小题训练13（概率与统计）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练13（概率与统计） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，为非零常数.则下列说法不正确的是（    ） A．两组样本数据的极差相同 B．两组样本数据的标准差相同 C．两组样本数据的方差相同 D．两组样本数据的平均数相同 4．设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是（保留两位有效数字）（    ） A．0.50 B．0.55 C．0.70 D．前三个答案都不对 5．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为 和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级，如图是某市4月1日至14．日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（    ） A．从2日到5日空气质量越来越差 B．这14天中空气质量指数的中位数是214 C．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日 D．这14天中空气质量指数的平均数约为189 6．某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 二、多选题 9．小明和小强在球场上进行罚球练习，双方均以个罚球为一组，其中小明练习组，小强练习组，现将他们每组练习中罚球命中的个数统计如下： 小明 小强 则下列说法正确的是（   ） A．若，则小明和小强罚球命中个数的平均数相同 B．若小明和小强罚球命中个数的极差相同，则 C．若，则小明和小强罚球命中个数的中位数相同 D．若，则小明罚球命中个数的方差小于小强罚球命中个数的方差 10．已知甲、乙两组样本中各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法中正确的是（    ） A．若甲、乙两组数据的平均数都为，则新数据的平均数等于 B．若甲、乙两组数据的中位数都为，则新数据的中位数等于 C．若甲、乙两组数据的极差都为，则新数据的极差可能大于 D．若甲、乙两组数据的方差都为，则新数据的方差可能小于 11．记男生样本的平均数为，方差为；女生样本的平均数为，方差为；男女总样本的平均数记为，方差为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D． 三、填空题 12．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ． 13．对于独立事件A、B，若，，则 . 14．若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是 ，方差是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练13（概率与统计） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】分别求出，，，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，则基本事件总数为， 事件“n次中至多有一次反面朝上”，则n次全部正面朝上或n次中恰有1次反面朝上， 则，事件“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，则，于是， 因为A与B独立，所以，即， 分别代入，3，4，5，验证，可得符合题意. 故选：B 2．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先列出满足函数的图象与轴有交点的基本事件,再找出符合函数为偶函数的基本事件,最后根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】解：函数的图象与轴有交点，则， 则满足该条件的有：，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，， 共有个满足函数的图象与轴有交点的条件； 函数为偶函数，只需是奇函数，即，所以． 函数为偶函数：有，，共个． 所以则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率． 故选：D． 3．有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，为非零常数.则下列说法不正确的是（    ） A．两组样本数据的极差相同 B．两组样本数据的标准差相同 C．两组样本数据的方差相同 D．两组样本数据的平均数相同 【答案】D 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断D选项；利用方差公式可判断BC选项. 【详解】设样本数据、、、的平均数为，方差为， 样本数据、、、（为非零常数）的平均数为，方差为， 对于A选项，不妨设，则样本数据、、、的极差为， 对于样本数据、、、（为非零常数）， 则， 所以，样本数据、、、（为非零常数）的极差为， 所以，两组样本数据的极差相同，A对； 对于D选项，， 所以，两组样本数据的平均数不相同，D错； 对于BC选项， ， 所以，两组样本数据的方差相同，这两组数据的标准差也相同，BC都对. 故选：D. 4．设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是（保留两位有效数字）（    ） A．0.50 B．0.55 C．0.70 D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】考虑取5次后没有重复元素的概率，故可得正确的选项. 【详解】考虑反面，取5次后没有重复元素的概率为， 于是所求概率为． 故选：C. 5．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为 和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级，如图是某市4月1日至14．日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（    ） A．从2日到5日空气质量越来越差 B．这14天中空气质量指数的中位数是214 C．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日 D．这14天中空气质量指数的平均数约为189 【答案】D 【分析】观察数据变化可判断A项；将14天的空气质量指数由小到大依次排列，即可得出中位数，判断B项；根据折线图及方差的概念可判断C项；根据数据计算平均数可判断D项. 【详解】对于A选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，A选项错误； 对于B选项：由图象可知，14天的空气质量指数由小到大依次为：80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，所以中位数为，B选项错误； 对于C选项：方差表示数据波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方差最小的是9日到11日，C选项错误； 对于D选项：这14天中空气质量指数的平均数约为 ，D选项正确； 故选：D. 6．某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（    ） A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】由频率分布直方图性质求，根据百分位数定义，结合数据求解即可. 【详解】由，解得：，所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得：， 故选：B 7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差. 【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、， 甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得， 乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得， 混合后，新数据的平均数为， 方差为 . 故选：D. 8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 【答案】C 【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： ①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以，，，， 因为事件与事件互斥，所以，又， 所以事件M与事件N不相互独立，故A错误； ，故B错误； 由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确； 因为事件N与事件Y互斥，所以，又， 所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出，，，，再根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可. 二、多选题 9．小明和小强在球场上进行罚球练习，双方均以个罚球为一组，其中小明练习组，小强练习组，现将他们每组练习中罚球命中的个数统计如下： 小明 小强 则下列说法正确的是（   ） A．若，则小明和小强罚球命中个数的平均数相同 B．若小明和小强罚球命中个数的极差相同，则 C．若，则小明和小强罚球命中个数的中位数相同 D．若，则小明罚球命中个数的方差小于小强罚球命中个数的方差 【答案】AC 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用极差的定义结合特殊值法可判断B选项；列举出所有的可能情况，结合中位数的定义可判断C选项；根据方差公式可判断D选项. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若极差相同，未必有，如，故B错误； 对于C，若，则可能为、、、、， 此时小强罚球命中个数的中位数始终为，故C正确； 对于D，若，设小明罚球命中个数的平均数分别为、，方差分别为、， 则，， 所以，， ， 则两人罚球命中个数的平均数相同，而小强的数据更加集中，故D错误. 故选：AC. 10．已知甲、乙两组样本中各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法中正确的是（    ） A．若甲、乙两组数据的平均数都为，则新数据的平均数等于 B．若甲、乙两组数据的中位数都为，则新数据的中位数等于 C．若甲、乙两组数据的极差都为，则新数据的极差可能大于 D．若甲、乙两组数据的方差都为，则新数据的方差可能小于 【答案】ABC 【分析】根据平均数，中位数，极差和方差的定义和公式，即可判断选项. 【详解】设甲：，乙：，新数据为：． 对于A：因为，所以A正确； 对于B：不妨设，，则，将混合后数据按从小到大排列， 若，则，所以第10，11个数为和； 若，则，所以第10，11个数为和， 两种情形下，新数据的中位数都等于，所以B正确； 对于C：设甲：，乙：，两组数据极差均为9，但混合后数据的极差为29，所以C正确； 对于D：因为， 所以，，， 所以新数据的方差为 ， 因为，所以新数据的方差一定不小于，所以D错误． 故选：ABC． 11．记男生样本的平均数为，方差为；女生样本的平均数为，方差为；男女总样本的平均数记为，方差为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断正误即可. 【详解】对A，，可得，则或，A不正确． 对B，，所以，若，则，B正确． 对C，因为，所以， 则． 又， 所以，C正确． 对D， ， 所以，D正确． 故选：BCD 三、填空题 12．某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为 ． 【答案】 【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】到达第3台阶的方法有两种： 第一种：  每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种：     只上一步且上两个台阶，则概率为， 所以到达第3阶台阶的概率为， 故答案为：. 13．对于独立事件A、B，若，，则 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率计算即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 因为，为独立事件，所以与相互独立， 则有， 故答案为：. 14．若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是 ，方差是 . 【答案】 【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据的平均数为， 所以，则， 所以数据、、、的平均数为， 方差为 ， 所以， 将两组数据合并后，得到新数据， 则其平均数为 ， 方差为 . 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解平均数与方差的计算公式，并进行计算. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $