5.1.2 弧度制（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

5.1.2 弧度制 题型一：弧度化为角度 1.（24-25高一下·江西·阶段练习）把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·广东·期末）在半径为4的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则间的大小关系为 ． 题型二：角度化为弧度 1.（24-25高一上·全国·课后作业）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是 ． 3.（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 4.（24-25高一下·上海宝山·期末）某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为 . 题型三：弧长公式的应用 1.（25-26高二上·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 2.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 3.（25-26高一上·全国·单元测试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为24cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”．若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为 （结果中可以含）．    4.（24-25高二下·江苏常州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为（    ） A． B．5 C． D． 题型一：利用弧度制表示角 1.（24-25高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了 ．（用弧度制表示） 2.（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·山东聊城·开学考试）用弧度表示第二象限的角的集合 ． 4.（24-25高一下·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 题型二：确定n倍角所在象限 1.（24-25高一上·上海·课堂例题）已知角是第一象限角，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或轴的非负半轴上 2.（24-25高一下·全国·课后作业）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 3.（多选题)（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4.（2025高三·全国·专题练习）若，，试确定是第几象限角． 题型三：扇形面积公式的应用 1.24-25高一上·天津·阶段练习）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，，，则扇形AOB的面积为 cm2. 4.（23-24高一下·湖北十堰·阶段练习）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（    ）（） A．185 B．180 C．119 D．120 1.（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 2.（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为（    ） A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 3.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 4.（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 弧度制 题型一：弧度化为角度 1.（24-25高一下·江西·阶段练习）把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据弧度和角度的转化关系可得正确的选项. 【详解】. 故选：C. 2.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧度化为角度、弧度的概念 【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案. 【详解】由题意得，． 故选：C． 3.（24-25高一上·广东·期末）在半径为4的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧度化为角度、弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式和弧度与角度的转换计算. 【详解】弧长为的弧所对的圆心角为. 故选：D. 4.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则间的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】弧度化为角度 【分析】将三个角统一转换为角度进行比较即可. 【详解】由题意可得，， 所以． 故答案为：. 题型二：角度化为弧度 1.（24-25高一上·全国·课后作业）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度制转化为弧度制的方法求得正确答案. 【详解】． 故选：A 2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）化成弧度是 ． 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】利用弧度与角度之间的转化规则计算. 【详解】因，则. 故答案为： 3.（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制. 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 4.（24-25高一下·上海宝山·期末）某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为 . 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、角度化为弧度 【分析】根据已知求出圆心角的弧度，再由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，圆心角为， 所以扇形面积为. 故答案为： 题型三：弧长公式的应用 1.（25-26高二上·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 【答案】 / 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式计算即得. 【详解】因为圆心角为，半径为4， 所以弧长为，该扇形的面积为． 故答案为： 2.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、弧长的有关计算 【分析】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 3.（25-26高一上·全国·单元测试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为24cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”．若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为 （结果中可以含）．    【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积. 【详解】如图，延长扇环形的线段交于小圆圆心，则， 设，每个扇环形小拼盘所在扇形的圆心角为， 则的长为，解得， 所以每个扇环形小拼盘的面积为： ． 故答案为：.    4.（24-25高二下·江苏常州·期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】角度化为弧度、弧长的有关计算 【分析】将圆心角化为弧度制，根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】， 所以扇形的弧长为. 故选：. 题型一：利用弧度制表示角 1.（24-25高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了 ．（用弧度制表示） 【答案】 【知识点】任意角的概念、用弧度制表示角的集合 【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可. 【详解】因为1小时内分针转过了，所以1小时内秒针转过了. 故答案为： 2.（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断. 【详解】A,B弧度角度混用，错误. 与角终边相同的角可以表示，则C错误． 弧度制下表示为，则D正确. 故选：D. 3.（24-25高一下·山东聊城·开学考试）用弧度表示第二象限的角的集合 ． 【答案】 【知识点】用弧度制表示角的集合 【分析】直接利用象限角的表示方法写出结果即可得. 【详解】第二象限的角的集合可表示为. 故答案为：.. 4.（24-25高一下·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合、根据图形写出角（范围） 【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为， 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为 ， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 . 题型二：确定n倍角所在象限 1.（24-25高一上·上海·课堂例题）已知角是第一象限角，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或轴的非负半轴上 【答案】D 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】由象限角可得到角的范围,进而可求得的范围,即可得出的终边所在位置. 【详解】∵由角是第一象限角,∴可得, ∴. 即的终边位于第一或第二象限或轴的非负半轴上. 故选:D. 【点睛】本题考查了象限角,熟练利用角的范围是解题的关键,属于基础题. 2.（24-25高一下·全国·课后作业）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【知识点】确定n分角所在象限、确定n倍角所在象限 【分析】由的范围，求出的范围，分类讨论可得到角的象限． 【详解】因为是第一象限角， 所以， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 3.（多选题)（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 4.（2025高三·全国·专题练习）若，，试确定是第几象限角． 【答案】为第一象限角 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】根据已知求得，即可判断所在象限． 【详解】由得：， 为第一象限角． 题型三：扇形面积公式的应用 1.24-25高一上·天津·阶段练习）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 2.（25-26高一上·全国·单元测试）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】设与的延长线交于圆心，圆心角，扇形半径，根据弧长公式结合题意列方程组求出，再由扇形面积公式即可计算得解. 【详解】如图，与的延长线交于圆心， 设圆心角，扇形半径，则，解得， 则该扇面的面积为. . 故选：B 3.（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，，，则扇形AOB的面积为 cm2. 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】设扇形的圆心角为，扇形的半径为，根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】在扇形AOB中，因为，， 所以由扇形面积公式可知. 故答案为： 4.（23-24高一下·湖北十堰·阶段练习）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（    ）（） A．185 B．180 C．119 D．120 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】首先由弧长和圆心角求出外弧半径与内弧半径，再根据扇形面积公式，用大扇形面积减去小扇形面积，即可求得答案． 【详解】设外弧长为，外弧半径为，内弧长为，内弧半径为，该扇面所在扇形的圆心角为, ∵扇形的弧长为， ∴，， ∵扇形的面积为， ∴该扇面画的面积为， 故选：C． 1.（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【知识点】弧度的概念 【分析】根据弧度制的概念逐项判断即可. 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确； 无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误； 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误， 故选：AC 2.（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为（    ） A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 【答案】A 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、弧长的有关计算 【分析】由扇形的周长和面积公式联立计算即得. 【详解】设该扇形折叠扇的圆心角，弧长，半径，面积分别为α，l，r，S， 易得弧长，周长等于，， 两式联立解得或,因,即, 故. 故选：A. 3.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式及扇形公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为，，所以，所以， 所以该扇形的面积． 故选：B． 4.（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】连接，根据条件求出半径，再分别求出、扇形和的面积即可. 【详解】连接，设和的交点为， 因点是以为直径的半圆的三等分点，则， 因，则，即为等边三角形， 因，则， 因，则四边形为平行四边形， 因，则四边形为菱形，则， 设圆的半径为，则，， 则， 扇形的面积为，， 则图中阴影部分的面积为， 因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为. 故选：A      学科网（北京）股份有限公司 $