5.2.2 同角三角函数的基本关系（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系的推导与适用条件。 2.能根据已知三角函数值，利用基本关系求其余函数值，并正确判断符号。 3.能化简含同角的三角函数式并证明简单恒等式，体验“化切为弦” “1的代换”等策略。 4.在真实情境中抽象出三角关系模型，发展数学建模与逻辑推理素养。 目录 CATALOG 01. 同角三角函数的基本关系 03.题型强化训练 02.利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明 04.小结及随堂练习 01 5.2.2 同角三角函数的基本关系 同角三角函数 的基本关系 导入新知：抖音挑战 一位滑板少年在U形池中完成180°转体，镜头定格在腾空瞬间。 “滑板的腾空角度θ已知，如何不用测角仪快速算出他落地瞬间的水平速度与垂直速度之比？” 导入新知：校园广播 早读时广播传来通知： “请全体高一同学于今日14:00前到体育馆领取校服。” 有同学嘀咕：“真的‘全体’吗？ 如果有人请假呢？’’ 抓住“全体” “有人”两词， 问：如果把广播改写成数学命题，它的否定该怎么写？ 这与我们今天要学的“平方和等于1”似乎不搭边，但它们都涉及“条件与结论”的逻辑！ 导入新知 探究 公式一表明终边相同的角的统一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系． 应用新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知正（余）弦求余（正）弦 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知正（余）弦求余（正）弦 02 利用同角三角函 数的基本关系求值、化简与证明 5.2.2 同角三角函数的基本关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦） 学习新知 除特殊证明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式. 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 同角三角函数基本关系、已知弦（切）求切（弦） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 学习新知 03 题型强化训练 5.2.2 同角三角函数的基本关系 能力提升 题型一：基本关系式的简单应用 能力提升 题型一：基本关系式的简单应用 能力提升 题型二 弦切互化求值 能力提升 题型二 弦切互化求值 能力提升 题型三 sinα±cosα，sinαcosα的应用 能力提升 题型三 sinα±cosα，sinαcosα的应用 能力提升 题型四 化简三角函数式 能力提升 题型四 化简三角函数式 能力提升 题型五 三角函数式的证明 能力提升 题型五 三角函数式的证明 04 小结及随堂练习 5.2.2 同角三角函数的基本关系 课堂总结 1．知识清单： (1)同角三角函数的基本关系． (2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明． 2．方法归纳：由部分到整体、整体代换法． 3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论． 课堂总结 作业 课本P154的1−−2题，P156 习题4.5的11、12、14题. 5.2.2 同角三角函数的基本关系 练习（第184页） 练习（第184页） 练习（第184页） 练习（第184页） 练习（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 习题5.2（第184页） 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α－cos α)＝eq \f(sin α＋cos α2,sin α－cos αsin α＋cos α) ＝eq \f(1＋2sin αcos α,sin2α－cos2α)＝左边．所以原等式成立． 【变式】　求证：eq \f(1＋2sin αcos α,sin2α－cos2α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1). 【练习8】化简 （   ） A． B． C． D． 【解析】原式 ． 故选：C. 【练习9】若 ，则 （     ） A． B． C． D． 【解析】由 ， 得 . 故选：A 【练习10】已知 是第一象限角，则 （    ） A． B．1 C． D． 【解析】因为 ，所以 . 又 是第一象限角，故原式 . 故选：A 反思感悟　证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等． 解　∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin2α＋cos2α＝1， ∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cos α＝±eq \f(\r(10),10). 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3\r(10),10)； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3\r(10),10). 【练习1】 　已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． 【感悟提升】求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 【答案】D 【分析】变换得到 ，上下除以 得到 ，代入数据得到答案. 【详解】 ，故选 【点睛】本题考查了齐次式的计算，变换 是解题的关键. 【练习2】 　若 ，则 ． A．10 B． C．2 D． 【感悟提升】关于sinα，cosα的齐次式的求值方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 【详解】AB选项， 两边平方得， ， 即 ，所以 ，B正确， 因为 ，所以 ，故 ，所以 ，A正确； CD选项， ， 因为 ， ，所以 ， 故 ，C错误，D正确. 故选：ABD 【练习3】已知 ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【感悟提升】sinα±cosα，sinαcosα三者的关系 （1）sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方 关系求其他两个，即“知一求二”． (2)sinθ±cosθ的符号的判定方法 sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知， 当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ， sinθ－cosθ＝0， 当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0； 当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0， 如图①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符号如图②所示． 【详解】对于A选项： ， ，故A正确； 对于B选项： ，则 ，故B正确； 对于C选项：∵ 范围不确定，∴ 的符号不确定，故C错误； 对于D选项： 为第二象限角， , ,故D错误. 故选：AB. 【练习4】下列计算或化简结果正确的是（    ） A．若 ， B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 为第二象限角，则 【感悟提升】化简三角函数式的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 证明：1＋tan2α＝1＋eq \f(sin2α,cos2α)＝eq \f(cos2α＋sin2α,cos2α)＝eq \f(1,cos2α). (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.所以eq \f(sin2α,cos2α)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2β,cos2β)＋1))，通分可得eq \f(1,cos2α)＝eq \f(2,cos2β)， 即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1. 【练习5】(1)求证：1＋tan2α＝eq \f(1,cos2α). 【感悟提升】证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等． (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq \f(左边,右边)＝1”． $