22.3 实践与探索同步练习-2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

22.3实践与探索（一元二次方程） 一．选择题（共8小题） 1．（2025•九龙坡区校级开学）下列说法错误的有（　　）项． ①一个圆的周长扩大到原来的3倍，它的面积也扩大到原来的3倍． ②a、b、c代表三个连续的偶数，这三个数的平均数一定是b． ③三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则三角形ABC是直角三角形． ④学校种树，先种了100棵，其中有25棵没有成活，后来又补种了25棵，全部成活，则这些树苗的成活率为100%． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024秋•翠屏区期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{1，2}＝2，若已知max{x2，x2﹣4x}＝9，则x的值为（　　） A．3或﹣3 B．或 C．﹣3或 D．3或 3．（2024秋•三台县期末）如图，是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，则前n行的所有点的和可能为（　　） A．2016 B．2023 C．2024 D．2025 4．（2024秋•达州期末）按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程（　　） A．100（1+x）2＝500 B．100（1+x2）＝500 C．100（1+x）+100（1+x）2＝500 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝500 5．（2025春•利津县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝66 C． D．x（x+1）＝66 6．（2024秋•仁和区期末）某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝662 B．200（1+2x）2＝662 C．200（1﹣x）2＝662 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662 7．（2024秋•三台县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则（　　）秒后，△CPQ的面积等于5． A．1 B．5 C．1或5 D．2或4 8．（2025•鲤城区校级模拟）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 C．30x+2×20x20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•吉安县期末）如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是480cm3，设矩形的宽为x，则可列方程为　 　 ． 10．（2024秋•交城县期末）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为50cm和80cm的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观．若所镶彩纸的宽为x cm，根据题意，列方程为 　 　 ． 11．（2024秋•东城区期末）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为3.5万元和3.9万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为 　 　 ． 12．（2025•南山区校级开学）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，根据题意，可列出一元二次方程为：　 　 ．（只列方程，不需求解） 13．（2024秋•寒亭区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月平均下降率是x，则根据题意可列出方程为 　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•金安区校级开学）某村今年收获12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售．在A市销售时，每千克茭白的利润为2元；在B市销售时，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足y＝﹣0.2x+4.2． （1）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求该村在B市销售茭白多少万千克； （2）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且m≠n，求出m与n所满足关系式？ 15．（2025•太原开学）如图是某校九年级班级门口的优秀事迹展示板、该展示板的长为40cm，宽为36cm．勤奋小组的同学负责将6张全等的，面积为96cm的矩形贴纸按两行三列粘贴在展示板上，要求贴纸之间及贴纸粘贴区域与展板边缘的距离均相等．请你帮勤奋小组的同学计算出该相等的距离为多少． 22.3实践与探索（一元二次方程） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025•九龙坡区校级开学）下列说法错误的有（　　）项． ①一个圆的周长扩大到原来的3倍，它的面积也扩大到原来的3倍． ②a、b、c代表三个连续的偶数，这三个数的平均数一定是b． ③三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则三角形ABC是直角三角形． ④学校种树，先种了100棵，其中有25棵没有成活，后来又补种了25棵，全部成活，则这些树苗的成活率为100%． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】一元二次方程的应用；三角形内角和定理；勾股定理． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】B 【分析】根据圆的周长与面积的变化规律、连续偶数的平均数、三角形内角和与直角三角形判定，以及树苗成活率的计算对每个说法逐一进行分析判断． 【解答】解：分析①： 圆的周长公式为C＝2πr，面积公式为S＝πr2， 当周长扩大到原来的3倍时，新的周长C′＝3C＝2πr′，则r′＝3r， 新的面积S′＝π（3r）2＝9πr2＝9S， 所以面积扩大到原来的9倍，不是3倍，①错误； 分析②： 因为a、b、c是三个连续的偶数， 所以a＝b﹣2，c＝b+2， 它们的平均数为，②正确； 分析③： 三角形内角和为180°，∠A：∠B：∠C＝2：3：5， 总份数为2+3+5＝10份， ∠C的度数为， 所以三角形ABC是直角三角形，③正确； 分析④： 成活率的计算公式是 总共种了100+25＝125棵， 成活的棵数是（100﹣25）+25＝100棵， 成活率为，不是100%，④错误； 综上，错误的说法有2项． 故选：B． 【点评】本题综合考查了圆的周长与面积的变化规律、连续偶数的平均数、三角形内角和与直角三角形判定，以及树苗成活率的计算等知识点，涵盖了几何、数论、统计等多个数学领域的基础内容． 2．（2024秋•翠屏区期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{1，2}＝2，若已知max{x2，x2﹣4x}＝9，则x的值为（　　） A．3或﹣3 B．或 C．﹣3或 D．3或 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】分两种情况：①当x2＞x2﹣4x，即x＞0时，②当x2＜x2﹣4x，即x＜0时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【解答】解：①当x2＞x2﹣4x，即x＞0时，则max{x2，x2﹣4x}＝x2＝9， 解得x＝3或x＝﹣3＜0（不符合题设，舍去）； ②当x2＜x2﹣4x，即x＜0时，max{x2，x2﹣4x}＝x2﹣4x＝9， 解得或（不符合题设，舍去）； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解max{a，b}的定义，正确建立方程是解题关键． 3．（2024秋•三台县期末）如图，是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，则前n行的所有点的和可能为（　　） A．2016 B．2023 C．2024 D．2025 【考点】一元二次方程的应用；规律型：图形的变化类． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为2016、2023、2024、2025时n的值是否为整数，再判断即可得解． 【解答】解：由题意可得：前n行的点数之和为， 若前n行的点数之和为2016，则， ∴n2+n﹣4032＝0即（n+64）（n﹣63）＝0， 解得：n＝63（舍去负值﹣64），即前63行的点数之和为2016； 若前n行的点数之和为2023，则， ∴n2+n﹣4046＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣4046）＝16185＝5×3237， ∴Δ，不是整数， ∴方程没有整数解； 若前n行的点数之和为2024，则， ∴n2+n﹣4048＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣4048）＝16193， ∵1272＜16193＜1282， ∴方程没有整数解； 若前n行的点数之和为2025，则， ∴n2+n﹣4050＝0， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣4050）＝16201， ∵1272＜16201＜1282， ∴方程没有整数解； 综上所述，只有选项A中的数据2016符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 4．（2024秋•达州期末）按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程（　　） A．100（1+x）2＝500 B．100（1+x2）＝500 C．100（1+x）+100（1+x）2＝500 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝500 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】根据该企业4月份的利润及利润平均月增长率，可得出该企业5月份的利润是100（1+x）万元，6月份的利润是100（1+x）2万元，结合该企业第二季度的总利润达到500万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵该企业4月份的利润是100万元，且利润平均月增长率为x， ∴该企业5月份的利润是100（1+x）万元，6月份的利润是100（1+x）2万元． 依题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝500． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2025春•利津县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝66 C． D．x（x+1）＝66 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】利用握手的总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得x（x﹣1）＝66． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2024秋•仁和区期末）某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝662 B．200（1+2x）2＝662 C．200（1﹣x）2＝662 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据三天共揽件662件，列一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意，得200+200（1+x）+200（1+x）2＝662， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 7．（2024秋•三台县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则（　　）秒后，△CPQ的面积等于5． A．1 B．5 C．1或5 D．2或4 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】设移动时间为t秒，因为8÷2＝4秒，所以0≤t≤4，列方程得，解方程即可得到答案． 【解答】解：设移动时间为t秒， ∵8÷2＝4秒， ∴0≤t≤4， 根据题意得， 解得t＝1或t＝5（不符合题意，舍去）， ∴1秒后，△CPQ的面积等于5， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 8．（2025•鲤城区校级模拟）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 C．30x+2×20x20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得． 【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）20×30， 故选：B． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•吉安县期末）如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是480cm3，设矩形的宽为x，则可列方程为　4（2x﹣8）（x﹣8）＝480　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】4（2x﹣8）（x﹣8）＝480． 【分析】设矩形的宽为x cm，则矩形的长为2x cm，做成一个无盖的盒子后，该长方体盒子的长为（2x﹣8）cm，宽为（x﹣8）cm，高为4cm，根据盒子的容积是480cm3，列出方程即可． 【解答】解：根据题意：4（2x﹣8）（x﹣8）＝480， 故答案为：4（2x﹣8）（x﹣8）＝480． 【点评】本题主要是一元二次方程的应用题，关键是找出题中的等量关系． 10．（2024秋•交城县期末）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为50cm和80cm的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观．若所镶彩纸的宽为x cm，根据题意，列方程为 　　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】设所镶彩纸的宽为x cm，则大长方形的长和宽分别为（50+2x）cm、（80+2x）cm，再根据彩纸面积为相片面积的列出方程即可． 【解答】解：设所镶彩纸的宽为x cm，则大长方形的长和宽分别为（50+2x）cm、（80+2x）cm， 由题意得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理彩纸面积为相片面积的是解题的关键． 11．（2024秋•东城区期末）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为3.5万元和3.9万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为 　3.5（1+x）2＝3.9　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用2023年全国居民人均可支配收入＝2021年全国居民人均可支配收入×（1+2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：3.5（1+x）2＝3.9． 故答案为：3.5（1+x）2＝3.9． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2025•南山区校级开学）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，根据题意，可列出一元二次方程为：　500（1﹣x）2＝405　 ．（只列方程，不需求解） 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】500（1﹣x）2＝405． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程500（1﹣x）2＝405． 【解答】解：由题意可得， 500（1﹣x）2＝405， 故答案为：500（1﹣x）2＝405． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 13．（2024秋•寒亭区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月平均下降率是x，则根据题意可列出方程为 　23（1﹣x）2＝16　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】23（1﹣x）2＝16． 【分析】利用该款燃油汽车今年5月份的售价＝该款燃油汽车今年3月份的售价×（1﹣该款汽车这两月售价的月平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝16． 故答案为：23（1﹣x）2＝16． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意列出方程是关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•金安区校级开学）某村今年收获12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售．在A市销售时，每千克茭白的利润为2元；在B市销售时，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足y＝﹣0.2x+4.2． （1）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求该村在B市销售茭白多少万千克； （2）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且m≠n，求出m与n所满足关系式？ 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用． 【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）B市销售茭白3万千克或8万千克； （2）n+m＝11． 【分析】（1）设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白（12﹣x）万千克，根据该村销售完所有茭白共获利28.8万元，列出一元二次方程，解方程即可； （2）由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白（12﹣m）万千克，在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白（12﹣n）万千克，根据在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，可得m（﹣0.2m+4.2）+2（12﹣m）＝n（﹣0.2n+4.2）+2（12﹣n），即可解决问题． 【解答】解：（1）设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白（12﹣x）万千克， 根据题意得：x（﹣0.2x+4.2）+2（12﹣x）＝28.8， 整理得：x2﹣11x+24＝0， ，解得：x1＝3，x2＝8， 答：该村在B市销售茭白3万千克或8万千克； （2）由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白（12﹣m）万千克， 在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白（12﹣n）万千克， 根据题意得：m（﹣0.2m+4.2）+2（12﹣m）＝n（﹣0.2n+4.2）+2（12﹣n）， ∴（n﹣m）（n+m﹣11）＝0， ∴n＝m（不符合题意，舍去）或n+m＝11， 答：m与n所满足的关系式为n+m＝11． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（2025•太原开学）如图是某校九年级班级门口的优秀事迹展示板、该展示板的长为40cm，宽为36cm．勤奋小组的同学负责将6张全等的，面积为96cm的矩形贴纸按两行三列粘贴在展示板上，要求贴纸之间及贴纸粘贴区域与展板边缘的距离均相等．请你帮勤奋小组的同学计算出该相等的距离为多少． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】设该相等的距离为x cm，利用x表示出6张全等的、面积为96cm2的矩形贴纸的面积，并据此建立等式求解，即可解题． 【解答】解：设该相等的距离为x cm， ∴（40﹣4x）（36﹣3x）＝96×6． ∴x1＝18（不符合题意，舍去），x2＝4． 勤奋小组的同学计算出该相等的距离为4cm． 答：该相等的距离为4cm． 【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，正确记忆相关知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $