播报结束，由此即可得； （2）用最小公倍数36分别除以新闻加广告共用的时间再乘插播广告时间即可． 【详解】（1）解：分钟，分钟， 因为12和18的最小公倍数为36， 所以早间新闻播报用了36分钟， 因为早晨开始播报早间新闻， 所以结束时间为； （2）解：分钟，分钟， 答：早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到，再进一步计算，即得答案． 【详解】解：原式． ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 把小数变成分数，再根据分数的加减法运算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解：原式 ． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用每天的最高温度减去最低温度，然后相比即可得出答案． 【详解】解：第1天温差为：； 第2天温差为：； 第3天温差为：； 第4天温差为：； ∵， ∴第1天温差最大． 故选：A． 5．（24-25六年级上·上海·期中）用数轴上的点表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序排列，用“<”连接起来． ． 【答案】数轴见详解， 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较是解题的关键；根据题意画出数轴，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可得数轴如下： 用“<”连接起来为． 6．某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【答案】(1)千克 (2)不足千克 (3)元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：千克， 答：第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）解：千克， 答：10筐白萝卜总计不足千克． （3）元， 答：售出这筐白萝卜可得元． 7．（24-25六年级上·上海闵行·期中）乐乐的爸爸上周五以收盘价买进某种股票1000股．每股27元．下表为本周每天该股票的涨跌情况，股票上涨记为“+”，股票下跌记为“”．（星期六、日股市休市，收盘价为当天涨跌后的最终价格）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内该股票每股最高收盘价多少元？最低收盘价是多少元？ (2)如果乐乐爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 【答案】(1)本周内每股最高收盘价为元，最低收盘价为28元 (2)会获利，获利3000元 【分析】本题考查了正负数的实际应用和有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意并正确列出算式是解题关键． （1）分别计算本周内每天的股价，比较即可获得答案； （2）结合（1）可知周五的收盘价大于买入价，然后计算获利即可． 【详解】（1）解：星期一股票收盘价格为：元， 星期二股票收盘价格为：元， 星期三股票收盘价格为：元， 星期四股票收盘价格为：元， 星期五股票收盘价格为：元， ∵， ∴本周内每股最高收盘价为元，最低收盘价为28元； （2）解：由（2）可知，周五的收盘价为30元， ∵， ∴会获利， 又∵元， ∴他会获利3000元． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（学习情境·方法探究）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算 得又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)根据上面的解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (3)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1)小军解法较好 (2)有，见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键 ． （1）根据计算判断小军的解法较好； （2）把改写为，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把改写为，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：小军的解法相对来说更简便一些，所以小军的解法较好； （2）解：还有更好的解法， 原式 ； （3）解：原式 ． 2．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是 (2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据题意可得：，，推出，根据新定义即可求解； （2）设这个数是，根据题意得：，即可求解； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点， 故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：， 解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点， 故答案为：或； （3）设点运动的时间为， 由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒）， 分四种情况： ①当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ②当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ③当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ④当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 3．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】（）或；（），；（）表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【分析】（）分点向右或向左移动两种情况讨论； （）根据题意点到的距离，的距离，到的距离相等，即可求得答案； （）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄； 本题主要考查了有理数加减的应用，以及用数轴解决实际问题，解题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系． 【详解】解：（）当点向右移动时，；当点向左移动时，， 故答案为：或； （）由题意可知：点到的距离，的距离，到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （）如图， 小明与表姐的年龄差为：（岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （）把转化为，再仿照阅读材料中的方法求出所求即可； 本题考查了有理数的混合运算，等式的性质，看懂阅读材料是解题的关键． 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 即， ∴， ∴； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以，得②， 由①式②式得：， 即， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的分类 能够正确分类有理数 一般填选题，重在考查有理数的分类 绝对值 理解绝对值的几何意义和性质 几何意义是考试重点，注意分类讨论情况，去绝对值符号一般作为填空压轴 相反数 能理解相反数的性质 相反数往往和绝对值、倒数一起综合考查，注意它们之间的区别和联系 有理数的运算 能掌握有理数乘法、除法、乘方的运算法则，规范计算格式，计算不出错 有理数乘除法、乘方是计算题考试重点，应用题一般考查有理数的意义，注意区别负数乘法和绝对值乘法表达的实际意义 知识点01 有理数 1.正数、负数和0 像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数.像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.0既不是______________，也不是______________.0是正数与负数的分界. 具有相反意义的量的含义 如果两个量意义相反，且是同一类对象，那么这两个量就叫做具有相反意义的量. 两个量所表示的属性相同. 2.有理数 （1）整数 ______________统称为整数，如-3，-2，0，1，2，3等. （2）分数 ______________统称为分数，如，0.18，-1.35，等. 分数都可以化为______________小数或______________小数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 【注意】无限不循环小数不能用分数的形式表示。 小数与分数 1.小数可分为有限小数和无限小数.无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数. 2.分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数.分数都可以写成（p，q为整数，q≠0）的形式. （3）有理数 能够写成分数（a,b是整数，a≠0）的数叫作______________。整数和______________都是有理数的一部分. 几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. （4）有理数的分类 方法1：按有理数的定义分类 方法2：按有理数的性质符号分类 知识点02 数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较 1.数轴 （1）定义 规定了______________、______________和______________的直线叫做数轴。 原点是数轴的基准点，也是正数和负数的分界点。 （2）数轴的画法 （1） 在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. (1)绘制数轴时,它的三个要素缺一不可,另外,标注数轴上的点时，需要注意从原点开始向两侧排列； (2)在同一条数轴上,单位长度的大小必须统一； (3)数轴的正方向可以任意选取,通常规定向右或向上为正.可以选取1cm或2cm为一个单位长度，甚至更长或更短;每位长度可以代表“1”“10”“0.1”“500”“0.02”等等。 （3）数轴上的点与有理数的对应关系 数轴上的每一个点都表示一个数，每一个有理数都______________数轴上的一个点来表示，但数轴上的点______________表示有理数.（如π可以用数轴上的点表示，但π不是有理数.） 数轴是“数”“形”结合的工具，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示. 2.相反数 （1）概念：只有______________不同的两个数叫做互为相反数.把其中一个数叫做另一个数的相反数.（符号不同是代数意义） 只有符号不同的两个式子叫做互为相反式.把其中一个式子叫做另一个式子的相反式.（整体思想） 一般地，a和-a互为相反数.特别地，0的相反数是0. （1）相反数的定义中“只有”指的是除了符号不同外其他完全相同. （2）相反数的定义中“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在. （3）数轴上与原点的距离是a（a＞0）的点有两个，分别在原点左右两边，它们互为相反数. （4）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等. （5）-a不一定是负数，a不一定是正数，字母本身没有符号，它的符号是人为定义的，对字母表示数的时候，一定要看清楚字母的取值范围。例如当a＜0，则-a＞0. （2）相反数的性质 ①任何一个数都有唯一一个相反数.正数的相反数是______________数;负数的相反数是______________数;0的相反数是______________. ②若a，b互为相反数，则a＝______________或b＝______________或a+b＝______________. （3）求一个数的相反数的方法 ①一个具体数，只要改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数. ②用字母表示数，只需在字母前面加上“-”号，就可以得到对应的相反数. （4）多重符号的化简 多重符号化简的依据是相反数的定义，如表示的相反数，所以. 一个具体的数前面有几个正、负号时，化简结果是由“-”号的个数决定的(奇负偶正）. 3.绝对值 （1）定义 一般地，数轴上表示数a的点与______________的______________叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 注意：a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。（2）绝对值的性质 ①一个正数的绝对值是______________; ②一个负数的绝对值是它的______________; ③0的绝对值是______________ (1)任意一个数的绝对值都是非负数，绝对值最小的数是 0. (2)绝对值是它本身的数是非负数,即当=时,是正数或0(即非负数);绝对值是它的相反数的数是非正数，即当=时,是负数或(即非正数). （3）对于任意有理数都有≥0，即： （4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a，b互为相反数，则＝;绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若＝，则＝或＝-（+＝0）. （5）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大. （6）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. （3）绝对值非负性的应用 若几个数的绝对值的和为0，则这几个数同时为0. 拓展：若几个非负数的和为 0,则每个非负数都为 0. 解题技巧：若+++…=0，则有=0，=0，=0，…，所以=0，=0，=0，….4.有理数的大小比较 方 法 内 容 利用数轴 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大 利用法则 （1） 正数大于0，0大于负数，正数大于负数; （2） 两个负数，绝对值大的反而小; （3） 两个正数，绝对值大的数大 知识点03 有理数的加法、减法运算 1.有理数加法法则和运算定律 （1）有理数加法法则： ①______________两数相加，取______________的______________，并把______________. ②绝对值不相等的______________两数相加,______________的加数的______________，并用______________.互为相反数的两个数相加得0 ③一个数同______________相加，仍得这个数. 注意： (1)若与互为相反数,则(或); (2)若(或),则与互为相反数. 有理数加法的结果的几种情况 (1) 可以是正数,也可以是负数,还可以是零.如5+(-3)=2,-6+4=-2,-3+3=0 (2) 可能比两个加数都大.如2+3 =5; (3)可能比两个加数都小.如(-2)+(-6)=-8 (4)可能比一个加数大,比另一个加数小.如(-3)+4 =1. (5)可能等于其中一个加数.如2+0=0 （2）有理数加法的运算定律 运算定律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加,交换加数的位置,和不变 加法结合律 三个数相加,先把前两个数相加，或者先把后两个数相加,和不变 有理数加法运算的技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加——“______________”; (2) 符号相同的数先相加——“______________”; (3)分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“______________”; (4)几个数相加得到整数先相加——“______________”; (5)整数与整数、小数与小数先相加——“______________”; (6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和再分别相加——“______________”; 注意：方法的选择并不是一成不变，有的时候还需要多种方法共同使用，所以需要具体问题具体分析. 2.有理数的减法法则 （1）有理数的减法法则 减去一个数,等于加这个数的______________.即.例如. 注意： (1)两变一不变：被减数不变，减号变加号，减数变相反数. (2)有理数的减法，可以先将减法转化为加法,再按有理数的加法法则和运算定律计算. (3)减法没有交换律,被减数与减数的位置不能改变. （2）有理数减法的三种情况 (1) 减去一个正数等于加上一个______________; (2) 减去一个负数等于加上一个______________; (3) 任何数减去______________仍得这个数,______________减去一个数等于这个数的相反数. 拓展延伸： (1) 在有理数的减法中,当减数为正数时,差一定小于被减数;当减数为负数时，差一定大于被减数. (2) 大数减小数的差为正,小数减大数的差为负,相等两数的差为0.用字母表示为:若,则 ;若,则;若,则. （3）有理数加减混合运算的方法 有括号的,先算括号内的;没有括号的,先将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律进行简化计算. 注意 进行有理数加减混合运算时，应有条理地按步骤进行,不要随意地跳步,否则容易出错. 3.省略加号的和式的写法及读法 （1）省略加号的和式的写法 在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式. 例如(-10)+(-5)+(+3)+(-4)可以写成-10-5+3-4. （2）省略加号的和式的读法 ①按结果读，是性质符号和数字在一起的和，正负不能省略; ②按运算读,是加减,但第一个加数如果是负的,这个“－”号要读“负”而不能读“减”,其余数字前面的符号按运算符号读. 例如-10-5+3-4 的读法:(1)按加法的结果来读:负10负5正3负4的和;(2)按运算来读:负10减5加3减4. 知识点04 有理数的乘法、除法运算 1.有理数的乘法法则 乘法法则 (1) 两数相乘，同号得______________，异号得______________,并把绝对值______________; (2) 任何数与0相乘,都得______________. 有理数乘法的运算步骤 (1)确定积的符号;(2)确定积的绝对值 注意： 确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步,法则中的“同号得正,异号得负”是指两数相乘,不要与有理数的加法法则混淆. 2.倒数 （1）概念 乘积是______________的两个数互为倒数. 当时,与互为倒数; 当,时,与互为倒数. 注意：倒数是它本身的数只有1和-1. （2）倒数与相反数的区别 倒数 相反数 定义 乘积是1的两个数互为倒数 只有符号不同的两个数互为相反数 表示 的倒数是 的相反数是 性质 若,互为倒数,则 若,互为相反数,则 判定 若,则,互为倒数 若，则,互为相反数 相同点 都成对出现 不同点 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数，0没有倒数 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数,0的相反数是0 3.多个有理数相乘 （1）几个不是0的数相乘的法则 积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时,积是正数;当负因数的个数是奇数时,积是负数.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘.简记为“偶正奇负，绝对值相乘” （2）有因数0的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.同样,若积为零则至少有一个因数为零. 注意： 在乘法运算中,一般先把式子中所有的小数化为分数,带分数化为假分数，然后再确定符号，并把绝对值相乘. 4.有理数的乘法运算律 运算律 文字表达 符号语言 乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等 乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积相等 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 有理数的乘法交换律或乘法结合律一般不单独用,交换的目的是为了更好地结合. 5.有理数除法法则 法则1： 除以一个不等于0的数,等于乘这个数的______________.用公式表示为（除数一定不能为0哦!） 法则2： 两数相除，同号得______________，异号得______________，并把绝对值______________.0除以______________的数都得0. 提示 (1) 有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律. (2) 两个数相除,若商是 1,则这两个数相等;若商是 -1,则这两个数互为相反数. (3) 任何数除以1都得原数;任何数除以-1都得原数的相反数;除以一个非0数等于这个数的倒数. 化简分数要遵循“同号得正，异号得负”的符号法则,分子、分母、分数线前,若有一个或两个负号,则负号可以移到三个位置的任何一个,而分数的值不变. 6.有理数乘除的同级运算 有理数乘除同级运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则,确定积的符号，最后求出结果 注意： 1. 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算； 2. 有理数的乘除运算是同级运算,如果没简便计算情况下，一般要按照从左到右的顺序进行. 知识点05 有理数的乘方 1.有理数乘方的意义 （1）定义 求个______________的______________的运算,叫做______________. 一般地，，记作，读作“的次方”． 当 看作的次方的结果时,也可读作“的次幂” （2）乘方的意义 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数,是指因数的个数. ①一个数可以看作这个数本身的一次方.例如就是,就是,指数1通常省略不写,指数是2时读作平方,指数是3时读作立方. ②乘方与幂不同,乘方是一种运算,幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 注意：底数是负数或分数时要加括号 2.有理数乘方运算的符号规律 (1)正数的任何次幂都是______________数 (2)负数的奇次幂是______________数,负数的偶次幂是______________数 (3)0的任何正整数次幂都是______________ 在进行乘方运算时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成,先确定幂的符号,再计算幂的绝对值 归纳 (1) 任何数的偶次幂都是非负数，即. (2) 1的任何次幂都是 1. (3) -1的偶次幂是1，即;-1的奇次幂是-1,即. (4) (1)互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若 a+b=0,则; (5) (2)互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0,则 知识点06 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序 (1)先______________,再乘除,最后______________; (2)同级运算，从______________到______________进行; (3)如有括号先做______________内的运算按小括号中括号大括号依次进行. 题型一、有理数的分类 例1.（24-25六年级上·上海·期中）在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】（24-25六年级上·上海·期中）在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 题型二、化简多重符号 例2.在、、、、、0、、中，非负数的个数是（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式2-2】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）比较大小： ． 【变式2-3】（23-24六年级下·上海·期中）比较大小： （填“”，“”，或“”）． 题型三、绝对值的几何意义 例3.（24-25六年级上·上海嘉定·期中）绝对值不大于3的整数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【变式3-1】下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如果一个数的绝对值等于，那么这个数是 ． 【变式3-3】（24-25六年级上·上海长宁·期中）如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上，对应的点分别为M、N、P、Q，且，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是 ． 题型四、去绝对值符号问题 例4.已知，异号，，则 ． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）若、、、为四个不为零的有理数，且，则 ． 题型五、利用数轴比较有理数的大小 例5.（24-25六年级上·上海嘉定·期中）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数． 点表示的数是__________，点表示的数是__________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）（1）填空：如图，写出数轴上的点A、点B所表示的数．点A表示的数是，点B表示的数是； （2）已知点C表示的数是，点D表示的数是，请在图中的数轴上分别画出点C和点D，并标明相应字母； （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海松江·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【变式5-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上分别写出点，其中点表示3，点表示，点表示，点表示1.5，并把这些数按从小到大的顺序排列． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海普陀·期中）在数轴上分别用A、B表示出，这两个分数对应的点，并写出数轴上的点C、D所表示的数，点C表示的数是______；点D表示的数是______． 再将这几个数用“”连接起来：______． 题型六、有理数的加减混合运算 例6.（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【变式6-1】（24-25六年级上·上海长宁·期中）计算：． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 题型七、有理数简便运算 例7.计算：． 【变式7-1】（24-25六年级上·上海松江·期中）计算：． 【变式7-2】计算：． 【变式7-3】计算：． 题型八、有理数混合运算 例8.计算：． 【变式8-1】计算：． 【变式8-2】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： 【变式8-3】计算：． 【变式8-4】计算：． 【变式8-5】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 题型九、有理数乘除法简便计算 例9.计算：． 【变式9-1】计算：． 【变式9-2】（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【变式9-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【变式9-4】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式9-5】（23-24六年级上·上海杨浦·期中） 【变式9-6】 题型十、有理数加减法的应用 例10.（24-25六年级上·上海松江·期中）苏州河青浦段上周末的水位为3.44米，下表是本周内水位的变化情况：（“+”表示水位比前一天上升，“﹣”号表示水位比前一天下降） 星期 一 三 三 四 五 六 日 水位变化/米 +0.03 -0.55 +0.25 +0.20 +0.30 -0.45 +0.05 根据上表，请计算哪天水位最高？本周日的水位是多少？ 【变式10-1】（24-25六年级上·上海·期中）今年国庆假期放假7天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，上海某景点在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数；负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化(万人) (1)10月3日的人数为多少？ (2)七天假期里，游客人数最多的是哪一天？达到多少万人． 【变式10-2】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【变式10-3】（24-25六年级上·上海·期中）银行的储蓄员小思在办理业务时，约定存入为正，取出为负． 某天上午，他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)若他早上领取备用金40000元，那么到时还有多少元？ (2)在这七笔业务中，请求出小思在第几笔业务办理后，手中的现金最多？第几笔业务办理后，手中的现金最少？ 【变式10-4】（24-25六年级上·上海·期中）巴黎奥运会上中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼后，以总比分击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠罕．其中决赛从第8轮以后开始进入自热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如下表所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 盛李豪 若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 黄雨婷 ______ ______ 盛李豪 ______ ______ (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮的总成绩． 题型十一、有理数乘法的实际应用 例11.（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【变式11-1】“滴滴”司机沈师傅从上午在星沙大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)最后沈师傅是否回到起始点？若不能，则沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ 【变式11-2】某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加2.5元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【变式11-3】某次唱歌比赛由4位评委通过打分决定选手是否进入决赛．规定一位评委能打的满分是10分，把6分记为0分，超过的用正数表示，不足的用负数表示，选手的总分达到25分可以晋级．5号选手小明的得分情况如下表．小明的最后得分是多少？能否晋级？ 评委 1号 2号 3号 4号 分数 0 ＋3 【变式11-4】（24-25六年级上·上海·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量、销量都大幅增加，小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价元／升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为千瓦时，平均充电费用为每千瓦时元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 【变式11-5】（24-25六年级上·上海·期中）办理加油卡的好处除了可以自助加油，方便个人使用外，同时也给消费者提供了一定的优惠．如某加油站推出持加油卡加油每升优惠元，另外若加油这天的日期的个位数字恰好是5（比如某月5日，某月15日等）再优惠折后价的（规定每天最多只能加1次油）；小张2月15日在这个加油站办理了一张4088元的加油卡，计划在3月31日前加油10次，每次加元，已知现阶段95号汽油价格为元/L． (1)小张的这张加油卡，在计划日期内至少优惠了多少元？（提示：要求出最少优惠，那么就要避开特殊日子） (2)如果小张合理规划加油日期，从2月15日至3月31日期间，总共最多可以加_________升油．（直接写出答案） 【变式11-6（24-25六年级上·上海金山·期中）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时检修小组位于地的______（东面西面），距离地______千米． (2)若每千米耗油升，问检修小组全程共耗油多少升？ 【变式11-7】（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．计算： 2．计算： 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 5．（24-25六年级上·上海·期中）用数轴上的点表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序排列，用“<”连接起来． ． 6．某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 7．（24-25六年级上·上海闵行·期中）乐乐的爸爸上周五以收盘价买进某种股票1000股．每股27元．下表为本周每天该股票的涨跌情况，股票上涨记为“+”，股票下跌记为“”．（星期六、日股市休市，收盘价为当天涨跌后的最终价格）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内该股票每股最高收盘价多少元？最低收盘价是多少元？ (2)如果乐乐爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（学习情境·方法探究）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：，看谁算 得又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式； 小军：原式； (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ (2)根据上面的解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (3)用你认为最合适的方法计算：． 2．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 3．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 试卷第1页，共3页 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $