小题训练12（正余弦定理）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练12（正余弦定理） 时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，是的外心 ，若，则（    ） A． B．3 C．6 D．6 【答案】C 【分析】取中点H，连接，由已知及正弦定理可求，，再根据平面向量的数量积运算求解即可． 【详解】如图，取中点H，连接， 则，，所以， 在中，，，由正弦定理得， 所以， 所以， 故选：C． 2．已知不是直角三角形，三内角的对边依次为，且满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．不是定值 【答案】A 【分析】易知结合余弦定理可得，然后边化角后利用展开，然后化简可得. 【详解】由余弦定理以及可得： ， 又在三角形中有，即， 所以 故. 故选：A． 3．在中，角所对的边分别为，且，的面积为，则（    ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】由已知结合余弦定理可得，若，易求得的值，若，得，利用正弦定理可得，可求得，进而可求，利用面积可求的值. 【详解】由及余弦定理得． 若，则，，故，， 所以，所以． 若，则，， 由正弦定理得． 因为，所以，，所以，，，所以，，， 所以，所以，解得． 综上，或． 故选：C． 4．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正弦定理及余弦定理解三角形即可得解. 【详解】在中，由正弦定理得， 得. 由余弦定理得， 化简整理得，得. 故选：C 5．已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，在根据锐角三角形的性质分析运算. 【详解】∵，由正弦定理可得， 则， 在锐角三角形中，，则， ∴，即， 可得，解得. 故选：C. 6．记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解. 【详解】由及正弦定理， 得，即， 由余弦定理得，，∵，∴． 由，， 两边平方，得 即 ， 当且仅当，即时取等号，即， ∴线段CD长度的最小值为． 故选：D．    7．如图，在所在平面内，分别以为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积，，则（   ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理推得 ① 和 ② 式，根据题中条件化简整理求得，利用即可求得. 【详解】由和正弦定理得：①， 在中，由余弦定理， ②， 因都是等腰直角三角形，故 ③， 将① ，③ 两式代入②式，可得 （*）， 又，所以， 代入（*），解得，即． 故选：A. 【点睛】思路点睛：对于含三角形边角的方程，一般考虑利用定理边角互化，结合题设条件，找到彼此的切入点和联系，有时还需基本不等式或三角恒等变换等内容才能解决. 8．在中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知条件结合整理得，，，再对进行弦化切，结合换元法、基本不等式、对勾函数性质即可求解取值范围. 【详解】由以及得 ， 又由得， 所以，且B，C均为锐角，即，， 所以 ， 因为， 所以 ， 设， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，故由对勾函数性质， 则 . 故选：B. 【点睛】思路点睛：解三角形取值范围问题通常结合使用辅助角利用三角函数有界性、一元二次函数单调性、基本不等式等求解. 二、多选题 9．已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理判断A；利用余弦定理将角化边，即可判断B；由正弦定理将边化角，结合诱导公式及二倍角公式判断C；由正弦定理判断D. 【详解】对于A：由余弦定理，所以为钝角，则是钝角三角形，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理可得， 所以 整理得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 即， 又，则，所以，所以，则， 所以，故C正确； 对于D：如图，因为，若有两解，则， 即，所以，则的取值范围是，故D正确． 故选：ACD 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】AC 【分析】根据三角形的性质，和正余弦定理，判断三角函数值的大小，三角形的形状，逐一判断各选项正误. 【详解】根据三角形性质，由可知，根据正弦定理可知，可得，所以A正确； 已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，B错误； 根据三角形性质，，当时，可知， 所以为锐角三角形，C正确； 由得， 边角互化得， 由得， 化简得，即，化简得， 解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误. 故选：AC. 11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A． B．面积的最大值为 C．当时， D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】由三角形等面积法及余弦定理可判断A，再由基本不等式得出范围即可得出面积最大值判断B，再由题目条件得出三角形为等腰直角三角形，即可求出最大值判断C，由C中结论及基本不等式判断D. 【详解】设角所对的边长为 由三角形的面积公式可得， 所以，由余弦定理，可得，所以，故A正确； 由，又，所以， 所以，所以，且仅当时取等，B正确； 设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点， 由两点间线段最短可得，当且仅当 四点共线时取等，所以，又， 所以，解得，所以，，所以，故C错误； 由前可知，，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．已知O是的外心， ，若且，则的面积为 . 【答案】或24 【分析】根据外心特点可知，，利用向量数量积的定义和运算律，结合可构造方程组求得，进而得到，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】为的外心， ， ，， ， 即；① ， 即；② 由得，③ 把③代入①②得，解得或. 又， 当时，，； 当时，，. 故答案为：或24. 13．在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】因为， 所以由余弦定理，得， 所以，又， 则， 所以由余弦定理以及基本不等式得： ， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 14．如图所示，在中，已知，，，，，分别在边，，上，且为等边三角形．则的面积的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设，根据正弦定理，将与三角形的边长和得关系，再根据三角函数的性质可得边长与面积的最值. 【详解】不妨设的边长为，， 在中，， 因为， 所以在中，可得， 根据正弦定理可得，所以， 所以，其中， 易知，则 当时，取得最小值， 面积的最小值为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练12（正余弦定理） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，是的外心 ，若，则（    ） A． B．3 C．6 D．6 2．已知不是直角三角形，三内角的对边依次为，且满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．不是定值 3．在中，角所对的边分别为，且，的面积为，则（    ） A．4 B． C．4或 D．或 4．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 7．如图，在所在平面内，分别以为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积，，则（   ）    A． B． C．4 D． 8．在中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，且有两解，则的取值范围是 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A． B．面积的最大值为 C．当时， D．的最大值为 三、填空题 12．已知O是的外心， ，若且，则的面积为 . 13．在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为 ． 14．如图所示，在中，已知，，，，，分别在边，，上，且为等边三角形．则的面积的最小值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $