小题训练11（平面向量）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练11（平面向量） 时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出，然后再由模长的计算可得. 【详解】若，则， 即 又， . 故选：D. 2．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量公式计算即可． 【详解】由已知得，， 向量在向量上的投影向量为， 整理得，即， 解得． 故选：C． 3．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由，，用表示，然后利用数量积的运算律和定义求解. 【详解】解：因为，， 所以， ， ， 所以， ， ， 故选：D 4．在中，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出，再借助平行四边形定则画图可解. 【详解】如图，设的中点为，则，所以，，则． 设，由于，则，则． 假如的起点均为，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点如图所示，所以． 故选：A． 5．已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】从充分性、必要性两方面证明即可. 【详解】一方面，因为，夹角为，，， 所以， 当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 故，所以是的充分条件. 另一方面，因为，夹角为，，，所以， 所以， 所以，即， 所以，故是的必要条件. 综述：是的充要条件. 故选：C. 6．已知向量与满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律计算即得. 【详解】由向量，得，又， 则， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 7．向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，利用距离和的最值求解的最小值. 【详解】作，，， 因为不等式恒成立，则，即， 从而有，故. 设，， 则. 作点E关于直线OB的对称点F，， 则，当且仅当三点共线时取得等号. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二，一是恒成立条件的转化，可求的值；二是利用转化求得函数的最小值. 8．在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解. 【详解】因为D为AB的中点，则， 可得，即，解得， 又因为P为CD上一点，设， 则， 可得，解得，即， 则， 可得，即. 故选：D. 【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得； 2.设，根据平面向量基本定理求得； 3.以为基底表示，进而运算求解. 二、多选题 9．已知向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为6 D．若，则 【答案】ACD 【详解】利用向量平行的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B选项；根据向量减法的三角形法则，结合反向检验等号成立的条件，从而判断C；利用向量数量积运算法则得到，进而求得，从而判断D. 【分析】对于A，因为，， 则，解得，故A正确； 对于B，因为，则，解得， 所以，解得，故B错误； 对于C，因为， 而，当且仅当反向时，等号成立， 此时，解得或， 当，同向，舍去； 当，满足反向；故C正确； 对于D，若，则， 即，所以， 则 ，故D正确. 故选：ACD 10．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得. 【详解】作向量，在中，，， 由向量平分与的夹角，得是菱形，即， 对于A，与不一定垂直，A错误； 对于B，，即，B正确； 对于C，在上的投影向量， 在上的投影向量，C正确； 对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误. 故选：BC 11．设平面向量的夹角为，若，且，则（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平分 C．当时，的最大值为2 D．当时，的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用平面向量基本定理即得；对于B，先证，得三点共线，过点作，利用中位线定理和三角形相似推得，即可证得；对于C，D，通过建系，设，将分别用的三角函数表示，利用三角恒等变换将目标函数化成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求得其范围或最值. 【详解】对于A，当时，， 由平面向量基本定理，可得三点共线，故A正确； 对于B，如图，当时，由，可得 ， 即，故三点共线，且，过点作，交于点， 因，，则，而，故， 则，由可得，则，故平分，即B正确； 对于C，如图，以为坐标原点，所在直线为轴,建立平面直角坐标系， 则，即，因，不妨设， 由可得，故得， 解得，故， 其中，故的最大值为，故C错误； 对于D，根据C项建系，已得， 则 ， 因，故得，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知向量，若向量与垂直，则向量与的夹角余弦值是 . 【答案】 【分析】由与垂直，可得m，后由向量夹角余弦的坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 又与垂直，则. 则. 故答案为： 13．已知平面向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】把向量，放在单位圆内，确定定点，，用，在单位圆上选择动点，用，结合向量加法法则及向量夹角的概念确定的最大值. 【详解】 如图所示：圆为单位圆，点在单位圆上且，， 所以，符合条件， 在单位圆上再取一点，令， 易知弦所对的圆心角，弦所对的圆周角， 因为，符合条件， 所以当线段为圆的直径时最大，最大值为. 故答案为： 14．已知向量，则当取得最大值时， ． 【答案】5 【分析】先运用向量坐标运算得到的坐标，再分别设，与轴的夹角为，，然后将用，表示出来，再用基本不等式求函数取得最大值时的. 【详解】由 ，得，代入 和 ， ，所以， 设为 与 x 轴正方向的夹角，则， 设为 与 x 轴正方向的夹角，则 ， 夹角 ，其正切值为， 所以，令， 当时，， 当且仅当，即时，取到最大值， 又当时，， 综上：当时，取到最大值，即取到最大值. 故答案为：5. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练11（平面向量） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 2．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，，，则（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 4．在中，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知向量与满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 8．在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为6 D．若，则 10．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 11．设平面向量的夹角为，若，且，则（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平分 C．当时，的最大值为2 D．当时，的取值范围为 三、填空题 12．已知向量，若向量与垂直，则向量与的夹角余弦值是 . 13．已知平面向量，满足，，则的最大值为 . 14．已知向量，则当取得最大值时， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $