2026届高考数学小题训练19（计数原理）

2026年高考数学小题训练19（计数原理） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【答案】B 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 故选：. 2．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（    ） A．12 B．14 C．36 D．72 【答案】B 【分析】根据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方案，利用分类、分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种情况： ①若厂只接受1个女生，有种分派方案， 则厂分派人数可以为或，则有种分派方案， 由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案； ②若厂接受2个女生，只有1种分派方案， 则厂分派人数为，则有种分派方案， 此时共有种不同的分派方案， 综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案. 故选：B. 3．在的展开式中，项的系数为（    ） A．1680 B．210 C．－210 D．－1680 【答案】A 【分析】相当于在7个因式中有3个因式选，余下的4个因式中有2个因式选，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，求解即可. 【详解】相当于在7个因式中有3个因式选，有种选法， 余下的4个因式中有2个因式选，有种选法， 最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项， 而，所以项的系数为. 故答案为：A. 4．已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（    ） A．43 B． C．27 D． 【答案】D 【分析】根据展开式通项公式得到第7项，从而得到方程，求出，，进而得到，则，求出有理项的系数和. 【详解】展开式的第7项为， 由题意可得，，，解得，， 则展开式的通项为，， 令，则， 所以展开式中的有理项的系数和为. 故选：D. 5．今天的课外作业是从6道应用题中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有一题相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列组合求解所有基本事件个数及所求事件的基本事件个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题，所有的基本事件个数为， “恰有一题相同”包含的基本事件数为， 所以. 故选：D 6．现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（   ） A．6 B．15 C．20 D．30 【答案】D 【分析】把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，则不连续值日的三组数可列举出来，进而甲、乙、丙全排列计算即可得出结果. 【详解】把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，则不连续值日的三组数可列举为，， ，，， 所以符合条件的方法有种． 故选：D 7．已知（）的展开式中含项系数为，则含项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理通项公式分别写出和的展开式中含的项和含的项，再由含项系数为列式得的关系式，表示出含项系数并将其转化为关于的一元二次方程式，根据二次函数的性质求解最小值即可. 【详解】二项式展开式中含的项为， 含的项为， 二项式展开式中含的项为， 含的项为， 由题意得，，即， 所以展开式中含项系数为 ， 因为，当或时，取最小值， 最小值为，所以含项系数的最小值为. 故选：D 8．已知，则=（    ） A．9 B．10 C．18 D．19 【答案】D 【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得. 【详解】由得， 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 得， 故选：D 二、多选题 9．甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，再进行异或求和，若初始条件是全零，则乙有必胜策略，反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态. 【详解】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数， 再进行异或求和， 若初始条件是全零，则乙有必胜策略， 反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态. A项：，非全零，甲胜：从第2盒中拿2个，故A符合题意； B项：，全零，乙胜，故B不符合题意； C项：，非全零，甲胜：拿走第三盒，故C符合题意； D项：，非全零，甲胜：从第1盒中拿2个，故D符合题意； 故选：ACD 10．若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 11．已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C．展开式中的系数为 D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【答案】ACD 【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，逐项检验，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确； 对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C正确； 对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得， 可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数， 易知展开式中第项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，然后由题意分别按各类中的两个保持灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总的方法数，最后由概率公式计算概率． 【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． ①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为：． 13．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 ． 【答案】 【分析】设取出的5个数为，则可推得，，即可得出.进而只需要分析出事件以及表示的含义，并求出概率，即可得出答案. 【详解】设从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内. 设， 则， 所以，，， 所以，，，. 又表示，共有种可能； 表示中有4个选择1和1个选择2，共有种可能， 且所有的取法种数为， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数据的取法规则，得出概率具有对称性. 14．如图1，把一个圆分成n（）个扇形，每个扇形用k种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法． 如图2，有4种不同颜色的涂料，给图中的12个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答） 【答案】 【分析】利用已知条件可计算八个空格染色问题，剩下的可用分步分类计数即可. 【详解】染色问题按以下步骤进行： 第一步：给染色有4种方法； 第二步：给染色， 若与的颜色均不同，则可用颜色有3种， 根据已知条件可知：种； 若与其中一个的颜色相同，则有种方法； 若与两个的颜色相同，则有种方法 若与其中三个的颜色相同，则有种方法； 若与的颜色都相同，则有种方法： 第三步：给染色，因为已经染了色，所以分以下两类: 当与同色，给染色有：种； 当与不同色，给染色有：种； 利用分类分步原理可得：总有：种， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练19（计数原理） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 2．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（    ） A．12 B．14 C．36 D．72 3．在的展开式中，项的系数为（    ） A．1680 B．210 C．－210 D．－1680 4．已知(其中)的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（    ） A．43 B． C．27 D． 5．今天的课外作业是从6道应用题中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有一题相同的概率是（    ） A． B． C． D． 6．现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（   ） A．6 B．15 C．20 D．30 7．已知（）的展开式中含项系数为，则含项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则=（    ） A．9 B．10 C．18 D．19 二、多选题 9．甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C．展开式中的系数为 D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 三、填空题 12．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 13．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 ． 14．如图1，把一个圆分成n（）个扇形，每个扇形用k种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法． 如图2，有4种不同颜色的涂料，给图中的12个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $