22.3　实践与探索 教案 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

22.3　实践与探索 第1课时　用一元二次方程解决简单的应用问题 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.（重点） 2.继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题.（难点） 3.通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力. 一、复习引入 问题　利用一元一次方程解决实际问题的一般思路是什么？ 答：（1）认真审题，找出相等关系；（2）根据相等关系设出适当的未知数并列出方程；（3）解方程确定出实际问题的答案. 二、探索新知 例1　学生生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 分析：如图①，设小道宽为xm，则两条小道的面积分别为32xm2和20xm2，其中重叠部分小正方形的面积为x2m2.可根据题意列方程解答. 解：设小道的宽应是xm，根据题意，得 32×20－32x－20x＋x2＝540. 解得x1＝2，x2＝50. ∵0＜x＜20，∴x2＝50不合题意，舍去. ∴x＝2. 答：小道的宽应是2m. 【思维拓展】本题同学们还有其他解法吗？ ①　　　　　　　　　② 分析：如图②，可将两条小道平移到边缘，从而将四小块种植地合并成一个整体来解决问题. 解：设小道的宽应是xm，根据题意，得 （32－x）（20－x）＝540. 解得x1＝2，x2＝50. ∵0＜x＜20，∴x2＝50应舍去. ∴x＝2. 答：小道的宽应是2m. 【点拨】（1）利用平移、旋转、翻折等变换可以进行等面积变形.（2）从上面的解答过程可以看出利用一元二次方程解实际问题的思路和利用一元一次方程解实际问题的思路类似.其主要区别在于：解一元二次方程求得的未知数值往往有两个，不一定都是实际问题的答案，需要进行适当的取舍. 例2　某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 分析：若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的（1－x）倍，即56（1－x）元，第二次降价后的零售价为56（1－x）元的（1－x）倍. 解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得 56（1－x）2＝31.5. 解这个方程，得x1＝0.25，x2＝1.75. 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.75不符合题意.经检验，x＝0.25＝25％符合本题要求. 答：每次降价的百分率为25％. 三、巩固练习 1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求所镶彩纸的宽.（精确到0.1厘米） 2.某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0.1％） 答案：1.设所镶彩纸的宽为x厘米.根据题意，得 （18＋2x）（12＋2x）－18×12＝18×12×. 解得x1＝（不合题意，舍去），x2＝≈2.1. 答：所镶彩纸的宽约为2.1厘米. 2.设这两个月的产值平均月增长的百分率是x.根据题意，得50000（1＋x）2＝60000. 解得x1≈0.095＝9.5％，x2≈－2.095（不合题意，舍去）. 答：这两个月的产值平均月增长的百分率约是9.5％. 四、归纳小结 利用一元二次方程解实际问题的一般步骤： （1）审题找出等量关系； （2）设出适当的未知数并列出方程； （3）解方程； （4）根据实际问题，确定答案； （5）作答. 注意：利用一元二次方程解实际问题时，解所列出的一元二次方程，求出的未知数的值往往有两个，但这两个值不一定都是实际问题的答案，需要根据实际问题的意义进行适当的取舍. 五、课后作业 1.教材第40页练习第2、4题. 2.教材习题22.3第1、2题. 与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好. 第2课时　用一元二次方程解决复杂的应用问题 1.掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题.（重点） 2.会列一元二次方程解决有关“增长率”及“销售”的问题.（难点） 3.进一步培养将实际问题转化为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力，发展数学应用意识. 一、复习引入 1.列一元二次方程解决相关几何问题，需要充分利用平面图形的一些知识，如图形的面积公式、体积公式、勾股定理、图形的全等. 2.列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要掌握下列关系式：（两次变化） 原数×（1＋增长的百分率）2＝后来数. 原数×（1－降低的百分率）2＝后来数. 3.列一元二次方程解决有关利润问题时，要掌握下列关系式：商品利润＝销售价－原价＝原价×利润率＝单件利润×件数. 二、探索新知 例1　小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图. （1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？ 折叠成的长方体底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm） 折叠成的长方体侧面积（cm2） （3）你认为折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？如果有，请你求出长方体侧面积的最大值是多少？ 解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm. 根据题意，得（10－2x）2＝81. 解得x1＝0.5，x2＝9.5. ∵0＜x＜5，∴x2＝9.5不合题意，舍去. ∴x＝0.5. 答：剪去的正方形边长为0.5cm. （2）根据题意，填表如下： 折叠成的长方体底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 折叠成的长方体侧面积（cm2） 18 32 42 48 50 48 42 32 观察表中数据发现：随着折叠成的长方体底面积的减小，剪去的正方形的边长增大，折叠成的长方体的侧面积先增大后减小. （3）长方体的侧面积有最大值，最大值是50cm2. 设剪去的正方形的边长为xcm，折叠成的长方体的侧面积为Scm2. 根据题意可得S随x变化的函数关系式为 S＝4x（10－2x）. 整理，得S＝－8x2＋40x. 配方，得S＝－8（x－2.5）2＋50. 所以当x＝2.5时，S有最大值为50. 答：当剪去的正方形的边长为2.5cm时，折叠成的长方体的侧面积有最大值，最大值是50cm2. 例2　（1）某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？ （2）如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？ 分析：翻一番，即为原产值的2倍. 若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位. 解：（1）设原产值为1个单位，这两年中产值的平均年增长率为x，根据题意，得 （1＋x）2＝2. 解得x1＝－1，x2＝－－1. ∵增长率不可能为负值， ∴x2＝－－1不合题意，舍去.∴x＝－1≈41.4％. 答：这两年中产值的平均年增长率为41.4％. （2）设第一年的增长率为x，则第二年的增长率应为2x. 根据题意，得（1＋x）（1＋2x）＝2. 解得x1＝，x2＝. ∵增长率不可能为负值， ∴x2＝不合题意，舍去.∴x＝≈28％. 答：第一年的增长率为28％时，可以实现两年后产值翻一番. 例3　某种新产品的进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件售价（元） 130 150 165 日销售量（件） 70 50 35 （1）请你根据上表所给的数据表述出每件售价提高的价格（元）与产品的日销售量减少的数量（件）之间的关系. （2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价多少元时，每日盈利可达到1600元？ 分析：（1）从表中可以看出，每件售价提高多少元，日销售量就要减少多少件. （2）可根据表格中“每件售价130元时，日销售为70件”，以此为基础，利用公式“每件商品的利润×销售量＝总利润”列出方程，得出答案. 解：（1）由表格中的数量关系可知，该产品每件售价上涨1元，其日销售量就要减少1件. （2）设每件产品的售价在130元的基础上，涨价x元，则销售价为（130＋x）元，日销售量为（70－x）件.根据题意，得 [（130＋x）－120]×（70－x）＝1600. 解这个方程，得x1＝x2＝30. x＋130＝160. 答：每件商品的定价为160元时，每日盈利可达到1600元. 三、巩固练习 1.某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55％.改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克.已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求两者的增长率.（精确到1％） 2.某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增长（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台.商店若希望获得2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ （1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ （3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少？ 答案：1.设新品种花生每公顷产量的增长率为x，则出油率的增长率为.根据题意，得3000（1＋x）×55％×＝2025.解得x1≈0.14，x2≈－3.14（不合题意，舍去）.此时≈0.07. 答：新品种花生每公顷产量的增长率约为14％，出油率的增长率约为7％. 2.（1）设销售定价在52元的基础上增加了x元，则每台家电所获利润为（52＋x－40）元，销售量为（180－10x）台. （2）根据题意，得（52＋x－40）（180－10x）＝2000.解得x1＝－2，x2＝8.当x＝－2时，定价为52＋（－2）＝50（元），此时的销售量为180－10×（－2）＝200（台）；当x＝8时，销售定价为52＋8＝60（元），此时的销售量为180－10×8＝100（台）.都符合题意.故销售定价为50元，进货200台；或销售定价为60元，进货100台. （3）设最大利润为W元，则W＝（12＋x）（180－10x）＝－10（x－3）2＋2250.因为－10＜0，所以当x＝3时，W取最大值2250.故当销售定价为55元时，能获得最大利润2250元，应进货180－10×3＝150（台）. 四、归纳小结 用一元二次方程能解决的问题涉及实际生活的方方面面，题型新颖，解法灵活，综合性强.解题的关键是找出等量关系.分析等量关系时，应从多角度来考虑.常见的题型有图形面积问题、增长（降低）率问题、利润问题等. 五、课后作业 1.教材习题22.3第3、4、5、6题. 本节课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七、八年级已经进行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生，虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度.本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式，引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找出解决问题的新的途径和方法；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律. 学科网（北京）股份有限公司 $$