精品解析：广东省湛江市第四中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

高二数学试题 考试范围：空间向量+直线方程 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量,若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用三个向量共面，即可列出方程求出实数的值. 【详解】因为共面，所以存在实数对,使得, 即， 所以解得 故选：D． 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为和互相平行， 所以，解得. 直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 4. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可 【详解】设向量与的夹角为， 因为，，且， 所以，得， 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A 5. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可. 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 6. 如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可. 【详解】 一束光线从出发，经直线反射,与交于点P, 由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上， 设,则,, 故光线从A到B所经过的最短路程是. 故选：C. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可. 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小， 如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故选：B 8. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中，说法错误的是（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线与直线互相平行，则 C. 过两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D. 【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角， 但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意， 综上可得，故B正确； 对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为时直线方程为， 当截距都不为时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. 方程表示过点的所有直线 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可判断A选项；根据点斜式方程可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可知，当直线与垂直时，合乎题意，可求出的值，可判断C选项；作出图形，进而根据斜率与倾斜角的变化关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对； 对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线，B错； 对于C选项，将直线方程变形为，由可的， 所以，直线过定点， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大时， 因为，则，C对； 对于D选项，如图， ，，所以由图可知，或， 则斜率的取值范围是，D对. 故选：ACD. 11. 已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为2 D. 二面角的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案 【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，所以， 所以，故A选项错误； 设平面的法向量为， 则，令则，所以， 所以， 由于平面，所以平面，故B选项正确； ，所以到平面的距离为故C选项正确； 由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，由图可知，为锐角， 所以，故D选项错误， 故选：BC 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再求出相关向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果. 【详解】依题意，，得， 由底面为矩形，，，得，显然， 又 ， 因此，所以. 故答案为： 13. 已知，，三点，则到直线的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 14. 设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：可初步确定点所在的平面，作，在这个面的射影，，利用把空间向量问题转化为平面向量问题，结合向量数量积的性质和基本不等式求最小值. 法二：建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面中，设，，，和分别是点，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解. 【详解】法一：如图： 不防设点在正方体的下底面内，，在正方体的表面的任何位置，它们在下底面的射影分别为，. 则，.所以，，. 所以 （当与方向相反时取“”）. 又（当且仅当时取“”）. 分析两个“”成立的条件，可知为中点时，有最小值. 此时（当为下底面的面对角线时取“”）. 所以， （当位于下底面中心，，在下底面的射影是下底面的面对角线端点时取“”）. 法二：将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线． 设，，， 和分别是点，在平面上的投影． 可得，，， 则 ， 因为， 当且仅当点C为的中点时，等号成立， 可得， 所以，当，，且时等号成立． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，把空间向量的数量积转化成平面向量的数量积，“降维”是解决该题的关键思想. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，. （1）用，，表示，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据空间向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为是平行六面体， 所以， 【小问2详解】 因为，底面是矩形，所以， 又因为，，所以，， 因此 ， ， 若异面直线与所成角为， 则， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 16. 如图，在正四棱柱中，，．点分别在棱上，，，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； 【答案】（1） 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则， ， ，， 不在一条直线上，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可证明； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， ， 所以，设，则， 所以， 又因为， 所以点到平面的距离. 17. 已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点的坐标与的面积. 【答案】（1） （2），20 【解析】 【分析】（1）由AC边上的高BH所在直线方程为可得直线BH的斜率为1，根据垂直时斜率乘积为-1可得直线AC的斜率为-1，且过即可得到AC边所在直线方程； （2）联立直线AC和直线CM，即可求出顶点C的坐标．求出AC的长和 B到AC的距离，结合面积公式即得. 【小问1详解】 ∵，，∴，∴方程为：，即. 【小问2详解】 联立解得，. 设，则，∴，∴. ∴，到直线距离为，而. ∴的面积为. 18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2） （3）存在，，理由如下： 假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为． 【解析】 【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 略 19. 已知两条直线， （1）若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程； （2）若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值； （3）设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围． 【答案】（1）；； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出点A、B、P的坐标，利用两点间的距离公式和基本不等式即可求解； （2）根据题意求出与x轴的交点A坐标，与y轴的交点B坐标，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质即可求解； （3）当时求出、方程，设直线MN方程，联立方程求出点M坐标，联立方程求出点N坐标，结合图形和三角形面积公式可得，由k得范围即可求解. 【小问1详解】 由直线，令， 得，直线恒过定点， 则， 当且仅当时，最小值为9．此时直线； 【小问2详解】 由直线，知恒过定点， 分别与轴交于两点，且， 故， 又函数在上单调递增， 因为，故当时，面积； 【小问3详解】 由，可得，均恒过定点， 设直线，由； ，设直线交轴于点，而, 则 ， 又，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 考试范围：空间向量+直线方程 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量,若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 4. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中，说法错误的是（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线与直线互相平行，则 C. 过两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. 方程表示过点的所有直线 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为2 D. 二面角的大小为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为_______________. 13. 已知，，三点，则到直线的距离为______. 14. 设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，. （1）用，，表示，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 如图，在正四棱柱中，，．点分别在棱上，，，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； 17. 已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点的坐标与的面积. 18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知两条直线， （1）若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程； （2）若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值； （3）设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $