小题训练16（圆锥曲线）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练16（圆锥曲线） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答. 【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为， 由消去y并整理得：，设，，则， 弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图， 令交抛物线于点P，在抛物线上任取点，过作于点，连接， 即有，， 当且仅当点与P重合时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 2．在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点代入圆方程求出，再由求出，再根据求出即可求解. 【详解】设点，由题意可得且，， 所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：A.    3．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，分析可知，代入韦达定理求出的值，并求出的值，利用弦长公式可求得的值. 【详解】抛物线的焦点为，设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， 因为，则， 所以，，可得， 所以，，可得， ，解得， 所以，，，则， 抛物线的准线方程为，所以，点的横坐标为， 所以，. 故选：C. 4．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 5．已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆和双曲线的定义，求出，由椭圆，得，利用向量数量积的定义结合余弦定理求. 【详解】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，有，解得， 由椭圆方程，得， 所以. 故选：B. 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴于点，若，，则（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先根据题意确定的值，明确点坐标，再求. 【详解】如图：    不妨设点在第一象限，因为，所以点坐标为：. 又，所以 . 所以. 故选：C 7．已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件和椭圆定义，将用表示，在中求出，在用余弦定理，建立等量关系，即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得 结合可得 由可得， 由椭圆的定义可得所以 在中，， 在中，， ， . 故选：B 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以， 点A在双曲线上， ， 又， ，， 点B在双曲线上， ， ， ， 设内切圆圆心为I，连接，如图所示， ， ， 即， 为等边三角形，， 在由余弦定理得：， 即：， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（    ） A．直线，的斜率之积为 B．的离心率为2 C．的最小值为 D．四边形的面积可能为 【答案】AC 【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为，渐近线方程为，设点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可. 【详解】由题意可知：双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故选项错误； 由方程可知：双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，点在渐近线上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形为矩形，则，，所以直线，的斜率之积为，故选项正确； 设点，由题意知：为矩形，则，由点到直线的距离公式可得：，，则当且仅当，也即为双曲线右顶点时取等，所以的最小值为，故选项正确； 由选项的分析可知：，因为四边形为矩形，所以，故选项错误， 故选：. 10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若为的准线上任意一点，则（    ） A．直线若的斜率为，则 B．的取值范围为 C． D．的余弦有最小值为 【答案】BCD 【分析】对于抛物线的焦点弦相关问题，首先要熟悉一些二级结论，如A项，若记得焦点弦关于倾斜角的弦长公式则可以秒杀；B项熟悉“以焦点弦为直径的圆与准线相切”则可以迅速判断结论；而对于C,D两个选项，则需要将直线与抛物线方程联立，借助于韦达定理进行计算推理才可得到. 【详解】对于A选项，由题知，的斜率为，则， 代入整理得：， 设，则而；故A项错误； 对于B选项，∵以焦点弦为直径的圆与准线相切，为的准线上任意一点， 则点在以为直径的圆上或圆外， ∴， 当在直线上时，，即的取值范围为，故B项正确； 对于C选项，设，，， 设，联立,消元得：， 则 故，故C项正确； 对于D选项， ， 即的余弦的最小值为，故D项正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的焦点弦的相关问题. 解决过焦点的直线与抛物线相交的相关问题，一般需要二级结论和常规方法相结合，如焦半径，焦点弦的长度公式，以焦半径为直径的圆与轴相切，以焦点弦为半径的圆与准线相切等结论需要熟悉，另外在选设直线方程时，常设成的形式便于计算解题，在代换字母时，常常通过抛物线方程代换计算较易. 11．已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到，，再利用余弦定理求出，利用向量中线定理得到，再结合向量数量积的定义求出，最后求解判断C，先点到轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解距离判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 由题意得到的距离为，得到，解得， 又渐近线方程为，则，而， 联立方程组，解得， 则双曲线的方程为，故A错误． 对于B，如图，作出符合题意的图形，    因为为的平分线，所以由角平分线定理得2，故B正确， 对于C，由已知得，由双曲线定义可得， 而为在第一象限的点，可得， 则，解得，，而， 在中，由余弦定理得， 因为是的中点，所以， 则，可得， 而， 可得，解得，故C错误， 对于D，在中，由同角三角函数的基本关系得， 设点到轴的距离为，由等面积公式得， 得到，解得，故D正确． 故选：BD 三、填空题 12．如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出直线的方程与直线的方程，联立求解即可. 【详解】 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，所以. 因为 ，所以直线的方程为 ①， 因为 ，所以直线的方程为 ②. 由①可得 ，代入②化简可得 ， 结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ， 所以点的轨迹方程为 ， 故答案为： 13．已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， . 【答案】 2 18 【分析】根据双曲线的定义式和三角形内切圆的性质推得，结合，求出，得内切圆的圆心横坐标为，再由条件推出为的角平分线，从而得到的内心即点，即得结论. 【详解】 设的内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图， 则， 在双曲线右支上，由双曲线定义得，展开即得， ， 又，故，因，则得， 即内切圆的圆心横坐标为， 由，得， 可得，即为的角平分线， 由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为， 则即为内切圆的圆心，为切点，则内切圆半径为； . 故答案为：2；18. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线的定义和三角形内切圆性质推出，结合，从而确定内切圆的圆心横坐标为，为后续求内切圆半径打下基础. 14．设是曲线上的点，，，则的最大值等于 ． 【答案】10 【分析】作出曲线和椭圆的图象，延长交椭圆于点，可得出，由三角形三边关系得出，当且仅当点为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出的最大值. 【详解】由可得， 作出椭圆和曲线(去绝对值后，可得图象为四条线段)的图象如下图所示：    则点、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义得. 延长交椭圆于点， 当点不在坐标轴上时，由三角形三边关系得， 所以，； 当点为椭圆的顶点时. 综上所述，，因此，的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练16（圆锥曲线） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．5 2．在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则（    ） A． B． C． D． 4．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为P，则（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴于点，若，，则（   ） A．3 B． C． D．6 7．已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（    ） A．直线，的斜率之积为 B．的离心率为2 C．的最小值为 D．四边形的面积可能为 10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若为的准线上任意一点，则（    ） A．直线若的斜率为，则 B．的取值范围为 C． D．的余弦有最小值为 11．已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 三、填空题 12．如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 13．已知双曲线C的方程为，其左右焦点分别为，，已知点P坐标为，双曲线C上的点（，）满足，设的内切圆半径为r，则 ， . 14．设是曲线上的点，，，则的最大值等于 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $