5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 （教学设计） 数学人教A版2019必修第一册

该高中数学教学设计聚焦正弦函数、余弦函数图象的核心知识，通过声波动画、摩天轮体验等生活化情境导入，衔接学生已学的基本函数和任意角三角函数，为后续三角函数性质及函数y=Asin(ωx+φ)图象学习搭建支架。 这份资料的特色在于以数形结合为主线，通过单位圆描点实现“角到实数”的数学抽象，用“五点法”2分钟内独立作图（误差≤0.2单位）培养几何直观，手势示意平移变换强化逻辑推理。实例丰富如作业正确率≥85%的检测设计，能提升学生作图技能与应用意识，也为教师提供精准的教学效果评估工具。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教学设计 教学内容 本节位于第五章《三角函数》第 4 单元第 1 课时，核心任务是： 1. 借助单位圆描点法认识 y=sin x、y=cos x 的图象（正弦曲线、余弦曲线）； 1. 掌握“五点法”作出 [0,2π] 上的简图，并推广到 R； 1. 理解正弦曲线与余弦曲线的平移变换关系； 1. 初步运用图象解决简单方程与不等式。 内容解析 1. 数学本质：把角的正弦线、余弦线“拉直”到直角坐标系，实现“角→实数”到“正弦值→纵坐标”的转换。 1. 图象特征：波浪形连续光滑曲线；周期 2π；正弦过 (0,0)，余弦过 (0,1)。 1. 思想方法： · ① 数形结合（单位圆⇄坐标系）； · ② 由特殊到一般（五点→整条曲线）； · ③ 变换化归（平移得到余弦曲线）。 1. 易错警示： · (1) 把“弧度”误当“角度”； · (2) 用线段代替光滑曲线； · (3) 平移方向搞反。 教学目标 1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线、余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 目标解析 1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象． 2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题． 达成上述目标的标志是： 课堂即时： (1) 在空白坐标系中，2 min 内用五点法独立画出 y=sin x，关键点误差不超过 0.2 单位； (2) 在投影给出的正弦曲线上，能用手势示意如何平移得到余弦曲线。 课后延时： (1) 作业题 5.4 第 1 题正确率 ≥85%； (2) 小测：给出 y=sin(x+π/3)，80% 学生能指出它是由 y=sin x 向左平移 π/3。 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.1正弦函数、余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，2.会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象．教学难点：1.利用单位圆画正弦曲线.2.正弦曲线与余弦曲线的应用．3.正弦函数与余弦函数图象间的关系, 图象变换. 温故知新 知识点一　正弦函数的图象 1．正弦曲线 正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线． 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法 ①利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图象； ②将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． (2)“五点法” ①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． 知识点二　余弦函数的图象 (1)余弦曲线 余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线． (2)余弦函数图象的画法 ①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin. ②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． [点拨]　(1)正弦函数、余弦函数的图象向左、向右是无限伸展的． (2)正弦曲线、余弦曲线两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 导入1：声波动画 教师打开音乐软件，播放一段纯音 440 Hz 声波动画，提问：“声音看不见，怎么画出它的‘形状’？”引出正弦曲线。 【设计意图】用“声波”这一生活化的周期现象，激活旧知“圆周运动→上下振动”，直接指向本节课主题。 导入2：“摩天轮”体验 展示摩天轮座舱高度随时间变化的视频，并给出高度-时间散点图。 提问： 1. 座舱高度变化有什么规律？ 1. 如果把这些散点连起来，会得到什么曲线？ 【设计意图】学生人人都有“摩天轮”体验，情境真实，问题聚焦“周期+波浪”，迅速点燃探究欲。 【教学建议】导入时间 ≤3 min，教师不急于给出答案，只抛问题，留待“新知探究”环节解决。 问题引入 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数． 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 问题1　结合所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质． 下面先研究函数，的图象，从画函数，的图象开始． 思考： 问题2　在上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点? 【师生互动】教师提出问题,学生思考. 提示　如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)． 如图5.4-1，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点． 若把轴上从到这一段分等份，使值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位的交点将圆周12等分，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(图5.4-2) 问题3我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？ 事实上，利用信息技术，可使在区间上取到足够多的值而画出足够多的点，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数，的图象（图5.4-3）． 提示　如图，借助单位圆，在x轴上把[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象． 思考： 　根据函数，的图象，你能想象函数，的图象吗? 由诱导公式一可知，函数，，且的图象与，的图象形状完全一致．因此将函数，的图象不断向左、向右平移(每次移动个单位长度)，就可以得到正弦函数的图象（图5.4-4）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 思考： 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点? 观察图5.4-3，在函数，的图象上，以下五个点： ，，，， 在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数，的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图〉法”是非常实用的． 由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象． 思考： 你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象? 对于函数，由诱导公式得， ， 而函数 ， 的图象可以通过正弦函数 ， 的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4-5所示．（你能说明理由吗?） 余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosine curve)，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 探究： 类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4-1，然后画出，的简图． 表5 .4-1 例1 画出下列函数的简图： (1)，；(2)，． 解：(1) 按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来图(5.4-6)： (2) 按五个关键点列表: 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5. 4-7)： 【变式】 用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的简图． 【答案】作图见解析 【知识点】y=Asinx+B的图象、五点法画正弦函数的图象 【分析】由于正弦函数的周期是，取一个周期内的五个关键点，即令，分别将五个点的横坐标代入中，求出对应的纵坐标的值，列出表格，然后描点连线即可画出函数简图. 【详解】（1）取值列表如下： x 0 π 0 1 0 －1 0 （2）描点、连线，如图所示． 【点睛】本题考查了用五点法画三角函数简图问题，考查了数学运算能力和画图能力，属于一般题目. 思考: 你能利用函数，的图象，通过图象变换得到图象吗?同样地，利用函数，的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数，的图象? 1.（2024高三·全国·专题练习）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】先将化为分段函数，按五点法作图列出五点即可. 【详解】， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 故第三个点的坐标是， 故选：C. 2.（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 3.（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、y=Asinx+B的图象、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用五点作图法作出，的函数图象，依题意与在上只有1个交点，结合图象即可求出参数的值. 【详解】因为，列表： 1 0 1 2 1 描点、连线，函数图象如下图所示： 因为，且的值只有一个， 所以与在上只有1个交点， 结合图象可知或. 故选：D 4.（24-25高一下·四川成都·期末）函数，的零点个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】令得，结合，得到根的个数，求出答案. 【详解】令得， 因为，所以， 故或或或，解得或或或， 所以零点个数为4. 故选：C 5.（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BD 【知识点】y=Asinx+B的图象、正弦函数图象的应用 【分析】根据函数图象的交点个数，即可结合图象求解. 【详解】画出的图象. 如图：直线和与的图象只有一个交点，    故或. 故选：BD. 6.（24-25高二下·河南周口·阶段练习）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】余弦函数图象的应用 【分析】根据“五点法”画出两个函数在上的图象，数形结合即可判断. 【详解】由“五点法”画函数与在上的图象，如图所示． 由图可知曲线与在上的交点个数为7， 故选：C 7.（2025高一·全国·专题练习）已知函数，，则的图象与直线的交点个数最多有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】的最小正周期，在区间上有1.5个周期，再结合时判断即可. 【详解】的最小正周期，在区间上有1.5个周期． 考虑函数平移后的图象与直线的交点个数， 如时，的图象在和与直线各有两个交点， 故可知交点最多有4个． 故选：C． 8.（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【详解】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 9.（24-25高一上·全国·课后作业）下列的取值范围能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】根据函数在区间内的图象，数形结合可得不等式的解集． 【详解】如图分别为函数在区间内的图象． 当时，或， 结合图象可知满足的的取值范围为. 故选：B． 10.（24-25高一下·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦函数图象的应用 【分析】由可得，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，解出的范围即可得出合适的选项. 【详解】由可得， 因为，当时，， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，，解得，即的最小值为. 故选：C. 1.（2008·浙江·高考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、正弦函数图象的应用 【详解】试题分析：因为y＝cos(＋)(x∈[0,2π]),即(x∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y＝的交点有两个. 考点：三角函数的诱导公式及正弦函数的图像. 点评：本小题关键是利用诱导公式把y＝cos(＋)(x∈[0,2π])转化为(x∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y＝的交点个数. 2.（24-25高三上·江苏宿迁·期中）当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】在同一坐标系内作出时函数与在内的图象，利用图象的交点个数判断. 【详解】对于A，当时，函数的周期为， 函数与在内的图象如图， 它们有2个交点，A错误； 对于B，当时，函数的周期为， 函数与在内的图象如图， 它们有4个交点，B正确； 对于C，当时，函数的周期为， 函数与在内的图象如图， 它们有6个交点，C错误； 对于D，当时，函数的周期为， 函数与在内的图象如图， 它们有8个交点，D错误. 故选：B 3.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【详解】时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象，    由图知，共有4个交点. 故选：. 4.（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：B. 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数图象的初步认识． (2)“五点(画图)法”作图． (3)正弦函数、余弦函数图象的应用． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：五点的选取；正弦函数的图象和余弦函数的图象可相互平移得到． 4.解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 5.作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤 6.利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤 (1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据诱导公式一写出定义域内的解集． 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 课本200页练习，213习题5.4第1题. 课题：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1. 单位圆描点 → 正弦曲线 1. 五点法：(0,0) (π/2,1) (π,0) (3π/2,-1) (2π,0) 1. 平移得余弦：cos x = sin(x+π/2) 1. 应用：sin x = 1/2 的图解 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.“五点法”作正弦函数、余弦函数图象 四、归纳小结 一、问题引入 2.利用图象变换作余弦函数图象 五、布置作业 二、新课讲解 利用正弦线作正弦函数图象 三、应用举例 三、概念深化 例 思考 【设计意图】板书呈“波浪”形排列，曲线即板书，增强记忆点。 【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 练习（第200页） 1．在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．通过观察两条曲线，说出它们的异同． 1．解析：可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象．两条曲线形状相同、位置不同．例如函数的图象，可以通过将函数， 的图象向右平移个单位长度而得到（如图所示）． 2．用五点法分别画下列函数在上的图象： （1）； （2）． 2．解析：（1） 0 0 1 0 0 （2） 0 3 2 1 2 3 3．想一想函数与的图象及其关系，并借助信息技术画出函数的图象进行检验． 3．解析：把在轴下方的部分翻折到轴上方， 就得到的图象．如图所示． 4．（多项选择题）函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 （E）4个 4．答案：ABC 解析：函数的图象如图所示，当或时，无交点；当或时，只有 1 个交点；当 时，有2个交点，故选ABC． 学科网（北京）股份有限公司 $