小题训练14（立体几何）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练14（立体几何） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，，将沿BD折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．半径为1的球O内切于正三棱柱，则该正三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在四面体中，都是边长为6的正三角形，棱与平面所成角的余弦值为，球与该四面体各棱都相切，则（    ） A．四面体为正四面体 B．四面体的外接球的体积为 C．球的表面积为 D．球被四面体的表面所截得的各截面圆的周长之和为 10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 11．在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（    ） A．异面直线与的距离为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为 三、填空题 12．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该圆台的高为 . 13．已知四棱锥的外接球O的表面积为，四边形ABCD为矩形，M是线段SB的中点，N在平面SCD上，若，，，则球O的体积为 ，MN的最小值为 . 14．如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练14（立体几何） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出球的半径以及圆柱的底面半径，在轴截面中，找到二者与圆柱的高之间的关系，即可求出圆柱的高，从而求得圆柱的体积. 【详解】球的表面积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为，半径为， 在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为. 故选：D.    2．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的，再计算即可. 【详解】当球是圆锥的内切球时球半径最大， 此时截面大圆为等边三角形的内切圆， 根据正三角形三心合一，可知内心即为重心， 所以圆半径为正三角形高的，即． 故选：B． 3．在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，建立空间直角坐标系，求得即可. 【详解】 如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以点为坐标原点，以的方向分别为轴正方向， 建立空间直角坐标系， 由为正方体，设棱长为，，所以四边形为正方形， 所以，又因为平面，平面， 所以，又因为，平面，所以平面， 即为平面的一个法向量， 同理为平面的一个法向量， 由，知， 设平面与平面的夹角为，， 则. 故选：A. 4．如图，在平行四边形中，，将沿BD折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理和性质定理判断即可. 【详解】因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 因为平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 综上，平面平面，平面平面，平面平面，共有3对， 故选:C． 5．半径为1的球O内切于正三棱柱，则该正三棱柱的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出正三棱柱的高，底面边长，底面高，即可求出其体积 【详解】因为球与上下底面相切，所以三棱柱的高， 由上往下看，球的大圆面是正三角形的内切圆， 如图，等边三角形的内切圆为圆，设中点为H，则 ， ，即， . 故选：C．    6．在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面的外接圆的半径为r，，由正弦定理表示出r，确定外接球球心位置，求得其半径的表达式，结合正弦函数性质求得外接球半径的最小值，即可得答案. 【详解】设底面的外接圆的半径为r，， 则在中，，可得，所以， 设底面三角形的外心为，过作底面的垂线， 由于平面BCD，故所作垂线与的中垂线的交点即为三棱锥外接球的球心， 设外接球的半径为R，而， 则外接球的半径为， 即当即时，三棱锥的外接球的半径取得最小值， 此时三棱锥的外接球表面积取得最小值：, 故选：B 7．在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定为等边三角形，利用正弦定理可确定外接圆半径，由此可知外接圆圆心即为四面体外接球球心，由球的性质可知平面，利用可求得点到平面的距离，由此可求得线面角的正弦值. 【详解】，，，，又为中点， ，则，即为等边三角形， 设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，取中点，连接， ，，，即外接圆半径为， 又四面体的外接球半径为，为四面体外接球的球心， 由球的性质可知：平面，又平面，， ，，； 设点到平面的距离为， 由得：， 又与均为边长为的等边三角形，， 直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值. 8．如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作，垂足为H，过点F作，交AB于点P，设，用表示，在中，求出的函数关系，可求t的取值范围. 【详解】如图，在平面内过点D作，垂足为H，连接HK．过点F作，交AB于点P． 设，，，所以． 设，则．因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面，所以． 又因为，，，平面，所以平面， 平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，，， 所以，则有． 因为，所以，，， 所以，，得． 因为，所以． 故选：A. 二、多选题 9．在四面体中，都是边长为6的正三角形，棱与平面所成角的余弦值为，球与该四面体各棱都相切，则（    ） A．四面体为正四面体 B．四面体的外接球的体积为 C．球的表面积为 D．球被四面体的表面所截得的各截面圆的周长之和为 【答案】ABD 【分析】对A：找到棱与平面所成角，可得的长，即可得解；对B：借助勾股定理计算可得其半径，结合球的体积公式计算即可得解；对C：结合正四面体对称性可作出半径，计算出半径后利用球体表面积公式计算即可得；对D：结合正四面体对称性，计算出球心到各面距离，结合球半径即可得球被四面体的表面所截得的各截面圆的半径，即可得周长之和. 【详解】对A：取中点，连接、，由都是边长为6的正三角形， 则，且， 又平面，， 则平面，又平面，故， 故为棱与平面所成角， 则，故四面体所有棱长相等， 故四面体为正四面体，故A正确； 对B：作于点，由四面体为正四面体， 故为底面中心，且四面体的外接球与球共球心， 有，, 设四面体的外接球的半径为， 则有，即， 即，则，故B正确； 对C：作于点，由正四面体对称性可得即为球半径， 由，则，又， 设球的半径为，则， 则，故C错误； 对D：由正四面体对称性可得， 球被四面体的表面所截得的各截面圆周长相等， 到各面距离为， 又，则球被四面体的表面所截得的各截面圆的半径为： ，则其周长之和为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于结合正四面体对称性，通过计算球心到底面距离，结合球半径，即可得球被四面体的表面所截得的各截面圆的半径. 10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．平面ABCD C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 【答案】ABC 【分析】选项A，用线面垂直的判定定理得出：平面，进而得出； 选项B，应用面面平行的性质，得出：平面平面，进而得到平面； 选项C，线面平行的判定定理，不难得出，从大的三棱锥中观察，到的距离始终是定值； 选项D，设，取的中点，运用平面几何性质：，所以，D选项错误. 【详解】对于A选项，连接、，因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， 平面，所以平面， 因为平面，因此，A选项正确； 对于B选项，因为平面平面，平面， 所以平面，B选项正确； 对于C选项，因为，， 所以，故， 故点到平面的距离为定值. 因为的面积为， 点到平面的距离为定值， 故三棱锥的体积为定值，C选项正确； 对于D选项，设，取的中点，连接、， 由A选项可知，平面，即平面， 平面，则，因为且， 故四边形为平行四边形，则且， 因为、分别为、的中点， 故且，所以四边形为平行四边形， 平面，平面， 所以，故四边形为矩形，所以，平面，所以平面， 平面，，， 所以，D选项错误.    故选：ABC. 11．在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（    ） A．异面直线与的距离为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法求异面直线与的距离和直线与平面所成的角的余弦值，由此判断A，B，再确定正四棱柱的外接球的球心和半径求球的表面积判断C，确定以A为球心，半径为2的球面与正四棱柱表面的交线，求其长度判断D. 【详解】由已知两两垂直， 故以为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，， 故，， 设向量，， 则，取，可得， 所以满足条件的一个向量， 所以向量在向量上的投影向量的模为，A正确； 设平面的法向量为，， 则，又， 所以，令，则， 所以为平面的一个法向量，又， 所以， 设直线与平面所成的角为， 则，又， 所以，B错误； 由正四棱柱的性质可得其外接球的球心为的中点，为外接球一条直径， 因为， 所以正四棱柱的外接球的半径为， 其表面积为，C正确； 如图，以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线由四段圆弧组成， 由已知，， 所以， 所以圆弧的长为， 因为， 所以， 所以圆弧的长为， 又圆弧的长为， 圆弧的长为， 所以以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱 表面的交线的总长度为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】【点睛】 三、填空题 12．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该圆台的高为 . 【答案】3 【分析】由圆台的体积公式直接求得. 【详解】圆台的体积，得. 所以该圆台的高为3. 故答案为：3. 13．已知四棱锥的外接球O的表面积为，四边形ABCD为矩形，M是线段SB的中点，N在平面SCD上，若，，，则球O的体积为 ，MN的最小值为 . 【答案】 【分析】设球O的半径为R，由已知可得R，进而可得球的体积，又可得平面ABCD，过A作于G，取AS的中点F，连接MF，求得F到平面SCD的距离即为MN的最小值． 【详解】设球O的半径为R，则，解得，故球O的体积为， ，，， 又，，平面ABCD, 平面ABCD， 故平面ABCD， 因为底面ABCD为矩形，故侧棱SC为球O的直径，又， 解得，过A作于G， M是线段SB的中点，N在平面SCD上，M到平面SCD的距离即为MN的最小值,取AS的中点F， 连接MF，则平面SCD，M到平面SCD的距离即为F到平面SCD的距离,平面ABCD，CD， 四边形ABCD为矩形, ,平面ASD，平面ASD，,平面ASD，则， 从而平面SCD，则等面积法，， 则F到平面SCD的距离为 故答案为：； 14．如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是 . 【答案】 【分析】当三棱锥的体积最大时，此时到底面的距离最大，即此时平面平面，取的中点，的中点，是三棱锥的外接球球心，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小， 此时，截面的圆心就是点，从而求解. 【详解】当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值， 所以此时到底面的距离最大，平面平面， 且平面平面， 取的中点，则，故平面， 取的中点，则，又，且，则， 又∵， 故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径； 显然，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小， 此时，截面的圆心就是点，记其半径为，则； 由于，平面，所以平面， 而平面，则，则， 在中，，故； 又，故，又， 故由余弦定理有， ∴，故所求面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：取的中点，由，确定点 是三棱锥的外接球球心. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $