小题训练15（直线与圆的方程）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练15（直线与圆的方程） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 2．已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D．1 3．已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（   ） A．当时，直线的一个方向向量为（1，0） B．当变化时，所对应的直线均过同一个定点 C．当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为 D．所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 4．已知P是圆上的一个动点，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（    ） A．直线恒过定点 B．最小值为 C．的最小值为 D．满足的点有且只有一个 10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 11．已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 三、填空题 12．已知点，，若线段与圆存在公共点，则实数的取值范围为 . 13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ． 14．已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练15（直线与圆的方程） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 2．已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得， 则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， ， 所以. 故选：D. 3．已知直线：，其中m，n都是正实数，，下列结论正确的是（   ） A．当时，直线的一个方向向量为（1，0） B．当变化时，所对应的直线均过同一个定点 C．当时，坐标原点（0，0）到直线的距离的最小值为 D．所有直线组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 【答案】C 【分析】对于A，将代入得直线方程，即可判断；对于B，通过给赋值，得三条直线的方程，根据三条直线交于一点不成立判断B不成立；对于C，根据公式表示距离，再利用同角三角函数关系化简，即可求最小值；对于D，根据不满足直线方程，即可判断. 【详解】对于A，当时，直线的方程为，即，平行于轴，直线的方向向量与平行，故A不正确； 对于B，当时，得，即；当时，得，即，联立方程得，则两直线交于点，当时，得，显然点不在直线上，此时三条直线交于一点不成立，故当变化时，所对应的直线均过同一个定点不成立，故B不正确； 对于C，当时，坐标原点到直线的距离，而，则，故，即最小值为，故C正确； 对于D，由于点不满足方程，所以所有直线组成的平面区域不可能覆盖整个平面，故D不正确； 故选：C. 4．已知P是圆上的一个动点，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知以为直径的圆要内含或内切圆，根据两圆的位置关系分析求解. 【详解】已知圆的圆心为，半径， 若直线上存在两点A，B，使得恒成立， 则以为直径的圆要内含或内切圆， 因为点到直线l的距离， 所以长度的最小值为， 故选：B． 5．在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案 【详解】连接， 在中，因为是的中点， 所以，平方得， 将代入可得， 因为，所以， 所以， 在，， 所以， 当且仅当即时，取等号, 故选：A 6．已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 【详解】 直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点， 又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆， 即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切， 所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围. 设设圆的半径为， 因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值， ， 又因为，即， 即， 所以，即， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：结合已知直线过定点，求出交点的轨迹方程是关键. 7．若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D 8．已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为. 【详解】由、， 有，故， 对有，故过定点， 对有，故过定点， 则中点为，即， ，则， 故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为， 又在原，该圆圆心为，半径为， 又，则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题. 二、多选题 9．已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（    ） A．直线恒过定点 B．最小值为 C．的最小值为 D．满足的点有且只有一个 【答案】AC 【分析】根据、与圆相切，得到直线的方程，可判断A选项；由勾股定理得当最小时最小，可判断B选项；根据弦长公式，可判断C选项；由可得到，可判断D选项. 【详解】    对于A，圆的圆心为，半径为， 设， 在直线上， ， 、为圆的切线， 以为直径的圆的方程为， ，两式作差可得直线的方程为， 将代入得：， 满足，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B， ，当最小时，最小， ，， ，此时，故B错误； 对于C，， 到的距离， ， 当时，，故C正确； 对于D，若，则，即， ， 存在两个点使，故D错误. 故选：AC. 10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 11．已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 【答案】ABC 【分析】根据圆的性质，可得判定A正确；当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，结合圆的性质，可判定B正确；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程，可判定以C正确；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程，可判定D错误. 【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内， 对于A中，由，根据圆的性质，可得， 即，即， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此时取得最值， 如图所示，可得时，可得， 时，可得，所以B正确； 对于C中，设的外接圆的圆心为，则， 则有，可得， 即，所以C正确； 对于D中，设的重心为点，则， 由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为， 且点为的中点，即，所以， 即，即，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．已知点，，若线段与圆存在公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分别计算圆心到A点，B点，以及直线AB距离，记为，则数的取值范围为. 【详解】由题意知的圆心为，其到A点距离为， 到点的距离为， 由点，，可得直线AB方程为：. 则圆心到直线AB的距离为， 因，则 . 故答案为： 13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】根据数量关系可得，即，又，进而由可得答案. 【详解】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 14．已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意可推得的范围，以及与圆的位置关系.根据等边三角形以及圆的对称性可得出，然后推得，求解结合的范围可得出.然后表示出圆心到直线的距离，根据不等式的性质，即可得出答案. 【详解】   由已知可得，圆的圆心，半径，且有. 则圆心到直线：的距离. 又直线方程可化为，可知，， 所以直线过一、二、三象限，不过第四象限，直线与圆相离. 由题意易知，则，， 所以有，即，所以. 又，，所以，，所以. 所以圆心到直线的距离， 所以，直线与圆总相交， 又，所以被圆截得的弦长为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：根据已知得出的范围，然后根据直线的斜截式方程得出与圆的位置关系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $