专题02 与相似三角形有关的热考模型（期中复习讲义）（必备知识+5大题型+分层检测）九年级数学上学期沪教版五四制

专题02 与相似三角形有关的热考模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 A 字模型 能识别 A 字模型结构并能利用相似三角形的判定与性质解决线段比例、相关证明等问题。 高频考点，多在几何证明题或与线段长度相关计算中出现。 8 字模型 能识别 8 字模型结构，相似三角形判定与性质常与对顶角相等、平行线性质等结合解决问题 高频考点，常与A字模型结合以解答形式考查，多用于推导线段之间的比例关系及向量的线性运算中出现。 三角形内接矩形模型 能识别三角形内接矩形结构，结合相似三角形性质定理快速求解矩形的边长、面积等问题。 易错考点常以填空、解答形式查考。需要较强的建模使简化计算。 一线三等角模型 能识别 “一线三等角” 的结构，利用角的关系证明三角形相似，解决综合问题。 核心考点，常以压轴题形式与其他模型结合综合考查。 旋转与手拉手模型 掌握旋转中的不变量，利用相似三角形的判定与性质，解决线段和角的数量关系问题。 核心考点，常以压轴题形式与其他模型结合综合考查。 知识点01 A字模型 A字模型 如图一 如图二 如图三 知识点02 8字模型 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 模型03 三角形内接矩形模型 模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a，则， 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，则 知识点04 一线三等角模型 模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似． 知识点05 手拉手模型 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 题型一 A字模型 【典例1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，点F在上，下列条件能推出 的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，且．如果的面积为，的面积为，那么的面积为 ． 【典例3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、， （点、点、点的对应点分别是点、点、点），的坐标为，点在第 四象限，那么点的坐标为 【典例4】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，是的一条中线，G是的重心，过点G作，交于点E，F．若，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是 ． 【变式4】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值 【变式5】（24-25九年级上·上海·期中）如图， 在中，平分，． (1)已知，求的长； (2)如果 求（用的代数式表示） 题型二 8字模型 【典例1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图所示，已知：梯形中，，若，那么为（   ） A．1∶5 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶9 【典例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，，那么 ． 【典例3】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，与对角线交于点，设，． (1)用向量、表示向量； (2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，写出答句） 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，如果，那么的值等于 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，若的面积为，则平行四边形的面积为 ． 【变式3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，，与相交于点O，． (1)设，，试用、表示； (2)先化简，再求作：（直接作在答题纸上的图中）． 【变式4】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 题型三 三角形内接矩形模型 【典例1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，正方形内接于，已知，高．则正方形的边长为 ． 【典例3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点E、H分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 ． 【典例4】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，正方形内接于，，，如果的面积是30，那么正方形的边长是 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，求的长 【变式3】（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，是上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．    (1)设，矩形的周长为，求关于的函数解析式； (2)当为正方形时，求EF的长度． 题型四 一线三等角模型 【典例1】（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中： 与相似； 与相似； 与相似： 与相似； ；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． (1)填空：的长为_____； (2)求证：； (3)求的面积． 【典例3 】（22-23九年级上·上海·期中）在矩形中，，，点是边上的一点，交于点，点在射线上且满足． (1)如图1，求证； (2)如图2，当点在线段上，联结，，求的长； (3)联结，如果与以、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值． 【变式2】（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 【变式3】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 题型五 旋转与手拉手模型 【典例1】（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)判断与是否相似？并证明． 【典例2】（2024-2025学年九年级上上海民办华曜宝山实验学校学期期中）问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 【变式1】（2024-2025学年九年级上上海市青浦区毓秀学校期中）在中，，，将绕着点顺时针旋转，点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，那么的值是 ． 【变式2】（2024-2025学年九年级上上海市黄浦区期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 【变式3】（2024-2025学年九年级上上海市建平实验中学期中）在中，，绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在斜边上的点D，设点A旋转后与点E重合，连接，过点E作直线与射线垂直，交点为M． (1)若点M与点B重合如图1，求的值； (2)若点M在边上如图2，设边长，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若，求斜边的长． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 2．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，分别是的边、上的点，且．如果，，，那么的长等于 ． 3．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，E为边上一点且满足，过点A作的平行线且交延长线于点D，若，，则的长为 ． 4.（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    5．（24-25九年级上·上海金山·期中）在锐角中，是边上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在边上，那么矩形的周长是 ． 6．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，点D、E分别在的边上，，且，连接，则与的面积比的比值为 ． 7．（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点． (1)求证：是和的比例中项； (2)若，求的值． 8．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，对角线、相交于点，，．    (1)求的长； (2)如果，试用表示向量． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，点F在边上，，直线与对角线相交于点E，交的延长线于点G，如果，那么的长是 ． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知，在中，分别是上的中线，与相交于点O，连接，若，则 ． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，是延长线上的一点，与边相交于点，如果，那么的值为 ． 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知：，． (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是菱形． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在平行四边形中，E是边上的一点，与相交于点F，与的延长线相交于点G，，．求的长． 6．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知在中，是上的一点，且    (1)求证：； (2)在图中画的平分线，分别交边、于点、，求证：． 7．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在梯形中，，且，点是边的中点，联结交对角线于点，若，． (1)直接用、表示 ； ； ； (2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 8．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，点分别在的边上，延长交于点，且． (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，梯形中，，，，E、F分别是、的中点，、相交于点G，、相交于点H，则 ． 2．（2024-2025学年九年级上上海市嘉定区期中）如图，矩形中，、分别是边、上的点，将矩形沿直线翻折后，点落在边上的点处，如果，，，那么的长为 ． 3．（2024-2025学年九年级上上海市同济大学附属嘉定实验中学期中）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为 ． 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线 ． 5．（2024-2025学年九年级上上海市同济大学附属嘉定实验中学期中）在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为 ． 6．（24-25九年级上·上海·期中）如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）． (1)探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． (2)计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长． (3)发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？ 7．（24-25九年级上·上海·期中）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 8.（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”：如图，平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为，    (1)当“旋似比”为时，求点的坐标； (2)过做轴，点为垂足，连接，若轴，求此时的“旋似比”； (3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02与相似三角形有关的热考模型（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 能识别A字模型结构并能利用相似三角形的 高频考点，多在几何证明题或与线段长 A字模型 判定与性质解决线段比例、相关证明等问题。 度相关计算中出现。 高频考点，常与A字模型结合以解答形 能识别8字模型结构，相似三角形判定与性质 8字模型 式考查，多用于推导线段之间的比例关 常与对顶角相等、平行线性质等结合解决问题 系及向量的线性运算中出现。 三角形内接 能识别三角形内接矩形结构，结合相似三角形性 易错考点常以填空、解答形式查考。需 矩形模型 质定理快速求解矩形的边长、面积等问题。 要较强的建模使简化计算。 一线三等角 能识别”一线三等角”的结构，利用角的关系证 核心考点，常以压轴题形式与其他模型 模型 明三角形相似，解决综合问题。 结合综合考查。 旋转与手拉 掌握旋转中的不变量，利用相似三角形的判定与 核心考点，常以压轴题形式与其他模型 手模型 性质，解决线段和角的数量关系问题。 结合综合考查。 记·必备知识 昼知识点01A字模型 1A字模型 如图一 模型一：平行A字型 如图一，在△ABC中，DE//BC台 AD AE DE AB AC BC 1/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图二 模型二：非平行A字型（也称为反A字型） 如图二，在AMBC中，∠AED=∠C台D=AE_DE AB AC BC 如图三 模型三：非平行A字型（也称为母子型）》 AD AB DB 1) 如图三，在△ABC中，∠ABD=∠C⊙ AB AC BO (2)AB2=AD.AC 局知识点028字模型 18字 一平行型 D 条件：CD川AB, 结论：△PAB~△PCD(上下相似)； 左右不一定相似，不一定全等，但面积相等； 四边形ABCD为一般梯形 2/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：CDIIAB,PD=PC. 结论：△PAB~△PCD~△PDC(上下相似) △PAD=△PBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字一一不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：△APB~△DPC(上下相似)； I△APD~△BPC(左右相似)； 局模型3三角形内接矩形模型 :模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在△ABC中，若水平底边BC=x,对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a,则a=少 x+y 3/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在矩形GFED中，竖直边长为ma,水平边长为na,则a= Xy mx+ny 同知识点04 一线三等角模型 模型展示：如图，己知：∠A=∠CPD=∠B,则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称 为“一线三等角”型相似. D D B 局知识点05手拉手模型 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形 ① ② 结论：△ABD∽△ACE,△ADE∽△ABC 破·重难题型 题型一 A字模型 【典例1】(24-25九年级上·上海青浦期中)如图，己知DE∥AC,点F在AC上，下列条件能推出 DF∥BC 的是() 4/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E A. BE CF B. BD DE C.DFAF D. BD BE AB AC BC AC AD EC 【答案】A 【详解】解：：DE∥AC, BE BD DE BC AB AC A、:BECF BC AC BD CF AB AC AB-AD AC-AF AB AC .ADAF AB AC ∠A=∠A, △ADF∽△ABC, ∠ADF=∠B, :DF∥BC,选项A符合题意； B、 BD DE 不能推出DF∥BC,选项B不符合题意； AB AC DF AF C、 BC-AC ,不能推出DF∥BC,选项C不符合题意： D、 BD BE ,不能推出DF∥BC,选项D不符合题意 AD BC 故选：A 【典例2】(24-25九年级上·上海·期中)如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC,如 果ADE的面积为4cm',△BCE的面积为24cm2,那么BDE的面积为一cm2. 5/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E C 【答案】8 【详解】解：如图：过A作AH⊥BC点H与交DE于F, B HC :DE∥BC, △ABC∽△ADE,△ADF∽△ABH,△BCE的高等于FH, .AD DE AD AF AB BC AB AH AF DE AH BC 、、AFDE=k，则AH三，= k 点FH=AH-AP=-kAF, k :ADE的面积为4cm2,△BCE的面积为24cm2, DE~4=4,28cH=24, ÷DE4F=8,)DE.14r=24. 2 kk :D5AF=24,整理得=3，解得：k=或k=-}（舍弃， 2k2 2k2 :ABC的面积为：2 -- =36 217 .BDE的面积为36-24-4=8cm2. 故答案为8. 6/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例3】(24-25九年级上·上海嘉定·期中)如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为2,0)、 (1,-2, △AB'O'∽△ABO(点A、点B、点O的对应点分别是点A、点B、点O),O的坐标为-1,0)，点B在第 四象限，那么点B的坐标为 B 【答案】 【详解】解：：点A的坐标为2,0)，点O的坐标为(-1,0)， A0=2,A0′=3， :△AB'0'n△AB0, AB A0 2 AB'A0'3' 如下图所示， 过点B作BE⊥x轴，过点B作B'F⊥x轴， :点B的坐标是(1，-2)，点A的坐标为2,0， ∴.BE=2,AE=2-1=1, AB=V2-12+(-2-0)2=1+4=5, :BE⊥x轴，B'F⊥x轴， .BE IB'F, 7/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABEn△AB'F, AE AB BE 2 AF AB'B'F3' 1252 AF-3'AB3 又：点B在第四象限， :点8的坐标为行3) 故答案为： 【典例4】(23-24九年级上·上海期中)如图，在ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 AB AD AC-CE ,∠BAD=∠ECA. B (1)求证：AC2=BC.CD; (2)若E是ABC的重心，求AC:AD的值 【详解】(1)证明：~48-4 ,∠BAD=LECA, AC CE △BADn△ACE, ∠B=∠EAC, :∠ACB=∠DCA, △ABC∽△DAC, AC BC CD AC .AC2=BC.CD: (2)解：：△BADn△ACE, ∠BDA=LAEC, 8/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CDE=∠CED, ∴CD=CE, :E是ABC的重心 ÷BC=2BD=2CD,AB=2AD, 3 ∴AC2=BC.CD=2CD2, △BADn△ACE, AD BD CE AE .2AD=BD-CE, 3 4D2=2cD2, 2 :AC24 AD-3 【变式1】(24-25九年级上·上海杨浦期中)为了测量校门口路灯AB的高度，小明准备了两根标杆 CD、EF和皮尺，按如图的方式放置，已知CD=EF=1.5米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在标杆 EF留下的影子为G,标杆EF在地面上的影长是FH,经测量得FG=0.5米，DF=1.5米，FH=3米，那 么灯杆AB的长是 米 E C G B D F H 【答】 【详解】解：如图，延长CG交FH于M, E :∠GMF=∠CMD,∠GFM=∠CDM=90°， G B D M H .△GFM∽aCDM, GF FM CD DM 9/76 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.5 设FM为a米，则a=(a+1.5) 1.5 解得：a=4' 3 设BD=x米，AB=y米， :∠GMF=∠CMD,∠ABM=∠CDM=90°， .△CMD∽△AMB, BM AB DM CD 同理得△ABH∽△EFH, :BH、AB FH EF x+0.5+3 1.5 可得， 1.543 4 x+4.5 y 3 1.5 2 3 y= x+ 3 2 整理得： 1 9 y= 2 4 9 x= 解得： y-2 9 MB=米 故答案为昌 【变式2】(24-25九年级上·上海期中)如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作 EFI‖BC,交AB,AC于点E,F.若BC=6,则EG的长为 ) 【答案】2 【详解】解：：AD是中线， 10/76