专题03 期中真题百练通关（18大热考题型）（期中专项训练）九年级数学上学期沪教版

专题03 期中真题百练通关（90题18大热考题型） 题型一 相似图形的识别 题型十 实数与向量 题型二 利用比例的性质求解 题型十一 向量的线性运算 题型三 黄金分割 题型十二 利用定义求锐角三角函数值 题型四 利用“A 型”或“X型”模型求线段的长 题型十三 已知锐角三角函数值求边长 题型五 添加条件使两个三角形相似 题型十四 特殊角三角函数值 题型六 相似三角形判定与性质综合 题型十五 利用锐角三角函数的性质求解 题型七 相似三角形与动点问题 题型十六 解直角三角形的相关计算 题型八 相似三角形与实际问题 题型十七 解非直角三角形 题型九 向量的相关概念 题型十八 解直角三角形的应用 题型一 相似图形的识别（共4小题） 1．（22-23九年级上·上海青浦·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 3．（23-24九年级上·上海松江·期中）下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等的两个图形相似，根据相似图形的定义，对各小题分析判断后利用排除法求解即可得出答案． 【详解】解：①所有正方形对应角相等，对应边一定成比例，所以一定都相似，故①符合题意， ②矩形的每个角都等于，即对应角相等，但对应边不一定成比例，故②不符合题意， ③菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，故③不符合题意， ④等腰三角形的对应角不一定相等，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的只有一个， 故选：． 4．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 题型二 利用比例的性质求解（共6小题） 5．（24-25九年级上·上海·期中）已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可，解题的关键是掌握比例的性质和等式的基本性质． 【详解】解：由可设， 则，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 则不一定等于，故C错误，不符合题意； 则，故D错误，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 【答案】/ 【分析】根据实际距离图上距离比例尺，列式计算即可． 本题考查了比例尺的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际距离为：． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海·期中）已知：，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 设，则，，，代入求出值后即可得到，，的值，再代入运算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴代入，，可得：， 解得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知 ，且，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴． 9．（22-23九年级上·广东梅州·期中）已知a，b，c是的三边长，且，若的周长为60，求各边的长． 【答案】三边的长分别为20，16，24 【分析】根据等式的性质，可用x表示a，b，c，根据的周长为60列出关于x的方程，解方程可得答案． 【详解】解：设 ， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 即三边的长分别为20，16，24． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出，，，是解题关键． 10．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知：a：b：c＝3：4：5 （1）求代数式的值； （2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值． 【答案】（1）；（2） a=3，b=4，c=5 【分析】（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解； （2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值． 【详解】（1）∵a：b：c=3：4：5， ∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0）， 则； （2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得： 9k-4k+5k=10， 解得k=1． 则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便． 题型三 黄金分割（共5小题） 11．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴A正确，B，C，D不正确． 故选：A． 12．（24-25九年级上·上海金山·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 分米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答关键． 设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为，根据黄金分割的定义列出方程求解． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 由题意得 ， 解得， 该兵马俑的眼睛到下巴的距离为． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．设主持的位置为点，根据黄金分割点的定义求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：设主持的位置为点， 由题意可知，点为线段米的黄金分割点，且， 米， 米， 故答案为： 14．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 15．（24-25九年级上·广东珠海·期中）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 【答案】(1)的长度为黄金分割数 (2) 【分析】本题考查了黄金分割的定义； （1）设，根据题意列出方程，进而根据黄金分割数的定义，即可求解． （2）根据（1）可得 ， ，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段的长为1，线段上的点，满足关系式． 设，则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的长度为黄金分割数； （2）解：由（1）可得的长是的长的一个黄金分割数，即 ，的长是的长的一个黄金分割数，即 ， ……以此类推， ， 由（1）可得 ， ∴ ． 题型四 利用“A 型”或“X型”模型求线段的长（共7小题） 16．（24-25九年级上·上海·期中）如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意设，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴设， ∴． 解得． 故选：B． 17．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，如果，，那么k的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理等式的性质、解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得；由可得，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，解得：． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于 ． 【答案】15或35 【分析】本题考查平行线分线段成比例，分在边和上，以及在边和的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 20．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 21．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 如图，记的 交点为，证明四边形为矩形，则，由，可得，即，求出的值，根据，作答即可． 【详解】解：如图，记的 交点为， ∵四边形是的内接正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即，解得，， ∴， 故答案为：4． 22．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 题型五 添加条件使两个三角形相似（共4小题） 23．（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断． 【详解】解：如图所示， A． ， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 24．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 25．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论． 【详解】解：①∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∵， ∴， ∴△ADC∽△BDA， ∴∠DAC=∠ABD， ∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°， 故①符合题意； ②∵AB•CD=AC•AD， ∴， ∵∠ADB=∠ADC=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠ABD=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠BAC=90°， 故②符合题意； ③∵， ∴， ∵∠ACD=∠BCA， ∴△ACD∽△BCA， ∴∠ADC=∠BAC=90°， 故③符合题意； ④由不能证明△ABC与△ABD相似， 故④不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】添加“”，理由：设，则，再由勾股定理可得，从而得到，即可． 【详解】解：添加“”，理由： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 题型六 相似三角形判定与性质综合（共5小题） 27．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由，得，可证明，得，求得，再证明，得，即可得出； （2）由，得，则，而，则，由，得进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，， 点、是对角线上的两点，且， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， ， ， ， ， 四边形的面积为 28．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定，，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比． （1）由三角形的外角性质推出，又，推出，得到，即可证明； （2）由，推出，得到，判定，推出，判定，推出，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， 点，点分别是，边上的中点， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ． 29．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 在中，平分，． (1)已知，求的长； (2)如果 求（用的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例： （1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）根据平行线分线段成比例，得到，再根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，点分别在的边上，延长交于点，且． (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定，结合图形找出合适的相似三角形是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可得证； （2）先证明，得到和，再证明得到，，得到，最后利用比例的性质得到，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ， ， ． （2）证明：，， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ． 31．（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，求边的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，继而可证明，因此； （2）①过点P作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点K，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； （2）解：①过点P作于点F，连接， ∵点P为垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②延长交于点K，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 题型七 相似三角形与动点问题（共4小题） 32．（21-22九年级上·上海浦东新·期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 【答案】2或12或5.6 【分析】根据已知可以分△PDC△ABP或△PCD△PAB两种情况进行分析． 【详解】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB， ∴∠D=∠B= 90°， 设DP= x, 当PD：AB= CD ：PB时，△PDC△ABP， ∴， 解得DP = 2或12， 当PD：PB= CD：AB时，△PCD△PAB， ∴， 解得DP= 5.6， ∴DP = 5.6或2或12． 故答案为：2或12或5.6． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 33．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，是上一点，，点E是上一动点，连接 ，并作，射线交线段于点F，连接．如果与相似，那么 ． 【答案】2或 【分析】当，，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到；当，推出点E在与的角平分线上，过点E作于M，于N，于G，连接，得到是的角平分线，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解： 与相似， 或， 当， ， ， ， ， ； 当， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ∵，， ∴， 点E在与的角平分线上， 过点E作于M，于N，于G，连接， ， 是的角平分线， ， ， ， 即， ， 综上所述，的长为2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 34．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 35．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从出发，沿向点移动．设、两点移动时间为． (1)_____，_____；（用含的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 【答案】(1)，； (2)秒与秒． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先求出，进而表示出和的长度即可； （2）由题意可知， ，再分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 动点以的速度移动，动点以的速度移动， ，， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ， ①如图1，当时，， ，即 解得：（秒）； ②如图2，当时，， ，即 解得：（秒）． 综上所述，为秒与秒时，与相似． 题型八 相似三角形与实际问题（共6小题） 36．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 37．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．通过证明，得到，再代入数据求出的长，即可解答． 【详解】解：，， ， 由题意得，， ， ，即， 解得：米． 该古城墙的高度是米． 故答案为：． 38．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 【答案】 【分析】延长交于，先证明，得出，再分别证明和得出，，将数值代入，进行计算，即可作答．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质解答． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， 设为米，则， 解得：， 设米，米， ，， ∴， ∴ 同理得， ∴ 可得，， 整理得：， 解得：， 米． 故答案为：． 39．（2023·山东泰安·一模）如图，有一所正方形的学校，北门（点A）和西门（点B）各开在北，西面围墙的正中间．在北门的正北门30米处（点C）有一棵大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点D），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 平方米． 【答案】90000 【分析】延长相交于E，则由于，可得是直角三角形，再根据可得，再根据相似三角形的相似比解答即可． 【详解】解：延长相交于E， ∵，可得是直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴，即， 解得，， ∴． ∴正方形的面积（平方米）． 故答案为：90000． 【点睛】此题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题的关键是根据题意构造出相似三角形，再利用相似三角形的相似比解答． 40．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； 41．（21-22九年级上·河南平顶山·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【答案】见解析，树的高度为 【分析】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形判定及相似比是解决本题的关键． 设，先证，得到，再证，得到，从而求出x的值即可． 【详解】解：设． ∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 把代入 中，得 解得， ∴树的高度为． 题型九 向量的相关概念（共4小题） 42．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果（为非零向量），那么 【答案】D 【分析】根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【详解】解：A、相反向量的和为零向量，而不是数字0，故本选项不符合题意； B、平行向量为方向相同或相反，模不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意； D、两个向量方向相同，所以是平行向量，故本选项符合题意； 答案：D． 【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键． 43．（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，根据单位向量，平行向量、相等向量的定义即可判断． 【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意． B. 若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同 C. 若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 与是平行向量，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 44．（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意． C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意． D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 45．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可． 【详解】A选项，由于，所以、的方向相同，由于，故、的方向相同，所以，不符题意； B选项，因为，所以和的方向相同，由于，所以、、的方向相同，所以，不符题意； C选项，因为，所以、的方向相反，故的，不符题意； D选项，因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查的是向量平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关键． 题型十 实数与向量（共4小题） 46．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案. 【详解】∵向量与单位向量方向相反，且 故答案为： 【点睛】此题考查了平面向量的知识. 此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义. 47．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么用、表示为 ． 【答案】 【分析】根据向量方程的求解方法，可以先移项，再系数化一，即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，解题的关键是掌握向量方程的求解方法． 48．（21-22九年级上·上海青浦·期末）计算：= ． 【答案】/ 【分析】先去括号，然后计算加减法． 【详解】解：原式=， ， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平面向量，平面向量的运算法则与实数的运算法则相同． 49．（20-21九年级上·上海嘉定·期中）已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向． 一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 【详解】解：A、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意； B、，原式计算正确，故本选项符合题意； C、，原式计算错误，故本选项不符合题意； D、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 题型十一 向量的线性运算（共5小题） 50．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知是的重心，记，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，先推出，，再由重心的性质可得，则，由此即可得到． 【详解】解：如图所示，中，G是重心，是中线， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 51．（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E分别为上的点，且，，用向量表示向为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线截线段成比例；根据，可得，进而得到，再根据，可得即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：C． 52．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则= ． 【答案】 【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则． 53．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量 .（用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，根据题意得：，，，，从而得出，，再根据即可得出答案，熟练掌握三角形法则与数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 根据题意得：，，，， ，， ， 故答案为：． 54．（21-22九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝． (1)如果点E是△ABC的重心，那么＝　 　．（用向量、的式子表示） (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由是边上的中线，得出，点E是△ABC的重心，得，即可求得； （2）利用平行四边形法则，即可求得在，方向上的分向量． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 点E是△ABC的重心， ， ； （2）解：如图，过点作，， 则、分别是在，方向上的分向量． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，重心、解题的关键是注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 题型十二 利用定义求锐角三角函数值（共5小题） 55．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】B 【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余切值保持不变． 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 56．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 【详解】解：中，， 的正弦值是，即， ∴设，则，由勾股定理得， ∴， 故答案为∶． 57．（24-25九年级上·上海·期中）中，，，那么顶角的正弦值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，难度适中．通过作高构造包含顶角的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，作于D，于E．    ∵， ∴． 在直角三角形中， ∵， ∴． ∵， ∴ 在直角三角形中， ∵， ∴． 故答案为：． 58．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作于点，利用旋转的性质以及面积法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋转的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， 由旋转的性质得，，，， 由题意得， 解得， ∴， ∵， 解得， ∴， 由旋转的性质得，，则， ∴的正切值， 故答案为：． 59．（2022·上海普陀·二模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为 【答案】/ 【分析】如图，取点，连接，根据网格的特点以及余切的定义求解即可． 【详解】解：如图，取点，连接， ，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求余切，掌握直角三角形三角函数的定义是解题的关键． 题型十三 已知锐角三角函数值求边长（共4小题） 60．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，垂线定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．由、可得，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得，即可得到比例线段，再由，即可证得；由可得，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 61．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键． 62．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】由正方形，设，由，可得，则，即，，解得，，，根据，代值计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得，，， ∵， ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用．解题的关键在于正确表示余切，确定线段之间的数量关系． 63．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．过，设与交于，根据折叠的性质得垂直平分，再由菱形的性质得，再根据正切函数的定义得出，设则，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】过，设与交于， 有折叠可知，垂直平分， ，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， ， ， ， 故答案为：． 题型十四 特殊角三角函数值（共4小题） 64．（21-22九年级上·上海徐汇·期中）计算： ． 【答案】0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案． 【详解】解：2cos30°+tan45°−2sin30°−cot30° ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 65．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 66．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知锐角，且，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．根据的值，即可得出的度数． 【详解】解：，为锐角， ， ， 故答案为：． 67．（22-23九年级上·上海静安·期中）如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型十五 利用锐角三角函数的性质求解（共3小题） 68．（22-23九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据求出，然后根据求解即可． 【详解】∵，为锐角， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式． 69．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 70．（22-23九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．        （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 题型十六 解直角三角形的相关计算（共5小题） 71．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则BC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再由，可设，从而得到，，再由，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴可设， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数是解题的关键． 72．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答． 【详解】解：如图，过点A作垂足为H, ∵，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴，， ∴，， ∴， 过点C作垂足为M， ∴，， ∵,， ∴， ∴， 故答案为：． 73．（20-21九年级上·上海静安·期中）如图，中，，，于点D，将绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么的正切值是 ．    【答案】/ 【分析】由题意画图如下，过A作于Q，过D作于P，于H，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，，，利用三角形的面积公式求得，进而利用勾股定理和锐角三角函数求得，，，则，由旋转性质和矩形的判定与性质证明四边形是矩形得到，，则，利用平行线性质证得，求解即可求解． 【详解】解：由题意画图如下，过A作于Q，过D作于P，于H，    ∵，， ∴，，则， 由得， ∴， ∵，， ∴，，则， 由旋转性质得，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用锐角三角函数寻求边角关系是解答的关键． 74．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形构成的一个大正方形，直线交正方形的两点于点P、Q，当正方形的面积为10，正方形的面积为4时， 【答案】 【分析】过点P作于点K，由题意得，设，由勾股定理得，解得：，那么，设，可知为等腰直角三角形，则，由得，则，故，由勾股定理得． 【详解】过点P作于点K， 由题意得， 设， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴， 设， ∵正方形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 由 得， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 75．（2020·上海黄浦·一模）如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是 ． 【答案】 【分析】作，使，，再延长BC到点，使，联结，即可得，设，然后用t表示出CD，最后根据余切的定义作答即可． 【详解】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得 设，则BC=t，AB=BD=t 所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t 所以． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°角的直角三角形成为解答本题的关键． 题型十七 解非直角三角形（共4小题） 76．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 77．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 78．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 79．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 题型十八 解直角三角形的应用（共11小题） 80．（2022·海南·中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出DE的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 【详解】（1）过点A作于点E， 由题意得： ∴ （2）由题意得：米，． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． （3）作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（AAS）． ∴． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 81．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为60°，在点处测得灯管支架顶部的仰角为30°，测得m，m（，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： (1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； (2)求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解即可求解； （2）延长交于点，证明是等边三角形，解，根据即可求解． 【详解】（1）在中， （2）如图，延长交于点， 中， 是等边三角形 答：灯管支架的长度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 82．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 83．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 【答案】(1)有危险 (2)时，轮船能安全通过这一区域 【分析】（1）过P作于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可； （2）设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，利用特殊角的三角函数值确定答案． 【详解】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离， 由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， 答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险． （2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D， 当时，角的度数最大， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域， 即时，轮船能安全通过这一区域． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长． 84．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．    【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．    【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．    【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展] 【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； [活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案； [应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：[问题背景]如图所示：    ，， ， ， ， ，，， ，解得； [活动探究]如图所示：    ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ； [应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，， ， ， ， 即， ，， ， ， 即， ， ， ， 由题意得：， ， ，， 设，，则，， ， ， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， 同【问题背景】得：， ， ， 解得：， ， 答：信号塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键． 85．（22-23九年级上·上海静安·期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)不会，理由见解析 (2)7米 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作，交于点，        ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）．      【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 86．（2023·浙江绍兴·中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 87．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【答案】(1)点距离地面的高度为 (2)点距离地面的高度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于，则，在中，解直角三角形即可求解； （2）过点作，过点作，则，在，中，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：延长交于，则， ∵， ∴， ∴， 则点距离地面的高度为； （2）过点作，过点作，则， ∴，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则， ∴点距离地面的高度． 88．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 【答案】(1)13.7分米 (2)分米 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 89．（23-24九年级下·上海宝山·期中）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端A离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：；；． 【答案】3.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过C作于，于，在中，利用正弦函数的定义求得的长，在中，在中，再利用正切函数的定义求出，的长，即可求解． 【详解】解∶过C作于，于， 根据题意知， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 又， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 答：该区域深度的长为3.8米 90．（24-25九年级上·上海·阶段练习）小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 【答案】(1)两栋住宅楼的楼间距至少为米 (2)见解析 【分析】（1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即，楼高米，窗台米，作于，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）设每增加一层楼，单价增加万元，分别表示出在、两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 窗台米， 作于，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于，于， ， 则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 设每增加一层楼，单价增加万元， 在栋购买所花的费用为， 在栋购买所花的费用为， 当，解得时，此时在栋购买和栋购买所花的费用相同； 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少， 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少； 综上所述，当每增加一层楼，单价增加万元时，在栋购买和栋购买所花的费用相同；当每增加一层楼，单价增加小于万时，在栋购买所花的费用少；当每增加一层楼，单价增加大于万时，在栋购买所花的费用少． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在 C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距，射灯A与皮影人相距．若保持皮影人在 C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高增大一倍至，则射灯A应向皮影人靠近至 G的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先根据题意得到，，，证明得到，则，再证明得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 整理得：， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， 故答案为：2，． 3．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 4．如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，垂线段的性质等，证明为定值是解题的关键． 先证四边形是矩形，再证，，进而可得，，推出为定值，由垂线段最短，可知当时，取最小值，也取最小值． 【详解】解：矩形中， ，， 点、、分别为矩形的边、、的中点，， ，四边形是矩形， ，， ，， ，， ，， ，， ， 点为边上一动点， 当时，取最小值，最小值为3， 的最小值为， 故答案为：． 5．综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．    探究发现 如图1，在中，，．    （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．    【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用： 【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可； （2）证明，利用相似比进行求解即可得出； 拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵将折叠，使边落在边上， ∴，， ∴，； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是原分式方程的解． ∴； 拓展应用： 如图，连接，延长至点，使，连接，    ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为黄金三角形， ∴， ∴．即菱形的较长的对角线的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为． 6．【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，， ，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解 【分析】（1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】解：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）根据（1）的结果， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大． （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小， 则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方， 此时内接正方形的面积最大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．如图，在梯形中，点E、点F分别在边、边上，，平分，边于点G．已知． (1)求的长； (2)填空：连接交于点H，如果，那么_____（用含的式子表示结果） 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理及推论，向量的线性运算，等腰三角形的判定： （1）平行线和角平分线可构造出等腰三角形，据此求出，再根据平行线分线段成比例，得出，代入数值计算即可； （2）根据平行线分线段成比例的推论可得，再证，可得，推出，再用含的式子表示，即可求出． 【详解】（1）解： ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图， ， ； ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 8．如图（1），在四边形中，对角线平分，． (1)求证：； (2)小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设． ①建立模型：请求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； ②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出①中该函数的图象； ③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：_____； (3)问边与边的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③函数的最小值是8（答案不唯一） (3) 【分析】本题是相似形综合题，考查相似三角形的判定和性质，动点问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由相似三角形的判定可得结论； （2）①相似三角形的性质可得，即可求解； ②利用描点法画出函数图象即可； ③结合图象，可求解； （3）由，可求解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ； （2）解：①△△， ， ，，， ， ； ②如图所示： ③函数的一条性质为：函数的最小值是8， 故答案为：函数的最小值是8（答案不唯一）； （3）解：存在； ， 又， ， ， ， ． 故边与边和的最小值为． 9．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)“大碗”的口径的长为； (2)“大碗”的高度的长为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解； （2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 答：“大碗”的口径的长为； （2）解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：“大碗”的高度的长为． 10．好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】(1)；； (2)；；证明见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握正弦的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）结合题意，完成推理过程即可； （2）作于点，则，分别在和中利用正弦的定义得到，，等量代换即可得出答案； （3）作使得，，则，作于点，利用特殊锐角的三角比值得到，，设，表示出、的长，再由（2）得结论可得，代入数据即可求出的值． 【详解】（1）解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． （2）证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． 故答案为：；． （3）解：作使得，，则，如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期中真题百练通关（90题18大热考题型） 题型一 相似图形的识别 题型十 实数与向量 题型二 利用比例的性质求解 题型十一 向量的线性运算 题型三 黄金分割 题型十二 利用定义求锐角三角函数值 题型四 利用“A 型”或“X型”模型求线段的长 题型十三 已知锐角三角函数值求边长 题型五 添加条件使两个三角形相似 题型十四 特殊角三角函数值 题型六 相似三角形判定与性质综合 题型十五 利用锐角三角函数的性质求解 题型七 相似三角形与动点问题 题型十六 解直角三角形的相关计算 题型八 相似三角形与实际问题 题型十七 解非直角三角形 题型九 向量的相关概念 题型十八 解直角三角形的应用 题型一 相似图形的识别（共4小题） 1．（22-23九年级上·上海青浦·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 2．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 3．（23-24九年级上·上海松江·期中）下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C．D． 题型二 利用比例的性质求解（共6小题） 5．（24-25九年级上·上海·期中）已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 7．（24-25九年级上·上海·期中）已知：，且，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知 ，且，试求的值． 9．（22-23九年级上·广东梅州·期中）已知a，b，c是的三边长，且，若的周长为60，求各边的长． 10．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知：a：b：c＝3：4：5 （1）求代数式的值； （2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值． 题型三 黄金分割（共5小题） 11．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·上海金山·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 分米（结果保留根号）． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米 14．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 15．（24-25九年级上·广东珠海·期中）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 题型四 利用“A 型”或“X型”模型求线段的长（共7小题） 16．（24-25九年级上·上海·期中）如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 17．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（   ） A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，如果，，那么k的值为 ． 19．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于 ． 20．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 21．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 22．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．      题型五 添加条件使两个三角形相似（共4小题） 23．（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 25．（22-23九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 题型六 相似三角形判定与性质综合（共5小题） 27．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 28．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证：(1) (2)． 29．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 在中，平分，． (1)已知，求的长； (2)如果 求（用的代数式表示） 30．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，点分别在的边上，延长交于点，且． (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 31．（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，求边的长． 题型七 相似三角形与动点问题（共4小题） 32．（21-22九年级上·上海浦东新·期中）如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似． 33．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，是上一点，，点E是上一动点，连接 ，并作，射线交线段于点F，连接．如果与相似，那么 ． 34．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 35．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从出发，沿向点移动．设、两点移动时间为． (1)_____，_____；（用含的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 题型八 相似三角形与实际问题（共6小题） 36．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 38．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 39．（2023·山东泰安·一模）如图，有一所正方形的学校，北门（点A）和西门（点B）各开在北，西面围墙的正中间．在北门的正北门30米处（点C）有一棵大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点D），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 平方米． 40．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 41．（21-22九年级上·河南平顶山·期中）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度．测量和计算的部分步骤如下： ①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离(，小明的眼睛E到地面的距离． ②将镜子从点C沿的延长线向后移动到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离； ③计算树的高度； 解：设． ∵， ∴． …． 请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 题型九 向量的相关概念（共4小题） 42．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果（为非零向量），那么 43．（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 44．（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 45．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（   ） A．， B．， C． D． 题型十 实数与向量（共4小题） 46．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 47．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么用、表示为 ． 48．（21-22九年级上·上海青浦·期末）计算：= ． 49．（20-21九年级上·上海嘉定·期中）已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（  ） A． B． C． D． 题型十一 向量的线性运算（共5小题） 50．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知是的重心，记，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E分别为上的点，且，，用向量表示向为（   ） A． B． C． D． 52．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则= ． 53．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量 .（用向量、的式子表示） 54．（21-22九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝． (1)如果点E是△ABC的重心，那么＝　 　．（用向量、的式子表示） (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 题型十二 利用定义求锐角三角函数值（共5小题） 55．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 56．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 57．（24-25九年级上·上海·期中）中，，，那么顶角的正弦值等于 ． 58．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是 ． 59．（2022·上海普陀·二模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为 题型十三 已知锐角三角函数值求边长（共4小题） 60．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 61．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，，如果，那么 ． 62．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    63．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 题型十四 特殊角三角函数值（共4小题） 64．（21-22九年级上·上海徐汇·期中）计算： ． 65．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）计算： 66．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知锐角，且，则 ． 67．（22-23九年级上·上海静安·期中）如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十五 利用锐角三角函数的性质求解（共3小题） 68．（22-23九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 69．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 70．（22-23九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    题型十六 解直角三角形的相关计算（共5小题） 71．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则BC的长为（    ） A． B． C． D． 72．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 73．（20-21九年级上·上海静安·期中）如图，中，，，于点D，将绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么的正切值是 ．    74．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形构成的一个大正方形，直线交正方形的两点于点P、Q，当正方形的面积为10，正方形的面积为4时， 75．（2020·上海黄浦·一模）如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是 ． 题型十七 解非直角三角形（共4小题） 76．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 77．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 78．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 79．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 题型十八 解直角三角形的应用（共11小题） 80．（2022·海南·中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：___________度，___________度； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 81．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为60°，在点处测得灯管支架顶部的仰角为30°，测得m，m（，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： (1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； (2)求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）． 82．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 83．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 84．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．    【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．    【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．    85．（22-23九年级上·上海静安·期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 86．（2023·浙江绍兴·中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）   87．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度； (2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 88．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 89．（23-24九年级下·上海宝山·期中）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端A离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：；；． 90．（24-25九年级上·上海·阶段练习）小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 1．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在 C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距，射灯A与皮影人相距．若保持皮影人在 C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高增大一倍至，则射灯A应向皮影人靠近至 G的距离为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 3．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 4．如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为 ． 5．综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．    探究发现 如图1，在中，，．    （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．    6．【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，， ，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 7．如图，在梯形中，点E、点F分别在边、边上，，平分，边于点G．已知． (1)求的长； (2)填空：连接交于点H，如果，那么_____（用含的式子表示结果） 8．如图（1），在四边形中，对角线平分，． (1)求证：； (2)小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设． ①建立模型：请求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； ②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出①中该函数的图象； ③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：_____； (3)问边与边的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 9．图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 10．好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $